\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add} \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-tab} \usepackage{esvect} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.3cm, right=3.3cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \headheight5 mm \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat Spécialité}, pdftitle = {Métropole Sujet 2 20 juin 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} %\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \renewcommand\arraystretch{1.} \frenchsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat spécialité sujet 2 (dévoilé)} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{20 juin 2024}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Métropole 20 juin 2024~J2 (dévoilé)\decofourright\\[7pt] Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip \emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip %Une société de vente en ligne procède à une étude du niveau de fidélité de ses clients. Elle définit pour cela comme \og régulier\fg{} un client qui a fait des achats chaque année depuis trois ans. % %Elle constate que 60\,\% de ses clients sont des clients réguliers, et que parmi eux, 47\,\% ont acheté la carte de fidélité. % %Par ailleurs, parmi l'ensemble de tous les clients de la société, 38\,\% ont acheté la carte de fidélité. % %On interroge au hasard un client et on considère les évènements suivants: % %\begin{itemize}[label=$\bullet~$] %\item $R$ : \og le client est un client régulier\fg{} ; %\item $F$ :\og le client a acheté la carte de fidélité \fg. %\end{itemize} % %\smallskip % %Pour un évènement $E$ quelconque, on note $\overline{E}$ son évènement contraire et $p(E)$ sa probabilité. \medskip \begin{enumerate} \item ~ \begin{minipage}{0.55\linewidth} \begin{enumerate} \item Reproduire l'arbre ci-contre et compléter les pointillés. \item %Calculer la probabilité que le client interrogé soit un client régulier et qu'il ait acheté la carte de fidélité. On a $p(R \cap F) = p(R) \times p_R(F) =$ $ 0,6 \times 0,47 = 0,282$. \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.4\linewidth} \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$R~$}\taput{0,6}} { \TR{$F$} \taput{0,47} \TR{$\overline{F}$} \tbput{0,53} } \pstree{\TR{$\overline{R~}$}\tbput{0,4}} {\TR{$F$} \taput{\ldots} \TR{$\overline{F}$} \tbput{\ldots} } } \end{center} \end{minipage} \item %Déterminer la probabilité que le client ait acheté la carte de fidélité sachant que ce n'est pas un client régulier. %Cette affirmation est-elle exacte ? %Justifier. Il faut trouver $p_{\overline{R}}(F)$ D'après la loi des probabilités totales, on a : $p(F) = p(F \cap R) + p\left(F \cap \overline{R}\right) = p(R \cap F) + p\left(\overline{R} \cap F\right)$, soit : $0,38 = 0,282 + p\left(\overline{R} \cap F\right)$, d'où $p\left(\overline{R} \cap F\right) = 0,38 - 0,282 = 0,098$. Puis $p_{\overline{R}}(F) = \dfrac{\overline{R} \cap F}{\overline{R}} = \dfrac{0,098}{0,4} = 0,245$. \item %Le directeur du service des ventes affirme que parmi les clients qui ont acheté la carte de fidélité, plus de 80\,\% sont des clients réguliers. On a $p_F(R) = \dfrac{p(F \cap R)}{p(F)} = \dfrac{0,282}{0,38} \approx 0,74$, soit 74\,\%. L'affirmation est fausse. \item %On choisit un échantillon de 20 clients de la société sélectionnés de manière indépendante. On suppose que ce choix s'assimile à un tirage avec remise. %On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de $20$ clients associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux. On rappelle que $p(F) = 0,38$. %Les valeurs des probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$ près. \begin{enumerate} \item %Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire $X$ ? Justifier. Le choix des 20 clients s'effectue de façon indépendante et chaque tirage correspond à un choix de probabilité 0,38, la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité est une loi binomiale de paramètres $n = 20, \:p = 0,38$. \item %Déterminer la probabilité qu'au moins 5 clients aient acheté la carte de fidélité dans un échantillon de $20$. On a $p(X \leqslant 4) \approx \np{0,0726}$, donc $p(X \geqslant 5) \approx 1 - \np{0,0726}$ soit environ \np{0,9273} soit 0,927 au millième près. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip %La société demande à un institut de sondage de faire une enquête sur le profil de ses clients réguliers. L'institut a élaboré un questionnaire en ligne constitué d'un nombre variable de questions. % %On choisit au hasard un échantillon de \np{1000} clients réguliers, à qui le questionnaire est proposé. On considère que ces \np{1000} clients répondent. % %\begin{itemize}[label=$\bullet~$] %\item Pour les remercier, la société offre un bon d'achat à chacun des clients de l'échantillon. Le montant de ce bon d'achat dépend du nombre de questions posées au client. %\item La société souhaite récompenser particulièrement les clients de l'échantillon qui ont acheté une carte de fidélité et, en plus du bon d'achat, offre à chacun d'eux une prime d'un montant de $50$ euros versée sur la carte de fidélité. %\end{itemize} % %On note $Y_1$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de \np{1000} clients réguliers, associe le total, en euros, des montants du bon d'achat des 1000 clients. % %On admet que son espérance $E\left(Y_1\right)$ est égale à \np{30000} et que sa variance $V\left(Y_1\right)$ est égale à \np{100000}. % %On note $X_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de \np{1000} clients réguliers, associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux, et on note $Y_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de \np{1000} clients, associe le total, en euros, des montants de la prime de fidélité versée. % %On admet que $X_2$ suit la loi binomiale de paramètres \np{1000} et 0,47 et que $Y_2 = 50X_2$. \medskip \begin{enumerate} \item %Calculer l'espérance $E\left(X_2\right)$ de la variable $X_2$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. La variable aléatoire $X_2$ suit la loi binomiale de paramètres $n=\np{1000}$ et $p=0,47$ donc son espérance $E(X_2)$ est égale à $np=\np{1000}\times 0,47=470$. Cela signifie qu'en moyenne, sur un échantillon de \np{1000} clients réguliers, il y en aura $470$ qui ont acheté la carte de fidélité. \end{enumerate} On note $Y = Y_1 + Y_2$ la variable aléatoire égale au total général, en euros, des montants offerts (bon d'achat et prime de fidélité) aux \np{1000} clients. On admet que les variables aléatoires $Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes. On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{Y}{\np{1000}}$. \begin{enumerate}[resume] \item %Préciser ce que modélise la variable $Z$ dans le contexte de l'exercice. La variable $Z$ représente la moyenne par client des montants offerts aux \np{1000} clients. \begin{list}{\textbullet}{} \item On utilise la linéarité de l'espérance. $Z=\dfrac{Y}{\np{1000}}$ donc $E(Z)=\dfrac{E(Y)}{\np{1000}}$, et $Y=Y_1+Y_2$ donc $E(Y)=E(Y_1)+E(Y_2)$. De plus, $Y_2=50X_2$ donc $E(Y_2)=50E(X_2) = 50\times 470 = \np{23500}$ On sait que $E(Y_1)=\np{30000}$. On en déduit que: $E(Y)=E(Y_1)+E(Y_2) = \np{30000} + \np{23500} = \np{53500}$, et donc que $E(Z)=\dfrac{E(Y)}{\np{1000}} = \dfrac{\np{53500}}{\np{1000}} = 53,5$. \item Les variables étant indépendantes, on va utiliser l'additivité de la variance. $V(Y)= V(Y_1+Y_2) = V(Y_1) + V(Y_2)$, $V(Y_2) = V(50X_2) = 50^2V(X_2) = \np{2500}V(X_2)$, et $V(Z)= V\left (\dfrac{Y}{\np{1000}}\right ) = \dfrac{V(Y)}{\np{1000}^2}= \dfrac{V(Y)}{10^6}$ La variable aléatoire $X_2$ suit la loi binomiale de paramètres $n=\np{1000}$ et $p=0,47$ donc sa variance $V(X_2)$ est égale à $np(1-p) = \np{1000}\times 0,47 \times (1-0,47) = 249,1$. On en déduit que $V(Y_2) = \np{2500}V(X_2) = \np{2500}\times 249,1 = \np{622750}$. On sait que $V(Y_1)=\np{100000}$ donc\\ $V(Y) = V(Y_1) + V(Y_2) = \np{100000} + \np{622750} = \np{722750}$. $V(Z)=\dfrac{V(Y)}{10^6} = \dfrac{\np{722750}}{10^6} = \np{0,72275}$ \end{list} %Vérifier que son espérance $E(Z)$ est égale à $53,5$ et que sa variance $V(Z)$ est égale à \np{0,72275}. \item La variable aléatoire $Z$ a pour espérance $E(Z)=53,5$ et pour variance $V(Z)=\np{0,72275}$ donc, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a: pour tout $\delta\in\, \left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$, $P\left ( \left |Z-E(Z)\strut \right | \geqslant \delta \right ) \leqslant \dfrac{V(Z)}{\delta^2}$. $\begin{aligned} 51,7 < Z < 55,3 & \iff 53,5-1,8 < Z < 53,5+1,8 \iff -1,8 < Z - 53,5 < 1,8 \\ & \iff \left | Z-53,5 \strut \right | <1,8 \end{aligned}$ En remplaçant $E(Z)$ et $V(Z)$ par leurs valeurs, et en prenant $\delta=1,8$, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev devient: $P\left ( \left |Z-53,5\strut \right | \geqslant 1,8 \right ) \leqslant \dfrac{\np{0,72275}}{1,8^2}$ En considérant l'évènement contraire, on a: $P\left ( \left |Z-53,5\strut \right | < 1,8 \right ) > 1- \dfrac{\np{0,72275}}{1,8^2}$. $1- \dfrac{\np{0,72275}}{1,8^2} \approx 0,777$ Donc la probabilité que $Z$ soit strictement compris entre $51,7$ euros et $55,3$ euros est supérieure à $0,75$. \end{enumerate} %\begin{enumerate} %\item %Calculer l'espérance $E\left(X_2\right)$ de la variable $X_2$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. %Puisque que $X_2$ suit une loi binomiale de paramètres $n = \np{1000}$ et $p = 0,47$, on % %$E\left(X_2\right) = \np{1000} \times 0,47 = 470$~(\euro). % %On note $Y = Y_1 + Y_2$ la variable aléatoire égale au total général, en euros, des montants offerts (bon d'achat et prime de fidélité) aux \np{1000} clients. On admet que les variables aléatoires $Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes. % %On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{Y}{\np{1000}}$. %\item Préciser ce que modélise la variable $Z$ dans le contexte de l'exercice. % %Vérifier que son espérance $E(Z)$ est égale à $53,5$ et que sa variance $V(Z)$ est égale à \np{0,72275}. %\item À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, vérifier que la probabilité que $Z$ soit strictement compris entre $51,7$ euros et $55,3$ euros est supérieure à $0,75$. %\end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip \emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.} \medskip %Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère les points \begin{center}A$(0~;~ 4~;~-1)$, \quad B(6~;~1~;~5) \quad et \quad C$(6~;~-2~;~-1)$.\end{center} %On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés. \medskip \textbf{Affirmation 1 :} Le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC). \medskip On a $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}6\\-3\\6\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}6\\-6\\0\end{pmatrix}$. Or $\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}} = 12 - 6 - 6 = 0$ et $\vect{n} \cdot \vect{\text{AC}} = 12 - 12 + 0 = 0$. Or il est admis que les points A, B et C ne sont pas alignés, donc les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ ne sont pas colinéaires. Donc le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : c'est un vecteur normal à ce plan : affirmation \textbf{Vraie}. \textbf{Affirmation 2 :} %Une représentation paramétrique de la droite (AB) est %\[\left\{\begin{array}{l c l} %x &=& 2 + 2t\\ %y &=& 3 - t\\ %z &=& 1 + 2t %\end{array}\right. \:\text{où } t \in \R.\] On sait que : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{AB}) \iff \vect{\text{A}M} = u\vect{\text{AB}}$. Avec $\vect{\text{A}M}\begin{pmatrix}x - 0\\y - 4\\z - (-1-\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}6\\-3\\6\end{pmatrix}$, vecteur qui est colinéaire à $\dfrac13\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$. Donc $M(x~;~y~;~z) \in (\text{AB}) \iff \left\{\begin{array}{l c l} x - 0&=& 2u\\ y - 4&=& - u\\ z - (-1)&=&2u \end{array}\right. \:\text{où } u \in \R. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2u\\ y &=&4 - u\\ z &=&- 1 + 2u \end{array}\right. \:\text{où } \in \R.$ On pose $u = t + 1$ et on obtient un autre système paramétrique : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{AB}) \iff \left\{\begin{array}{l c l} x&=&2t + 2\\y &=& 3 - t\\z&=&2t + 1 \end{array}\right. \:\text{où } t \in \R.$ L'affirmation est \textbf{Vraie}. \medskip \textbf{Affirmation 3 :} %Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par le point C et orthogonal à la droite(AB) est %\[2x + 2y - z- 9 = 0.\] Puisque $\mathcal{P}$ est orthogonal à la droite(AB) , le vecteur $\vect{\text{AB}}$ ou plus simplement le vecteur $\dfrac13\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$. On sait qu'alors $M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \iff 2x - y + 2z + d = 0$ avec $d \in \R$. Comme C$(6~;~-2~;~-1) \in \mathcal{P} \iff 12 + 2 - 2 + d = 0\iff 12 + d = 0 \iff d = - 12$, on obtient finalement : $M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \iff 2x - y + 2z - 12= 0$ : l'affirmation est \textbf{Fausse}. \bigskip %On considère les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ dont on donne ci-dessous une représentation paramétrique : \[\mathcal{D}\quad \left\{\begin{array}{l c l} x&=&3+t\\ y&=&1+t\\ z&=&2+t \end{array}\right. \:\text{où } t \in \R \:\:;\quad \mathcal{D}'\quad \left\{\begin{array}{l c l} x&= &2t'\\ y&=&4 - t'\\ z&=&-1 + 2t' \end{array}\right. \:\text{où } t' \in \R.\] \textbf{Affirmation 4 :} $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas coplanaires. La droite $\mathcal{D}$ contient le point D(3~;~1~;~2) et a pour vecteur directeur $\vect{d}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ et la droite $\mathcal{D}'$ contient le point E(0~;~4~;~-1) et a pour vecteur directeur $\vect{d'}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$. Les vecteurs $\vect{d}$ et $\vect{d}'$ ne sont pas colinéaires donc les droites ne sont pas parallèles. Si elles ont point commun les coordonnées de celui-ci vérifient les deux systèmes d'où le nouveau système : $\left\{\begin{array}{l c l} 3+t&=&2t'\\ 1+t&=&4 - t'\\ 2+t&=& - 1+ 2t' \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l} t&=&2t' - 3\\ t&=&3 - t'\\ t&=& - 3+ 2t' \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l c l} 2t' - 3&=&3 - t'\\ 3 - t'&=& - 3+ 2t' \end{array}\right. \iff $ $\left\{\begin{array}{l c l} 3t' &=&6 \\ 6&=& 3t' \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} t' &=&2 \\ 2&=& t' \end{array}\right.$ et comme $t = 3 - t' = 3 - 2 = 1$. Le système a une solution. Conclusion : les droites sont sécantes au point de coordonnées (4~;~2~;~3) ; elles sont coplanaires : l'affirmation 4 est \textbf{Fausse} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip Soit $a$ un nombre réel strictement supérieur à 1. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n + 2.\] On admet que pour tout entier naturel $n$,\: $u_n > 1$. L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_n\right)$ pour différentes valeurs du nombre réel $a$. \bigskip \textbf{Partie A : étude de la suite \boldmath $\left(u_n\right)$ \unboldmath dans le cas }\boldmath$1 < a < 2$\unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - 2 = u_n\left(u_n - 2\right)$. D'après la définition : pour tout entier naturel $n$ $u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n + 2 \iff u_{n+1}- 2 = u_n^2 - 2u_n \iff u_{n+1}- 2 = u_n\left(u_n - 2\right)$. \item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - u_n = \left(u_n - 1\right)\left(u_n - 2\right)$. \emph{Méthode} 1 : d'après la définition : pour tout entier naturel $n$ $u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n + 2 \iff u_{n+1} = \left(u_n - 1\right)^2 - 1 + 2 \iff u_{n+1} = \left(u_n - 1\right)^2 + 1 \iff u_{n+1} - u_n = \left(u_n - 1\right)^2 + 1 - u_n \iff u_{n+1} - u_n = \left(u_n - 1\right)^2 - 1\left(u_n - 1\right) \iff u_{n+1} - u_n = \left(u_n - 1\right)\left(u_n - 1 - 1)\iff \right] \iff u_{n+1} - u_n = \left(u_n - 1\right)\left(u_n - 2\right)$ \emph{Méthode} 2 : Soit $P_n = u_{n+1} - u_n = u_n^2 - 2u_n + 2 - u_n = u_n^2 - 3u_n + 2$ ; en posant $u_n = x$, on obtient $P_n = x^2 - 3x + 2$ : ce trinôme a deux racines (car $\Delta = 3^2 - 4 \times 2 = 1$) : $x_1 = \dfrac{3 + 1}{2} = 2$ et $x_2 = \dfrac{3 - 1}{2} = 1$. Donc $P_n = (x - 1)(x - 2) = \left(u_n - 1\right)\left(u_n - 2\right)$. \end{enumerate} \item %Dans cette question, on pourra utiliser les égalités établies dans la question précédente. \begin{enumerate} \item %En utilisant un raisonnement par récurrence démontrer que, pour tout entier naturel $n : u_n < 2$. \emph{Initialisation} : $u_0 = a$ et $1 < a < 2$, donc $u_0 < 2$ : l'inégalité est vraie au rang 0 ; \emph{Hérédité} : soit $n \in \N$ tel que $u_n < 2$. $u_n < 2 \iff u_n - 2 < 0$ et on a admis que $u_n > 1 \iff u_n - 1 > 0$, donc d'après le \textbf{1 b.} $\left(u_n - 1\right)\left(u_n - 2\right) < 0$ c'est-à-dire $u_{n+1} - u_n < 0\iff u_{n+1} < u_n < 2$, d'où par transitivité : $u_{n+1} < 2$ : l'inégalité est vraie au rang $n + 1$. \emph{Conclusion} : l'inégalité est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n$, elle l'est aussi au rang $n + 1$, donc par le principe de récurrence : pour tout naturel $n \in \N, \:\: 1< u_n < 2$. \item %Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite. On a vu dans la question précédente que $1 < u_{n+1} < u_n < 2$ qui montre : $\bullet~$ que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante ; $\bullet~$ que la suite $\left(u_n\right)$ est minorée par 1. La suite $\left(u_n\right)$ est monotone décroissante et minorée par le 1 : elle converge donc vers un réel $\ell \geqslant 1$. Par continuité de la fonction polynôme $x \longmapsto x^2 - 2x + 2$, la relation de récurrence donne à la limite en plus l'infini : $\ell = \ell^2 - 2\ell + 2 \iff \ell^2 - 3\ell + 2 = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l} \ell - 1&=&0\\ &\text{ou}&\\ \ell - 2&=&0\\ \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} \ell &=&1\\ &\text{ou}&\\ \ell &=&2\\ \end{array}\right. $ $\ell = 2$ n'est pas possible puisque $\left(u_n\right)$ étant strictement décroissante : $\ell < u_0 = a < 2$, d'où $\ell < 2$, \:donc $\ell = 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : étude dans le cas particulier }\boldmath $a = 2$\unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item u(2,1) renvoie 2 et u(2,2) renvoie 2 %\begin{minipage}{0.68\linewidth} %On donne ci-contre la fonction u écrite en langage Python. % %Déterminer les valeurs renvoyées par le programme %lorsque l'on saisit u(2,1) et u(2,2) dans la console Python. %\end{minipage}\hfill %\begin{minipage}{0.3\linewidth} %\begin{tabular}{|l|}\hline %def u(a,n) \\ %\qquad u=a\\ %\qquad for k in range(n) :\\ %\qquad \quad u=u**2-2*u+2\\ %return u\\ \hline %\end{tabular} %\end{minipage} \item %Quelle conjecture peut-on formuler concernant la suite %$\left(u_n\right)$ dans le cas où $a = 2$ ? %On admettra ce résultat sans démonstration. On peut conjecturer que la suite $\left(u_n\right)$ est constante : $u_n = 2$ quel que soit $n \in \N$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : étude dans le cas général} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \ln \left(u_n - 1\right)$. \begin{enumerate} \item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 2 dont on précisera le premier terme en fonction de $a$. Quel que soit $n \in \N, \: v_{n+1} = \ln \left(u_{n+1} - 1\right) = \ln \left(u_n^2 - 2u_n + 2 - 1\right) = \ln \left[\left(u_n - 1\right)^2\right] = 2\ln \left(u_n - 1\right)$ car on sait que $u_n > 1 \iff u_n - 1 > 0$. Finalement : $v_{n+1} = 2\ln \left(u_n - 1\right) = 2v_n$. L'égalité $v_{n+1} = 2v_n$ vraie pour tout $n \in \N$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 2 de premier terme $v_0 = \ln a - 1)$ \item %En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: u_n = 1 + \e^{2^n \times \ln (a-1)}$. On sait que quel que soit $n \in \N, \: v_n = v_0 \times 2^n = 2^n\ln (a - 1)$. On peut écrire $v_n = \ln (a - 1)^{2^n} = \ln \left(u_n - 1\right)$ soit par croissance de la fonction logarithme népérien : $(a - 1)^{2^n} = u_n - 1 \iff u_n = 1 + (a - 1)^{2^n} = 1 + \e^{2^n \ln (a - 1)}$. \end{enumerate} \item ~%Déterminer, suivant les valeurs du réel $a$ strictement supérieur à 1, la limite de la suite $\left(u_n\right)$. $\bullet~~$Si $1 < a < 2$, alors $0 < a - 1 < 1 \Rightarrow \ln (a - 1) < 0$ (par croissance de la fonction logarithme népérien). On a donc $2^n \ln (a - 1) < 0$ et on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \e^{2^n \ln (a - 1)} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = 1$. $\bullet~~$Si $a = 2, \: \ln (a - 1) = \ln 1 = 0$, donc $2^n \ln (a - 1) = 0$ et $u_n = 1 + 1 = 2$. $u$ est constante et on peut écrire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = 2$. $\bullet~~$ Si $a > 2, \: a - 1 > 1$, donc $\ln (a - 1) > 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \e^{2^n \ln (a - 1)} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = + \infty$. La suite est divergente. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip %Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $\R$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa dérivée seconde. % %Dans le repère orthonormé ci-dessous ont été représentés : % %\begin{itemize}[label=$\bullet~$] %\item la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ ; %\item la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ en son point N(0~;~2); %\item le point M$(-2~;~0)$ appartenant à $\mathcal{C}_f$ et P(2~;~0) appartenant à la tangente $T$. %\end{itemize} % %On précise que la fonction $f$ est strictement positive sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et qu'elle est strictement croissante sur l'intervalle $]- \infty~;~-1]$. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-2.5,-1.5)(5.5,3.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(5.5,3.5) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.5}{5.5}{x 2 add 2.71828 x exp div} \psplotTangent{0}{4.5}{x 2 add 2.71828 x exp div} \uput[ul](-2,0){M} \uput[ur](0,2){N} \uput[ur](2,0){P}\uput[d](3,-1){$T$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{center}\textbf{Partie A : étude graphique}\end{center} On répondra aux questions suivantes en utilisant le graphique. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Donner $f(0)$. On lit $f(0) = 2$. \item Déterminer $f'(0)$. Le nombre dérivé $f'(0)$ est égal au coefficient directeur de la droite (NP) soit à $\dfrac{0 - 2}{2 - 0} = - 1 = f'(0)$ \end{enumerate} \item %Résoudre l'équation $f(x) = 0$. Il semble que $f(-2) = 0$. $S = \{-2\}$. \item %La fonction $f$ est-elle convexe sur $\R$ ? Justifier. Il semble que la fonction est convexe sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ : sur cet intervalle toutes les tangentes à la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ sont sous cette courbe. Toujours graphiquement sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ les coefficients directeurs des tangentes à la courbe ($- 1$ et 0 au voisinage de plus l'infini) sont croissants : autrement dit la fonction $f"$ est croissante donc $f''(x) \geqslant 0$ \item %Parmi les courbes suivantes, indiquer laquelle peut représenter une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. Justifier. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Courbe 1&Courbe 2&Courbe 3\\ \hline \psset{unit=0.4cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-2.5,-8)(8,3) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-8)(8,3) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.5}{5.5}{x 1 add 2.71828 x exp div neg} \end{pspicture*}& \psset{unit=0.4cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-4,-8)(6,3) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-8)(6,3) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4}{5.5}{x 3 add 2.71828 x exp div neg} \end{pspicture*} &\psset{unit=0.4cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-2.5,-8)(8,3) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-8)(8,3) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.5}{5.5}{x 1 sub 2.71828 x exp div neg} \end{pspicture*}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} $\bullet~~$On sait que $f(x) \geqslant 0$ sur $[0~;~+ \infty[$, donc une primitive sur le même intervalle est croissante ce qui élimine la courbe 3 ; $\bullet~~$Si $F$ est une primitive de $f$ et est représentée par la courbe 1, alors $F'(0) = 0 = f(0) = - 1$ : ceci est faux donc la courbe 1 est éliminée. Il ne reste que la courbe 2. \end{enumerate} \medskip \begin{center}\textbf{Partie B : recherche d'une expression algébrique}\end{center} On admet que la fonction $f$ est de la forme \[f(x)= (ax + b)\e^{\lambda x},\] où $a, b$ et $\lambda$ sont des constantes réelles. %Pour répondre aux questions suivantes, on utilisera les résultats de la partie A. \medskip \begin{enumerate} \item %Justifier que $b = 2$. On a vu que $f(0) = 2 \iff b\e^{\lambda \times 0} = 2 \iff b = 2$. Donc $f(x) = (ax + 2)\e^{\lambda x}$. \item %Justifier que $-2a + b = 0$ puis en déduire la valeur de $a$. On a donc $f(x) = (ax + 2)\e^{\lambda x}$. On sait aussi que $f(-2) = 0 \iff (-2a + 2)\e^{-2\lambda } = 0$ et comme $\e^{-2\lambda } \ne 0$ on a donc $-2a + 2 = 0 \iff a = 1$. Donc $f(x) = (x + 2)\e^{\lambda x}$. \item %Déterminer une expression algébrique de $f$. Justifier. On a vu que $f'(0) = - 1$ La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle : $f'(x) = \e^{\lambda x} + \lambda (x + 2)\e^{\lambda x} = \e^{\lambda x}(1 + \lambda x + 2\lambda )\e^{\lambda x}$. Donc $f'(0) = - 1 \iff 1 + 2\lambda = - 1 \iff 2\lambda = - 2 \iff \lambda = - 1 $. On a donc finalement $f(x) = (x + 2)\e^{- x}$. \end{enumerate} \medskip \begin{center}\textbf{Partie C : étude algébrique}\end{center} On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par \[f(x) = (x + 2)\e^{-x}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item %Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. On a $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x + 2 = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \e^{-x} = + \infty$, donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x) = - \infty$. \item %On admet que $f'(x) =(- x - 1)\e^{-x}$. Dresser le tableau de variations complet de $f$. Produit de fonctions dérivables sur $\R$, $f$ est dérivable et sur cet intervalle : $f'(x) = \e^{-x} - (x + 2)\e^{-x} = \e^{-x}(1 - x - 2) = (- x - 1)\e^{-x}$. On sait que quel que soit $x \in \R, \: \e^{-x} > 0$ : le signe de $f('x)$ est donc celui de $- x - 1$. $\bullet -x - 1 > 0 \iff - 1 > x \iff x < - 1$ : sur l'intervalle $]- \infty~;~-1[ \: f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle ; $\bullet -x - 1 < 0 \iff - 1 < x \iff x > - 1$ : sur l'intervalle $]-1 ~;~+\infty[\: f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante sur cet intervalle ; $\bullet -x - 1 = 0 \iff - 1 = x, f'(1) = 0$ ; $f(-1) = (-1 + 2)\e^{1} = \e$ est le maximum de $f$ sur $\R$. Il reste à calculer la liite en plus l'infini : comme $f(x) = x\e^{-x} + 2\e^{-x}$. Or on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\e^{-x} = 0$ (puissances comparées) et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 2\e^{-x} = 0$, d'où par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. %Justifier. \item \begin{enumerate} \item %Étudier la convexité de $f$. $f'$ est elle-même dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle : $f''(x) = -\e^{-x} + (x + 1)\e^{-x} = \e^{-x}(x + 1 - 1) = x \e^{-x}$. Comme $\e^{-x} > 0$, le signe de $f''(x)$ est celui de $x$, donc : $\bullet~~$$f$ est convexe sur $[0~;~+ \infty[$ ; $\bullet~~$$f$ est concave sur $]- \infty~;~0]$ ; \item %Préciser les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$. -- Donc d'après le résultat précédent la courbe $\mathcal{C}_f$ a un seul point d'inflexion de coordonnées (0~;~2). \end{enumerate} \item %Pour tout nombre réel $t \geqslant 0$, on pose: \[I(t) = \displaystyle\int_{-2}^t (x + 2)\e^{-x}\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item %En utilisant une intégration par parties, montrer que: On pose $u(x) = x + 2$ et $v'(x) = \e^{-x}$, d'où $u'(x) = 1$ et $v(x) = - \e^{-x}$. Toutes ces fonctions étant continues car dérivables on peut intégrer par parties : $I(t) = \left[-(x + 2)\e^{-x} \right]_{-2}^t + \displaystyle\int_{-2}^t \e^{-x}\:\text{d}x = \left[-(x + 2)\e^{-x}- \e^{-x}\right]_{-2}^t = \left[(- x - 3) \e^{-x} \right]_{-2}^t = (- t - 3) \e^{-t} +1 \e^{2} = \e^{2} - (t + 3)\e^{-t}$. %\[I(t) = (- t - 3)\e^{-t} + \e^2.\] \item %En déduire un exemple de surface non limitée dont l'aire est finie. $f$ est positive sur l'intervalle $[-2~;~+ \infty[$ ; on sait qu'alors l'aire de la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = - 2$ et $x = t$ est égale à l'intégrale $I(t)$. Or quand $t \to + \infty$, la surface n'est pas limitée à droite alors que l'intégrale l'est elle puisqu'on a $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} (t + 3)\e^{- t} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} I(t) = \e^2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}