\documentclass[a4paper,DIV=16]{article} \usepackage{etex} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[np]{numprint} %\pagestyle{empty} \usepackage[usenames,dvipsnames,svgnames]{xcolor} \usepackage{tkz-tab,tkz-fct}%,tkz-tukey} \usepackage{xkeyval,ifthen} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} \usepackage[tikz]{bclogo} \usetikzlibrary{babel,arrows,shadows,decorations.pathmorphing,decorations.markings,patterns} \usepackage{amsfonts,bbm,mathrsfs,amsmath,amssymb,amsthm}%,tkz-bbpage} \usepackage{pifont} \usepackage{cancel,enumitem} \usepackage{tabularx,colortbl} \usepackage{multicol,xcolor,framed} \usepackage{pst-all} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \unitlength=1cm \renewcommand\FrenchLabelItem{\textbullet} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\arraystretch}{1} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {Polynésie juin 2014}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[greek,frenchb]{babel} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S } \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{13 juin 2014}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} %\maketitle \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat S Polynésie 13 juin 2014~\decofourright}}} \end{center} \section*{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points \[ A(5~;~-5~;~2),\quad B(-1~;~1~;~0),\ C(0~;~1~;~2),\quad \text{et}\ D(6~;~6~;~-1) \] \begin{enumerate} \item Nature du triangle $BCD$: \[ \left\lbrace\begin{array}{l} BC^2 = (0-(-1))^2+(1-1)^2+(2-0)^2=5\\ CD^2 = (6-0)^2+(6-1)^2+(-1-2)^2=70\\ BD^2 = (6-(-1))^2+(6-1)^2+(-1-0)^2=75 \end{array}\right.\Longrightarrow BD^2=BC^2+CD^2\Longrightarrow\ BCD\ \text{est rectangle en}\ C \] \item Son aire est : $\dfrac{BC\times CD}{2}=\dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{70}}{2}=\dfrac{5}{2}\sqrt{14}$. \begin{enumerate} \item Le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(BCD)$: \[ \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\cdot\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}=1\times (-2)+0\times 3+2\times 1=0\ \text{et}\ \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}6\\5\\-3\end{pmatrix}\cdot\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}=6\times (-2)+5\times 3+(-3)\times 1=0 \] Comme $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas colinéaires ($BCD$ est un triangle rectangle non aplati), $\overrightarrow{n}$ étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BCD)$, il en est un vecteur normal. \item Équation cartésienne du plan $(BCD)$: \begin{itemize} \item L'équation est de la forme $-2x+3y+z+d = 0$ ; \item $B$ appartient au plan, donc $-2(-1) + 3(1) + (0) + d = 0\Longleftrightarrow d = -5$ ; \item une équation cartésienne du plan $(BCD)$ est : $-2x + 3y + z - 5 = 0$. \end{itemize} \end{enumerate} \item Représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan $(BCD)$ (donc de vecteur directeur $\overrightarrow{n}$) et passant par le point $A$: \[ \left\lbrace\begin{array}{l} x=5-2t\\ y=-5+3t\\ z=2+t \end{array}\right.\ \text{avec}\ t\in\mathbbm{R} \] \item Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $(BCD)$. \[ \left\lbrace\begin{array}{l} x = 5-2t\\ y = -5+3t\\ z =2+t\\ -2x+3y+z-5=0 \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} x = 5-2t\\ y = -5+3t\\ z =2+t\\ -2(5-2t)+3(-5+3t)+(2+t)-5=0 \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} x = 5 - 2(2)=1\\ y = - 5 + 3(2)=1\\ z = 2 + 2 = 4\\ t = 2 \end{array}\right. \] Ainsi, les coordonnées de $H$ sont: $(1~;~1~;~4)$. \item Volume du tétraèdre $ABCD$: $[AH]$ est la hauteur du tétraèdre, car $A$ est sur la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan $(BCD)$ et $H$ est l'intersection de $\mathcal{D}$ et $(BCD)$, donc la projection orthogonale de $A$ sur $(BCD)$. $\mathcal{B}=5\sqrt{7}$; $h=AH=\sqrt{(5-1)^2+(-5-1)^2+(2-4)^2}=2\sqrt{14}$; donc: \[ \mathcal{V} = \frac{1}{3}\mathcal{B} \times h=\frac{1}{3}\times 2\sqrt{14}\times \frac{5}{2}\sqrt{14}=\frac{70}{3} \] \item Mesure de l'angle $\widehat{BAC}$: \end{enumerate} \[ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-6\\6\\-2\end{pmatrix};\ AB=\sqrt{(-6)^2+6^2+(-2)^2}=\sqrt{76};\ \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-5\\6\\0\end{pmatrix};\ AB=\sqrt{(-5)^2+6^2+(0)^2}=\sqrt{61}; \] $\cos\widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{AB\times AC} =\frac{(-6)\times(-5)+6\times 6+(-2)\times 0}{\sqrt{76}\times \sqrt{61}}=\frac{66}{\sqrt{4 636}}\simeq 0,97\Longrightarrow $ $\text{mes}\widehat{BAC}\simeq 14,2\ \text{au dixième de degré près} $ \section*{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par \[u_{0} = 0\quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n, u_{n+1} = u_{n} + 2n +2.\] \begin{enumerate} \item $u_{1}=u_0=2\times 0+2=2$ et $u_{2}=u_1+2\times 1+2=6$. \item \textbf{Le second affiche en sortie la valeur de $u_{n}$}, la valeur de l'entier naturel $n$ étant entrée par l'utilisateur. \item \'Etude de la suite $\left(u_{n}\right)$: \begin{enumerate} \item La suite $\left(u_{n}\right)$ semble être croissante. Démonstration : \[ u_{n+1}-u_n=u_{n} + 2n +2-u_n=2n+2>0\ \text{pour tout}\: n\ \text{naturel} \] \item La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels $a, b$ et $c$ tels que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n} = an^2 + bn + c$. \[ \left\lbrace\begin{array}{l} u_0=a\times 0^2+b\times 0+c=0\\ u_1=a\times 1^2+b\times 1+c=2\\ u_2=a\times 2^2+b\times 2+c=6 \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} a+b=2\\ 4a+2b=6\\ c=0 \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} a+b=2\\ 2a+b=3\\ c=0 \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} a=1\\ b=1\\ c=0 \end{array}\right. \] \end{enumerate} \item On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_{n}\right)$ par : $v_{n} = u_{n+1} - u_{n}=2n+2$. \begin{enumerate} \item C'est une suite arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $v_0=2$. \item On définit, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} v_{k} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$. \[ S_n=\sum_{k=0}^{n} v_{k} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}=(n+1)v_0+\frac{n(n+1)}{2}\times r=2(n+1)+n(n+1)=(n+1)(n+2) \] \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = u_{n+1} - u_{0}$, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. \[ S_n=(\cancel{u_1}-u_0)+(\cancel{u_2}-\cancel{u_1})+\cdots + (\cancel{u_n}-\cancel{u_{n-1}})+(u_{n+1}-\cancel{u_n})=u_{n+1}-u_0 \] \[ S_{n-1}=u_n-u_0\Longleftrightarrow u_n=S_{n-1}+u_0=n(n+1)+0=n(n+1) \] \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \section*{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité } \subsection*{Partie A} \begin{enumerate} \item Une personne née le 1\up{er} août, le programme de calcul (A) donne le nombre $308$: \begin{itemize} \item Numéro du jour de naissance multiplié par 12: $1\times 12 = 12$; \item Numéro du mois de naissance multiplié par 37: $8\times 37 = 296$; \item $12 + 296=308$. \end{itemize} \item \begin{enumerate} \item Pour un spectateur donné, on note $j$ le numéro de son jour de naissance, $m$ celui de son mois de naissance et $z$ le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A). \[ z=12j+37m,\ \text{or}\ 12\equiv 0\ [12] \text{ et } 37 \equiv 1 \ [12]\ \text{donc}\ z=12j+37m\equiv 0 \times j + 1 \times m\ [12] \text{ soit } \: z \equiv m \ [12] \] \item Date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre $474$ en appliquant le programme de calcul (A): \[ \left\lbrace\begin{array}{l} z=474=39\times 12+6\\ z\equiv 37m\ [12] \end{array}\right.\Longrightarrow z=(3\times 12+1)m\equiv 6\ [12]\Longrightarrow m\equiv 6\ [12],\ \text{le mois est donc juin} \] \[ z=474=12j+37\times 6\Longrightarrow 12j=474-37\times 6=252=21\times 12\Longrightarrow j=21 \] \textbf{Le spectateur est donc né un 21 juin.} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{Partie B} Le magicien décide de changer son programme de calcul. Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est $j$ et le numéro du mois de naissance est $m$, le magicien demande de calculer le nombre $z$ défini par $z = 12j + 31m$. \begin{enumerate} \item Première méthode : Algorithme modifié (\texttt{AlgoBox}) pour qu'il affiche toutes les valeurs de $j$ et de $m$ telles que $12j + 31m = 503$. \begin{multicols}{2} \begin{footnotesize} \begin{verbatim} 1 VARIABLES 2 j EST_DU_TYPE NOMBRE 3 m EST_DU_TYPE NOMBRE 4 z EST_DU_TYPE NOMBRE 5 DEBUT_ALGORITHME 6 POUR m ALLANT_DE 1 A 12 7 DEBUT_POUR 8 POUR j ALLANT_DE 1 A 31 9 DEBUT_POUR 10 z PREND_LA_VALEUR 12*j+31*m 11 SI (z==503) ALORS 12 DEBUT_SI 13 AFFICHER j 14 AFFICHER "\ " 15 AFFICHER m 16 AFFICHER "; " 17 FIN_SI 18 FIN_POUR 19 FIN_POUR 20 FIN_ALGORITHME ***Algorithme lancé*** 29\ 5; ***Algorithme terminé*** \end{verbatim} \end{footnotesize} \end{multicols} \textbf{Le spectateur est donc né un 29 mai.} \item Deuxième méthode : \begin{enumerate} \item $12a\equiv 0\ [12]$ pour tout $a$ entier, donc \[ z=12j+31m\equiv 31m=(2\times 12+7)m=12\times 2m+7m\equiv 7m\ [12] \] $7m$ et $z$ ont donc le même reste dans la division euclidienne par 12. \item Pour $m$ variant de 1 à 12, reste de la division euclidienne de $7m$ par 12: \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline $m$ & 1 & 2 & 3 & 4 & \cellcolor{gray}5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\ \hline reste & 7 & 2 & 9 & 4 & \cellcolor{gray}11 & 6 & 1 & 8 & 3 & 10 & 5 & 0\\ \hline \end{tabular} \end{center} On remarque qu'à chacun des 12 restes possibles correspond un seul mois. \item Date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre $503$ avec le programme de calcul (B): \[ \left\lbrace\begin{array}{l} z=503=41\times 12+11\\ z\equiv 7m\ [12] \end{array}\right.\Longrightarrow 7m\equiv 11\ [12]\Longrightarrow m=5,\ \text{le mois est donc mai} \] \[ z=503=12j+31\times 5\Longrightarrow 12j=503-31\times 5=29\times 12\Longrightarrow j=29 \] \textbf{Le spectateur est donc né un 29 mai.} \end{enumerate} \item Troisième méthode : \begin{enumerate} \item Le couple $(-2~;~17)$ est solution de l'équation $12x + 31y = 503$: \[ 12\times(-2) + 31\times(17) = 503 \] \item Un couple d'entiers relatifs $(x~;~y)$ est solution de l'équation $12x + 31y = 503$: \[ \left\lbrace\begin{array}{lr} 12x + 31y = 503& L_1\\ 12\times(-2) + 31\times(17) = 503& L_2 \end{array}\right.\Longrightarrow 12(x+2)+31(y-17)=0\ (L_1-L_2)\Longleftrightarrow 12(x + 2) = 31 (17 - y)\ (E) \] \item Résolution de l'équation $12x + 31y = 503$: \begin{itemize} \item Partie directe: \[ 12x + 31y = 503\Longrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} 12(x + 2) = 31 (17 - y)\\ \text{pgcd}(12;31)=1 \end{array}\right.\stackrel{\text{\textsc{Gauss}}}{\Longrightarrow} 31\ \text{divise}\ x+2 \] Ainsi, il existe un entier relatif $k$ vérifiant $x+2=31k\Longleftrightarrow \boxed{x=-2+31k}$. En remplaçant dans $(E)$, on obtient: \[ \left\lbrace\begin{array}{l} 12(x + 2) = 31 (17 - y)\\ x+2=31k \end{array}\right.\Longrightarrow 12\times \cancel{31}k=\cancel{31}(17-y)\Longleftrightarrow 12k=17-y\Longleftrightarrow \boxed{y=17-12k} \] \item Réciproque: pour tout $k$ de $\mathbbm{Z}$, on a: \[ 12(-2+31k)+31(17-12k)=\underbrace{12\times(-2) + 31\times(17)}_{503}+\cancel{12\times 31k}-\cancel{12\times 31k}=503 \] \item Conclusion : les couples solutions de l'équation $12x + 31y = 503$ sont de la forme $(- 2 + 31k~;~17 - 12k)$ avec $k \in \mathbbm{Z}$. \end{itemize} \item Il existe un unique couple d'entiers relatifs $(x~;~y)$ tel que $1 \leqslant y \leqslant 12$: \[ 1 \leqslant y \leqslant 12 \Longleftrightarrow 1 \leqslant 17-12k \leqslant 12 \Longleftrightarrow -16 \leqslant -12k \leqslant -5 \Longleftrightarrow 5 \leqslant 12k \leqslant 16 \Longleftrightarrow \frac{5}{12} \leqslant k \leqslant \frac{16}{12} \] Ainsi $k=1$ est l'unique entier compris entre $\dfrac{5}{12}\simeq \numprint{0,4166}$ et $\dfrac{16}{12}\simeq \numprint{1,3333}$. L'unique couple recherché est donc: $(-2+31\times 1;17-12\times 1)= (29~;5)$ \textbf{Le spectateur est donc né un 29 mai.} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \section*{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \begin{enumerate} \item Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture. Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre. Lorsqu'il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 80\,\% des cas. Lorsqu'il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à $0,6$. \textbf{Affirmation \no 1 : VRAIE} \begin{minipage}{.5\textwidth} Arbre de probabilités: %:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/ \begin{center} % Racine à Gauche, développement vers la droite \begin{tikzpicture}[scale=.7] % Styles (MODIFIABLES) \tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick] \tikzstyle{noeud}=[circle] \tikzstyle{feuille}=[] \tikzstyle{etiquetteh}=[midway,above left,fill=white] \tikzstyle{etiquetteb}=[midway,below left,fill=white] % Dimensions (MODIFIABLES) \def\DistanceInterNiveaux{3} \def\DistanceInterFeuilles{2} % Dimensions calculées (NON MODIFIABLES) \def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauB{(1.5)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux} \def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles} % Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles) \node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {$.$}; \node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {Pl}; \node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$V$}; \node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$P$}; \node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{\text{Pl}}$}; \node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$V$}; \node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$P$}; % Arcs (MODIFIABLES : Styles) \draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquetteh] {$0,25$}; \draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquetteh] {$0,8$}; \draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquetteb] {$0,2$}; \draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquetteb] {$0,75$}; \draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquetteh] {$0,4$}; \draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquetteb] {$0,6$}; \end{tikzpicture} Pl: il pleut; V: en voiture; P: à pied \end{center} %:-+-+-+-+- Fin \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{.5\textwidth} On cherche $p(V)$: \begin{align*} p(V)&=p(V\cap \text{Pl})+p(V\cap \overline{\text{Pl}})\\ &=p_{\text{Pl}}(V)\times p(\text{Pl})+p_{\overline{\text{Pl}}}(V)\times p(\overline{\text{Pl}})\\ &= 0,8\times 0,25+0,4\times 0,75=0,5 \end{align*} \og Zoé utilise la voiture un jour sur deux. \fg \end{minipage} \item Dans l'ensemble $E$ des issues d'une expérience aléatoire, on considère deux événements $A$ et $B$. \textbf{Affirmation \no 2 : VRAIE} $A$ et $B$ sont indépendants signifie que $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$: $p(A) = p(A \:\cap\: B) + p\left(A\cap\overline{B}\right) = p(A) \times p(B) + p\left(A\cap\overline{B}\right) \Longrightarrow p\left(A \cap \overline{B}\right) = p(A) - p(A) \times p(B) = p(A) \left(1 - p(B)\right) = p(A)\times p\left(\overline{B}\right)$ \og Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ sont aussi indépendants. \fg \item On modélise le temps d'attente, exprimé en minutes, à un guichet, par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,7$. \textbf{Affirmation \no 3 : FAUX} \smallskip \hfill $p(T \leqslant 5)=\displaystyle\int_0^5 0,7\text{e}^{-0,7x}\text{d}x=\left\lbrack-\text{e}^{-0,7x}\right\rbrack_0^5 = 1 - \text{e}^{-0,7\times 5}\approx 0,97$\hfill\, \smallskip La probabilité qu'un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est: \smallskip \hfill $p(T>5) = 1 - p(T \leqslant 5) \approx 0,03$\hfill\, \smallskip \textbf{Affirmation \no 4 : FAUX} \[ E(X)=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{0,7}\simeq 1,42 \] \og Le temps d'attente moyen à ce guichet est d'environ 1 minute et demi.\fg \item% On sait que 39\,\% de la population française est du groupe sanguin A+ ($p=0,39$). % %On cherche à savoir si cette proportion est la même parmi les donneurs de sang. % %On interroge $n=183$ donneurs de sang et parmi eux, 34\,\% sont du groupe sanguin A+ ($f=0,34$). On va trouver un intervalle de confiance au seuil de 95\%. \textbf{Affirmation \no 5 : VRAIE} La proportion de personnes de groupe sanguin A+ dans la population française est $p=0,39$. La taille de l'échantillon est $n=183 \geqslant 30$; $np=183 \times 0,39 = 71,37 \geqslant 5$ et $n(1-p) =183 \times (1-0,39) = 111,63 \geqslant 5$. Donc on peut déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 5\,\% de la proportion de personnes ayant un groupe sanguin A+: \smallskip $I= \left[ p - 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \,;\, p + 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right] = \left[ 0,39 - 1,96 \dfrac{\displaystyle\sqrt{0,39\times 0,61}}{\sqrt{183}} \,;\, 0,39 + 1,96 \dfrac{\displaystyle\sqrt{0,39\times 0,61}}{\sqrt{183}}\right]$ \smallskip $I \approx \left[ 0,319 \,;\, 0,461 \rule[-3pt]{0pt}{12pt} \right] $ \smallskip % \[ % \left\lbrack f-\frac{1}{\sqrt{n}}\,;\,f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right\rbrack= % \left\lbrack 0,34-\frac{1}{\sqrt{183}}\,;\,0,34+\frac{1}{\sqrt{183}}\right\rbrack\subset \left\lbrack 0,26~;~0,42\right\rbrack\ni p=0,39 % \] Or $0,34 \in I$, donc on ne peut pas rejeter, au seuil de 5\,\%, l'hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 39\,\% comme dans l'ensemble de la population. \end{enumerate} \section*{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbbm{R}$ par \[ f(x) = \text{e}^x \quad \text{et} \quad g(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1 \] On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal. \begin{enumerate} \item Intersection de deux courbes: \hspace*{-1cm} \[ M(x~;~y)\in \mathcal{C}_{f}\cap \mathcal{C}_{g}\Longleftrightarrow f(x)=g(x)\Longleftrightarrow \text{e}^x=2\text{e}^{\frac{x}{2}}-1\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} X=\text{e}^{\frac{x}{2}}\\ X^2 - 2X + 1 = (X - 1)^2=0 \end{array}\right.\Longleftrightarrow \text{e}^{\frac{x}{2}}=1\Longleftrightarrow x=0 \] Ainsi $M$ a pour coordonnées $(0\,;\,1)$. \[ f'(x)=\text{e}^x\Longrightarrow f'(0)=1\quad;\quad g'(x)=\text{e}^{\frac{x}{2}}\Longrightarrow g'(0)=1 \] En $M$, leurs tangentes ont, toutes deux le même c\oe fficient directeur $1$, elles ont donc même tangente $\Delta$ d'équation $y-1=1(x-0)\Longleftrightarrow y=x+1$. \item Étude de la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et de la droite $\Delta$ Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbbm{R}$ par $h(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - x - 2$. \begin{enumerate} \item Limite de la fonction $h$ en $- \infty$: \[ \lim_{x\to-\infty}h(x)=\lim_{x\to-\infty}(-x)=+\infty\ \text{car}\ \lim_{x\to-\infty}\text{e}^{\frac{x}{2}}=0 \] \item Pour tout réel $x$ \[ x\left(\frac{\text{e}^{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}}-1-\dfrac{2}{x}\right)=\cancel{x}\times\text{e}^{\frac{x}{2}}\times \frac{2}{\cancel{x}}-x-\cancel{x}\frac{2}{\cancel{x}}=2\text{e}^{\frac{x}{2}} - x - 2=h(x) \] Limite de la fonction $h$ en $+ \infty$: \[ \lim_{x\to+\infty}h(x)=\lim_{x\to+\infty}x\times \frac{\text{e}^{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}}=+\infty,\ \text{car}\ \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}=0\ \text{et}\ \lim_{X=\frac{x}{2}\to+\infty}\frac{\text{e}^X}{X}=+\infty \] \item Fonction dérivée de la fonction $h$ sur $\mathbbm{R}$: \[ h'(x)=2\times\frac{1}{2}\text{e}^{\frac{x}{2}}-1=\text{e}^{\frac{x}{2}}-1 \] \[ h'(x)>0\Longleftrightarrow \text{e}^{\frac{x}{2}}>1 \Longleftrightarrow \frac{x}{2}>0\Longleftrightarrow x>0\ \text{et}\ h'(x)<0\Longleftrightarrow \text{e}^{\frac{x}{2}}<1 \Longleftrightarrow \frac{x}{2}<0\Longleftrightarrow x<0 \] \item Tableau de variations de la fonction $h$ sur $\mathbbm{R}$: \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit{$x$ /.5,$h'(x)$ /.5,$h(x)$ /1.2}{$-\infty$,$0$,$+\infty$} \tkzTabLine{,-,z,+,} \tkzTabVar{+/$+\infty$,-/$0$,+/$+\infty$} \end{tikzpicture} \end{center} \item La fonction $h$ possède un minimum en $0$ qui est $0$. Donc: \[ \forall x,\ x\in\mathbbm{R},\ h(x)\geqslant 0\Longleftrightarrow 2\text{e}^{\frac{x}{2}}-x-2=2\text{e}^{\frac{x}{2}}-1-x-1\geqslant 0\Longleftrightarrow 2\text{e}^{\frac{x}{2}}-1\geqslant x+1 \] \item Ainsi la courbe $\mathcal{C}_{g}$ se trouve au dessus de la droite d'équation $y = x + 1$ qui est la droite $\Delta$. \end{enumerate} \item Étude de la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ \begin{enumerate} \item On a vu plus haut (question 1.) que, pour tout réel $x$, $\left(\text{e}^{\frac{x}{2}}-1\right)^2=f(x)-g(x)\geqslant 0$. \item Ainsi la courbe $\mathcal{C}_{f}$ se trouve au dessus de la courbe $\mathcal{C}_{g}$. Ainsi, $\left|f(x)- g(x)\right| = \left(f(x) - g(x)\right)$. \end{enumerate} \item Aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$: \begin{align*} \mathcal{A}&=\int_0^1\left|f(x)-g(x)\right|\text{d}x=\int_0^1\left(f(x)+g(x)\right)\text{d}x=\int_0^1\text{e}^x\text{d}x-4\int_0^1\frac{1}{2}\text{e}^{\frac{x}{2}}\text{d}x+\int_0^1\text{d}x\\ &= \left\lbrack\text{e}^x\right\rbrack_0^1-4\left\lbrack\text{e}^{\frac{x}{2}}\right\rbrack_0^1+\left\lbrack x\right\rbrack_0^1=\text{e}-1-4\text{e}^{\frac{1}{2}}+4+1=\text{e}-4\sqrt{\text{e}}+4\simeq 0,123 \end{align*} \end{enumerate} \begin{center} \begin{tabular}{cc} \psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(-3,-2.1)(3.5,4.5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2.1)(3.5,4.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3}{3}{2.71828 x 2 div exp 2 mul x sub 2 sub} \rput(2.5,3.5){$\mathcal{C}_{h}$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture}& \psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture*}(-3,-2.1)(3.5,4.5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2.1)(3.5,4.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3}{3}{ x 1 add} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3}{3}{2.71828 x exp} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3}{3}{2.71828 x 2 div exp 2 mul 1 sub} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan]{ \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{2.71828 x exp} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{1}{0}{2.71828 x 2 div exp 2 mul 1 sub} } \rput(1,3.5){$\mathcal{C}_{f}$} \rput(2,3.6){$\mathcal{C}_{g}$} \rput(3,3.5){$\Delta$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{tabular} \end{center} %\begin{tikzpicture} %\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,ymin=-2,ymax=4] %\tkzAxeXY %\tkzFct[domain=-3:3]{2*exp(\x/2)-\x-2} %\tkzText(2.5,4){$\mathcal{C}_h$} %\end{tikzpicture}\hfill %\begin{tikzpicture} %\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,ymin=-2,ymax=4] %\tkzAxeXY %\tkzFct[domain=-3:3]{exp(\x)} %\tkzFct[domain=-3:3]{2*exp(\x/2)-1} %\tkzDrawAreafg[draw,fill=blue,domain=0:1] %\tkzFct[domain=-3:3]{\x+1} %\tkzText(1.15,4){$\mathcal{C}_f$} %\tkzText(1.9,3.5){$\mathcal{C}_g$} %\tkzText(2.8,3.2){$\Delta$} %\end{tikzpicture} %\end{center} %\end{document} \end{document}