\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{scratch3} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=1.5cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %\usepackage[dvips]{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP}, %pdfsubject = {Brevet}, %pdftitle = {Polynésie 6 septembre 2022}, %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{} \lhead{\small L'année 2022} \rfoot{\small Polynésie} \lfoot{\small 6 septembre 2022} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~ Diplôme national du Brevet Polynésie ~\decofourright}}\\[6pt] {\Large \textbf{6 septembre 2022}} \vspace{0,5cm} \textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \medskip %\emph{L'usage de calculatrice avec mode examen activé est autorisé.\\ %L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé} % %\vspace{0,5cm} %\framebox[16cm]{ %\begin{minipage}{15cm} %\begin{center} %\textbf{Indications portant sur l'ensemble du sujet.} %\end{center} % Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.\\ %Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la %recherche ; elle sera prise en compte dans la notation. %\end{minipage} %} %\vspace{0.75cm} \textbf{{\large \textsc{Exercice 1}} \hfill 22 points} \medskip %Cet exercice est constitué de six questions indépendantes. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Calculer $\dfrac56 + \dfrac78$ et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. %On détaillera les calculs. $\dfrac56 + \dfrac78 = \dfrac{5 \times 4}{6 \times 4} + \dfrac{7 \times 3}{8\times 3} = \dfrac{20 + 21}{24} = \dfrac{41}{24}$. \item \begin{enumerate} \item %Donner, sans justifier, la décomposition en facteurs premiers de $198$ et de $84$. $\bullet~~$$198 = 9 \times 22 = 3 \times 3 \times 2 \times 11 = 2 \times 3^2 \times 11$ ; $\bullet~~$$84 = 4 \times 21 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7$. \item %En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{198}{84}$. $\dfrac{198}{84} = \dfrac{2 \times 3^2 \times 11}{2^2 \times 3 \times 7} = \dfrac{3 \times 11}{2 \times 7} = \dfrac{33}{14}$. \end{enumerate} \item %On donne l'expression littérale suivante : $E = 5(3x - 4) - (2x - 7)$. %Développer et réduire $E$. $E = 5(3x - 4) - (2x - 7) = 15x - 20 - 2x + 7 = 13x - 13$. \item On désigne par $b$ un nombre positif. \begin{minipage}{0.58\linewidth} %Déterminer la valeur de $b$ telle que le périmètre du rectangle ci-contre soit égal à 25. Le rectangle a une largeur de 4,5 et une longueur de 3b + 2,9. Son périmètre est égal à : $2(4,5 + 3b + 2,9) =$ $ 2(7,4 + 3b) = 14,8 + 6b$. Il faut que $14,8 + 6b = 25$, soit $6b = 25 - 14,8$ ou $6b = 10,2$, soit $b = \dfrac{10,2}{6} = \dfrac{3 \times 3,4}{3 \times 2} = 1,7$. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.38\linewidth} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(5.8,3.5) \psframe(1,0)(5.8,2.8) \psline(1.9,2.7)(1.9,2.9)\psline(2.8,2.7)(2.8,2.9)\psline(3.7,2.7)(3.7,2.9) \psline(1.4,2.7)(1.5,2.9)\psline(2.3,2.7)(2.4,2.9)\psline(3.2,2.7)(3.3,2.9) \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1,3)(1.9,3)\uput[u](1.45,3){$b$} \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(3.7,3)(5.8,3)\uput[u](4.75,3){$2,9$} \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.8,0)(0.8,2.8)\uput[l](0.8,1.4){4,5} \end{pspicture} \end{minipage} \item ~ \begin{minipage}{0.58\linewidth} %Calculer le volume de la pyramide à base rectangulaire de hauteur SH $= 6$ ci-contre. On sait que $V = \dfrac13 \times B \times h$, avec $B = 3 \times 4 = 12$ et $h = 6$, d'où : $V = \dfrac13 \times 12 \times 6 = 24$. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.38\linewidth} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-2.5,-1)(2.6,4.6) \psline(0,4.2)(-2.5,-0.5)(0.9,-0.5)(0,4.2)(2.5,0.5)(0.9,-0.5) \pspolygon[linestyle=dashed](-2.5,-0.5)(2.5,0.5)(-0.9,0.5) \psline[linestyle=dashed](0,0)(0,4.2)(-0.9,0.5)(0.9,-0.5) \uput[l](0,2.1){6}\uput[d](-0.8,-0.5){4}\uput[dr](1.7,0){3} \uput[u](0,4.2){S}\uput[d](0,0){H} \end{pspicture} \end{minipage} \item %Le nombre d'habitants d'une ville a augmenté de 12\,\% entre 2019 et 2020. %Cette ville compte \np{20692}~habitants en 2020. %Quel était le nombre d'habitants de cette ville en 2019 ? Augmenter de 12\,\%, c'est multiplier par $1 + \dfrac{12}{100} = 1 + 0,12 = 1,12$. Si $x$ est le nombre d'habitants en 2019, alors : $x \times 1,12 = \np{20692}$, d'où en multipliant chaque membre par $\dfrac{1}{1,12}$, \quad $x = \dfrac{\np{20692}}{1,12} = \np{18475}$. Il y avait en 2019, \np{18475} habitants. \end{enumerate} \bigskip \textbf{{\large \textsc{Exercice 2}} \hfill 22 points} \medskip \begin{minipage}{0.53\linewidth} Un poteau électrique vertical [BC] de $5,2$ m de haut est retenu par un câble métallique [AC] comme montré sur le schéma 1 qui n'est pas en vraie grandeur. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.43\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5.5,5) \psline[linewidth=1.5pt](3.7,0.3)(3.7,4.7)%BC \psline(3.7,4.7)(0.5,0.3)(3.7,0.3)%CAB \psframe(3.7,0.3)(3.5,0.5) \uput[r](3.7,2.5){Poteau : 5,2 m} \uput[d](2.1,0.3){Sol : 3,9 m} \uput[ul](2.1,2.5){Câble} \rput(1.7,4){\textbf{Schéma 1}} \uput[dl](0.5,0.3){A} \uput[dr](3.7,0.3){B} \uput[ur](3.7,4.7){C} \end{pspicture} \end{minipage} \medskip \begin{enumerate} \item %Montrer que la longueur du câble [AC] est égale à $6,5$~m. le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABC rectangle en B, s'écrit : $\text{AB}^2 + \text{BC}^2 = \text{AC}^2$, soit $3,9^2 + 5,2^2 = \text{AC}^2$, ou encore $15,21 + 27,04 = \text{AC}^2$, soit $\text{AC}^2 = 42,25$. On a donc AC $= \sqrt{42,25} = 6,5$~(m). \item %Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ au degré près. On a par exemple $\cos \widehat{\text{ACB}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AC}} = \dfrac{5,2}{6,5} = \dfrac{52}{65} = \dfrac{4 \times 13}{5 \times 13} = \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{10} = 0,8$. La calculatrice donne $\widehat{\text{ACB}} \approx 36,9$. La mesure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ est $37\degres$ au degré près. \end{enumerate} Deux araignées se trouvant au sommet du poteau (point C) décident de rejoindre le bas du câble (point A) par deux chemins différents. \begin{enumerate}[resume] \item %La première araignée se déplace le long du câble [AC] à une vitesse de $0,2$~m/s. %Vérifier qu'il lui faut 32,5 secondes pour atteindre le bas du câble. On a $v = \dfrac dt$, avec $v = 0,2$ et $d = \text{CA} = 6,5$. Donc $0,2 = \dfrac{6,5}{t}$, d'où $0,2t = 6,5$ et $t = \dfrac{6,5}{0,2} = 6,5 \times 5 = 32,5$~(s). \item La deuxième araignée décide de parcourir le chemin CFHA indiqué en pointillés sur le schéma 2 (qui n'est pas en vraie grandeur) : elle suit le morceau de câble [CF] en marchant, puis descend verticalement le long de [FH] grâce à son fil et enfin marche sur le sol le long de [HA]. %Calculer les longueurs FH et HA. Les droites (FH) et (CB) étant toutes les deux perpendiculaires à la droite (AB) sont parallèles. $\bullet~~$D'après le théorème de Thalès : $\dfrac{\text{FH}}{\text{BC}} = \dfrac{\text{AF}}{\text{AC}}$, soit $\dfrac{\text{FH}}{5,2} = \dfrac{4}{6,5}$, d'où en multipliant chaque membre par 6,5 : $\text{FH} = \dfrac{4 \times 5,2}{6,5} = \dfrac{4 \times 52}{65} = \dfrac{4 \times 4 \times 13}{5 \times 13} = \dfrac{16}{5} = \dfrac{32}{10} = 3,2$~(m). $\bullet~~$On a de même toujours d'après Thalès : $\dfrac{\text{AH}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AF}}{\text{AC}}$, soit $\dfrac{\text{AH}}{3,9} = \dfrac{4}{6,5}$, d'où en multipliant chaque membre par 3,9 : $\text{AH} = \dfrac{3,9 \times 4}{6,5} = \dfrac{39 \times 4}{65} = \dfrac{3 \times 13 \times 4}{5 \times 13} = \dfrac{12}{5} = \dfrac{24}{10} = 2,4$~(m). \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(7,6.8) %\psgrid \psline[linewidth=1.5pt](5.4,0.8)(5.4,6.1)%BC \psline(3.9,4.1)(1.5,0.8)%FA \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](5.4,6.1)(3.9,4.1)(3.9,0.8)(1.5,0.8)%CFHA \psline(3.9,0.8)(5.4,0.8)%HB \uput[dl](1.5,0.8){A} \uput[dr](5.4,0.8){B} \uput[ur](5.4,6.1){C} \uput[r](3.9,4.1){F} \uput[ur](3.9,0.8){H} \rput(1.4,6){\textbf{Schéma 2}} \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(5.8,0.8)(5.8,6.1)\rput{90}(6.05,3.45){5,2~m} \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1.5,0.4)(5.4,0.4)\uput[d](3.45,0.4){3,9 m} \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1.3,1)(3.7,4.3)\rput{57.03}(2.4,2.8){4 m} \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1,1.4)(4.9,6.7)\rput{57.03}(2.8,4.2){6,5 m} \psframe(3.9,0.8)(3.7,1)\psframe(5.4,0.8)(5.2,1) \end{pspicture} \end{center} \item %La deuxième araignée marche à une vitesse de 0,2 m/s le long des segments [CF] et [HA] et descend le long du segment [FH] à une vitesse de 0,8 m/s. %Laquelle des deux araignées met le moins de temps à arriver en A ? De $v = \dfrac{d}{t}$, on tire $d = v \times t$ et $t = \dfrac{d}{v}$. La deuxième araignée parcourt CF + HA $= (6,5 - 4) + 2,4 = 4,9$~(m) à la vitesse de 0,2~(m/s). Elle met donc $t_1 = \dfrac{4,9}{0,2} = 4,9 \times 5 = 24,5$~(s) pour parcourir ces deux segments. Pour parcourir le segment [FH], elle met $t_2 = \dfrac{3,2}{0,8} = \dfrac{32}{8} = 4$~(s). Elle met donc au total : $24,5 + 4 = 28,5$~(s) : c'est elle qui met le moins de temps pour arriver en A. \end{enumerate} \bigskip \textbf{{\large \textsc{Exercice 3}} \hfill 17 points} \medskip %On utilise un logiciel de programmation. % %On rappelle que \og s'orienter à $0\degres$ \fg{} signifie qu'on oriente le stylo vers le haut. % %On considère les deux scripts suivants: % %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{X X} %\multicolumn{1}{c}{Script 1}&\multicolumn{1}{c}{Script 2}\\ %\begin{scratch} %\blockinit{Quand \greenflag est cliqué} %\blockpen{effacer tout} %\blockpen{stylo en position d'écriture} %\blockmove{s’orienter à \ovalnum{0} } %\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois} %{\blockmove{avancer de \ovalnum{20}} %\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés} %\blockmove{avancer de \ovalnum{40}} %\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés} %} %\end{scratch}& %\begin{scratch} %\blockinit{Quand \greenflag est cliqué} %\blockpen{effacer tout} %\blockpen{stylo en position d'écriture} %\blockmove{s’orienter à \ovalnum{0} } %\blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovalnum{20}} %\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois} %{\blockmove{avancer de \selectmenu{longueur}} %\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés} %\blockmove{avancer de \selectmenu{longueur}} %\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés} %\blockvariable{ajouter à \selectmenu{longueur} \ovalnum{20}} %} %\end{scratch}\\ %\end{tabularx} %\end{center} % %\medskip \begin{enumerate} \item On exécute le script 1 ci-dessus. Représenter le chemin parcouru par le stylo sur l'ANNEXE à rendre avec la copie. Le tracé est en rouge sur l'ANNEXE. \item %Quel dessin parmi les trois ci-dessous correspond au script 2 ? %On expliquera pourquoi les deux autres dessins ne correspondent pas au script 2. %Chaque côté de carreau mesure 20 pixels. Le dessin 1 n'est pas correct car après avoir avancé deux fois de 20 on doit avancer de 40. Le dessin 3 n'est pas correct car on ne se dirige pas au départ vers le haut. Il reste donc le dessin 2 seul correct. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} \textbf{Dessin 1}&\textbf{Dessin 2} &\textbf{Dessin 3}\\ \psset{unit=4.5mm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(9,12) \multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,3)(\n,12)} \multido{\n=3+1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(9,\n)} \psframe(9,2) \rput(4.5,1){Position de départ} \psline[linewidth=1.5pt](1,4)(1,5)(2,5)(2,6)(3,6) \psline{->}(4.5,2)(1,4) \end{pspicture}& \psset{unit=4.5mm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(9,12) \multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,3)(\n,12)} \multido{\n=3+1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(9,\n)} \psframe(9,2) \rput(4.5,1){Position de départ} \psline[linewidth=1.5pt](1,4)(1,5)(2,5)(2,7)(4,7) \psline{->}(4.5,2)(1,4) \end{pspicture}& \psset{unit=4.5mm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(9,12) \multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,3)(\n,12)} \multido{\n=3+1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(9,\n)} \psframe(9,2) \rput(4.5,1){Position de départ} \psline[linewidth=1.5pt](1,4)(2,4)(2,5)(4,5)(4,7) \psline{->}(4.5,2)(1,4) \end{pspicture} \end{tabularx} \end{center} \item On souhaite maintenant obtenir le motif représenté sur le dessin 4 : \begin{center} \psset{unit=4.5mm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(9,13) \multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,3)(\n,12)} \multido{\n=3+1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(9,\n)} \psframe(9,2) \uput[u](4.5,12){\textbf{Dessin 4}} \rput(4.5,1){Position de départ} \pspolygon[linewidth=1.5pt](1,4)(1,5)(3,5)(3,9)(5,9)(5,10)(6,10)(6,4) \psline{->}(4.5,2)(1,4) \end{pspicture} \end{center} Compléter sans justifier les trois cases du script 3 donné en ANNEXE à rendre avec la copie, permettant d'obtenir le dessin 4. Les compléments sont en rouge dans l'annexe. \item À partir du motif représenté sur le dessin 4, on peut obtenir le pavage ci-dessous : \begin{center} \psset{unit=4.5mm} \begin{pspicture}(24,18) \psline[linewidth=1.5pt](0,0)(1,0)(1,1)(3,1)(3,5)(5,5)(5,7)(3,7)(3,11)(1,11)(1,13)(3,13)(3,17)(5,17)(5,18)(7,18)(7,17)(9,17)(9,13)(11,13)(11,11)(9,11)(9,7)(7,7)(7,5)(9,5)(9,1)(11,1)(11,0)(13,0) \psline[linewidth=1.5pt](13,0)(13,1)(15,1)(15,5)(17,5)(17,7)(15,7)(15,11)(13,11)(13,13)(15,13)(15,17)(17,17)(17,18)(19,18)(19,17)(21,17)(21,13)(23,13)(23,11)(21,11)(21,7)(19,7)(19,5)(21,5)(21,1)(23,1)(23,0)(25,0) \psframe[linewidth=1.5pt](18,12)\psframe[linewidth=1.5pt](6,0)(12,18) \psframe[linewidth=1.5pt](18,6) \psline[linewidth=1.5pt](6,12)(6,18)\psline[linewidth=1.5pt](12,12)(12,18) \psline[linewidth=1.5pt](18,12)(18,18) \psline[linewidth=1.5pt](12,18)(19,18)\psline[linewidth=1.5pt](18,12)(23,12) \psline[linewidth=1.5pt](18,6)(19,6)\psline[linewidth=1.5pt](18,0)(23,0) \uput[ul](1,12){A} \uput[ul](6,12){B} \uput[dl](12,18){C} \uput[ur](13,12){D} \uput[ur](18,12){E} \uput[ur](0,6){F} \uput[ur](12,6){G} \multido{\n=4.5+3.0,\na=1+1}{6}{\rput(\n,14){\na}} \multido{\n=2.+3.0,\na=7+1}{7}{\rput(\n,9){\na}} \multido{\n=2.+3.0,\na=14+1}{7}{\rput(\n,3){\na}} \end{pspicture} \end{center} Répondre aux questions suivantes sur votre copie en indiquant le numéro du motif qui convient (on ne demande pas de justifier la réponse) : \begin{enumerate} \item Quelle est l'image du motif 1 par la translation qui transforme le point B en E ? Le motif 5. \item Quelle est l'image du motif 1 par la symétrie de centre B ? Le motif 9. \item Quelle est l'image du motif 16 par la symétrie de centre G ? Le motif 12. \item Quelle est l'image du motif 2 par la symétrie d'axe (CG) ? Le motif 5. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{{\large \textsc{Exercice 4}} \hfill 20 points} \medskip \begin{enumerate} \item Voici un tableau de valeurs d'une fonction $f$ : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &$-2$ &$-1$ &0 &1 & 3 & 4 & 5\\ \hline $f(x)$ &5 &3 &1 &$-1$ &$-5$ & $-7$ & $-9$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Quelle est l'image de $3$ par la fonction $f$ ? L'image de $3$ par la fonction $f$ est $f(3) = - 5$. \item Donner un nombre qui a pour image $5$ par la fonction $f$. On a $f(- 2) = 5$, donc $- 2 $ a pour image 5 par la fonction $f$. \item Donner un antécédent de $1$ par la fonction $f$. On a $f(0) = 1$, donc 1 a pour antécédent $0$ par $f$. \end{enumerate} \item On considère le programme de calcul suivant: \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline Choisir un nombre\\ Ajouter 1\\ Calculer le carré du résultat\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Quel résultat obtient-on en choisissant $1$ comme nombre de départ? On a $1 \to 1 + 1 = 2 \to 2^2 = 4$ : 1 donne 4 comme résultat. Et en choisissant $- 2$ comme nombre de départ ? On a $- 2 \to - 2 + 1 = -1 \to (- 1)^2 = 1$ : $- 2$ donne 1 comme résultat. \item On note $x$ le nombre choisi au départ et on appelle $g$ la fonction qui à $x$ fait correspondre le résultat obtenu avec le programme de calcul. Exprimer $g(x)$ en fonction de $x$. On a $x \to x + 1 \to (x + 1)^2$. Donc $g(x) = (x + 1)^2$. \end{enumerate} \item La fonction $h$ est définie par $h(x) = 2x^2 - 3$. \begin{enumerate} \item Quelle est l'image de $3$ par la fonction $h$ ? On a $h(3) = 2 \times 3^2 - 3 = 2 \times 9 - 3 = 18 - 3 = 15$. \item Quelle est l'image de $-4$ par la fonction $h$ ? On a $h(- 4) = 2 \times (- 4)^2 - 3 = 2 \times 16 - 3 = 32 - 3 = 29$. \item Donner un antécédent de $5$ par la fonction $h$. En existe-t-il un autre ? Il faut trouver $x$ tel que $2x^2 - 3 = 5$, soit $2x^2 = 8$ ou $x^2 = 4$ ou $x^2 - 4 = 0$, c'est-à-dire $(x - 2)(x + 2) = 0$ et enfin $\left\{\begin{array}{l c l} x - 2&=&0\\ x + 2&=&0 \end{array}\right.$ : il y a deux solutions : 2 et $- 2$. \end{enumerate} \item On donne les trois représentations graphiques suivantes qui correspondent chacune à une des fonctions $f$, $g$ et $h$ citées dans les questions précédentes. Associer à chaque courbe la fonction qui lui correspond, en expliquant la réponse. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} \psset{unit=4.5mm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-4,-5)(4,6) \rput(0,5.5){Représentation \no 1} \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-4.9)(4,5) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-2}{5}{1 2 x mul sub} \end{pspicture*} & \psset{xunit=4.4mm,yunit=2.2mm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-4,-4.5)(4,18.2) \rput(0,17){Représentation \no 2} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-4)(4,16) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-3.1}{3.1}{x dup mul 2 mul 3 sub} \end{pspicture*}& \psset{xunit=4.5mm,,yunit=4mm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-5,-1.5)(3,11) \rput(-1,10.5){Représentation \no 3} \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5,-1.5)(3,10) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-4.1}{2.1}{1 x add dup mul} \end{pspicture*}\\ \end{tabularx} \end{center} La représentation \no 1 est celle de $f$ : c'est la seule pour laquelle l'image de 1 est $-1$. La représentation \no 2 est celle de $h$ : on a bien $h(0) = - 3$. La représentation \no 3 est celle de $g$ : on a bien $g(0) = 1$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{{\large \textsc{Exercice 5}} \hfill 19 points} \medskip Une urne contient 20 boules rouges, 10 boules vertes, 5 boules bleues et 1 boule noire. Un jeu consiste à tirer une boule au hasard dans l'urne. Lorsqu'un joueur tire une boule noire, il gagne 10 points. Lorsqu'il tire une boule bleue, il gagne 5 points. Lorsqu'il tire une boule verte, il gagne 2 points. Lorsqu'il tire une boule rouge, il gagne 1 point. \medskip \begin{enumerate} \item Un joueur tire au hasard une boule dans l'urne. \begin{enumerate} \item %Quelle est la probabilité qu'il gagne $10$ points? Il gagne 10 points s'il tire une boule noire ; il y a 1 boule noire sur un total de $20 + 10 + + 5 + 1 = 36$ : la probabilité est égale à $\dfrac{1}{36}$. \item %Quelle est la probabilité qu'il gagne plus de $3$ points? Il gagnera plus de 3 points s'il tire une boule noire (1 seule) ou une boule bleue (5 boules bleues) : la probabilité est égale à $\dfrac{6}{36} = \dfrac{6 \times 1}{6 \times 6} = \dfrac16$. \item %A-t-il plus de chance de gagner $2$ points ou de gagner $5$ points ? Il y a plus de boules vertes que de boules bleues : Il a plus de chance de gagner $2$ points que de gagner $5$ points. \end{enumerate} \item~ %\begin{minipage}{0.48\linewidth} %Le tableau ci-contre récapitule les scores obtenus par 15 joueurs: \begin{enumerate} \item %Quelle est la moyenne des scores obtenus par ces joueurs ? La moyenne des scores est : $\dfrac{2 + 1 + 1 + \ldots + 2}{15} = \dfrac{50}{15} = \dfrac{5 \times 10}{5 \times 3} = \dfrac{10}{3} = 3,333$~(points). \item %Quelle est la médiane des scores ? Les scores sont dans l'ordre croissant : 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 \ldots : la médiane est entre la 7\up{e} et la 8\up{e} valeur soit 2. \item %Déterminer la fréquence du score \og 10 points \fg. La fréquence du score 10 est $\dfrac{2}{15}$. \end{enumerate} %\end{minipage} \hfill %\begin{minipage}{0.48\linewidth} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %\textbf{JOUEUR}&\textbf{SCORE}\\ \hline %JOUEUR A&2 points\\ \hline %JOUEUR B& 1 point\\ \hline %JOUEUR C&1 point\\ \hline %JOUEUR D&5 points \\ \hline %JOUEUR E&10 points\\ \hline %JOUEUR F&2 points\\ \hline %JOUEUR G&2 points\\ \hline %JOUEUR H&5 points\\ \hline %JOUEUR I&1 point\\ \hline %JOUEUR J&2 points\\ \hline %JOUEUR K&5 points\\ \hline %JOUEUR L&10 points\\ \hline %JOUEUR M&1 point\\ \hline %JOUEUR N&1 point\\ \hline %JOUEUR O&2 points\\ \hline %\end{tabularx} %\end{minipage} \item Mille joueurs ont participé au jeu. Peut-on estimer le nombre de joueurs ayant obtenu le score de $10$ points ? La réponse, affirmative ou négative, devra être argumentée. On a vu à la question \textbf{1. a.} que la probabilité du score 10 points est égale à $\dfrac{1}{36}$. Donc pour \np{1000} joueurs il y aura à peu près : $\np{1000} \times \dfrac{1}{36} = \dfrac{\np{1000}}{36} = \dfrac{250}{9} \approx 27,7$ Environ 28 joueurs auront un score de 10 points. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE à compléter et à rendre avec la copie } \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 3. Question 1} \medskip \begin{minipage}{0.48\linewidth} \psset{unit=5mm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(10,12) \multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,3)(\n,12)} \multido{\n=3+1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(9,\n)} \multido{\n=0+1}{10}{\multido{\na=3+1}{10}{\psdots(\n,\na)}} \psframe(9,2) \rput(4.5,1){Position de départ} \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](1,4)(1,5)(3,5)(3,6)(5,6) \psline{->}(4.5,2)(1,4) \end{pspicture} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.48\linewidth} Chaque côté de carreau mesure 20 pixels. La position de départ du stylo est indiquée sur la figure ci-contre. \end{minipage} \bigskip \textbf{Exercice 3. Question 3} %\begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(12,12) %\psgrid \rput(1,11.5){Script 3}\psframe(0,11)(2,12) \psline{->}(8,6)(2,6) \psline{->}(8,1.5)(2,1.5) \psline{->}(8,-1.5)(2,-1.5) \rput(8,2.25){\psscaleboxto(1,8){\}}} \rput(2,4){\begin{scratch}[scale=0.8] \blockinit{Quand \greenflag est cliqué} \blockpen{effacer tout} \blockpen{stylo en position d'écriture} \blockmove{s’orienter à \ovalnum{0}} \blockmove{avancer de \ovalnum{20}} \blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés} \blockmove{avancer de {\red 40}} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés} \blockmove{avancer de \ovalnum{80}} \blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés} \blockmove{avancer de \ovalnum{40}} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés} \blockmove{avancer de {\red 20}} \blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés} \blockmove{avancer de \ovalnum{20}} \blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés} \blockmove{avancer de {\red 120}} \blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés} \blockmove{avancer de \ovalnum{100}} \end{scratch}} \rput(10.5,2.2){Trois cases à compléter} \psframe(8.5,1.7)(13,2.7) \end{pspicture} %\end{center} \end{document}