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%Tapuscrit : Denis Vergés
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien hôtellerie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2013}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie~\decofourright\\Métropole La Réunion septembre 2013}}

\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

%Depuis quelques mois, l'hôtel \og Le Palace \fg{} dispose de deux offres \og petit-déjeuner \fg{} : le buffet traditionnel et le buffet bio.
% 
%L'hôtel reçoit de la clientèle en voyage d'affaires, de la clientèle de tourisme en groupe et de la clientèle de tourisme en individuel.
% 
%La direction décide d'étudier les chiffres de ces deux derniers mois : 
%
%Sur les \np{15200} petits déjeuners servis, 54\,\% étaient des petits déjeuners traditionnels.
% 
%La clientèle en voyage d'affaires représente 35\,\% des clients, et parmi eux, les trois cinquièmes ont choisi un petit déjeuner traditionnel.
% 
%La clientèle de tourisme en individuel représente 22\,\% des clients, et 75\,\% d'entre eux ont choisi le petit déjeuner bio.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier le tableau donné ci-dessous, puis le compléter à l'aide des données précédentes. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.2cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}				&Petit déjeuner traditionnel&Petit déjeuner bio &Total\\ \hline 
Clientèle en voyage d'affaires		&\np{3192}					&\np{2128}			&\np{5320}\\ \hline 
Clientèle de tourisme en groupes	&\np{4180}					&\np{2356}			&\np{6536}\\ \hline 
Clientèle de tourisme en individuel	&836						&\np{2508}			&\np{3344}\\ \hline 
Total								&\np{8208}					&\np{6992}			&\np{15200}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\emph{Dans la suite de l'exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale.}

\medskip
 
\item %Une fiche est créée pour chacun des \np{15200} petits déjeuners servis, reprenant les renseignements ci-dessus. On choisit au hasard une fiche, chacune ayant la même probabilité d'être choisie.
	\begin{enumerate}
		\item %On considère les évènements suivants:

%\begin{description}
%\item[ ] $A$ : \og La fiche est celle d'un client ayant pris un petit déjeuner bio \fg 
%\item[ ] $B$ : \og La fiche est celle d'un client qui est en voyage d'affaires  \fg 
%\end{description}
%
%Calculer la probabilité de ces deux évènements.
On a $p(A) = \dfrac{\np{6992}}{\np{15200}} = \dfrac{46}{100} = 0,46$.

$p(B) = \dfrac{35}{100} = 0,35$ (énoncé) 
		\item %On considère l'évènement $C$ : \og La fiche est celle d'un touriste ayant pris un petit déjeuner traditionnel \fg. Calculer sa probabilité.
		$p(C) = \dfrac{\np{8208}}{\np{15200}} = \dfrac{54}{100} = 0,54$. (énoncé)
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Définir par une phrase chacun des évènements suivants : $A \cap B,\: A \cup B$ puis $\overline{B}$.
$\bullet~~$$A \cap B$ : \og  La fiche est celle d'un client en voyage d'affaires ayant pris un petit déjeuner bio \fg.

$\bullet~~$$A \cup B$ : \og  La fiche est celle d'un client qui est en voyage d'affaires  ou qui a pris un petit déjeuner bio \fg.

$\bullet~~$$\overline{B}$ : \og La fiche est celle d'un client qui n'est pas  en voyage d'affaires  \fg.

		\item %Calculer la probabilité de chacun de ces évènements.
$\bullet~~$$p(A \cap B) = \dfrac{\np{3192}}{\np{15200}} = \dfrac{21}{100} = 0,21$.

$\bullet~~$$p(A \cup B) = \dfrac{\np{5320} +  \np{2356} + \np{2508}}{\np{15200}} = \dfrac{67}{100} = 0,67$.

$\bullet~~$$p(B) = 1 - 0,35 = 0,65$.
	\end{enumerate} 
\item %On a choisi la fiche d'un client ayant pris un petit déjeuner bio.
 
%Quelle est la probabilité que cette fiche soit celle d'un client en voyage d'affaires ? Arrondir le résultat au centième. 
Sur les \np{6992}	clients ayant pris un petit déjeuner bio, \np{2128} sont des clients en voyage d'affaires ; la probabilité est donc égale à :

$\dfrac{\np{2128}}{\np{6992}} = \dfrac{7}{23} \approx 0,304$ soit $0,30$ au centième près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Les parties {\rm{A}} et {\rm{B}} sont indépendantes} 

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip
 
%Le tableau suivant donne les chiffres d'affaires trimestriels en milliers d'euros d'une entreprise hôtelière pour les années 2011 et 2012. Les rangs des trimestres sont représentés par la variable $x$, numérotés de 1 à 8, et les chiffres d'affaires sont représentés par la variable $y$.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Rang du trimestre $x$	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8\\ \hline
%Chiffre d'affaires $y$	&245&225&230&200&220&180&180&160\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center} 

\begin{enumerate}
\item ~%Sur une feuille de papier millimétré, représenter le nuage de points de coordonnées $(x~;~y)$ dans un repère orthogonal.
 
%\begin{tabular}{l m{8cm}}
%\textbf{Unités graphiques :}&$\bullet~~$1 cm par trimestre sur l'axe des abscisses.\\ 
%&$\bullet~~$1 cm pour 5 milliers d'euros sur l'axe des ordonnées, en commençant à graduer cet axe des ordonnées à partir de $150$.
%\end{tabular}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.15cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(9,100)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,100)}
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(9,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=150,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(9,100)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=150,Dy=10](0,0)(0,0)(9,100)
\psdots(1,95)(2,75)(3,80)(4,50)(5,70)(6,30)(7,30)(8,10)
\psdot[linecolor=red](4.5,55)\uput[r](4.5,55){\red G}
\uput[u](8.8,0){$x$}\uput[r](0,98.5){$y$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{9}{100  10 x mul sub}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. 
On a $x_{\text{G}} = \dfrac{1 + 2 + \cdots + 8}{8} = \dfrac{36}{8} = 4,5$ et $y_{\text{G}} = \dfrac{245 + 225 + \cdots + 8}{8} = \dfrac{\np{1640}}{8} = 205$.
%Placer ce point G sur le graphique précédent. 
\item %On choisit de réaliser un ajustement du nuage précédent par la droite $D$ passant par le point G et dont l'équation réduite est de la forme :

%$y = - 10 x + b$. On suppose que cet ajustement affine est acceptable pour les années 2011 à 2014. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la valeur de $b$.
Les coordonnées de G vérifient l'équation de $D$, soit :

$205 = - 10 \times 4,5 + b \iff 205 = - 45 + b \iff 250 = b$.

Une équation de $D$ est : $y = - 10x + 250$. 
		\item %Tracer la droite $D$ dans le repère précédent.
Voir ci-dessus 
		\item %À l'aide de cet ajustement, quel chiffre d'affaires peut-on prévoir au deuxième trimestre 2013 ?
Le deuxième trimestre 2013 correspond au rang $x = 10$, d'où $y = - 10 \times 10 + 250 = - 100 + 250 = 150$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
%L'entreprise décide de réagir à la baisse alarmante de son chiffre d'affaires à l'aide de travaux de rénovation et d'une nouvelle politique commerciale.
 
%Son chiffre d'affaires se redresse à partir du deuxième trimestre 2013, et l'on peut considérer que pour tout trimestre de rang $x$ supérieur ou égal à 10, le chiffre d'affaires, en milliers d'euros, est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [10~;~16] par : 

\[f(x) = 0,8 x^2 - 10 x + 200,2.\] 

%On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [10~;~16], et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$.
Sur  [10~;~16], on a $f'(x) = 2 \times 0,8x - 10 = 1,6x - 10$.
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [10~;~16].
$\bullet~~1,6x - 10 > 0 \iff 1,6x > 10 \iff x > \frac{100}{16}$ soit $x > 6,25$.

Or $x \geqslant 10$, donc  $f'(x) > 0$ sur l'intervalle [10~;~16].
		\item %En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [10~;~16].
Sur l'intervalle [10~;~16], la fonction $f$ est donc croissante de 

$f(10) = 0,8 \times 100 - 10 \times 10 + 200,2 = 180,2$ à 

$f(14) = 0,8 \times 14^2 - 10 \times 14 + 200,2 =  217$.
		\item %D'après ces résultats, la nouvelle politique a-t-elle été efficace ?
La nouvelle politique a été efficace puisque le chiffre d'affaires a augmenté.
	\end{enumerate} 
\item %Reproduire et compléter le tableau de valeurs (les résultats seront arrondis à l'unité).
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&10 	&11		&12 	&13 	&14 	&15 	&16 \\ \hline
$f(x)$	&180,2	&187	&195,4	&205,4	&217	&230	&245\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item ~%Dans le repère utilisé dans la partie A, construire la courbe représentative de la fonction $f$.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.15cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-1,-10)(6,100)
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,100)}
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(7,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=150,Dy=10,Ox=10]{->}(0,0)(0,0)(7,100)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=150,Dy=10,Ox=10](0,0)(0,0)(7,100)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{6}{x 10 add x 10 add mul 0.8 mul x 10 add 10 mul sub 50.2 add}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,30.2)(1,37)(2,45.4)(3,55.4)(4,67)(5,80)(6,95)
\uput[u](6.8,0){$x$}\uput[r](0,97.5){$y$}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,50)(2.45,50)(2.45,0)
\end{pspicture}
\end{center}  
\item %À partir de quand peut-on prévoir que le chiffre d'affaires deviendra supérieur à celui du quatrième trimestre 2011, c'est-à-dire $200$~milliers d'euros ? On précisera l'année et le trimestre correspondants.
On constate que $y = 200$ pour $x \approx 12,5$  ; comme $x$ est entier il faut attendre $x = 13$ soit le premier trimestre 2014. 
\end{enumerate}
\end{document}