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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Merci à Brigitte Bourgoin pour le sujet 
%Corrigé : François Hache
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS groupement E},
pdftitle = {septembre 2020 Concepteur en art et industrie céramique, Design de communication espace et volume, Design d'espace, Design de produits},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\footnotesize{Groupement E -- corrigé}}
\rfoot{\small{septembre 2020}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS  --  Groupement E -- septembre 2020 ~\decofourright}}

%\vspace{0,25cm}
%
%Le sujet contient deux annexes à rendre avec la copie

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\vspace{0,5cm}

Un menuisier souhaite réaliser des meubles à placer dans les combles d'une maison. Une représentation du meuble en perspective parallèle est fournie ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.8,5.5)
%\psgrid
\psline(0,0)(3.7,0)(5.4,1.1)(5.4,5.15)(3.7,4.1)(3.7,0)
\psline(5.4,5.15)(3.4,5.15)(1.7,4.1)(3.7,4.1)
\psline(3.4,5.15)(1.7,4.35)(0,3.3)(1.7,4.1)
\psline(0,3.3)(0,0)
\psline[linestyle=dashed](1.7,4.35)(1.7,1.05)(0,0)
\psline[linestyle=dashed](1.7,1.05)(5.4,1.1)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Ce meuble est inscrit dans un parallélépipède rectangle ABCDEFGH dont les dimensions sont AB = 80~cm, AD = 60~cm et AE = 90~cm.
On souhaite découper la partie supérieure du parallélépipède pour que le meuble puisse s'insérer dans la soupente de la chambre.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.5,6.1)
%\psgrid
\psframe(4.4,4.8)%BCGF
\psline(4.4,0)(6.3,1.2)(6.3,6)(4.4,4.8)%CDHG
\psline(6.3,6)(1.9,6)(0,4.8)%HEF
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.9,1.2)(1.9,6)%%BAE
\psline[linestyle=dashed](1.9,1.2)(6.3,1.2)%AD
\psline(0,3.84)(2.2,4.8)(4.1,6)%MNP
\psline[linestyle=dashed](4.1,6)(1.9,4.8)(0,3.84)%PQM
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2.2,4.8)(6.3,1.2)(0,3.84)(1.7,1.05)(2.1,1.2)(1.9,1.4)(1.9,1.2)(0,0)(4.4,0)(6.3,1.2)(1.9,6)(0,4.8)(4.4,4.8)(6.3,6)
\uput[ul](1.9,1.2){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](4.4,0){C} \uput[r](6.3,1.2){D}
\uput[u](1.9,6){E} \uput[ul](0,4.8){F} \uput[r](4.4,4.8){G} \uput[ur](6.3,6){H} 
\uput[l](0,3.84){M} \uput[d](2.2,4.8){N} \uput[u](4.1,6){P} \uput[ur](1.9,4.8){Q}
\uput[dr](1.7,1.05){\small I}\uput[d](2.1,1.2){\small J}\uput[ur](1.9,1.4){\small K} 
\end{pspicture}

\medskip

\emph{La représentation ci-dessus n'est pas à l'échelle}
\end{center}

Le menuisier doit réaliser 4 meubles.

%\emph{ Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}

\bigskip

\textbf{Partie A: Une contrainte angulaire}

\medskip

Afin que le meuble s'insère dans la soupente de la chambre, la mesure de l'angle $\widehat{\text{FMN}}$ doit être au minimum de $55\degres$.
On considère les points I, J, et K, respectivement situés sur [AB], [AD] et [AE] tels que \\
AI = AJ = AK $= 1~$cm.

On munit ainsi l'espace d'un repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AI}}~,~\vect{\text{AJ}}~,~\vect{\text{AK}}\right)$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans ce repère, le point C a pour coordonnées C\,(80~;~60~;~0).
		
Par lecture graphique, on donne les coordonnées des autres sommets du parallélépipède:

A\,(0~;~0~;~0), B\,(80~;~0~;~0), D\,(0~;~60~;~0), E\,(0~;~0~;~90), F\,(80~;~0~;~90), G\,(80~;~60~;~90) et H\,(0~;~60~;~90)

		\item Soit N le milieu du segment [FG]. %Déterminer les coordonnées de N.
		
Les coordonnées de N sont:
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l !{=} l !{=} l}
x_{\text N} & \dfrac{x_{\text F} + x_{\text G}}{2} & \dfrac{80+80}{2} & 80\\[8pt]
y_{\text N} & \dfrac{y_{\text F} + y_{\text G}}{2} & \dfrac{0+60}{2} & 30\\[8pt]
z_{\text N} & \dfrac{z_{\text F} + z_{\text G}}{2} & \dfrac{90 + 90}{2}&90
\end{array}
\right .$		
		
	\end{enumerate}
\item Le point M appartient au segment [BF], tel que $\vect{\text{BM}} = \dfrac{4}{5} \vect{\text{BF}}$. 

$\vect{\text{BM}} = \dfrac{4}{5} \vect{\text{BF}}
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x_{\text M} - x_{\text B} & \dfrac{4}{5} \left (x_{\text F} - x_{\text B}\right )\\[8pt]
y_{\text M} - y_{\text B} & \dfrac{4}{5} \left (y_{\text F} - y_{\text B}\right )\\[8pt]
z_{\text M} - z_{\text B} & \dfrac{4}{5} \left (z_{\text F} - z_{\text B}\right )
\end{array}
\right .
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x_{\text M} - 80 & \dfrac{4}{5} \left (80 -80\right )\\[8pt]
y_{\text M} - 0 & \dfrac{4}{5} \left (0 - 0\right )\\[8pt]
z_{\text M} - 0 & \dfrac{4}{5} \left (90 - 0\right )
\end{array}
\right .
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x_{\text M}  & 80\\[8pt]
y_{\text M}  & 0\\[8pt]
z_{\text M}  & 72
\end{array}
\right .
$

Donc les coordonnées de M sont (80~;~0~;~72).
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{MN}}$ et $\vect{\text{MF}}$.
Le vecteur $\vectt{MN}$ a pour coordonnées
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l  !{=} l}
x_{\text N} - x_{\text M} & 80-80 & 0\\
y_{\text N} - y_{\text M} &30-0 & 30\\
z_{\text N} - z_{\text M} & 90-72 & 18
\end{array}
\right .	$

Le vecteur $\vectt{MF}$ a pour coordonnées
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l  !{=} l}
x_{\text F} - x_{\text M} & 80-80 & 0\\
y_{\text F} - y_{\text M} &0-0 & 0\\
z_{\text F} - z_{\text M} & 90-72 & 18
\end{array}
\right .	$	
		
		\item $\vect{\text{MN}} \cdot \vect{\text{MF}} = 0 \times 0+30\times 0 + 18 \times 18= 324$
		
		\item %Calculer les valeurs exactes des distances MN et MF.
$\text{MN}^2 = 0^2+30^2+18^2 = \np{1224}$ donc $\text{MN}=\sqrt{\np{1224}} = 6\sqrt{34}$

$\text{MF}^2 = 0^2+0^2+18^2$ donc $\text{MF}=18$

		\item% En déduire une valeur approchée, arrondie au degré près, de la mesure de l'angle $\widehat{\text{FMN}}$ . La contrainte angulaire est-elle respectée ?
$\vect{\text{MN}} \cdot \vect{\text{MF}} =\text{MN}\times \text{MF} \times \cos \left (\widehat{\text{FMN}}\right )$
donc
$\cos \left (\widehat{\text{FMN}}\right ) = \dfrac{\vect{\text{MN}} \cdot \vect{\text{MF}}}{\text{MN}\times \text{MF}} = \dfrac{324}{6\sqrt{34}\times 18}=\dfrac{3}{\sqrt{34}}$

On en déduit que $\widehat{\text{FMN}}\approx 59\degres$, donc la contrainte angulaire est respectée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Calculs d'aire et de volume}

\medskip

On considère le point P milieu du segment [EH] et Q le point du segment [AE] tel que $\vect{\text{AQ}} = \dfrac{4}{5} \vect{\text{AE}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le menuisier doit peindre les surfaces extérieures visibles: il s'agit des faces MNGCB, NPHG, PHDAQ et GHDC.

\medskip

\scalebox{0.7}{
\psset{unit=0.5cm,radius=0pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,10)
%\scriptsize
\psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=lightgray,gridlabels=0]
\Cnode*(0,9){F} \uput[ul](F){F}
\Cnode*(0,0){B} \uput[dl](B){B}
\Cnode*(6,0){C} \uput[dr](C){C}
\Cnode*(6,9){G} \uput[ur](G){G}
\Cnode*(3,9){N} \uput[u](N){N}
\Cnode*(0,7.2){M} \uput[l](M){M}
\psline(B)(C)(G)(N)(M)(B)
\psline[linestyle=dashed](M)(F)(N)
\end{pspicture}
}
\hfill
\scalebox{0.7}{
\psset{unit=0.5cm,radius=0pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,9)
\psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=lightgray,gridlabels=0]
\Cnode*(0,0){N} \uput[dl](N){N}
\Cnode*(3,0){G} \uput[dr](G){G}
\Cnode*(3,8){H} \uput[ur](H){H}
\Cnode*(0,8){P} \uput[ul](P){P}
\psframe(N)(H)
\end{pspicture}
}
\hfill
\scalebox{0.7}{
\psset{unit=0.5cm,radius=0pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,10)
%\scriptsize
\psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=lightgray,gridlabels=0]
\Cnode*(0,9){F} \uput[ul](F){E}
\Cnode*(0,0){B} \uput[dl](B){A}
\Cnode*(6,0){C} \uput[dr](C){D}
\Cnode*(6,9){G} \uput[ur](G){H}
\Cnode*(3,9){N} \uput[u](N){P}
\Cnode*(0,7.2){M} \uput[l](M){Q}
\psline(B)(C)(G)(N)(M)(B)
\psline[linestyle=dashed](M)(F)(N)
\end{pspicture}
}
\hfill
\scalebox{0.7}{
\psset{unit=0.5cm,radius=0pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9,10)
\psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=lightgray,gridlabels=0]
\Cnode*(0,0){C} \uput[dl](C){C}
\Cnode*(8,0){D} \uput[dr](D){D}
\Cnode*(8,9){H} \uput[ur](H){H}
\Cnode*(0,9){G} \uput[ul](G){G}
\psframe(C)(H)
\end{pspicture}
}%%% fin du scalebox

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'aire de chacune de ses faces. Vérifier que l'aire totale de la surface à peindre est de $2$ m$^2$ environ.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item La face MNGCB est un pentagone; il est représenté par un rectangle FGCB auquel on a retiré le triangle MFN rectangle en F.

L'aire de FGCB est égale à $\text{BC}\times\text{CG}$ soit en cm$^2$, $60\times 90=\np{5400}$.

L'aire du triangle MFN est égale à $\frac{1}{2}\times\text{FN}\times\text{FM}$ soit en cm$^2$, $\frac{1}{2}\times 30 \times 18 = 270$.

L'aire de la face MNGCB est donc égale en cm$^2$ à: $\np{5400}-270=\np{5130}$.

\item La face NPHG est un rectangle donc son aire est égale à $\text{NG}\times\text{NP}$ soit en cm$^2$, $30\times 80=\np{2400}$.

\item La face PHDAQ est la même que la face MNGCB, donc elle a la même aire soit en cm$^2$, $\np{5130}$.

\item La face GHDC est un rectangle donc son aire est égale à $\text{CD}\times\text{CG}$ soit en cm$^2$, $80\times 90=\np{7200}$.
\end{list}

L'aire totale de la surface à peindre est donc en cm$^2$ de:
$\np{5130} + \np{2400} + \np{5130} + \np{7200}= \np{19860}$,
soit en m$^2$: $1,986$ soit environ 2~m$^2$.

%On donnera le résultat arrondi au m$^2$. On utilisera ce résultat pour la question suivante.
		\item% \emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse qui vous parait exacte. On en demande aucune justification. La réponse juste apporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de points.}
		
$0,5$~L de peinture peut recouvrir environ $\pm 5$ m$^2$. Pour une bonne tenue de la peinture, il est nécessaire d'appliquer trois couches (avec un temps d'attente entre chaque couche). On rappelle que le menuisier réalise 4 meubles.

La quantité de peinture nécessaire pour peindre les meubles est:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
6~L& 1,6~L& 24~L& \fbox{$\blue 2,4~\text{L}$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En effet, un meuble a une surface de 2~m$^2$ à peindre, comme il faut 3 couches, ça fait 6~m$^2$, et comme il y a 4 meubles, on doit peindre 24~m$^2$.

$0,5$~L de peinture peut recouvrir environ 5~m$^2$ donc il faut $2,4$~L pour recouvrir 24~m$^2$.

		\item La peinture peut être vendue en pot de différentes contenances. Le rendement de peinture est le même.
		
Un pot de $1$~L coûte 9,90~\euro{} et un pot de $3$~L coûte 31,90~\euro.

%Que doit choisir le menuisier pour dépenser le moins ? Justifier.

Puisqu'il faut $2,4$ litres de peinture, le menuisier a intérêt à acheter 3 pots de 1 litre, qui lui coûteront $29,79$~\euro{}, plutôt qu'un pot de 3 litres qui lui coûterait $31,90$~\euro.

	\end{enumerate}
\item Ces meubles sont destinés à faire du rangement. On va déterminer le volume d'un meuble.

Un meuble est constitué d'un parallélépipède rectangle ABCDEFGH auquel on a retiré un prisme droit FMNEQP.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le parallélépipède ABCDEFGH a pour volume $\mathcal{V}_1=\text{AB}\times \text{AD}\times \text{AE}$ soit en cm$^3$, $\mathcal{V}_1=80\times 60\times 90 = \np{432000}$.

\item Le prisme FMNEQP a pour base le triangle FMN dont on a déjà calculé l'aire, et comme hauteur NP qui mesure 80~cm.

Son volume est donc $\mathcal{V}_2 = 270\times 80 = \np{21600}$~cm$^3$.
\end{list}

Le volume d'un meuble est donc $\mathcal{V}=\mathcal{V}_1 - \mathcal{V}_2 = \np{432000} - \np{21600} = \np{410400}$~cm$^3$, soit $410,4$~dm$^3$.

%\emph{On rappelle que le volume d'un prisme droit est donné par $B \times h$, où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur.}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Représentation en perspective}

\medskip

L'objectif de cette partie est de représenter ce meuble en perspective centrale.

%La représentation est commencée en \textbf{Annexe 1}. Trois arêtes y sont représentées, ainsi que la ligne d'horizon avec comme plan frontal le plan (BCF).
On note $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $g$, $h$, $m$, $n$, $p$, $q$ les images respectives des points A, B, C, D, E, F{}, G, H, M, N, P{}, Q dans cette représentation.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On complète la représentation en perspective centrale de l'\textbf{Annexe 1}.

%On laissera apparaître les traits de construction et on repassera en couleur les arêtes du meuble.
\item Le point d'intersection de la droite $(cd)$ et de la ligne d'horizon s'appelle le \og point de fuite \fg{}. 
%(On va le nommer $w$). 
\end{enumerate}

%\vspace{0.5cm}
\newpage

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Pour la semaine de l'amitié, un jeune designer décide de modéliser un logo en forme de cœur à l'aide de deux courbes de Bézier.

%Dans tout l'exercice, le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. Une représentation de ce plan est fournie en \textbf{Annexe 2}.

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude et tracé de la courbe} \boldmath $\mathcal{C}_1$\unboldmath

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_1$ est la courbe de Bézier définie par les trois points de contrôle P$_2(5~;~ 8)$, P$_1(6~;~4)$ et O(0~;~0). C'est l'ensemble des points M$_1(t)$ du plan tels que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1], les coordonnées $x_1$ et $y_1$ de M$_1(t)$ sont données par:
$x_1 = f_1(t)$ et $y_1 = g_1(t)$
où $f_1$ et $g_1$ sont deux fonctions dont les variations conjointes sont données dans le
tableau suivant.

%Il est inutile de déterminer les expressions de $f_1(t)$ et $g_1(t)$.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
\psset{radius=0pt,arrowscale=1.5,nodesep=5pt}
$\begin{array}{|c | l *{3}{c} r |} 
\hline
t  & 0 & \esp & \frac{1}{7} & \esp  & 1 \\
\hline
\text{Signe de }f_1'(t) & 2  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & -12\\
\hline
%%%
 &  &  & \Rnode{B}{\frac{36}{7}}  &  & \\
\text{Variations de }f_1 &  & &  & &\\
 & \Rnode{A}{5} &   &  &  &\Rnode{C}{0}
 \ncline{->}{A}{B} \ncline{->}{B}{C}\\
\hline
\text{Signe de }g_1'(t) & -8 & \pmb{-} & -8 & \pmb{-} & -8\\
\hline
 &    \Rnode{D}{8}&   & &  &\\
\text{Variations de }g_1 &  & & \Rnode{E}{\frac{48}{7}}   &  & \\
  &  & &  &   &\Rnode{F}{0}
 \ncline{->}{D}{E} \ncline{->}{E}{F}\\
  \hline
\end{array}$
\end{center}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Par  lecture du tableau ci-dessus, on complète les phrases suivantes.
	\begin{enumerate}
		\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_1$ au point de coordonnées {\blue (5~;~8)}  a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées $\blue (2~;~-8)$.
		
		\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_1$ au point de coordonnées {\blue (0~;~0)} a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{v}$ de coordonnées $\blue (-12~;~-8)$.
		
		\item Le point A, obtenu pour $t = \frac{1}{7}$, a pour coordonnées $\blue \left (\frac{36}{7}~;~\frac{48}{7}\right )$.
			
 	\end{enumerate}
\item Sur la figure donnée en \textbf{Annexe 2}.
	\begin{enumerate}
		\item On place les points P$_1$, P$_2$ et le point A de $\mathcal{C}_1$ obtenu pour $t = \frac{1}{7}$.
		\item \begin{list}{\textbullet}{		On trace les tangentes à $\mathcal{C}_1$ aux points obtenus:}
		\item  pour $t = 0$, la courbe passe par le point P$_2$, donc la tangente est la droite (P$_2$P$_1$);
		\item pour $t =\frac{1}{7}$, on a $f'_1$ s'annule et $g'_1$ ne s'annule pas, donc la courbe admet une tangente verticale;
		\item pour $t =1$, la courbe passe par le point O donc la tangente est la droite (OP$_1$).
		\end{list}
 
 Puis on trace la courbe $\mathcal{C}_1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude et tracé de la courbe} \boldmath $\mathcal{C}_2$\unboldmath

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_2$ est la courbe de Bézier définie par les trois points de contrôle P$_3(0~;~ 7)$, P$_4(3~;~12)$ et P$_2(5~;~8)$.

On admet que cette courbe est l'ensemble des points M$_2(t)$ tels que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1] :

\hfill{}$\vect{\text{OM}_2(t)} = (1- t)^2\vect{\text{OP}_2(t)} + t^2\vect{\text{OP}_3(t)} + 2t(1 - t)\vect{\text{OP}_4(t)}$.\hfill{}

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item %En quels points de la courbe peut-on connaître sans calcul la (les) tangente(s) ?
D'après la définition d'une courbe de Bézier à 3 points de contrôle P$_3$, P$_4$ et P$_2$:
\begin{list}{\textbullet}{}
\item la courbe a le point P$_3$ comme extrémité et admet en ce point la droite (P$_3$P$_4$) comme tangente ;
\item la courbe a le point P$_2$ comme extrémité et admet en ce point la droite (P$_2$P$_4$) comme tangente.
\end{list}

On trace ces tangentes sur la figure en \textbf{Annexe 2}.

\item %Démontrer que les coordonnées $x_2$ et $y_2$ des points M$_2(t)$ de la courbe $\mathcal{C}_2$ ont pour expression : 
%
%\[x_2 = -t^2 -4t + 5\quad \text{et}\quad  y_2 = -9t^2 + 8t + 8.\]
$\vect{\text{OM}_2(t)} = (1- t)^2\vect{\text{OP}_2(t)} + t^2\vect{\text{OP}_3(t)} + 2t(1 - t)\vect{\text{OP}_4(t)}\\
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x_2 & (1- t)^2 x_{\text{P}_2} + t^2x_{\text{P}_3} + 2t(1 - t)x_{\text{P}_4}\\
y_2 & (1- t)^2 y_{\text{P}_2} + t^2y_{\text{P}_3} + 2t(1 - t)y_{\text{P}_4}
\end{array}
\right .\\
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x_2 & (1- 2t +t^2)\times 5 + t^2\times 0 + (2t - 2t^2)\times 3\\
y_2 & (1- 2t +t^2)\times 8 + t^2\times 7 + (2t - 2t^2)\times 12
\end{array}
\right .\\
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x_2 & 5- 10t +5t^2+ 6t - 6t^2\\
y_2 & 8- 16t + 8t^2 +7 t^2 + 24t - 24t^2
\end{array}
\right .
\hspace*{2cm}
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x_2 & -t^2-4t+5\\
y_2 & -9t^2+8t+8
\end{array}
\right .
$

\item Les fonctions $f_2$ et $g_2$ sont définies pour $t\in [0~;~1]$ par: 
$f_2(t) = -t^2 - 4t + 5$ et $g_2(t) = - 9t^2 + 8t + 8$.

	\begin{enumerate}
		\item $f'_2(t)=-2t-4$ et $g'_2(t)=-18t+8=2(-9t+4)$
		
		\item On étudie les variations des fonctions $f_2$ et $g_2$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Sur [0~;~1], $-2t-4<0$ donc $f'_2(t)<0$ donc $f_2$ est strictement décroissante.

$f_2(0)=5$ et $f(1)=-1-4+5=0$
\item $g'_2(t)=2(-9t+4)$ s'annule et passe de positif à négatif pour $t=\dfrac{4}{9}$.

Donc $g_2$ est strictement croissante pour $t\leqslant\frac{4}{9}$ puis strictement décroissante pour $t\geqslant\frac{4}{9}$.

$g_2(0)=8$; $g_2\left (\frac{4}{9}\right ) = \dfrac{88}{9}\approx 9,78$ et $g_2(1)=-9+8+8=7$
\end{list}

On rassemble les résultats dans un tableau unique.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
\psset{radius=0pt,arrowscale=1.5,nodesep=5pt}
$\begin{array}{|c | l *{3}{c} r |} 
\hline
t  & 0 & \esp & \frac{4}{9} & \esp  & 1 \\
\hline
\text{Signe de }(-2t-4) &   & \pmb{-} &   & \pmb{-} & \\
\hline
\text{Signe de }f_2'(t) &   & \pmb{-} &  & \pmb{-} & \\
\hline
%%%
 &\Rnode{A}{5}   &  &   &  & \\
\text{Variations de }f_2 &  & &  & &\\
 & &   &  &  &\Rnode{B}{0}
 \ncline{->}{A}{B} \\
\hline
\text{Signe de }(-9t+4) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \\
\hline
\text{Signe de }g'_2(t) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \\
\hline
 &   &   &\Rnode{E}{\frac{88}{9}}  &  &\\
\text{Variations de }g_2 &  & &   &  & \\
  &  \Rnode{D}{8}  & &  &   &\Rnode{F}{7}
 \ncline{->}{D}{E} \ncline{->}{E}{F}\\
  \hline
\end{array}$
\end{center}
\end{enumerate}

\item %Les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ ont-elles la même tangente au point $P_2$ ? 
 La courbe $\mathcal{C}_1$ a pour tangente en P$_2$ la droite (P$_2$P$_1$). Le vecteur $\vectt{P$_2$P$_1$}$ a pour coordonnées $(1~;~-4)$.

 La courbe $\mathcal{C}_2$ a pour tangente en P$_2$ la droite (P$_2$P$_4$). Le vecteur $\vectt{P$_2$P$_4$}$ a pour coordonnées $(-2~;~4)$.
 
Les vecteurs  $\vectt{P$_2$P$_1$}$ et $\vectt{P$_2$P$_4$}$ ne sont pas colinéaires donc les droites (P$_2$P$_1$) et (P$_2$P$_4$) sont différentes. 

On en conclut que les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ n'ont pas la même tangente au point P$_2$.
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur la figure donnée en \textbf{Annexe 2}, on place le point B de $\mathcal{C}_2$ obtenu pour $t= \dfrac{4}{9}$. Les coordonnées de B sont $\left (f_2\left (\frac{4}{9}\right )~;~g_2\left (\frac{4}{9}\right )\right )$ soit $\left (\frac{245}{81}~;~\frac{88}{9}\right )$.
		\item 
\begin{list}{\textbullet}{On trace les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_2$ aux points obtenus:}
\item pour $t = 0$ c'est-à-dire au point  P$_2$,  la tangente est la droite (P$_2$P$_4$);
\item pour $t = \frac{4}{9}$ c'est-à-dire au point B. En ce point, $g'_2$ s'annule et $f'_2$ ne s'annule pas donc la tangente est parallèle à l'axe des abscisses;
\item pour $t = 1$ c'est-à-dire au point P$_3$, la tangente est la droite (P$_3$P$_4$).
\end{list}		

		\item On trace la courbe $\mathcal{C}_2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Finalisation du logo en forme de cœur}

\medskip

Sur l'\textbf{Annexe 2} on applique aux courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées pour compléter le tracé du logo.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item On place les points P$'_2 (-5~;~8)$ et P$'_1(-6~;~4)$, symétriques respectifs de P$_2$ et P$_1$ par rapport à l'axe des ordonnées, puis on trace la courbe de Bézier $\mathcal{C}'_1$ de points de contrôles P$'_2$, P$'_1$ et O.
\item On place les points P$'_4 (-3~;~12)$, symétrique de P$_4$ par rapport à l'axe des ordonnées, puis on trace la courbe de Bézier $\mathcal{C}'_2$ de points de contrôles P$_3$, P$'_4$ et P$'_2$.
\end{list}

\newpage
\begin{center}

\textbf{\large Annexe 1 - Exercice 1. C}

\medskip

(À rendre obligatoirement avec la copie)
\vspace{2cm}

%\psset{unit=1cm,radius=0pt}
%\begin{pspicture}(12,12)
%\uput[u](1.5,11.5){ligne d'horizon}
%\psline(0,11.5)(12,11.5)
%\Cnode*(2,3.7){f} \uput[l](f){$f$}
%\Cnode*(2,0){b} \uput[dl](b){$b$}
%\Cnode*(4.8,0){c} \uput[dr](c){$c$}
%\Cnode*(6.8,1.5){d} \uput[r](d){$d$}
%\psline(f)(b)(c)(d)
%\end{pspicture}

\psset{unit=0.8cm,radius=0pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(16,10)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=gray]
\uput[u](1.5,9.1){ligne d'horizon}
\psline(-1,9)(16,9)
\Cnode*(0,4.5){f} \uput[l](f){$f$}
\Cnode*(0,0){b} \uput[dl](b){$b$}
\Cnode*(3,0){c} \uput[dr](c){$c$}
\Cnode*(5,1.5){d} \uput[r](d){$d$}
%\psline(f)(b)(c)(d)
\Cnode*(15,9){w} \uput[u](w){$w$}
\Cnode*(3,4.5){g} \uput[dr](g){$g$}
\Cnode*(2.5,1.5){a} \uput[ul](a){$a$}
\Cnode*(2.5,5.25){e} \uput[u](e){$e$}
\Cnode*(5,5.25){h} \uput[dr](h){$h$}
%%%
\Cnode*(0,3.6){m} \uput[l](m){$m$}
\Cnode*(1.5,4.5){n} \uput[u](n){$n$}
\Cnode*(3.5,5.25){p} \uput[u](p){$p$}
\Cnode*(2.5,4.5){q} \uput[dl](q){$q$}
\psset{linestyle=solid,linecolor=red,linewidth=1.2pt}
\psline(a)(b)(c)(d)(a)
\psline(m)(n)(p)
\psline(a)(q) \psline(b)(m) \psline(n)(g)(h)(p) \psline(c)(g) \psline(h)(d)
\psline[linestyle=dashed](m)(f) \psline[linestyle=dashed](f)(n)
\psline[linestyle=dashed](q)(e) \psline[linestyle=dashed](e)(p)
\psline[linestyle=dashed](f)(e)
\psline[linestyle=dashed](m)(q)(p)
%%%
\psset{linecolor=blue,linestyle=dashed}
\psline(d)(w) \psline(a)(w) \psline(e)(w)  \psline(h)(w)
\psline(p)(w) \psline(q)(w)
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 2 - Exercice 2}

\medskip

(À rendre obligatoirement avec la copie)

\vspace{2cm}

\psset{unit=1cm,arrowscale=1.5,radius=2pt,plotpoints=5000}
\def\xmin {-7}   \def\xmax {7}
\def\ymin {-1}   \def\ymax {13}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=gray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%%% Points de contrôle
\Cnode*(0,7){P3}\uput[dr](P3){P$_3$}  
\Cnode*(3,12){P4} \uput[ur](P4){P$_4$}
\Cnode*[linecolor=blue](5,8){P2} \uput[dl](P2){\blue P$_2$}
 \Cnode*[linecolor=blue](6,4){P1} \uput[dr](P1){\blue P$_1$}
 \Cnode*[linecolor=blue](0,0){O} \uput[dr](O){\blue O}
%%% Tracés
\psBezier2[showpoints=false,linecolor=blue](P2)(P1)(O)
\psBezier2[showpoints=false](P3)(P4)(P2)
\Cnode*[linecolor=blue](5.143,6.857){A} \uput[l](A){\blue A}
{\psset{radius=2pt,showpoints=false,linestyle=dashed}
 \Cnode*(-3,12){Q4} \uput[ul](Q4){P$'_4$} 
 \Cnode*(-5,8){Q2} \uput[ul](Q2){P$'_2$}
 \Cnode*[linecolor=blue](-6,4){Q1} \uput[dl](Q1){\blue P$'_1$}
\psBezier2(P3)(Q4)(Q2)
\psBezier2[linecolor=blue](Q2)(Q1)(O)
\uput[ul](4,4){$\blue\mathcal{C}_1$} \uput[ur](-4,4){$\blue\mathcal{C}'_1$}
\uput[dr](1.5,9){$\mathcal{C}_2$} \uput[dl](-1.5,9){$\mathcal{C}'_2$}
}
{\psset{linecolor=blue,linestyle=dashed}
\ncline{O}{P1}
\ncline{P2}{P1}
\psline(5.143,5)(5.143,9)
}
{\psset{linestyle=dashed}
\ncline{P2}{P4}
\ncline{P3}{P4}
\Cnode*(3.025,9.778){B} \uput[d](B){B}
\psline(1,9.778)(5,9.778)
}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}
