\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : François Kriegk (avec le site https://mathpix.com/pdf-to-latex) %Sujet fourni par : Frank Madigou, Jennifer Faber et Amélie Daniel, %Relecture : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add} \usepackage{tikz} \usepackage{esvect} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.3cm, right=3.3cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \headheight15 mm \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} %\hypersetup{% % pdfauthor = {APMEP}, % pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité}, % pdftitle = {Amérique du Nord Sujet 1 21 mai 2024}, % allbordercolors = white, % pdfstartview=FitH} %\frenchsetup{StandardLists=true} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat spécialité sujet 1} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{21 mai 2024}} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \setlength\parindent{0mm} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Amérique du Nord ~\decofourright\\[7pt]21 mai 2024 Jour 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}} \end{center} \bigskip \textbf{\large \textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip %Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L'objet tiré peut être \og commun \fg{} ou \og rare \fg. Deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers. % %Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que : % %\begin{itemize} %\item la probabilité de tirer un objet rare est de 7\,\% ; %\item si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de 80\,\% ; %\item si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de 40\,\%. %\end{itemize} % %\emph{Les parties \textbf{\rm A} et \textbf{\rm B} sont indépendantes.} % %\bigskip \textbf{Partie A} \medskip %Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet. On note : % %\begin{itemize}[label=$\bullet~$] %\item $R$ l'évènement \og le joueur tire un objet rare\fg{} ; %\item $E$ l'évènement \og le joueur tire une épée \fg{} ; %\item $\overline{R}$ et $\overline{E}$ les évènements contraires des évènements $R$ et $E$. %\end{itemize} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer $P(R \cap E)$. On dresse l'arbre pondéré de probabilités en utilisant les données de l'énoncé : $p(R) = 0,07 \:; p_R(E) = 0,8$ et $p_{\overline{R}}(E) = 0,4$: \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$R~~$}\taput{0,07}} {\TR{$E$}\taput{0,8} \TR{$\overline{E}$}\tbput{\red 0,2} } \pstree{\TR{$\overline{R}~~$}\tbput{\red 0,93}} {\TR{$E$}\taput{0,4} \TR{$\overline{E}$}\tbput{\red 0,6} } } \end{center} On a $p(R \cap E) = p(R) \times p_{R}(E) = 0,07 \times 0,8 = 0,056$. \item %Calculer la probabilité de tirer une épée. D'après la loi des probabilités totales : $p(E) = p(R \cap E) + p\left(\overline{R} \cap E\right)$. Or $p\left(\overline{R} \cap E\right) = p\left(\overline{R}\right) \times p_{\overline{R}}(E) = 0,93 \times 0,4 = 0,372$. Donc $p(E) =0,056 + 0,372 = 0,428$. \item %Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième. On a $p_{E}(R) = \dfrac{p(E \cap R)}{p(E)} = \dfrac{p(R \cap E)}{p(E)} = \dfrac{0,056}{0,428} = \dfrac{56}{428} = \dfrac{14}{107} \approx \np{0,1308}$ soit 0,131 au millième près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %Un joueur remporte $30$ défis. % %On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre d'objets rares que le joueur obtient après avoir remporté $30$ défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants. \medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance. Les évènements étant indépendants et la probabilité d'obtenir un objet rare étant toujours égale à 0,07, la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,\:p)$ avec $n = 30$ et $p = 0,07$. L'espérance mathématique est $E = n \times p = 30 \times 0,07 = 2,1$. \item %Déterminer $P(X < 6)$. Arrondir le résultat au millième. La calculatrice donne $P(X < 6) \approx \np{0,9838}$ soit 0,984 au millième près. \item %Déterminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X \geqslant k) \geqslant 0,5$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. Quel que soit $k \in \N$, \: $p(X \geqslant k + 1) = 1 - p(X \leqslant k)$. D'après la calculatrice : $p(X \geqslant 1 + 1) = 1 - p(X \leqslant 1) \approx 0,631$, et $p(X \geqslant 2 + 1) = 1 - p(X \leqslant 2) \approx 0,351$, on a donc $k = 2$. Dans le cadre du jeu ceci signifie que la probabilité d'obtenir au moins 2 objets rares est supérieure à $\dfrac12$. \item %Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d'acheter un \og ticket %d'or \fg{} qui permet de tirer $N$ objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de 7\,\%. %Les développeurs aimeraient qu'en achetant un ticket d'or, la probabilité qu'un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supérieure ou égale à $0,95$. % %Déterminer le nombre minimum d'objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en œuvre. Soit $Y$ la variable correspondant au nombre d'objets rares que le joueur obtient après avoir remporté $N$ défis Il faut donc trouver $Y$ tel que $p(Y \geqslant 1) \geqslant 0,95$ ou encore $1 - p(X = 0) \geqslant 0,95 \iff p(X = 0) \leqslant 1 - 0,95 \iff p(X = 0) \leqslant 0,05$. Or $p(X = 0) = \binom{N}{0} \times 0,07^0 \times (1 - 0,07)^N = 0,93^N$. Il faut donc résoudre l'inéquation : $0,93^N \leqslant 0,05 \Rightarrow N \ln 0,93 \leqslant \ln 0,05$ par croissance de la fonction logarithme népérien et enfin $N \geqslant \dfrac{\ln 0,05}{\ln 0,93}$, car $\ln 0,93 < 0$ et son inverse $\dfrac{1}{\ln 0,93}$ aussi. D'après la calculatrice $\dfrac{\ln 0,05}{\ln 0,93} \approx 41,3$. Conclusion : il faut que $N \geqslant 42$. À partir de 42 succès la probabilité d'obtenir un objet rare est supérieure ou égale à 0,95. \end{enumerate} \newpage \textbf{\large \textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip %\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\ %Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ %Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\ %Aucune justification n'est demandée. \\ %Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.} % %\emph{Les cinq questions sont indépendantes.} % %\medskip % %L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. % %\medskip \begin{enumerate} \item On considère les points A(1~;~0~;~3) et B(4~;~1~;~0). Une représentation paramétrique de la droite (AB) est: %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} %\textbf{a.~}$\left\{\begin{array}{l c l} %x &=& \phantom{-}3 + t \\ %y &=& \phantom{-}1\\ %z &=& - 3 +3t %\end{array}\right.$ avec $t \in \R$&\textbf{b.~}$\left\{\begin{array}{l c l} %x &=& 1+4t\\ %y &=&\phantom{1 + 4}t\\ %z &=& 3\end{array}\right.$ avec $t \in \R$\\ %\textbf{c.~}$\left\{\begin{array}{l c l} %x &=& 1 + 3t\\ %y &=&\phantom{1 + 3}t\\ %z&=&3 - 3t %\end{array}\right.$ avec $t \in \R$&\textbf{d.~}$\left\{\begin{array}{l c l} %x&=&4 + t\\ %y&=&1\\ %z&=&3 - 3t %\end{array}\right.$ avec $t \in \R$ %\end{tabularx} %\end{center} On a $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}3\\1\\-3\end{pmatrix}$. $M(x~;~y~;~z) \in (\text{AB}) \iff \vect{\text{A}M} = t\vect{\text{AB}}, \: t \in \R \iff $ $\left\{\begin{array}{l c l}x - 1&=&3t\\y - 0&=&1t\\z - 3&=&- 3t, \end{array}\right. \: t \in \R\iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 + 3t\\ y &=&\phantom{1 + 3}t\\ z&=&3 - 3t \end{array}\right.\: t \in \R$ Réponse \textbf{c.~} On considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&3 + 4t\\ y&=&\phantom{3 + }6t\\ z&=&4 - 2 t \end{array}\right.$ avec $t \in \R$ \item %Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $(d)$ ? %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} %\textbf{a.~} M(7~;~6~;~6) &\textbf{b.~} N(3~;~6~;~4) &\textbf{c.~}P$(4~;~6~;~-2)$&\textbf{d.~} R$(-3~;~-9~;~7)$ %\end{tabularx} %\end{center} Réponse \textbf{d}. \item %On considère la droite $(d')$ de représentation paramétrique %$\left\{\begin{array}{l c l} %x&=&- 2 + 3k\\y&=&- 1 - 2k\\ %z&=&\phantom{-}1 + k %\end{array}\right.$ avec $k \in \R$ % %Les droites $(d)$ et $(d')$ sont: % %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} %\textbf{a.~} sécantes &\textbf{b.~} non coplanaires&\textbf{c.~} parallèles&\textbf{d.~} confondues %\end{tabularx} %\end{center} $\bullet~~$Les deux droites ont pour vecteurs directeurs respectifs : $\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}$ : ces vecteurs ne sont pas colinéaires, les droites ne sont pas parallèles. $\bullet~~$Les deux droites sont sécantes s'il existe deux réels $t$ et $k$ tels que : $\left\{\begin{array}{l c l} 3 + 4t&=&- 2 + 3k\\ 6t&=&- 1 - 2k\\ 4 - 2t&=&1 + k \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} 4t&=&3k - 5\\6t&=&- 2k - 1\\ - 2t&=&k - 3\end{array}\right.$ Par différence de la ligne 1 et de la ligne 2, on obtient$ -2t = 5k - 4 = k - 3$ (ligne 3) soit $4k = 1 \iff k = \dfrac14$, puis comme $- 2t = k - 3 = \dfrac14 - 3 = - \dfrac{11}{4}$, d'où $t = \dfrac{11}{8}$, mais la première ligne donne $4t = 3k - 5 = \dfrac34 - 5 = - \dfrac{17}{4}$, d'où $t = \dfrac{17}{8}$ : ceci n'est pas possible : les deux droites ne sont pas sécantes. $\bullet~~$Les deux droites ne sont pas confondues : il reste la réponse \textbf{b.} \item %On considère le plan $(P)$ passant par le point I(2~;~1~;~0) et perpendiculaire à la droite $(d)$. %Une équation du plan $(P)$ est: % %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} %\textbf{a.~} $2x + 3y - z - 7=0$&\textbf{a.~} $- x + y - 4z + 1 = 0$\\ %\textbf{b.~} $4x + 6y - 2z + 9 = 0$&\textbf{d.~} $2x + y + 1 = 0$. Le vecteur $\vect{n}$ vecteur directeur de $(d)$ est un vecteur normal au plan $(P)$ . On a donc $M(x~;~y~;~z) \in (P) \iff \vect{\text{I}M} \cdot \vect{n} = 0 \iff 4(x - 2) + 6(y - 1) - 2(z - 0) = 0 \iff 4x - 8 + 6y - 6 - 2z = 0 \iff 4x + 6y -2z - 14 = 0 \iff 2x + 3y - z - 7 = 0$ : réponse \textbf{a.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large \textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : \[f(x) = x\ln \left(x^2\right) -\dfrac 1x.\] \smallskip \textbf{Partie A : lectures graphiques} \medskip On a tracé ci-dessous la courbe représentative $(\mathcal{C}_f)$ de la fonction $f$, ainsi que la droite $(T)$, tangente à la courbe $(\mathcal{C}_f)$ au point A de coordonnées $(1~;~-1)$. Cette tangente passe également par le point B$(0~;~-4)$. \begin{center} \psset{xunit=1.5cm,yunit=0.6cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-0.4,-7.2)(4,7.1) \multido{\n=1+1}{4}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-7)(\n,7)} \multido{\n=-7+1}{15}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n,)(4,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false]{->}(0,0)(-0.4,-7)(4,7) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.1}{4}{x dup mul ln x mul 1 x div sub} \psplotTangent{1}{3}{x dup mul ln x mul 1 x div sub} \uput[l](3,6){\red $\mathcal{C}_f$}\uput[dr](3,5){$T$} \uput[dr](1,-1){A}\uput[dr](0,-4){B} \psline[linewidth=1.75pt,ArrowInside=->](1,-1)(2,-1)(2,2) \uput[d](1.5,-1){1}\uput[r](2,0.5){3} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item %Lire graphiquement $f'(1)$ et donner l'équation réduite de la tangente $(T)$. Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1 est le nombre dérivé $f'(1)$ ; on lit sur le graphique $f'(1) = \dfrac31 = 3$. L'ordonnée à l'origine est égale à $- 4$, donc l'équation réduite de la tangente $(T)$ est \[M(x~;~y) \in (T) \iff y = 3x - 4.\] \item %Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave. $\bullet~$ il semble que $f$ est concave sur ]0~;~1[ ; $\bullet~$ il semble que $f$ est convexe sur $]1~;~+ \infty[$. %Que semble représenter le point A pour la courbe $(\mathcal{C}_f)$ ? Le point A semble être un point d'inflexion de la courbe $(\mathcal{C}_f)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : étude analytique} \medskip \begin{enumerate} \item ~%Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$, puis sa limite en $0$. $\bullet~~$On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac 1x = 0, \: \displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(x^2\right) = + \infty$ ; donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. $\bullet~~$Avec $f(x) = 2x \ln x - \dfrac1x$, on sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac 1x = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) = - \infty$ (l'axe des ordonnées est asymptote verticale de $(\mathcal{C}_f)$ au voisinage de zéro. \item On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \begin{enumerate} \item %Déterminer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Les fonctions $x \longmapsto x$, \: $x \longmapsto \ln \left(x^2 \right)$ et $x \longmapsto - \dfrac 1x$ sont dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ et l'on a : $f'(x) = \ln \left(x^2 \right) + x \times \dfrac{2x}{x^2} + \dfrac{1}{x^2} = \ln \left(x^2 \right)+ 2 + \dfrac{1}{x^2}$ ou $f'(x) = 2\ln x + 2 + \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item %Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$, %\[f''(x) = \dfrac{2(x + 1)(x - 1)}{x^3}.\] En dérivant $f'(x)$ on obtient : $f''(x) = \dfrac2x - \dfrac{2x}{x^4} = \dfrac2x - \dfrac{2}{x^3} = \dfrac{2x^2 - 2}{x^3} = \dfrac{2\left(x^2 - 1\right)}{x^3} = \dfrac{2(x + 1)(x - 1)}{x^3}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Comme $x^3 > 0$ sur $]0~;~+ \infty[$, le signe de $f''(x)$ est celui de $(x + 1)(x - 1)$ et comme $x + 1 > 1 > 0$, le signe de $f''(x)$ est celui de $x - 1$. Conclusion : $\bullet~~$Sur $]0~;~1[,\: x < 1, \: f''(x) < 0$ : la fonction est concave ; $\bullet~~$Sur $]1~;~+\infty[,\: x > 1, \: f''(x) > 0$ : la fonction est convexe ; $\bullet~~$pour $x = 1$, la dérivée seconde s'annule en changeant de signe : le point A est le point d'inflexion de $(\mathcal{C}_f)$. \item %Étudier les variations de la fonction $f'$, puis le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Du signe de $f''(x)$ on en déduit les variations de $f'$ qui est décroissante sur ]0~;~1[ puis croissante sur $[1~;~+ \infty[$, donc $f'(1) = 2 + 1 = 3$ (vu à la question \textbf{1.}). Comme 3 est le minimum de $f'$, on en déduit que $f'(x) > 0$ sur $]0~;~+ \infty[$ et par conséquent la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R_+^*$. %En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Tableau de variations de $f$ : \begin{center} \psset{unit=1.75cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(7,3.8) %\psgrid \psframe(7,3.8)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,3)(7,3)\psline(0,3.5)(7,3.5)\psline(1,0)(1,3.8) \psline[linecolor=red](1.1,0)(1.1,3.5)\psline[linecolor=red](1.15,0)(1.15,3.5) \uput[u](0.5,3.5){$x$} \uput[u](1.125,3.5){$0$} \uput[u](3,3.5){$1$} \uput[u](5,3.5){$2$} \uput[u](6.7,3.5){$+\infty$} \rput(0.5,3.25){$f''(x)$}\uput[u](2,3.1){$-$}\uput[u](3,3.1){$0$}\uput[u](4,3.1){$+$}\uput[u](6,3.1){$+$}\uput[u](3,2){3} \rput(0.5,2.5){$f'(x)$}\psline{->}(1.2,2.8)(2.75,2.1) \psline{->}(3.3,2.1)(6.8,2.8) \psline{->}(1.5,0.5)(6.5,1.5)\uput[u](1.4,0){$-\infty$}\uput[d](6.6,2){$+ \infty$} \rput(0.5,1){$f$}\rput(3,0.85){$-1$}\rput(5,1.2){$\approx 2,27$} \end{pspicture} \end{center} Sur l'intervalle ]1~;~2[ la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante avec $f(1) < 0$ et $f(2) > 0$ : d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un nombre unique $\alpha \in ]1~;~2[$ tel que $f(\alpha) = 0$. \item %Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$ et montrer que $\alpha$ vérifie : %\[\alpha^2 = \text{exp} \left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right).\] La calculatrice donne $f(1,3) \approx - 0,09$ et $f(1,4) \approx 0,23$ donc $1,3 < \alpha < 1,4$, puis $f(1,32) \approx - 0,02$ et $f(1,33) \approx 0,007$, d'où $1,32 < \alpha < 1,33$ et enfin $f(1,327) \approx - 0,003$ et $f(1,328) \approx 0,0004$, donc $\alpha \approx 1,33$ au centième près. On sait que $\alpha$ est solution de $f(x) = 0 \iff x \ln \left(x^2 \right) - \dfrac1x = 0 \iff $ $ x\ln \left(x^2 \right) = \dfrac{1}{x} \iff \ln \left(x^2\right) = \dfrac{1}{x^2}$ et enfin par croissance de la fonction exponentielle : $\exp\left(\ln \left(x^2\right)\right) = \exp\left(\dfrac{1}{x^2}\right) \iff x^2 = \exp\left(\dfrac{1}{x^2}\right)$. $\alpha$ vérifie cette équation donc $\alpha^2 = \text{exp} \left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large \textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip %Pour tout entier naturel $n$, on considère les intégrales suivantes : \[I_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\sin (x)\:\text{d}x, \quad J_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{-nx}\cos (x)\:\text{d}x.\] \medskip \begin{enumerate} \item %Calculer $I_0$. $I_0 = \displaystyle\int_0^{\pi} 1 \times \sin (x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^{\pi} \sin (x)\:\text{d}x = [- \cos x]_0^{\pi} = - \cos \pi - (- \cos 0) = 1 + 1 = 2$. \item \begin{enumerate} \item %Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $I_n \geqslant 0$. On sait que $0 \leqslant x \leqslant \pi \Rightarrow 0 \leqslant \sin x \leqslant 1 \Rightarrow 0 \leqslant \text{e}^{- nx}\sin (x) \leqslant \text{e}^{- nx}$ par produit par $\text{e}^{- nx} > 0$ : la fonction à intégrer étant positive et l'intervalle d'intégration étant croissant on sait que l'intégrale de cette fonction positive est positive. Quel que soit $n \in \N$,\: $I_n \geqslant 0$. \item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a $I_{n+1} - I_n \leqslant 0$. Pour $n \in \N$, \: $I_{n+1} - I_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \e^{-(n+1)x} \sin (x)\:\text{d}x - \displaystyle\int_0^{\pi} \e^{-(nx)} \sin (x)\:\text{d}x = $ $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\left[\e^{-(n+1)x} - \e^{-(nx)} \right]\:\text{d}x$ par linéarité de l'intégrale, puis $I_{n+1} - I_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \sin x \e^{-(nx)}\left[\e^{- x} - 1\right]\:\text{d}x$. Soit $u$ la fonction définie sur $[0~;~\pi]$ par $u(x) = \e^{- x} - 1$. $u$ est dérivable sur $[0~;~\pi]$ et sur cet intervalle $u'(x) = - \e^{-x} < 0$. La fonction $u$ est donc décroissante de $\e^{-0} - 1 = 0$ à $\e^{- \pi} - 1 \approx -0,957$. Comme $\sin x \e^{-(nx)} \geqslant 0$ et $\e^{- x} - 1 < 0$, la fonction à intégrer dans $I_{n+1} - I_n$ est négative et donc $I_{n+1} - I_n \leqslant 0$. \item % %Déduire des deux questions précédentes que la suite $\left(I_n\right)$ converge. On vient de démontrer que $I_{n+1} - I_n \leqslant 0 \iff I_{n+1} \leqslant I_n $, c'est-à-dire que la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante ; étant minorée par zéro elle converge donc vers une limite $\ell \geqslant 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a : On a déjà vu que que $0 \leqslant x \leqslant \pi \Rightarrow 0 \leqslant \sin x \leqslant 1 \Rightarrow 0 \leqslant \text{e}^{- nx}\sin (x) \leqslant \text{e}^{- nx}$, donc par intégration sur l'intervalle $[0~;~+ \pi]$ on obtient $\displaystyle\int_0^{\pi} 0\:\text{d}x \leqslant I_n \leqslant \displaystyle\int_0^{\pi}\e^{-n\pi}\:\text{d}x$. \[I_n \leqslant \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\:\text{d}x.\] \item %Montrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : %\[\displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\:\text{d}x = \dfrac{1 - \e^{-n \pi}}{n}.\] Une primitive de $\text{e}^{- nx}$est $\dfrac{1}{- n}\text{e}^{- nx}$, donc pour $n \geqslant 1$, \: $\displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\:\text{d}x = \left[\dfrac{1}{- n}\text{e}^{- nx}\right]_0^{\pi} = - \dfrac 1n\left[\e^{-n \pi} - \e^0\right] = - \dfrac 1n\left[\e^{-n \pi} - 1\right] = \dfrac{1 - \e^{-n \pi}}{n}.$ \item %Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $\left(I_n\right)$. On sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\e^{-n \pi} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 1 - \e^{-n \pi} = 1$ et enfin $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{1 - \e^{-n \pi}}{n} = 0$. D'après le théorème des \og gendarmes \fg{} la suite $\left(I_n\right)$ a pour limite 0. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %En intégrant par parties l'intégrale $I_n$ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ : %\begin{center}$I_n = 1 + \e^{-n\pi} - nJ_n$ \quad et\quad $I_n = \dfrac 1n J_n$\end{center} $\bullet~~$IPP1 On pose : $\begin{array}{l l} u(x) = \e^{-nx}&v'(x) = \sin x\\ u'(x) = -n\e^{-nx}&v(x) = - \cos x \end{array}$ On a donc $I_n = \left[- \e^{-nx}\cos x\right]_0^{\pi} - \displaystyle\int_0^{\pi} n\e^{-nx}\cos x\:\text{d}x = \e^{-n \pi} + 1 - nJ_n =$ $ 1 + \e^{-n \pi} - nJ_n$. $\bullet~~$IPP2 On pose : $\begin{array}{l l} u(x) = \sin x&v'(x) = \e^{-nx}\\ u'(x) = \cos x&v(x) = \dfrac{1}{-n}\e^{-nx} \end{array}$ On a donc $I_n = \left[\dfrac{1}{-n} \e^{-nx}\sin x \right]_0^{\pi} - \displaystyle\int_0^{\pi}\cos x\dfrac{1}{-n}\e^{-nx}\:\text{d}x = -\dfrac 1n \displaystyle\int_0^{\pi}\e^{-nx} \cos x\:\text{d}x = \dfrac 1n J_n$. \item %En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a %\[I_n = \dfrac{1 + \e^{-n \pi}}{n^2 + 1}\] En égalant les deux valeurs de $I_n$ trouvées on obtient : $1 + \e^{-n\pi} - nJ_n = \dfrac 1n J_n\iff 1 + \e^{-n\pi} = J_n \left(n + \dfrac 1n\right)$ $ \iff J_n\left(\dfrac{n^2 + 1}{n}\right) = 1 + \e^{-n\pi} \iff J_n = \dfrac{n}{n^2 + 1} \times \left[1 + \e^{-n\pi}\right]$. En, reportant dans l'expression $I_n = \dfrac 1n J_n$, on obtient finalement : \[I_n = \dfrac 1n\times \dfrac{n}{n^2 + 1}\times \left[1 + \e^{-n\pi}\right] = \dfrac{1 + \e^{-n\pi}}{n^2 + 1}.\] \end{enumerate} \item On souhaite obtenir le rang $n$ à partir duquel la suite $\left(I_n\right)$ devient inférieure à 0,1. Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée. \begin{center} \begin{tabular}{|l l|}\hline 1 &\textbf{from} math \textbf{import *}\\ 2 &def seuil() :\\ 3 &\quad n = 0\\ 4 &\quad I = 2\\ 5 &\quad {\red while I >= 0.1 :}\\ 6 &\quad \qquad n=n+1\\ 7 &\quad \qquad I=(1+exp(-n*pi))/(n*n+1)\\ 8 & \textbf{return} n\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \end{document}