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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des  collèges}
\lfoot{\small{Centres étrangers II}} 
\rfoot{\small{juin 2009}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges juin 2009 \decofourright\\ 
Centres étrangers II}} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

Calculatrice autorisée \hfill 2 heures 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Exercice 1}
 
\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera 1~point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point.\\ 
%Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse.}
%
%\bigskip
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline 
%N°& Question& Réponse A &Réponse B &Réponse C \\ \hline
%1 &$4,25 =$ &$4 + \dfrac{25}{10}$&$\dfrac{17}{4}$& $3 + 1 \times 0,25$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline  
%2&$\dfrac{82}{7} = $&82,7&11,714&$11 + \dfrac{5}{7}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline  
%3& $\sqrt{500} - \sqrt{45} =$ &$7\sqrt{5}$& $\sqrt{455}$& 15,65\\ \hline  
%4 &les solutions de $(3x - 2)(x + 5) = 0$ sont :& $\dfrac{2}{3}$ et $-5$&$\dfrac{3}{2}$ et $-5$&$- \dfrac{2}{3}$ et 5\\ \hline
%\end{tabularx}
%\renewcommand{\arraystretch}{1}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{17}{4} = \dfrac{8,5}{2} = 4,25$.
\item $\dfrac{82}{7} = \dfrac{77 + 5}{7} = \dfrac{77 }{7} + \dfrac{5}{7} = 11 + \dfrac{5}{7}$.
\item  $\sqrt{500} - \sqrt{45} = \sqrt{100 \times 5} - \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{100} \times \sqrt{5} - \sqrt{9}\times \sqrt{5} = 10\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 7\sqrt{5}$.
\item $(3x - 2)(x + 5) = 0$ si, ou $3x - 2 = 0$ ou $x + 5 = 0$, soit si, ou $x = \dfrac{2}{3}$ ou $x = - 5$.
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}
 
\begin{enumerate}
\item %Comment, sans calcul, peut-on justifier que la fraction $\dfrac{\np{1848}}{\np{2040}}$ n'est pas irréductible ?
Les deux termes de la fraction sont pairs : on peut donc déjà simplifier par 2.
\item %Calculer le PGCD des nombres \np{1848} et \np{2040} en indiquant la méthode.
Algorithme d'Euclide :

$\np{2040} =  \np{1848} \times 1 +  192$ ;

$\np{1848}  = 192\times 9 +  120$ ;

$192 = 120\times 1 +  72$ ;

$120 = 72\times 1 +  48$ ;

$72 = 48 \times 1 +  24$ ;

$48 = 24 \times 2 +  0$. 

Le PGCD à \np{1848} et \np{2040} est $24$.
\item %Simplifier la fraction $\dfrac{\np{1848}}{\np{2040}}$ pour la rendre irréductible.
$\dfrac{\np{1848}}{\np{2040}} = \dfrac{24 \times 77}{24 \times 85} = \dfrac{77}{85}$.
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 3}

%\emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\medskip
% 
%Anatole affirme :
% 
%\og pour tout nombre entier naturel $n$, l'expression $n^2 - 24n + 144$ est toujours différente de zéro. \fg
% 
%A-t-il raison ? 
$n^2 - 24n + 144 = (n - 12)^2$ (identité remarquable) : ce nombre est nul si $n = 12$. Anatole a tort. 

\bigskip 

\textbf{Exercice 4}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Pierre a lancé dix fois un dé cubique (non truqué). À chaque fois, il a obtenu 6. Il lance ce dé une 11\up{e} fois.
 
%Quelle est la probabilité d'obtenir 6 au 11\up{e} lancer ?
Il a toujours une probabilité de $\dfrac{1}{6}$. 
\item %Dans une classe, un sondage a été fait auprès des élèves pour connaître leur animal préféré. Les résultats sont illustrés dans le graphique ci-dessous.

%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{yunit=1cm,xunit=1.4cm}
%\begin{pspicture}(7,7)
%\psframe(7,7)
%\psaxes[Dx=10](0,0)(7,7)
%\multido{\n=0+1}{8}{\psline(0,\n)(7,\n)}
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.7,0)(1.3,6) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.7,0)(2.3,5) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.7,0)(3.3,3) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.7,0)(4.3,2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.7,0)(5.3,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.7,0)(6.3,3)
%\uput[d](1,0){chien} \uput[d](2,0){chat} \uput[d](3,0){dauphin} 
%\uput[d](4,0){perroquet} \uput[d](5,0){lion} \uput[d](6,0){autres}  
%\end{pspicture}
%\end{center} 
%
%\bigskip
 
%Quelle est la fréquence d'apparition de la réponse \og chien \fg{}?
La fréquence est égale à $\dfrac{6}{6 + 5 + 3 + 2 + 1 + 3} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{2\times 3}{2 \times 10} = \dfrac{3}{10} = 0,3$. 
\item %On donne la série suivante : 3 ; 4 ; 6 ; 10 ; 13 ; 14 ; 17 ; 25 ; 26
 
%Quelle est la médiane de cette série  ?
La médiane est égale à 13. 
%Quel est le premier quartile de cette série ?
Le premier quartile est par exemple 5.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill 12 points}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
%Sur la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur, le quadrilatère BREV est un rectangle avec BR = 13~cm et BV = 7,2~cm.
% 
%Le point T est sur le segment [VE] tel que VT = 9,6~cm.
%
%N est le point d'intersection des droites (BT) et (RE). 
%
%\bigskip
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(7,6)
%%\psgrid
%\psframe(0,2)(7,6) \psline(7,0)(7,2)
%\psline(0,6)(7,0)
%\uput[ul](0,6){B} \uput[ur](7,6){R} \uput[dr](7,2){E} 
%\uput[dl](0,2){V} \uput[r](7,0){N} \uput[ur](4.62,2){T} 
%\uput[u](3.5,6){13} \uput[l](0,4){7,2} \uput[d](2.31,2){9,6} 
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la longueur TE est égale à 3,4~cm.
BREV étant un rectangle ses côtés opposés ont la même longueur ; en particulier BE = VE = VT + TE, soit $13 = 9,6 + \text{TE}$ et $\text{TE} = 13 - 9,6 = 3,4$~cm. 
\item %Calculer la longueur BT.
BREV étant un rectangle,le triangle BVT est rectangle en V ; le théorème de Pythagore permet d'écrire :

$\text{BT}^2 = \text{BV}^2 + \text{VT}^2 = 7,2^2 + 9,6^2 = 51,84 + 92,16 = 144 = 12^2$ ; donc BT $ = 12~$cm. 
\item %Calculer la longueur EN.
BREV étant un rectangle ses côtés opposés sont parallèles ; en particulier (BV) et (RN) ; la propriété de Thalès permet d'écrire que :

$\dfrac{\text{TV}}{\text{BV}} = \dfrac{\text{TE}}{\text{EN}}$, d'où $\text{EN} = \dfrac{\text{BV}\times \text{TE}}{\text{TV}} = \dfrac{7,2 \times 3,4}{9,6} = 2,55$~cm.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip


\begin{enumerate}
\item %Construire un triangle équilatéral FIO de 5~cm de côté.
\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-3,-4.5)(8,4.5)
%\psgrid
\pspolygon(-2.5,0)(0,4.38)(2.5,0)%FIO
\uput[l](-2.5,0){F} \uput[u](0,4.38){I} \uput[r](2.5,0){O}
\psline(0,4.38)(5,-4.38)\uput[r](5,-4.38){R} 
\psarc(-2.5,0){5}{50}{70}
\psarc(2.5,0){5}{110}{130}
\psline(0,4.38)(0,-4.38)\uput[d](0,-4.38){E}
\psline(2.5,0)(7.5,0)\uput[r](7.5,0){U}
\psarc(0,4.38){5}{-10}{10}
\psarc(2.5,0){5}{50}{70}\uput[ur](5,4.38){G}
\pspolygon[linecolor=cyan](-2.5,0)(0,4.38)(5,4.38)(7.5,0)(5,-4.38)(0,-4.38)
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Construire le point R, symétrique de I par rapport au point O.
Voir tous les tracés ci-dessus. 
\item %Construire le point E, symétrique de I par rapport à la droite (OF). 
\item %Construire le point U, symétrique de F par rapport au point O. 
\item %Construire le point G, symétrique de F par rapport à la droite (IO). 
\item %Tracer le polygone FIGURE. Quelle semble être sa nature ?
FIGURE semble être un hexagone régulier de côté 5~cm.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 3} 

\medskip

%Dans la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur, on a :
% 
%E $\in $ [RD], C $\in $ [RU], RE = 3~cm, ED = 1,5~cm, RC = 2~cm et RU = 3~cm. 
%
%\bigskip
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(5,3.5)
%%\psgrid
%\pspolygon(0.3,0.15)(4.3,0.6)(0,3)
%\psline(2.86,0.45)(0.1,2)
%\uput[dl](0.3,0.15){R} \uput[dr](4.3,0.6){U} \uput[ul](0,3){D} 
%\uput[dr](2.86,0.45){C} \uput[ul](0.1,2){E}
%\rput{7}(0.3,0.15){\psframe(0,0)(0.3,0.3)}  
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que les droites (EC) et (DU) sont parallèles.
On a $\dfrac{\text{RE}}{\text{RD}} = \dfrac{3}{3+1,5} = \dfrac{3}{4,5} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}$ ;   $\dfrac{\text{RC}}{\text{RU}} = \dfrac{2}{3}$.

On a donc :  $\dfrac{\text{RE}}{\text{RD}} =\dfrac{\text{RC}}{\text{RU}}$ qui montre par réciproque de la propriété de Thalès que les droites (EC) et (DU) sont parallèles.
\item %Calculer le rapport d'agrandissement permettant de passer du triangle REC au triangle RDU.
On a vu que le rapport des longueurs des côtés des deux triangles est égal à $\dfrac{2}{3}$. 
\item %Montrer que l'aire du triangle RDU est égale à 2,25 fois l'aire du triangle REC.
Inversement les longueurs des côtés du triangle RDU sont égales à celles du triangle REC multipliées par $\dfrac{3}{3} = 1,5$.

Comme l'aire fait intervenir deux dimensions du triangle l'aire du triangle RDU est égale à celle du triangle REC multipliée par $1,5^2 = 2,25$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

%Une lanterne, entièrement vitrée, a la forme d'une pyramide reposant sur un parallélépipède rectangle ABCDEFGH.
% 
%S est le sommet de la pyramide.
% 
%O est le centre du rectangle ABCD.
%
%SO est la hauteur de la pyramide. 
%
%\psset{unit=1.25cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(3,6)
%\psframe(0,0)(1.8,2.4)%EFBA
%\psline(1.8,0)(2.9,1)(2.9,3.5)(1.4,5.6)(1.8,2.4)(2.9,3.5)%FGCSBC
%\psline(1.4,5.6)(0,2.4)%SB
%\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.2,1)(1.2,3.5)(1.4,5.6)(1.5,2.95)
%\pspolygon[linestyle=dashed](0,2.4)(2.9,3.5)(1.2,3.5)
%\psline[linestyle=dashed](1.2,3.5)(1.8,2.4)
%\psline[linestyle=dashed](1.2,1)(2.9,1)
%\uput[dl](0,0){E} \uput[dr](1.8,0){F} \uput[r](2.9,1){G} \uput[ul](1.2,1){H} 
%\uput[ul](0,2.4){A} \uput[dr](1.8,2.4){B} \uput[ur](2.9,3.5){C} \uput[ul](1.2,3.5){D} 
%\uput[u](1.4,5.6){S} \uput[dl](1.5,2.95){O}
%\uput[d](0.9,0){10 cm}\uput[r](2.35,0.5){10,5 cm} \uput[r](2.9,2.25){14 cm}
%\end{pspicture}
%\end{center} 

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
%Dans cette partie, la hauteur SO est égale à 12~cm. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le volume du parallélépipède rectangle ABCDEFGH.
$V_{\text{ABCDEFGH}} = \text{EF} \times \text{FG} \times \text{GC} = 10 \times 10,5 \times 14 = 105 \times 14  = \np{1470}$~cm$^3$. 
		\item %Calculer le volume de la pyramide SABCD.
$V_{\text{SABCD}} = \dfrac{\mathcal{A}(\text{ABCD}) \times \text{SO}}{3} = \dfrac{10\times 10,5 \times 12}{3} = 105 \times 4 = 420$~cm$^3$. 
		\item %En déduire le volume de la lanterne.
Le volume de la lanterne est donc égal à $\np{1470} + 420 = \np{1890}$~cm$^3$.
	\end{enumerate} 
\item %Sachant que le segment [OC] mesure 7,25~cm, calculer une valeur approchée à 0,1 degré près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{OSC}}$.
[OS] est perpendiculaire à [OC] ; dans le triangle SHC rectangle en O, on a $\tan \widehat{\text{OSC}} = \dfrac{\text{OC}}{\text{OS}} = \dfrac{7,25}{12}$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{OSC}} \approx 31,139$ soit 31,1\degres{} au dixième de degré près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip
 
%Dans cette partie, on désigne par $x$ la hauteur SO en cm de la pyramide SABCD.
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que le volume en cm$^3$ de la lanterne est donné par : 
Le volume du parallélépipède est toujours égal à \np{1470}~cm$^3$ ; le volume de la pyramide est celui de partie précédente en remplaçant 12 par $x$ ; son volume est donc égal à  \dfrac{10\times 10,5 \times x}{3} = \dfrac{105x}{3}= 35x$~cm$^3$.

Le volume de la lanterne est donc égal à  $V(x) = \np{1470} + 35x$.
\item %Calculer ce volume pour $x = 7$.
On a $V(7) = \np{1470} + 35 \times 7 = \np{1470} + 245 = \np{1715}$~cm$^3$.
\item %Pour quelle valeur de $x$ le volume de la lanterne est-il de \np{1862}~cm$^3$ ?
Il faut trouver $x$ tel que :

$\np{1470} + 35x = \np{1862}$ soit $35x = \np{1862} - \np{1470}$ ou $35x = 392$ et enfin  

$x = \dfrac{392}{35}= 11,2$~cm. 
\item \fbox{=1470+35*A2}
%Un tableur est utilisé pour calculer le volume de la lanterne, noté $V(x)$, pour plusieurs valeurs de $x$, hauteur de la pyramide. 

%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B \\ \hline
%1&$x$&$V(x)$\\ \hline
%2&&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2.3,0.5)
%\psframe(2.3,0.5)\end{pspicture}\\ \hline
%3&&\\ \hline
%4&&\\ \hline
%5&&\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%Parmi les formules ci-dessous, recopier celle que l'on  peut saisir dans la case B2 pour obtenir le calcul du volume de la lanterne :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} 
%$\fbox{1470+35*A2}$&$\fbox{=1470+35/A2}$&$\fbox{=1470+35*A2}$\\ 
%\end{tabularx}
\end{enumerate}

\textbf{Partie 3}

\medskip


%On s'intéresse à la surface vitrée de la lanterne.
% 
%Le graphique ci-dessous est celui de la fonction $f$ qui à $x$ associe l'aire, en cm$^2$, de cette surface vitrée.
%
%\medskip

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.05cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,780)(14.5,1020)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=780,Dy=20]{->}(0,780)(14.5,1020)
\multido{\n=0+0.5}{30}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,780)(\n,1020)}
\multido{\n=780+10}{25}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(14.5,\n)}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{14.5}{x 2 exp 27.5625 add sqrt 10 mul  x 2 exp 25 add sqrt 10.5 mul add 679 add}
\rput(12,785){hauteur de la pyramide (en cm)}
\rput(3,1025){aire de la surface vitrée $\left(\text{en cm}^2\right)$}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](11,780)(11,927.784)(0,927.784)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,850)(6.58,850)(6.58,780)
\end{pspicture}

\end{center} 

\bigskip

\begin{enumerate}
\item %La fonction $f$ est-elle une fonction affine ?
Non car la représentation graphique n'est pas une droite.
\item %Lire sur le graphique une valeur approchée de $f(11)$.
On lit $f(11) \approx 928$~cm$^3$. 
\item %Lire sur le graphique une valeur approchée de l'antécédent de $850$.
On lit que 6,6 est à peu près l'antécédent de 850. 
\end{enumerate}
\end{document}