\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add} \usepackage{tikz,tkz-tab} \usepackage{esvect} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \headheight15 mm \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité}, pdftitle = {Amérique du Nord Sujet 1 21 mai 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\text{e}} \renewcommand\arraystretch{1.3} \frenchsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat spécialité sujet 1} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{21 mai 2024}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Amérique du Nord 21 mai 2024~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item D'après l'énoncé, on a : $p(R) = 0,07$ ; $p_R (E) = 0,8$ et $p_{\overline{R}}(E) = 0,4$ On en déduit l'arbre pondéré modélisant la situation : \begin{center} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] \clip(0.68,2.16) rectangle (8,6.); \draw [line width=1.pt] (1.,4.)-- (3.,4.6); \draw [line width=1.pt] (1.,4.)-- (3.,3.4); \draw [line width=1.pt] (3.7,4.75)-- (5.7,5.35); \draw [line width=1.pt] (3.7,4.75)-- (5.7,4.35); \draw [line width=1.pt] (3.7,3.25)-- (5.7,3.65); \draw [line width=1.pt] (3.7,3.25)-- (5.7,2.65); \draw (3.1,5) node[anchor=north west] {$R$}; \draw (3.1,3.6) node[anchor=north west] {$\overline R$}; \draw (5.8,5.75) node[anchor=north west] {$E$}; \draw (5.8,4.65) node[anchor=north west] {$\overline E $}; \draw (5.8,3.) node[anchor=north west] {$\overline E $}; \draw (5.8,4.) node[anchor=north west] {$E$}; \draw (1.7,5) node[anchor=north west] {$0,07$}; \draw (1.7,3.5) node[anchor=north west] {$0,93$}; \draw (4.2,5.7) node[anchor=north west] {$0,8$}; \draw (4.2,4.5) node[anchor=north west] {$0,2$}; \draw (4.2,2.96) node[anchor=north west] {$0,6$}; \draw (4.2,4) node[anchor=north west] {$0,4$}; \end{tikzpicture} \end{center} et on a : $p(R\cap E) = p(R)\times p_{R}(E)= 0,07\times 0,8 = 0,056$ \item $R$ et $\overline R$ constituent une partition de l'univers. D'après la loi des probabilités totales: $p(E) = p(R\cap E) + p \left (\overline{R}\cap E\right )$ donc $p(E)= p(R)\times p_{R}(E) + p(\overline{R})\times p_{\overline{R}}(E)$ donc $p(E) =0,056+0,93\times 0,4=0,428$. \item On cherche la probabilité que le joueur obtienne un objet rare sachant qu'il a tiré une épée. $p_{E}(R)=\dfrac{p(R \cap E)}{p(E)}=\dfrac{0,056}{0,428} \approx 0,131$ au millième près. \end{enumerate} \textbf{Partie B} \begin{enumerate} \item Les 30 défis constituent une répétition d'expériences aléatoires identiques et indépendantes à deux issues, il s'agit donc d'un schéma de Bernoulli. La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(\,30\,;\,0,07)$ de paramètres $n=30$ et $p=0,07$ Son espérance est $E(X)=n \times p = 30 \times 0,07=2,1$ \item $p(X < 6) = p(X \leqslant 5 ) \approx 0,984$ au millième près. \item On cherche le plus grand entier $k$ tel que $p(X \geqslant k) \geqslant 0,5$ $p(X \geqslant k) \geqslant 0,5 \iff 1 - p(X < k) \geqslant 0,5 \iff -p(X < k) \geqslant -0,5 \iff$ $p(X0$ ) donc par somme $\lim\limits_{x \to 0} f(x)=-\infty$ L’axe des ordonnées est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$. \end{itemize} \item On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $]0\, ;\, +\infty[$. \begin{enumerate} \item $f$ est dérivable sur $]0\, ;\, +\infty[$ comme somme de fonctions dérivables : $ f= uv - w$ avec $u(x)=x$ ; $v(x)=\ln\left(x^2\right)$ et $w(x)=\dfrac{1}{x}$ donc $ f'=u'v+ v'u - w'$ avec $u'(x)=1$ ; $v'(x)=\dfrac{2x}{x^2}=\dfrac{2}{x}$ et $w'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ donc $f'(x)=1 \times \ln\left(x^2\right) + \dfrac{2}{x} \times x + \dfrac{1}{x^2} =\ln\left(x^2\right) +2+ \dfrac{1}{x^2}=2\ln\left(x\right) + 2 + \dfrac{1}{x^2}$. \item $f'$ est dérivable sur $]\,0\, ;\, +\infty\,[$ comme somme de fonctions dérivables $f''(x)= \dfrac{2}{x}+ \dfrac{-2x}{x^4}= \dfrac{2x^2}{x^3}-\dfrac{2}{x^3}= \dfrac{2(x^2-1)}{x^3}=\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On étudie le signes de $f''(x)$ : \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3]{$x$ / 1 , signes de $x+1$ / 1, signes de $x-1$ / 1, signes de $x^3$ / 1, signes de $f''(x)$ / 1}{$0$, $1$, $+\infty$} \tkzTabLine{ , +, , +, } \tkzTabLine{ , -, z, +, } \tkzTabLine{ , +, , +, } \tkzTabLine{d , -, z, +, } \end{tikzpicture} $f$ est donc concave sur $]0\,;\, 1[$ et convexe sur $]1\, ;\, +\infty[$. La dérivée s'annulant en $x = 1$ en changeant de signe, $\mathcal{C}_f$ a un point d'inflexion en $x = 1$ , c'est le point A$(1\, ; \,-1)$. \item On utilise le tableau de signes de $f''(x)$ pour établir le tableau de variations de $f'$ : \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3]{$x$ / 1 , signes de $f''(x)$ / 1, variations de $f'$ / 1.5}{$0$, $1$, $+\infty$} \tkzTabLine{d , -, z, +, } \tkzTabVar{D+/ , -/ $3$, +/ } \end{tikzpicture} $f'(1) = 2\ln\left(1\right) +2+ \dfrac{1}{1^2} =3.$ $f'$ admet pour minimum 3 sur $]0\, ;\, +\infty[$ donc $\forall x \in ]0\, ;\, +\infty[$ , $f'(x) > 0$ donc $f$ est croissante sur $]0\, ;\, +\infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$ donc $0 \in \left] \,\lim\limits_{x \to 0} f(x)\,;\, \,\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\right[$. De plus $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0\, ;\, +\infty[$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires (son corollaire) l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0\, ;\, +\infty[$. \item En utilisant la calculatrice on trouve $1,327 \leqslant \alpha \leqslant1,328$ donc $\alpha \approx 1,33$ au centième près. de plus $f(\alpha)=0 \iff \alpha \ln\left(\alpha^2\right)-\dfrac{1}{\alpha}= 0 \iff \ln\left(\alpha^2\right) =\dfrac{1}{\alpha^2} \iff \alpha^2= \text{exp}\left( \dfrac{1}{\alpha^2}\right)$ par croissance de la fonction exponentielle. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item $I_0 = \displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, \mathrm{d}x = \left[ -\cos(x) \right]_0^{\pi} =- \cos(\pi) + \cos(0)=-(-1)+1 = 2$. \item \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$ , on a : $\forall x \in [\,0\,;\,\pi\,]$, $\sin(x) \geqslant 0$ et $\e^{-nx} >0$ donc $\forall x \in [\,0\,;\,\pi\,]$, $\e^{-nx}\sin(x) \geqslant 0$. donc $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \e^{-nx} \sin(x) \, \mathrm{d}x \geqslant 0$ donc pour tout entier naturel $n$ , on a $I_n \geqslant 0$. \item $I_{n+1}-I_n= \displaystyle \int_{0}^{\pi} \e^{-(n+1)x} \sin(x) \, \mathrm{d}x - \displaystyle \int_{0}^{\pi} \e^{-nx} \sin(x) \, \mathrm{d}x =\displaystyle \int_{0}^{\pi} \e^{-(n+1)x} \sin(x) -\e^{-nx} \sin(x) \, \mathrm{d}x $ par linéarité. Donc $I_{n+1}-I_n=\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin(x) \left(\e^{-nx} \times \e^{-x} - \e^{-nx}\right)\, \mathrm{d}x = \displaystyle \int_{0}^{\pi} \e^{-nx} \sin(x) \left(\e^{-x} -1\right)\, \mathrm{d}x$ $\forall x \in [0\,;\,\pi]$, $\e^{-nx}\sin(x) \geqslant 0$ de plus $x \in [0\,;\,\pi] \iff 0 \leqslant x \leqslant \pi \iff -\pi \leqslant -x \leqslant 0 \iff \e^{-\pi} \leqslant \e^{-x} \leqslant \e^0 $ car la fonction exp est croissante. donc $\forall x \in [0\,;\,\pi]$, $\e^{-x} \leqslant 1 \iff \e^{-x}-1 \leqslant 0$ donc $\forall x \in [0\,;\,\pi]$, $\e^{-nx}\sin(x) \left(\e^{-x}-1 \right) \leqslant 0$, donc par propriété des intégrales, $ \displaystyle \int_{0}^{\pi} \e^{-nx} \sin(x) \left(\e^{-x} -1\right)\, \mathrm{d}x \leqslant 0$ donc pour tout entier naturel $n$ , on a $I_{n+1}-I_n \leqslant 0$. \item Pour tout entier naturel $n$ , on a $I_{n+1} \leqslant I_n $ donc la suite $\left( I_n \right)$ est décroissante et pour tout entier naturel $n$ , on a $I_n \geqslant 0$ donc $\left( I_n \right)$ est minorée par $0$. Donc d'après le théorème de convergence monotone, la suite $\left(I_n \right)$ converge. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\forall x \in [\,0\,;\,\pi\,]$, $\sin(x) \leqslant 1$ donc $\forall x \in [\,0\,;\,\pi\,]$, $\e^{-nx} \sin(x) \leqslant \e^{-nx} $ donc par propriété de l'intégration : $I_n \leqslant \displaystyle \int_{0}^{\pi} \e^{-nx} \, \mathrm{d}x$ \item Soit $n \geqslant 1$ , $ \displaystyle \int_{0}^{\pi} \e^{-nx} \, \mathrm{d}x = \left[ \dfrac{-1}{n} \e^{-nx} \right]_{0}^{\pi} = \dfrac{-1}{n} \e^{-n\pi}- \dfrac{-1}{n} \e^{0} =\dfrac{1}{n} \left(-\e^{-n\pi} +1 \right) = \dfrac{1- \e^{-n\pi}}{n}$ \item Pour tout entier naturel $n$ , $0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n}$. Or $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n} = 0$ car $\lim\limits_{n \to +\infty} \e^{-n\pi}= 0$. Donc d'après le théorème d'encadrement, $\lim\limits_{n \to +\infty} I_n = 0$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $I_n = \displaystyle \int_{0}^{\pi} \e^{-nx} \sin(x) \, \mathrm{d}x$ \begin{itemize} \item On pose $u(x)=\e^{-nx}$ et $v'(x)=\sin(x)$ ; donc $u'(x)=-n\e^{-nx}$ et $v(x)= -\cos(x)$. D'après la formule d'intégration par parties: $\displaystyle\int_{0}^{\pi} u(x)v'(x) \text{d} x = \left [ u(x)v(x)\strut \right ]_{0}^{\pi} - \displaystyle\int_{0}^{\pi} u'(x)v(x)\text{d} x$ donc $I_{n}= \left [- \e^{-nx}\cos(x) \right ]_{0}^{\pi} - \displaystyle\int_{0}^{\pi} n\e^{-nx}\cos(x) \text{d}x =$ $\left( - \e^{-n\pi}\cos(\pi) + \e^{0}\cos(0)\right) - n \displaystyle\int_{0}^{\pi} \e^{-nx}\cos(x) \text{d} x $ donc $I_{n}= \e^{-n\pi} +1 - n J_n$ \item On pose $u(x)=\sin(x)$ et $v'(x)= \e^{-nx}$ ; donc $u'(x) = \cos(x)$ et $v(x) = \dfrac{-1}{n}\e^{-nx} $. D'après la formule d'intégration par parties: $\displaystyle\int_{0}^{\pi} u(x)v'(x) \text{d} x = \left [ u(x)v(x)\strut \right ]_{0}^{\pi} - \displaystyle\int_{0}^{\pi} u'(x)v(x)\text{d} x$ donc $I_{n}= \left [\dfrac{-1}{n}\e^{-nx} \sin(x) \right ]_{0}^{\pi} - \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{-1}{n}\e^{-nx} \cos(x) \text{d} x = $ $\left(\dfrac{-1}{n}\e^{-n\pi} \sin(\pi) -\dfrac{-1}{n}\e^{0} \sin(0) \right) +\dfrac{1}{n} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \e^{-nx}\cos(x) \text{d}x$. Donc $I_{n}=\dfrac{1}{n} J_n$ \end{itemize} \item Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ , $I_{n}=\dfrac{1}{n} J_n$ donc $J_n=nI_n$ de plus $I_{n}= \e^{-n\pi} +1 -n J_n$ donc $I_{n}= \e^{-n\pi} +1 -n^2 I_n$ $I_{n}= \e^{-n\pi} +1 -n^2 I_n \iff I_n + n^2I_n= \e^{-n\pi} +1 \iff (n^2+1)I_n=\e^{-n\pi} +1 \iff I_n= \dfrac{1+ \e^{-n\pi}}{n^2+1}$. \end{enumerate} \item On souhaite obtenir le plus petit entier $n$ tel que $I_n < 0,1$. Il faut écrire à la cinquième ligne du script Python : $\texttt{ while I >= 0.1 :}$. \end{enumerate} \end{document}