\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} 
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{25cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du brevet des collèges},
pdftitle = {Pondichéry  avril 2012},
allbordercolors = white} 
\thispagestyle{empty}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small avril 2012}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Pondichéry   ~\decofourright\\avril 2012}}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Activités numériques \hfill 12 points }

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

%Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110~cm de longueur et de 88~cm de largeur. Il a reçu la consigne suivante :
%
%\medskip
% 
%\textbf{\og Découpe dans ces plaques des carrés tous identiques, dont les longueurs des côtés sont un nombre entier de cm, et de façon à ne pas avoir de perte. \fg}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Peut-il choisir de découper des plaques de 10~cm de côté ? Justifier votre réponse.
Non ! Car $88 = 10 \times 8 + 8$ : on perdra en largeur 8 cm.  
\item %Peut-il choisir de découper des plaques de 11~cm de côté ? Justifier votre réponse.
Oui ! Car $110 = 11 \times 10$ et $88 = 11 \times 8$. 
\item %On lui impose désormais de découper des carrés les plus grands possibles. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle sera la longueur du côté d'un carré ?
Calculons le PGCD à 110 et 88 avec l'algorithme d'Euclide :
		
$110 = 88 \times 1 + 22$ ;

$88 = 22 \times 4 + 0$.

Donc le PGCD a 110 et à 88 est 22.

On a $110 = 22 \times 5$ et $88 = 22 \times 4$. 
		\item %Combien y aura-t-il de carrés par plaques ?
On pourra découper sur une plaque 5 carrés sur le longueur et 4 sur la largeur soit $5 \times 4 = 20$ carrés de 22~cm de côté.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

%\emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation}
%
%\medskip
% 
%La note de restaurant suivante est partiellement effacée.  
%
%Retrouvez les éléments manquants; en présentant les calculs effectués dans le tableau fourni en \textbf{Annexe 1}.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|X>{\raggedleft \arraybackslash}X|}\hline
%\multicolumn{2}{|c|}{RESTAURANT \og la Gavotte \fg }\\ \hline
%4 menus à 16,50~\euro{} l'unité	& \ldots\ldots \\ 
%1 bouteille d'eau minérale 		&\ldots\ldots\\ 
%3 cafés à 1,20~\euro{} l'unité	&\ldots\ldots\\  
%\textbf{Sous total} 			&\ldots\ldots\\ 
%Service 5,5\:\% du sous total 	&4,18~\euro{}\\ 
%\textbf{Total} 					&\ldots\ldots\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\bigskip
Si $s$ est le sous-total, on a $0,055s  = 4,18$, soit $s = \dfrac{4,18}{0,055} = 76$~\euro.

La bouteille d'eau coûte donc :

$76 - (66 + 3,60) = 76 - 69,60 = 6,40$~\euro.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

%Dans un pot au couvercle rouge on a mis 6 bonbons à la fraise et 10 bonbons à la menthe.
% 
%Dans un pot au couvercle bleu on a mis 8 bonbons à la fraise et 14 bonbons à la menthe.
% 
%Les bonbons sont enveloppés de telle façon qu'on ne peut pas les différencier.
% 
%Antoine préfère les bonbons à la fraise.
% 
%Dans quel pot a-t-il le plus de chance de choisir un bonbon à la fraise ?
% 
%Justifier votre réponse.
La probabilité de tirer un bonbon à la fraise dans le pot au couvercle rouge est égale à $\dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8} = 0,375$.

La probabilité de tirer un bonbon à la fraise dans le pot au couvercle bleu est égale à $\dfrac{8}{22} = \dfrac{4}{11} \approx  0,363$.

Il doit puiser dans le pot au couvercle rouge.
\vspace{0,5cm}

\textbf{Activités géométriques \hfill 12 points }

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

%Un jeune berger se trouve au bord d'un puits de forme cylindrique dont le diamètre vaut 75 cm : il aligne son regard avec le bord inférieur du puits et le fond du puits pour en estimer la profondeur.
%
%Le fond du puits et le rebord sont horizontaux. Le puits est vertical.

\begin{enumerate}
\item %En s'aidant du schéma ci-dessous (il n'est pas à l'échelle), donner les longueurs CB, FG, RB en mètres
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(10,9.5)
%%\psgrid
%\psline[linewidth=2pt](0,6)(3,6)\psline[linewidth=2pt](7,6)(10,6)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillstyle=vlines](0,6)(10,6)(10,0)(0,0)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=white](3.4,6.1)(6.6,6.1)(6.6,3)(3.4,3)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,8.5)(3.4,8.5)(3.4,3)(6.6,3)(6.6,8.5)(7,8.5)(7,2)(3,2)(3,8.5)
%\psline{<->}(3.4,6.5)(6.6,6.5)\uput[u](5,6.5){diamètre}\uput[d](5,6.5){75 cm}
%\psline{->}(6.,4)(6.6,4)\psline{->}(8.2,4)(7,4)\uput[u](9.15,4){épaisseur du mur : 20 cm}
%\psline(3.4,3)(7,9.2)\psline(7,8.5)(7,9.2)\rput(9,9.2){hauteur du regard : 1,80 m}
%\psline[linewidth=0.2pt](7,8.5)(8.5,8.5)\rput(9.,8.75){hauteur du rebord : 1 m}
%\uput[ur](3.4,3){F}\uput[ul](6.6,8.5){C}\uput[dr](7,8.5){B}\uput[dr](7,3){G}
%\rput(10.3,6){sol}\psline[linewidth=0.2pt](2.5,3)(7.5,3)\uput[ul](7,9.2){R}
%\end{pspicture}
%\end{center}
$\bullet~~$CB est égale à l'épaisseur du puits, soit 20~cm.

$\bullet~~$FG $ 75 + 20 = 95$~cm.

$\bullet~~$RB $ = 1,80 - 1 = 0,80$~m.
\item %Calculer la profondeur BG du puits.
Les conditions d'application du théorème de Thalès sont remplies. On peut donc écrire :

$\dfrac{\text{RB}}{\text{RG}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{FG}}$, soit $\dfrac{0,8}{\text{RG}} = \dfrac{0,20}{0,95}$ d'où $0,2\text{RG} = 0,8 \times 0,95 = 0,76$ et finalement en multipliant par 5 :

$\text{RG} = 3,8$~m.
\item %Le berger s'aperçoit que la hauteur d'eau dans le puits est 2,60 m.
 
%Le jeune berger a besoin de 1 m$^3$ d'eau pour abreuver tous ses moutons. 

%En trouvera-t-il suffisamment dans ce puits ?
L'eau a la forme d'un cylindre de 37,5~cm de rayon et 2,6~m de haut. Le volume est donc égal à 

$V = \pi \times 0,375^2 \times2,6 \approx 1,15$~m$^3$. Il aura assez d'eau.
\end{enumerate}
 
\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

%\parbox{0.5\linewidth}{Voici la figure à main levée d'un quadrilatère : 
\begin{enumerate}
\item ~%Reproduire en vraie grandeur ce quadrilatère.
On construit [ME] tel que ME = 5,6 cm, puis la médiatrice de ce segment qui coupe le cercle de centre Met de rayon 4 aux deux points O et L.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-3)(5,3)
%\psgrid
\psline(0,-2.8)(0,2.8)
\psarc(0,-2.8){3}{50}{80}
\psarc(0,-2.8){3}{110}{140}
\psarc(0,2.8){3}{-80}{-40}
\psarc(0,2.8){3}{-140}{-100}
\psline(-4.5,0)(4.5,0)
\psarc(0,-2.8){4}{40}{70}
\psarc(0,-2.8){4}{130}{160}
\pspolygon(0,-2.8)(2.8,0)(0,2.8)(-2.8,0)
\uput[dr](0,-2.8){M} \uput[ur](0,2.8){E}
\uput[r](2.8,0){L} \uput[l](-2.8,0){O}\uput[ur](0,0){H}
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Pourquoi peut-on affirmer que OELM est un losange ?
Un quadrilatère dont les côtés ont la même longueur est un losange. 
\item %Marie soutient que OELM est un carré, mais Charlotte est sûre que ce n'est pas vrai.
Soit H le milieu des diagonales. Dans le triangle MHL rectangle en H (dans un losange les diagonales sont perpendiculaires), le théorème de Pythagore s'écrit :

$\text{ML}^2 = \text{MH}^2 + \text{HL}^2$ ou  $\text{HL}^2 = \text{ML}^2 - \text{MH}^2 = 4^2 - 2,8^2 = 8,16$, d'où on tire 

HL $ = \sqrt{8,16} \approx 2,857$~cm ; donc OL $ \approx 5,714 \ne 5,6$ : les diagonales n'ont pas la même longueur ; le losange n'est pas un rectangle donc pas un carré. Marie a tort.
%Qui a raison ? Pourquoi ?
\end{enumerate}
%} \hfill
%\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\def\paral{\psline(-0.1,0.1)(0.1,-0.1)\psline(-0.05,0.1)(0.15,-0.1)}
%\begin{pspicture}(5,4)
%%\psgrid
%\psdots(0.25,3.5)(4,3.75)(4.75,0.5)(1,0.25)%OE?M
%\pscurve(0.25,3.5)(2.2,3.625)(4,3.75)
%\pscurve(4,3.75)(4.5,2.2)(4.75,0.5)
%\pscurve(4.75,0.5)(2.8,0.3)(1,0.25)
%\pscurve(1,0.25)(0.6,1.8)(0.25,3.5)
%\pscurve(1,0.25)(2.6,1.9)(4,3.75)
%
%\rput(2.2,3.6){\paral}\rput{80}(4.45,2.4){\paral}\rput(2.8,0.3){\paral}\rput{80}(0.6,1.8){\paral}
%\uput[ul](0.25,3.5){O}\uput[ur](4,3.75){E}\uput[dl](1,0.25){M}
%\rput(2.8,0.7){4 cm}\rput{45}(2.5,2.3){5,6 cm}
%\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 12 points }

\bigskip  

%\parbox{0.5\linewidth}{On rappelle que l'aire d'un triangle se calcule par la formule :
%
%\begin{center}$\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} $\end{center} 
%}\hfill
%\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(5,4)
%\pspolygon(0,0.5)(5,0.5)(2,3.5)
%\psline(2,3.5)(2,0.5)
%\psframe(2,0.5)(2.3,0.8)
%\uput[d](2.5,0.5){base}\uput[r](2,2){hauteur}
%\end{pspicture}}
%
%\medskip
%
%Rémy dispose de 96~m de grillage avec lesquels il souhaite construire un enclos pour son poney. Il cherche quelle forme donner à son enclos pour que celui-ci ait \textbf{la plus grande surface possible}.
% 
%\begin{center}\textbf{Toutes les parties sont indépendantes} \end{center} 

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
%Sa première idée est de réaliser un rectangle avec les 96 m de grillage.
% 
%Calculer la longueur et la largeur de ce rectangle sachant que : 
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item la longueur est le double de la largeur. 
%\item son périmètre est 96~m.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Calculer l'aire de ce rectangle de 96~m de périmètre. 
Avec des notations classiques : $L = 2l$, d'où 2(L + l) = 96$ ou 2(2l + l) = 96$ ou encore $6l = 96$, soit $l = 16$~m et $L = 32$~m.

L'aire de ce rectangle est donc égale à $L \times l = 32 \times 16 = 512$~m$^2$.
\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip
 
%Sa deuxième idée est de réaliser un carré. 
%
%Calculer l'aire d'un carré de 96~m de périmètre. 
Si $c$ est la mesure ce chaque côté, on a $4c = 96$ soit $c = 24$~m.

L'aire du carré est égale à $c^2 = 24^2 = 576$~m$^2$ (soit plus que l'aire du rectangle).
\bigskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

%\parbox{0.45\linewidth}{Sa troisième idée est de réaliser un hexagone régulier. 
%
%Le schéma à main levée ci-contre représente un hexagone régulier ABCDEF de 96 m de périmètre. Il est inscrit dans un cercle de 
%centre 0 et de rayon 16 m. Le segment [OH] est une hauteur du triangle équilatéral OBA.}\hfill 
%\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
%%\psgrid
%\psdots(2;0)(2;60)(2;120)(2;180)(2;240)(2;300)%CDEFAB
%\pscircle(0,0){2}
%\pscurve(2;0)(1.7;30)(2;60)
%\pscurve(2;60)(1.8;90)(2;120)
%\pscurve(2;120)(1.7;150)(2;180)
%\pscurve(2;180)(1.8;210)(2;240)
%\pscurve(2;240)(1.7;270)(2;300)
%\pscurve(2;0)(1.8;-30)(2;300)
%\pscurve(0;0)(1;2)(2;0)
%\pscurve(0;0)(1;59)(2;60)
%\pscurve(0;0)(1;121)(2;120)
%\pscurve(0;0)(1;179)(2;180)
%\pscurve(0;0)(1;242)(2;240)
%\pscurve(0;0)(1;298)(2;300)
%\pscurve(0;0)(0.8;-92)(1.732;-90)
%\uput[r](2;0){C}\uput[ur](2;60){D}\uput[ul](2;120){E}\uput[l](2;180){F}\uput[dl](2;240){A}\uput[dr](2;300){B}\uput[ul](1.732;-90){H}\uput[u](0,0){O}
%\psframe(0,-1.7)(0.2,-1.5)
%\end{pspicture}}

\begin{enumerate}
\item %Calculer la longueur OH, exprimée en m. 
Chacun des triangles OCD, ODE, etc. est isocèle avec un angle au sommet de 60\degres ; ils sont donc équilatéraux, donc en particulier AB $= R$, \:$R$ étant le rayon du cercle.

Comme $6R = 96$, \:$R = 16$~m.

Dans le triangle OAB équilatéral, OH, hauteur est également médiane, donc H est le milieu de [AB]. BH = 8.

Dans le triangle OBH rectangle en H le théorème de Pythagore permet d'écrire  : 

$\text{OB}^2 = \text{OH}^2 + \text{HB}^2$ d'où $\text{OH}^2 = \text{OB}^2 - \text{BH}^2 = 16^2 - 8^2 = 256 - 64 = 192$. D'où $\text{OH} = \sqrt{192} \approx 13,856$~m soit 13,86~m au centimètre près. 
%En donner l'arrondi au centimètre près. 
\item %Utiliser ce résultat pour calculer l'aire du triangle OBA, exprimée en m$^2$ et arrondi au 1/10.
L'aire du triangle OBA est donc égale à $\dfrac{16 \times 13,86}{2} = 8 \times 13,86 = 110,88$~m$^2$. 
\item %En déduire l'arrondi à l'unité de l'aire d'un hexagone régulier de 96~m de périmètre.
L'aire de l'hexagone est donc égale à $6 \times 110,88 = 665,28$~m$^2$. L'aire est plus grande. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 4}

\medskip
 
%Sa quatrième idée est de réaliser un octogone régulier de 96~m de périmètre. 
%
%La figure en \textbf{annexe 2} représente le plan réalisé par Rémy.
% 
%Cet octogone est inscrit dans un cercle de centre I. Le segment [IK] est une hauteur du triangle isocèle IMN.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que MN = 12~m dans la réalité.
Puisque l'octogone est régulier part MN $= \dfrac{96}{8} = 12$~m.

%
%Dans le triangle IKM rectangle en K, on a  
\item %En prenant pour échelle 1~cm pour 3~m, représenter dans le cadre en \textbf{annexe 3} le triangle IMN, puis le point K. Laisser apparents tous les traits de construction.
On a puisque l'octogone est régulier : $\widehat{\text{MIN}} = \dfrac{360}{8} = 45$\degres, donc puisque IK hauteur est aussi bissectrice  $\widehat{\text{MIK}} = 22,5$\degres.

Donc $\widehat{\text{MNI}} = 90 - 22,5 = 67,5$\degres.

On construit donc un segment [MN] tel que MN = 4, sa médiatrice (en K)  et la demi-droite faisant avec (NM) un angle de 67,5\degres qui coupe la médiatrice en I.
\item %Mesurer sur votre plan la longueur IK.
On a IK $ \approx 4,8$~cm. 
%Combien de mètres cela représente-t-il dans la réalité ? 
Dans la réalité les longueurs sont 300 fois plus grandes, donc IK $ = \approx 14,40$~m.
\item %En déduire l'aire du triangle MIN, puis, à partir de cette valeur, calculer l'aire d'un octogone régulier de 96~m de périmètre.
l'aire du triangle MIN est donc égale à $\dfrac{\text{MN}\times \text{IK}}{2} \approx \dfrac{12 \times 14,4}{2} = 6 \times 14,4 = 86,4$~m$^2$.

L'aire de l'octogone est donc égale à $8 \times 86,4 = 691,2$~m$^2$. L'aire est encore plus grande.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie 5}

\medskip

%Les recherches ont permis à Rémy de remarquer que l'aire d'un polygone régulier de 96~m de périmètre semble augmenter quand on augmente le nombre de ses côtés. Il imagine qu'un enclos circulaire aurait peut-être une surface encore plus grande.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Quel rayon faut-il prendre pour avoir un disque de périmètre 96~m ? 
On doit avoir $2\piR = 96$ soit $\pi R = 48$ et $R = \dfrac{48}{\pi}$.
\item %En déduire l'aire d'un disque ayant pour périmètre 96~m. 
L'aire du disque est donc égale à :

$\pi \times R^2 = \pi \times \left(\dfrac{48}{\pi} \right)^2 = \dfrac{48^2}{\pi} \approx 733,386$~m$^2$.

C'est effectivement l'aire la plus grande.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center} \textbf{DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC VOTRE COPIE} \end{center}

\vspace{1cm}
 
\textbf{ANNEXE 1}

\bigskip
 
\textbf{Activités numériques, exercice 2}

\bigskip


 
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|X|c|r|}\hline
RESTAURANT \og la Gavotte \fg	&				&Calculs effectués\\ \hline 
4 menus à 16,50~\euro{} l'unité	&$4 \times 16,50$	&66,00~\euro\\ 
1 bouteille d'eau minérale		&$1 \times 6,40$	&6,40~\euro\\ 
3 cafés à 1,20~\euro{} l'unité 	&$3 \times 1,20$	&3,60~\euro\\
\textbf{Sous total}				&76					&76,00~\euro\\ 
Service 5,5\:\% du sous total	& 4,18~\euro{}		&4,18~\euro\\ \cline{3-3} 
\textbf{Total}					&					&80,18~\euro\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}
 
\textbf{ANNEXE 2}
\textbf{ Problème, partie 4}

\vspace{0,5cm}
 
\begin{center}\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\psdots(2;0)(2;45)(2;90)(2;135)(2;180)(2;225)(2;270)(2;315)(2;0)(2;0)(0;0)%CDEFAB
\pscircle(0,0){2}\psline(0;0)(1.852;22.5)
\uput[r](2;0){M}\uput[ur](2;45){N}\uput[ul](2;90){P}\uput[l](2;135){Q}\uput[dl](2;180){R}\uput[dl](2;225){S}\uput[d](2;-90){T}\uput[dr](2;-45){U}\uput[ul](0;0){I}\uput[ul](1.732;22.5){K}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](2;0)(2;45)(2;90)(2;135)(2;180)(2;225)(2;270)(2;315)(2;0)
\psline[linewidth=1.25pt](2;0)(2;180)
\psline[linewidth=1.25pt](2;45)(2;225)
\psline[linewidth=1.25pt](2;90)(2;270)
\psline[linewidth=1.25pt](2;135)(2;315)

\end{pspicture}

\end{center}

\bigskip

\textbf{ANNEXE 3 Problème, partie 4. 2.}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-2)(6,6)
%\psgrid
\psframe(-6,-2)(6,6)
\psline(-2,-1)(2,-1)%MN
\uput[l](-2,-1){M}\uput[r](2,-1){N}
\psline(0,-1)(0,5)
\psframe(0,-1)(0.25,-0.75)
\psarc(2,-1){5.226}{100}{130}
\psarc(2,-1){0.75}{112.5}{180}
\psline(2,-1)(0,3.8)(-2,-1)\uput[ul](0,3.8){I}
\uput[d](0,-1){K}
\end{pspicture} 
\end{document}