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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Corrigé : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat Spécialité},
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{7 juin 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Métropole 7 juin 2021~\decofourright\\[6pt] Candidats libres Sujet 1\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

%Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.
%
%\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip


%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
%Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
%Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni
%n'enlève de point.\\
%Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de
%la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.}
%
%\vspace{0.7cm}

Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in\R$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :
$ f(x) =\dfrac{\e^{2x}}{x}$.

On donne $f''$, définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par:
$f''(x)=\dfrac {2 \e^{2x} (2x^2-2x+1)}{x^3}$.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %La fonction $f'$, dérivée de $f$, est définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :
$f$ est dérivable comme fonction quotient de fonctions dérivables, le dénominateur étant non nul sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

On a: $f'(x) = \dfrac{2\e^{2x} \times x - 1 \times \e^{2x}}{x^2} = \dfrac{\e^{2x}(2x - 1)}{x^2}$. \hfill{}Réponse \textbf{c.}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~} $f'(x) = 2\e^{2x}$ 					&\textbf{b.~~} $f'(x)=\dfrac{\e^{2x}(x-1)}{x^2} $\\[0.35cm]
%\textbf{c.~~}$ f'(x) = \dfrac{\e^{2x}(2x - 1)}{x^2}$& \textbf{d.~~} $f'(x)=\dfrac{\e^{2x}(1 + 2x)}{x^2} $.\\
%\end{tabularx}

\item Comme sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, \, $x^2 > 0$ et $\e^{2x} > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $2x - 1$.

\starredbullet~$f'(x)  = 0 \iff 2x - 1 = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}$ ;

\starredbullet~$f'(x)  < 0 \iff 2x - 1 < 0 \iff x < \dfrac{1}{2}$ : la fonction $f$ est décroissante sur $\left]0~;~\frac{1}{2}\right[$ ;

\starredbullet~$f'(x)  > 0 \iff 2x - 1 > 0 \iff x > \dfrac{1}{2}$ : la fonction $f$ est croissante sur $\left]\frac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ ;

Conclusion : $f\left(\frac{1}{2}\right)$ est le minimum de la fonction sur $]0~;~+ \infty[$.  
\hfill{}Réponse \textbf{c.}

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~} est décroissante sur $]0~;~+\infty[ $ &\textbf{b.~~} est monotone sur $]0~;~+\infty[$\\
%\textbf{c.~~}admet un minimum en $\dfrac{1}{2}$		& \textbf{d.~~}admet un maximum en $\dfrac{1}{2}$.
%\end{tabularx}
\item   On a: $f(x) = 2 \times \dfrac{\e^{2x}}{2x}$.

En posant $X = 2x$, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 2x = \displaystyle\lim_{X \to + \infty} X = + \infty$.

On sait que $\displaystyle\lim_{X \to + \infty} \dfrac{\e^X}{X} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. \hfill{}Réponse \textbf{a.}
%La fonction $f$ admet pour limite en $+ \infty$ :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} $+\infty $ &\textbf{b.~~} $0$&\textbf{c.~~}$1$& \textbf{d.~~} $\e^{2x}$.
%\end{tabularx}
\item  Sur $]0~;~+\infty[$, \, $x^3 > 0$ et $2\e^{2x} > 0$, donc le signe de $f''(x)$ est celui du trinôme $2x^2 - 2x +  1$.

Or $2x^2 - 2x +  1 = 2\left(x^2 - x + \frac{1}{2}\right) = 2\left[ \left (x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right ] = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}$. 

Donc $f''(x)$ somme de deux nombres positifs est positive sur $]0~;~+ \infty$. La fonction est donc convexe sur $]0~;~+\infty[$. \hfill{}Réponse \textbf{b.}

%La fonction $f$ :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} est concave sur $]0~;~+\infty[$ &\textbf{b.~~} est convexe  $]0~;~+\infty[$\\
%\textbf{c.~~} est concave sur $\left]0~;~\frac{1}{2}\right] $& \textbf{d.~~} est représentée par une courbe
%admettant un point d'inflexion.\\
%\end{tabularx}
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
\medskip

%Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que 5\,\% des pièces
%produites par cette chaîne sont défectueuses.
%
%Un ingénieur a mis au point un test à appliquer aux pièces. Ce test a deux résultats possibles :
%
%\og positif \fg{} ou bien \og négatif \fg.
%
%On applique ce test à une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne.
%
%On note $p(E)$ la probabilité d'un évènement $E$.
%
%On considère les évènements suivants :
%
%\begin{itemize}
%\item $D$ : \og la pièce est défectueuse \fg{} ;
%\item $T$ : \og la pièce présente un test positif \fg {};
%\item $\overline{D}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $D$ et $T$.
%\end{itemize}
%
%Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :
%\begin{itemize}
%\item La probabilité qu'une pièce présente un test positif sachant qu'elle défectueuse est
%égale à $0,98$ ;
%\item la probabilité qu'une pièce présente un test négatif sachant qu'elle n'est pas
%défectueuse est égale à $0,97$.
%\end{itemize}
%\medskip
%\begin{center}
%\textbf{Les parties I et II peuvent être traitées de façon indépendante.}
%\end{center}

\medskip

\textbf{PARTIE I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On traduit la situation à l'aide d'un arbre pondéré:
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D$~~}\taput{0,05}}
	{\TR{$T$}\taput{0,98}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{0,02}
	}
\pstree{\TR{$\overline{D}$~~}\tbput{0,95}}
	{\TR{$T$}\taput{0,03}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{0,97}
	}	
}
\end{center}

\item \begin{enumerate}
\item %Déterminer la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans la production de lachaîne soit défectueuse et présente un test positif.
On a: $P(D \cap T) = P(D) \times P_D(T) = 0,05 \times 0,98 = 0,049$.
\item %Démontrer que: $p(T) = \np{0.0775}$.
On a de même : $P\left(\overline{D} \cap T\right) = P\left(\overline{D}\right)  \times P_{\overline{D}}(T) = 0,95 \times 0,3 = \np{0,0285}$.

D'après la loi des probabilités totales :

$P(T) = P(D \cap T) + P\left(\overline{D} \cap T\right) = 0,049 + \np{0,0285} = \np{0,0775}$.
\end{enumerate}
\item %On appelle \textbf{valeur prédictive positive} du test la probabilité qu'une pièce soit défectueuse sachant que le test est positif. On considère que pour être efficace, un test doit avoir une valeur prédictive positive supérieure à $0,95$.

%Calculer la valeur prédictive positive de ce test et préciser s'il est efficace.
La valeur prédictive positive du test est égale à :

$P_T(D) = \dfrac{P(T \cap D)}{P(T)} = \dfrac{P(D \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0,049}{\np{0,0775}} \approx \np{0,6322}$, soit 0,632 au millième près.

Comme $0,632 < 0,95$ on peut en déduire que le test n'est pas efficace.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{PARTIE II}

\medskip

%On choisit un échantillon de $20$ pièces dans la production de la chaîne, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon.
%
%On rappelle que: $p(D) = 0,05$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que $X$ suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de cette loi.
Le choix de l'échantillon étant assimilé à un tirage avec remise et avec une probabilité constante de choisir un produit défectueux égale à $ 0,05$, on peut donc dire que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p  = 0,05$.
\item %Calculer la probabilité que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse.

%On donnera un résultat arrondi au centième.
On a: $p(X = 0) = 0,05^0 \times 0,95^{20}$.

Donc la probabilité cherchée est $p(X \geqslant 1) = 1 -p(X =0) = 1 - 0,95^{20} \approx 0,642$, soit 0,64 au centième près.
\item %Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat obtenu.
On a: $E = n \times p = 20 \times 0,05 = 1$.

Cela signifie que sur un grand nombre de tirages d'échantillons on trouvera 1 pièce défectueuse sur 20 pièces tirées.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{0.5cm}

%Cécile a invité des amis à déjeuner sur sa terrasse. Elle a prévu en dessert 
%un assortiment de gâteaux individuels qu'elle a achetés surgelés.
%
%Elle sort les gâteaux du congélateur à $-19$~\textcelsius{} et les apporte sur la terrasse où la température est de  $25$~\textcelsius.
%
%Au bout de 10 minutes la température des gâteaux est de $1,3$~\textcelsius.

\begin{center}
\textbf{I~-- Premier modèle}
\end{center}

%On suppose que la vitesse de décongélation est constante c'est-à-dire que l'augmentation de la température est la même minute après minute.
%
%Selon ce modèle, déterminer quelle serait la température des gâteaux 25 minutes après leur sortie du congélateur.
 
%Ce modèle semble-t-il pertinent ? 
En 10 minutes la température a augmenté de $1,3 - ( - 19) = 1,3 + 19 = 20,3$ soit une augmentation de $2,03$~\textcelsius.

Selon ce premier modèle l'augmentation de la  température serait au bout de 25 minutes de $25 \times 2,03 = 50,75$(\textcelsius).

Les gâteaux seraient donc à une température de $- 19 + 50,75 = 31,75$(\textcelsius) alors que la température ambiante est de 25\textcelsius : c'est impossible, donc ce modèle n'est pas pertinent.
\medskip

\begin{center}
\textbf{II~-- Second modèle}
\end{center}

\medskip

On note $T_n$ la température des gâteaux  en degré Celsius, au bout de $n$ minutes après leur sortie du congélateur ; ainsi $T_0= - 19$.
  On admet que pour modéliser l'évolution de la température, on doit avoir la relation suivante:
 $\text{pour tout } n,\ T_{n+1}-T_n=-\np{0.06}\times \left(T_n - 25\right).$

\begin{enumerate}
\item %Justifier que, pour tout entier $n$, on a $T_{n+1}=\np{0.94}T_n + \np{1.5}$
On a: $T_{n+1}-T_n=-\np{0.06}\times \left(T_n - 25\right) \iff T_{n+1}-T_n = -0,06T_n  + 1,5 \\
\hspace*{1cm}\iff T_{n+1} =  T_n - 0,06T_n  + 1,5 \iff T_{n+1} =  0,94T_n  + 1,5$.
\item ~%Calculer $T_1$ et $T_2$. On donnera des valeurs arrondies au dixième.
\starredbullet ~ Avec $n = 0$, la relation  donne $T_1 = 0,94 \times (- 19) + 1,5 = 1,5 - 17,86 = -16,36$ ;

\starredbullet ~ Avec $n = 1$, la relation  donne $T_2 = 0,94 \times (- 16,36) + 1,5 = 1,5 - \np{15,3784} = -\np{13,8784}$.
\item On démontre par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $T_n\leqslant 25$.

%En revenant à la situation étudiée, ce résultat était-il prévisible ?
\emph{Initialisation} - $T_0 = - 19 \leqslant 25$; l'inégalité est vraie au rang $0$.

\emph{Hérédité} - Supposons que pour $n \in \N$, \, $T_n\leqslant 25$ alors en multipliant par 0,94 :

$0,94T_n \leqslant 0,94 \times 25$, soit $0,94T_n \leqslant  23,5$.

D'où en en ajourant à chaque membre 1,5 :

$0,94T_n  + 1,5 \leqslant 23,5 + 1,5$, soit finalement $T_{n+1} \leqslant 25$ : l'inégalité est vraie au rang $n$.

Conclusion : l'inégalité est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$, elle l'est aussi au rang $n + 1$.

D'après le principe de récurrence : quel que soit $n \in \N$, \, $T_n \leqslant 25$.

Ceci correspond à une évidence : la température des gâteaux ne peut dépasser la température ambiante.
\item %Étudier le sens de  variation de la suite $\left(T_n\right)$.
On sait que quel que soit $n \in \N$, \, $T_{n+1}-T_n = -\np{0.06}\times \left(T_n - 25\right)$.

D'après la question précédente $T_n \leqslant 25$ soit en multipliant par 0,06 :

$0,06T_n \leqslant 0,06 \times 25$, ou $0,06T_n \leqslant 1,5$

et en prenant les opposés : $- 1,5 \leqslant - 0,06T_n$ et enfin en ajoutant à chaque membre 1,5 :

$0 \leqslant - 0,6T_n + 1,5$.

On a donc démontré que quel que soit $n \in \N$, \, $T_{n+1}-T_n  \geqslant 0$ : la suite $\left(T_n\right)$ est donc croissante.
\item %Démontrer que la suite $\left(T_n\right)$ est convergente.
On a donc démontré que la suite $\left(T_n\right)$ est croissante et majorée par 25 : d'après le théorème de la convergence monotone, cette suite converge vers une limite $\ell$ telle que $\ell \leqslant 25$.
\item On pose pour tout entier naturel $n$, $U_n = T_n - 25$.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que la suite $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $U_0$.
Quel que soit $n \in \N$, $U_{n+1} = T_{n+1} - 25 = 0,94T_n + 1,5 - 25$ ou encore 

$U_{n+1} = 0,94T_n - 23,5 = 0,94\left(T_n - \dfrac{23,5}{0,94} \right) = 0,94\left(T_n - 25 \right)$, soit finalement $T_{n+1} = 0,94U_n$: cette égalité montre que la suite $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,94 et de premier terme $U_0 = T_0 - 25 = - 19 - 25 = - 44$.
\item %En déduire que pour tout entier naturel $n$, $T_n=-44\times \np{0.94}^n+25$.
On sait que quel soit $n \in \N$, \, $U_n = U_0 \times 0,94^n$ ou 
$U_n = - 44 \times 0,94^n$.

Or $U_n = T_n - 25 \iff T_n = U_n + 25$ ou encore $T_n = - 44 \times 0,94^n + 25$, soit finalement :

\[T_n = 25 - 44 \times 0,94^n, \text{quel que soit }\, n \in \N\]

\item %En déduire la limite de la suite $\left(T_n\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de la situation étudiée.
Comme $0 < 0,94 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,94^n = 0$, d'où par somme de limites :

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} T_n = \ell = 25.\]

\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Le fabricant conseille de consommer les gâteaux au bout d'une demi-heure à température ambiante après leur sortie du congélateur.
		 
%Quelle est alors la température atteinte par les gâteaux ? On donnera une valeur arrondie à l'entier le plus proche.
On a: $T_{25} = 25 - 44 \times 0,97^{25} \approx 15,632$ soit environ 16\textcelsius.
		\item %Cécile est une habituée de ces gâteaux, qu'elle aime déguster lorsqu'ils sont encore frais, à la température de 10~\textcelsius.
		
%Donner un encadrement entre deux entiers consécutifs du temps en minutes après lequel Cécile doit déguster son gâteau.
La calculatrice donne $T_{17} \approx 9,63$ et $T_{18} \approx 10,55$, donc 
Cécile devra déguster son gâteau entre la 17\up{e} et la 18\up{e} minute après sa sortie.
\item On complète le programme suivant, écrit en langage Python, qui doit renvoyer après son exécution la plus petite valeur de l'entier $n$ pour laquelle $T_n \geqslant 10$.

%\vspace{0.5cm}

%\begin{minipage}[]{5cm}
\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}[]{p{4.5cm}}
%\hline
def seuil() :\\
\hspace{1.2em}n = 0\\
\hspace{1.2em}T = $\blue - 19$\\
\hspace{1.2em}while T $\blue < 10$\\
\hspace{4em}T = $\blue25 - 0,94\text{T}$\\
\hspace{4em}n = n+1\\
\hspace{1.2em}return\\
%\hline
\end{tabular}
}
\end{center}
%\end{minipage}

%\hspace{1.5cm}
%\begin{minipage}[]{5.6cm}

%Recopier ce programme sur la copie
%et compléter les lignes incomplètes
%afin que le programme renvoie la valeur attendue.
%\end{minipage}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice} au choix du candidat \hfill 5 points}

%\medskip
%
%Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
%
%Il indique sur sa copie l'exercice choisi: Exercice A ou Exercice B 
%
%Pour éclairer le choix, les principaux domaines abordés sont indiqués en début de chaque exercice.  

 \vspace{0.5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice A}}

\vspace{0.75cm}
\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
Principaux domaines abordés :\\

Géométrie de l'espace rapporté  à un repère orthonormé ; orthogonalité dans l'espace\\
\hline
\end{tabular}

\vspace{0.5cm}

\begin{minipage}[]{5.5cm}
Dans un repère orthonormé \Oijk {} on considère

\begin{itemize}
\item [$\bullet$] le point A de coordonnées (1~;~3~;~2),

 \item[$\bullet$]le vecteur $\vv{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\\end{pmatrix}$

\item[$\bullet$] la droite $d$ passant par l'origine O du repère et admettant pour vecteur directeur $\vv{u}$. 
\end{itemize}
%
%Le but de cet exercice est de déterminer le point de $d$ le plus proche du point A et d’étudier quelques propriétés de ce point.
%
%On pourra s’appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.
\end{minipage}
\begin{minipage}[]{4.5cm}
\psset{coorType=2,unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(4,3)
\pstThreeDCoor[xMin=0,xMax=3,yMin=-1.5,yMax=3.5,zMin=-1.5,zMax=2.5,IIIDticks]
\pstThreeDDot(1,3,2)\pstThreeDDot(1,3,0)\pstThreeDDot(2.5,2.5,0)\pstThreeDPut(2.5,2,0){$M_0$}
\pstThreeDPut(1,3.1,2.2){A}\pstThreeDPut(1,3,-0.3){A$'$}
\pstThreeDLine[linewidth=1.25pt]{->}(0,0,0)(1,1,0)\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt]{-}(-2,-2,0)(4,4,0)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt]{-}(2.5,2.5,0)(1,3,2)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt]{->}(0,0,0)(1,3,2)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt]{->}(0,0,0)(1,0,0)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt]{-}(1,3,0)(1,3,2)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt]{-}(2.5,2.5,0)(1,3,0)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt,linestyle=dashed]{->}(0,0,0)(1,3,0)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt]{->}(0,0,0)(0,0,1)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt]{->}(0,0,0)(0,1,0)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt,linestyle=dashed]{-}(0,0,0)(0,2.5,0)
\pstThreeDPut(1,-0.25,0){$\vv{\imath}$}\pstThreeDPut(0,1,0.15){$\vv{\jmath}$}
\pstThreeDPut(0,-0.2,1){$\vv{k}$}\pstThreeDPut(0,-0.1,-0.15){O}
\pstThreeDPut(0.9,0.65,0){$\vv{u}$}
\end{pspicture}

\end{minipage}


 \begin{enumerate}
\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
$M(x~;~y~;~z) \in (d) \iff \vect{\text{O}M} = t\vect{u}, \, \text{avec } t \in \R$, soit :
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t\\
y&=&t\\
z&=&0
\end{array}\right., \, t \in \R$.

\item %Soit $t$ un nombre réel quelconque, et $M$ un point de la droite $d$, le point $M$ ayant pour coordonnées $(t~;~t~;~0)$. 
\begin{enumerate}
\item  %On note $AM$ la distance entre les points $A$ et $M$. Démontrer que: 
De $\vect{\text{A}M}\begin{pmatrix}t - 1\\t - 3\\0 - 2\end{pmatrix}$, on calcule :

A$M^2 = (t - 1)^2 + (t - 3)^2 + (- 2)^2 = t^2 + 1 - 2t + t^2 + 9 - 6t + 4 = 2t^2 - 8t+ 14.$
%\[AM^2 = 2t^2 - 8t+ 14.\] 

\item %Démontrer que le point $M_0$ de coordonnées $(2~;~2~;~0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel la distance $AM$ est minimale. 

%On admettra que la distance $AM$ est minimale lorsque son carré $AM^2$ est minimal.
$2t^2 - 8t+ 14 = 2\left(t^2 - 4t + 7\right) = 2\left[(t - 2)^2 -  4 + 7 \right] = 2\left[(t - 2)^2 + 3\right]$.

La plus petite valeur de ce trinôme est obtenue quand le carré est nul, soit pour $t = 2$.

On a: $2t^2 - 8t+ 14 \geqslant 6$, soit $\text{A}M^2 \geqslant 6 \Rightarrow \text{A}M \geqslant \sqrt{6}$.

La plus petite distance est A$M_0 = \sqrt{6}$ avec $M_0(2~;~2~;~0)$.
\end{enumerate}
\item %Démontrer que les droites $(AM_0)$ et $d$ sont orthogonales.
On a: $\vect{\text{A}M_0}\begin{pmatrix}1\\- 1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\ 1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$.

On a: $\vect{\text{A}M_0} \cdot \vect{u} = 1 - 1 + 0 = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux donc les droites $\left(\text{A}M_0\right)$ et $d$ sont orthogonales.
\item %On appelle $A'$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan d'équation cartésienne $z = 0$. Le point $A'$ admet donc pour coordonnées $(1~;~3~;~0)$. 

%Démontrer que le point $M_0$ est le point du plan $\left(\text{AA}'M_0\right)$ le plus proche du point O, origine du repère.
$\vect{u}$ est orthogonal au plan horizontal d'équation $z = 0$. Comme A$'$ et $M_0$ appartiennent à ce plan le vecteur $\vect{u}$ est orthogonal au vecteur $\vect{\text{A}'M_0}$.

Donc le vecteur $\vect{u}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\left(\text{AA}'M_0\right)$,donc la droite $(d)$ est orthogonale au plan 
$\left(\text{AA}'M_0\right)$. Le point $M_0$ est donc le projeté orthogonal de O sur le plan $\left(\text{AA}'M_0\right)$, donc O$M_0$ est la distance la plus courte du point O au plan $\left(\text{AA}'M_0\right)$.

\item %Calculer le volume de la pyramide $\text{O}M_0\text{A}'\text{A}$. 

%On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: $V = \frac{1}{3}\mathcal{B}h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire  

%d'une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.
Aire de la base AA$'M_0$ : on a AA$' = 2$ et A$'M_0^2 = (2 - 1)^2 + (2 - 3)^2 + 0^2 = 1 + 1 = 2$. D'où A$'M_0 = \sqrt{2}$.

On a donc $\mathcal{A}\left(\text{AA}'M_0\right) = \dfrac{2 \times \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

D'autre part : O$M_0^2 = 2^2 + 2^2 = 8$, d'où O$M_0 = \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} = h$.

Finalement $V  = \dfrac{\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}}{3} = \dfrac{4}{3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0.75cm}

\textbf{\textsc{Exercice B}} 

\vspace{0.5cm}

%\begin{tabular}[]{|l|}
%\hline
%Principaux domaines abordés :\\
%Équations différentielles ; fonction exponentielle.\\
%\hline
%\end{tabular}
%
%\bigskip

On considère l’équation différentielle  $(E)\quad  y'=  y+ 2 x \e^x$
 
%On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'ensemble $\R$ des nombres réels qui sont solutions de cette équation. 
\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par $u(x) = x^2\e^x$. On admet que $u$ est dérivable et on note $u'$ sa fonction dérivée. Démontrer que $u$ est une solution particulière de $(E)$.
De $u(x) = x^2\e^x$, on déduit que $u'(x) = 2x\e^x +  x^2\e^x =  \e^x\left(x^2 + 2x \right) = x(x + 2)\e^x$.

Donc $u$ solution de $(E)$ si et seulement si :

$u' = u + 2x\e^x \iff 2x\e^x +  x^2\e^x = x^2\e^x + 2 x \e^x$ qui est vraie : $u$ est 
une solution particulière de $(E)$.
\item Soit $g(x)=f(x) - u(x)$%$f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par : 



\smallskip

\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que si la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ alors la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle: $y' =y$. 
$f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ si et seulement si :

$f'(x) = f(x) + 2x\e^x \quad (1)$.

Or $g(x) = f(x) - u(x) \iff f(x) = g(x) + u(x)$, d'où on déduit, les deux fonctions étant dérivables sur $\R$ : $f'(x) = g'(x) + u'(x)$.

L'égalité (1) devient : $g'(x) + u'(x) = g(x) + u(x) + 2x\e^x \quad (2)$.

Or on a vu dans la question précédente que $u'(x) = u(x) + 2x\e^x$

L'équation (2) devient donc : $g'(x) = g(x)$, ce qui signifie que la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle : $y' = y$.

%On admet que la réciproque de cette propriété est également vraie. 

\item %À l'aide de la résolution de l'équation différentielle $y' = y$, résoudre l'équation différentielle $(E)$.
On sait que les solutions de l'équation différentielle $y' = y$ sont les fonctions définies par $x \longmapsto K\e^x$, \, $K \in \R$.

Donc on a $g(x) = K \e^x, \, K \in \R$ et $f(x) = K \e^x + 2x\e^x$.

Les solutions de l'équation $(E)$ : $f(x) = (K + 2)\e^x$, \, $K \in \R$.
\end{enumerate}
\item Étude de la fonction $u $
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le signe de $u'(x)$ pour $x$ variant dans $\R$.
On a $u'(x) = x(x + 2)\e^x$. Comme $\e^x > 0$, quel que soit $x \in \R$, le signe de $u'(x)$ est celui du trinôme $x(x + 2)$ qui a pour racines $- 2$ et $0$.

On sait que ce trinôme est positif, sauf entre les racines :

$u'(x) > 0$ sur $]- \infty~;~-2[ \cup [0~;~+ \infty[$ ;

$u'(x) < 0$ sur $]-2~;~0[$ ;

$u'(- 2) = u'(0) = 0$.
		\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $u$ sur $\R$ (les limites ne sont pas demandées).
		
De la question précédente il suit que $u$ est croissante sauf sur $]-2~;~0[$ où elle est décroissante, $u(- 2) = 4\e^{-2}$ et $u(0)  = 0$ étant les deux extremums de la fonction sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,2.75)
\psframe(10,2.75)\psline(0,2)(10,2)\psline(1,0)(1,2.75)
\uput[u](0.5,2){$x$}\uput[u](1.5,2){$- \infty$}\uput[u](4,2){$- 2$}\uput[u](7,2){$0$}\uput[u](9.5,2){$+\infty$}
\uput[d](4,2){$4\e^{-2}$}\uput[u](7,0){$0$}
\rput(0.5,1){$u$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)\psline{->}(7.5,0.5)(9.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $u$ est concave.
$u'$ est un produit de fonctions dérivables sur $\R$, donc elle est dérivable sur $\R$: 

$u''(x) = (2x + 2)\e^x + \left(x^2 + 2x\right)\e^x = \e^x\left(x^2 + 4x + 2\right)$.

Comme $\e^x > 0$, quel que soit $x \in \R$, le signe de $u''(x)$ est celui du trinôme $x^2 +4x + 2 = (x + 2)^2 - 4 + 2 = (x + 2)^2 - 2 =  (x + 2)^2 - \left(\sqrt{2}\right)^2 = \left(x + 2 + \sqrt{2} \right)\left(x + 2 - \sqrt{2} \right)$.

Les racines de ce trinôme sont donc $-\sqrt{2} - 2$ et  $-\sqrt{2} + 2$.

Le trinôme donc $u''(x)$ sont négatifs entre les racines.

Conclusion : la fonction est concave sur l'intervalle $\left]- \sqrt{2} - 2~;~+ \sqrt{2} - 2\right[$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-6,-0.6)(2,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-6,0)(2,4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-6}{2}{x dup mul 2.71828 x exp mul}
\uput[d](-3.414,0){\scriptsize \blue $- \sqrt{2} - 2$}
\uput[d](-0.586,0){\scriptsize \blue $\sqrt{2} - 2$}
\psline[linewidth=1.75pt,linecolor=blue]{]-[}(-3.414,0)(-0.586,0)
\end{pspicture*}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}