\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{enumitem} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %\usepackage[dvips]{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP}, %pdfsubject = {Brevet}, %pdftitle = {Nantess juin 1994}, %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{} \lhead{\small L'année 2022} \rfoot{\small Métropole, Antilles-Guyane} \lfoot{\small 8 septembre 2022} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat spécialité Jour 1 \decofourright\\[7pt] Métropole Antilles-Guyane 8 septembre 2022}} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 1 \quad 7 points\hfill Thèmes : fonctions, suites} \medskip %\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ %Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\ %Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : \[ g(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x +1}.\] \smallskip %La courbe représentative de la fonction $ g$ admet pour asymptote en $+ \infty$ la droite d'équation : %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X} %\textbf{a.~} $x = 2$ ;&\textbf{b.~} $y = 2$ ;&\textbf{c.~} $y = 0$ ;&\textbf{d.~} $x = - 1$\\ %\end{tabularx} %\end{center} On a pour tout réel $x$, \: $g(x) = \dfrac{\text{e}^x \times 2 }{\text{e}^x\left(1 + \text{e}^{-x}\right)} = \dfrac{2}{1 + \text{e}^{-x}}$. Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 + \text{e}^{-x} = 1$ et enfin $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = \dfrac{2}{1} = 2$. \hfill Réponse \textbf{b.} \item La dérivée seconde $f''$ est positive sur les intervalles $]- \infty~;~-1[$ et $[2~;~+ \infty[$, donc la fonction $f$ est convexe sur ces intervalles. \hfill Réponse \textbf{c.} \item %On donne la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = \dfrac12 u_n + 1$. %La suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 2$, est : % %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} %\textbf{a.~} arithmétique de raison $- 2$ ;&\textbf{b.~} géométrique de raison $- 2$ ;\\ %\textbf{c.~} arithmétique de raison 1 ;&\textbf{d.~}géométrique de raison $\dfrac12$.\\ %\end{tabularx} %\end{center} On a pour tout naturel $n$ : $b_{n+1} = a_{n+1} - 2 = 0,5a_n + 1 - 2 = 0,5a_n - 1 = 0,5\left(a_n - 2 \right) = 0,5b_n$. L'égalité $b_{n+1} = 0,5b_n$ montre que la suite $\left(b_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5. \hfill Réponse \textbf{d.} \item %On considère une suite $\left(u_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel, on a : %\[1 + \left(\dfrac14\right)^n \leqslant u_n \leqslant 2 - \dfrac{n}{n+1}\] %On peut affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ : % %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} %\textbf{a.~} converge vers 2 ; &\textbf{b.~} converge vers 1 ;\\ %\textbf{c.~} diverge vers $+ \infty$ ;&\textbf{d.~} n'a pas de limite.\\ %\end{tabularx} %\end{center} $\bullet~~$Comme $- 1 < \dfrac{1}{4} < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left(\dfrac14\right)^n = 0$ et donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}1 + \left(\dfrac14\right)^n = 1$ ; $\bullet~~$On a $\dfrac{n}{n + 1} = \dfrac{1}{1 + \frac1 n}$. Or $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \frac1 n = 0 \Rightarrow \displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{n}{n + 1} = 1$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}2 - \dfrac{n}{n + 1} = 1$. %$\bullet~~$L'encadrement vrai pour tout naturel $n$, donne : $1 \leqslant \displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n \leqslant 1$. On a donc $1 + \left(\dfrac14\right)^n \leqslant u_n \leqslant 2 - \dfrac{n}{n+1}$ avec $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}1 + \left(\dfrac14\right)^n = \displaystyle\lim_{n \to + \infty}2 - \dfrac{n}{n + 1} = 1$. D'après le théorème des gendarmes, on peut dire que la suite $(u_n)$ est convergente et que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n=1$.\hfill Réponse \textbf{b.} \item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = x^2 \ln x$. %Une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ est définie par : %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} %\textbf{a.~} $F(x) = \dfrac13 x^3 \left(\ln x - \dfrac13 \right)$ ;&\textbf{b.~} $F(x) = \dfrac13 x^3 (\ln x - 1)$ ;\\ %\textbf{c.~} $F(x) = \dfrac13 x^2$ ;&\textbf{d.~} $F(x) = \dfrac13 x^2 (\ln x - 1)$.\\ %\end{tabularx} %\end{center} Si $F(x) = \dfrac13 x^3 \left(\ln x - \dfrac13 \right)$, alors $F'(x) = x^2\left(\ln x - \dfrac13 \right) + \dfrac13 x^3 \times \dfrac{1}{x} = x^2 \ln x - \dfrac13 x^2 + \dfrac13 x^2 = x^2 \ln x = f(x)$. \hfill Réponse \textbf{a.} \item %Pour tout réel $x$, l'expression $2 + \dfrac{3\text{e}^{-x} - 5}{\text{e}^{-x} + 1}$ est égale à : %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} %\textbf{a.~} $\dfrac{5 - 3\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$ ;&\textbf{b.~} $\dfrac{5 + 3\text{e}^x}{1 - \text{e}^x}$ ;\\ %\textbf{c.~} $\dfrac{5 + 3\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$ ;&\textbf{d.~} $\dfrac{5 - 3\text{e}^x}{1 - \text{e}^x}$.\\ %\end{tabularx} %\end{center} $2 + \dfrac{3\text{e}^{-x} - 5}{\text{e}^{-x} + 1} = \dfrac{2\text{e}^{-x} + 2 + 3\text{e}^{-x} - 5}{\text{e}^{-x} + 1} = \dfrac{5\text{e}^{-x} - 3}{\text{e}^{-x} + 1}$ ; en multipliant chaque terme par $\text{e}^x$, on obtient : $\dfrac{5 - 3\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$. \hfill Réponse \textbf{a.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \quad 7 points\hfill Thème probabilités} \medskip %Un hôtel situé à proximité d'un site touristique dédié à la préhistoire propose deux visites dans les environs, celle d'un musée et celle d'une grotte. % %\medskip % %Une étude a montré que 70\,\% des clients de l'hôtel visitent le musée. De plus, parmi les clients visitant le musée, 60\,\% visitent la grotte. % %Cette étude montre aussi que 6\,\% des clients de l'hôtel ne font aucune visite. % %On interroge au hasard un client de l'hôtel et on note : % %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] $M$ l'évènement : \og le client visite le musée \fg{} ; %\item[$\bullet~~$] $G$ l'évènement : \og le client visite la grotte \fg. %\end{itemize} % %On note $\overline{M}$ l'évènement contraire de $M$,\: $\overline{G}$ l'évènement contraire de $G$, et pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ la probabilité de $E$. % %Ainsi, d'après l'énoncé, on a : $p\left(\overline{M} \cap \overline{G}\right) = 0,06$. % %\medskip % %\begin{minipage}{0.53\linewidth} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Vérifier que $p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right) = 0,2$, où $p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right)$ désigne la probabilité que le client interrogé ne visite pas la grotte sachant qu'il ne visite pas le musée. On a $p(M) = 0,7$, donc $p\left(\overline{M}\right) = 1 - 0,7 = 0,3$. Or $p\left(\overline{M} \cap \overline{G}\right) = 0,06$ donc $p\left(\overline{M} \right) \times p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right)=0,06 \iff 0,3 \times p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right)=0,06 \iff p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right) = 0,2$. \item ~%L'arbre pondéré ci-contre modélise la situation. Recopier et compléter cet arbre en indiquant sur chaque branche la probabilité associée. On complète l'arbre pondéré: \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$M$~}\taput{0,7}} {\TR{$G$}\taput{0,6} \TR{$\overline{G}$}\tbput{0,4} } \pstree{\TR{$\overline{M}$~}\tbput{0,3}} {\TR{$G$}\taput{0,8} \TR{$\overline{G}$}\tbput{0,2} }} \end{center} \item La probabilité de l'évènement \og le client visite la grotte et ne visite pas le musée \fg{} est: $p\left(\overline{M} \cap G\right) = p\left(\overline{M}\right)\times p_{\overline{M}}(M) = 0,3 \times 0,8 = 0,24$. \item %Montrer que $p(G) = 0,66$. On a de même $p(M \cap G) = p(M) \times p_M(G) = 0,7 \times 0,6 = 0,42$. D'après la loi des probabilités totales : $p(G) = p(M \cap G) + p\left(\overline{M} \cap G\right) = 0,42 + 0,24 = 0,66$. \end{enumerate} %\end{minipage}\hfill %\begin{minipage}{0.43\linewidth} %\begin{center} %\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}} %{\pstree{\TR{$M$~}\taput{\ldots}} %{\TR{$G$}\taput{\ldots} %\TR{$\overline{G}$}\tbput{\ldots} %} %\pstree{\TR{$\overline{M}$~}\tbput{\ldots}} %{\TR{$G$}\taput{\ldots} %\TR{$\overline{G}$}\tbput{\ldots} %}} %\end{center} %\end{minipage} \item Le responsable de l'hôtel affirme que parmi les clients qui visitent la grotte, plus de la moitié visitent également le musée.% Cette affirmation est-elle exacte ? On calcule $p_G(M) = \dfrac{p(G \cap M}{p(G)} = \dfrac{p(M \cap G}{p(G)} = \dfrac{0,42}{0,66} = \dfrac{42}{66} = \dfrac{21}{33} = \dfrac{7}{11} \approx 0,64 > 0,5$. \\ L'affirmation est exacte. \item %Les tarifs pour les visites sont les suivants: %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] visite du musée : 12 euros; %\item[$\bullet~~$] visite de la grotte : 5 euros. %\end{itemize} % %On considère la variable aléatoire $T$ qui modélise la somme dépensée par un client de l'hôtel pour ces visites. \begin{enumerate} \item %Donner la loi de probabilité de $T$. On présentera les résultats sous la forme d'un tableau. On a le tableau de probabilités suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline évènement &$M \cap G$ &$M \cap \overline{G}$ &$\overline{M} \cap G$ &$\overline{M} \cap \overline{G}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline probabilité &0,42 &0,28 &0,24 &0,06\\ \hline dépense &17 &12 &5 &0\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item %Calculer l'espérance mathématique de $T$. D'après le tableau précédent : $E(T) = 17 \times 0,42 + 12 \times 0,28 + 5 \times 0,24 + 0 \times 0,06 = 7,14 + 3,36 + 1,2 = 11,7$. Ceci signifie que sur un grand nombre de visiteurs la dépense moyenne par visiteur est égale à 11,70~\euro. \item %Pour des questions de rentabilité, le responsable de l'hôtel estime que le montant %moyen des recettes des visites doit être supérieur à $700$~euros par jour. %Déterminer le nombre moyen de clients par journée permettant d'atteindre cet objectif. Soit $x$ le nombre minimum de visiteurs , $x$ doit vérifier : $11,7 \times x > 700 \iff x > \dfrac{700}{11,7}$. Or $\dfrac{700}{11,7} \approx 59,8$. Il faut donc qu'il y ait au moins 60 visiteurs. \end{enumerate} \item %Pour augmenter les recettes, le responsable souhaite que l'espérance de la variable aléatoire modélisant la somme dépensée par un client de l'hôtel pour ces visites passe à 15 euros, sans modifier le prix de visite du musée qui demeure à $12$ euros. %Quel prix faut-il fixer pour la visite de la grotte afin d'atteindre cet objectif ? (On admettra que l'augmentation du prix d'entrée de la grotte ne modifie pas la fréquentation des deux sites). Soit $g$ le prix à payer pour visiter la grotte ; le tableau de probabilités devient : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline évènement&$M \cap G$&$M \cap \overline{G}$&$\overline{M} \cap G$&$\overline{M} \cap \overline{G}$ \rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline probabilité&0,42&0,28&0,24&0,06\\ \hline dépense&12 + g&12&$g$&0\\ \hline \end{tabularx} \end{center} L'espérance devient : $E = 0,42(12 + g) + 12 \times 0,28 + 0,24 \times g + 0 \times 0,06 = 5,04 + 0,42g + 3,36 + 0,24g = 8,4 + 0,66g$. Le responsable veut que : $8,4 + 0,66g = 15 \iff 0,66g = 6,6 \iff g = 10$. Le prix d'entrée à la grotte doit passer à 10 euros. \item %On choisit au hasard $100$ clients de l'hôtel, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. %Quelle est la probabilité qu'au moins les trois quarts de ces clients aient visité la grotte à l'occasion de leur séjour à l'hôtel ? %On donnera une valeur du résultat à $10^{-3}$ près. Le nombre de visiteurs étant suffisamment grand pour que le tirage puisse être considéré avec remise, chaque visiteur a donc en moyenne une probabilité de 0,66 de visiter la grotte. La variable aléatoire $G$ égale au nombre de visiteurs de la grotte suit donc une loi binomiale $\mathcal{B}(100~;~0,66)$. Il faut donc trouver $p(G \geqslant 75)$. La calculatrice donne $p(G\leqslant 74) \approx \np{0,9660}$, donc $p(G \geqslant 75) = 1 - p(G\leqslant 74) \approx 1 - \np{0,9660}\approx 0,034$ au millième près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \quad 7 points\hfill Thème fonctions logarithmes et exponentielles, suites} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{\ln x}{x},\] où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. \medskip \begin{enumerate} \item %Donner la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. L'axe des abscisses est asymptote horizontale au graphe de la fonction$f$ au voisinage de plus l'infini. \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item %Montrer que, pour tout nombre réel $x \geqslant 1,\:f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$. En dérivant $f(x)$ comme un quotient, on obtient pour $x \geqslant 1$ : $f'(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x} \times x - 1 \times \ln x}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$. \item~ %Justifier le tableau de signes suivant, donnant le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$. Quel que soit $x$,\: $x^2 \geqslant 0$, le signe de $f'(x)$ est donc celui du numérateur $1 - \ln x$ : $\bullet~~$ $1 - \ln x > 0 \iff 1 > \ln x \iff \text{e} > x$ : $f'(x) > 0$ sur l'intervalle $[1~;~\text{e}]$ ; $\bullet~~$ $1 - \ln x < 0 \iff 1 < \ln x \iff \text{e} < x$ : $f'(x) < 0$ sur l'intervalle $[\text{e}~;~+ \infty[$. $\bullet~~$ $1 - \ln x = 0 \iff 1 = \ln x \iff \text{e} = x$. On a donc le tableau de signes de $f'(x)$: \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \def\esp{\hspace*{1.5cm}} $\begin{array}{|c | *{5}{c} |} \hline x & 1 & \esp & \text e & \esp & +\infty \\ \hline f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \\ \hline \end{array}$ \renewcommand{\arraystretch}{1} \end{center} \item $f(1)=0$ et $f(\text e) = \dfrac{1}{\text e}$; on dresse le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[1~;~+\infty[$. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.1} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 1 & \esp & \text e & \esp & +\infty \\ \hline f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{\frac{1}{\text e}} & & \\ f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{0} & & & & \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} \end{enumerate} \item %Soit $k$ un nombre réel positif ou nul. \begin{enumerate} \item %Montrer que, si $0 \leqslant k \leqslant \dfrac{1}{\text{e}}$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution sur l'intervalle $[1~;~\text{e}]$. D'après le tableau de variations sur l'intervalle [1~;~e], la fonction est strictement croissante de $0$ à $\dfrac{1}{\text{e}}$ : l'équation $f(x) = k$ avec $0 \leqslant k \leqslant \dfrac{1}{\text{e}}$ a donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires une solution unique. \item %Si $k > \dfrac{1}{\text{e}}$, l'équation $f(x) = k$ admet-elle des solutions sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ ? %Justifier. D'après le tableau de variations $f(x) \leqslant \dfrac{1}{\text{e}}$ (maximum de $f$) : l'équation $f(x) = k$ avec $k > \dfrac{1}{\text{e}}$ n'a donc pas de solution \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x) = \text{e}^{\frac{x}{4}}.$ On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = \text{e}^{\frac{u_n}{4}}$ c'est-à-dire : $u_{n+1} = g\left(u_n\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item %Justifier que la fonction $g$ est croissante sur $\R$. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle : $g'(x) = \dfrac14 \text{e}^{\frac{x}{4}}$ : produit de deux facteurs supérieurs à zéro, cette dérivée est supérieure à zéro, donc $g$ est croissante sur $\R$. \item %Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \text{e}$. Soit $\mathcal{P}_n$ la propriété $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \text{e}$. \begin{list}{\textbullet}{} \item\emph{Initialisation} $u_0 = 1$ et $u_1 = \text{e}^{u_0} = \text{e}^{1} = \text{e}$. On a bien : $u_0 \leqslant u_1 \leqslant \text e$; la propriété est vraie pour $n=0$. \item\emph{Hérédité} Supposons que pour $n \in \N$, on ait $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \text{e}$. Par croissance de la fonction $g$, on a: $g\left(u_n\right) \leqslant g\left(u_{n+1}\right) \leqslant g\left(\text{e}\right)$ soit $u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant g\left(\text{e}\right)$ Or $g\left(\text{e}\right) = \text{e}^{\frac{\text{e}}{4}} \approx 1,97$ ; donc $g\left(\text{e}\right) \leqslant \text{e}$ et l'encadrement précédent devient : $u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant \text{e}$ : la propriété est vraie au rang $n + 1$. \item\emph{Conclusion} L'encadrement est vrai au rang 0 et s'il est vrai au rang $n \in \N$, il est vrai au rang $n + 1$; d'après le principe de récurrence : quel que soit $n \in \N$, \: $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \text{e}$. \end{list} \item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. L'encadrement précédent montre : \begin{itemize} \item que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante ; \item que la suite $\left(u_n\right)$ est majorée par $\text{e}$. \end{itemize} Donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $\left(u_n\right)$ est convergente vers une limite inférieure ou égale à $\text{e}$. \end{enumerate} On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et on admet que $\ell$ est solution de l'équation : $\text{e}^{\frac{x}{4}} = x.$ \begin{enumerate}[resume] \item %En déduire que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = \dfrac14$, où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A. Quel que soit $x > 0$, \:$\text{e}^{\frac{x}{4}} = x \iff \dfrac{x}{4} = \ln x$, par croissance de la fonction ln. Or $\dfrac{x}{4} = \ln x \iff \dfrac14 = \dfrac{\ln x}{x}$, soit finalement : $f(x) = \dfrac14$ avec $f$ fonction définie dans la partie A. \item %Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$. On a: $\text e <4$ donc $\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{\text e}$ donc $0\leqslant \dfrac{1}{4} \leqslant \dfrac{1}{\text e}$. D'après la question \textbf{3.\:a.} de la partie A, l'équation $f(x) = \dfrac14$ a donc une solution unique sur l'intervalle [1~;~e]. La calculatrice donne : $f(1) = 0$ et $f(2) = \dfrac{\ln 2}{2} \approx 0,346$ ; $f(1,4) \approx 0,24$ et $f(1,5) \approx 0,27$, donc $1,4 < \ell < 1,5$ ; $f(1,42) \approx 0,247$ et $f(1,43) \approx 0,251$, donc $1,42 < \ell < 1,43$ ; $f(1,429) \approx \np{0,2498}$ et $f(1,430) \approx \np{0,2501}$, donc $1,429 < \ell < 1,430$ ; Finalement $\ell \approx 1,43$ au centième près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \quad 7 points\hfill Thème : géométrie dans l'espace} \medskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère les points \[\text{A}(-1~;~-1~;~3),\qquad \text{B}(1~;~1~;~2),\qquad \text{C}(1~;~-1~;~7)\] On considère également la droite $\Delta$ passant par les points D$(-1~;~6~;~8)$ et E$(11~;~- 9~;~2)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Vérifier que la droite $\Delta$ admet pour représentation paramétrique: %\[\left\{\begin{array}{l c l} %x &=& -1 + 4t\\ %y &=& \phantom{-}6 - 5t \quad\text{avec}\: t \in \R\\ %z &=& \phantom{-}8 - 2t %\end{array}\right.\] Avec $\vect{\text{DE}}\begin{pmatrix}12\\-15\\-6\end{pmatrix}$, on peut prendre comme vecteur directeur de $\Delta$: $\dfrac13\vect{\text{DE}}\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}$. On a $M(x~;~y~;~z) \in (\text{DE}) \iff \text{il existe } t \in \R, \: \text{tel que } \: \vect{\text{D}M} = t \dfrac13\vect{\text{DE}}$, soit \[\left\{\begin{array}{l c r} x + 1 &=& 4t\\ y - 6 &=&-5t\\ z - 8 &=& -2t \end{array}\right. \quad\text{avec}\: t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=& -1 + 4t\\ y &=& \phantom{-}6 - 5t \\ z &=& \phantom{-}8 - 2t \end{array}\right. \quad\text{avec}\: t \in \R\] \item La droite $\Delta'$ est parallèle à $\Delta$ donc elle a les mêmes vecteurs directeurs que $\Delta$. De plus, elle passe par l'origine O du repère donc elle a pour représentation paramétrique: $\left\{\begin{array}{l !{=} r} x&0+4t\\ y&0-5t\\ z& 0-2t \end{array}\right. \quad\text{avec}\: t \in \R$ soit $\left\{\begin{array}{l !{=} r} x&4t\\ y&-5t\\ z& -2t \end{array}\right. \quad\text{avec}\: t \in \R$ \item %Le point F$(1,36~;~-1,7~;~-0,7)$ appartient-il à la droite $\Delta'$ ? F$(1,36~;~-1,7~;~-0,7) \in\Delta' \iff \left\{\begin{array}{l c l} 1,36&=&\phantom{-}4t\\ -1,7&=&-5t \quad\text{avec}\: t \in \R\\ -0,7&=& -2t \end{array}\right.$ Les deux premières équations donnent $t = 0,34$ et la dernière $t = 0,35$. \\ Donc F $\notin \Delta$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que les points A, B et C définissent un plan. On a $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}$ : ces deux vecteurs ne sont manifestement pas colinéaires, donc les trois points A, B et C définissent un plan. \item %Montrer que la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan (ABC). On a $\dfrac13\vect{\text{DE}} \cdot \vect{\text{AB}} = 8 - 10 + 2 = 0$ ; De même $\dfrac13\vect{\text{DE}} \cdot \vect{\text{AC}} = 8 + 0 - 8 = 0$. Donc $\vect{\text{DE}}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) ; il est normal à ce plan. \item %Montrer qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est: $4x - Sy - 2z + 5 = 0$. D'après la question précédente on sait que : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 4x - 5y - 2z + d = 0$ avec $d \in \R$ Or A$(- 1~;~-1~;~3) \in (\text{ABC})$ donc $4\times (-1) - 5\times (-1) - 2\times 3 + d = 0$ avec $d \in \R$, soit $- 5 + d = 0 \iff d = 5$. Conclusion : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 4x - 5y - 2z + 5 = 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que le point G(7~;~-4~;~4) appartient à la droite $\Delta$. G$(7~;~-4~;~4) \in \Delta \iff \left\{\begin{array}{r c l} 7 &=& -1 + 4t\\ -4 &=& \phantom{-}6 - 5t \quad\text{avec}\: t \in \R\\ 4 &=& \phantom{-}8 - 2t \end{array}\right.$ Ces trois équations ont pour solution $t = 2$, donc G$(7~;~-4~;~4) \in \Delta$. \item %Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point G sur le plan (ABC). Le point H appartient à la droite $\Delta$ et au plan (ABC). Donc ses coordonnées $x,\,y,\:z$ vérifient le système : $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& -1 + 4t\\ y &=& \phantom{-}6 - 5t \quad\text{avec}\: t \in \R\\ z &=& \phantom{-}8 - 2t\\ 4x - 5y - 2z + 5 &=& 0 \end{array}\right.$ En replaçant $x,\:y,\: z$ par leurs valeurs en fonction de $t$ dans la dernière équation, on obtient : $4(- 1 + 4t) - 5(6 - 5t) - 2(8 - 2t) + 5 = 0\iff -4 + 16t - 30 + 25t - 16 + 4t + 5 = 0\iff 45t -45 = 0 \iff 45t = 45 \iff t = 1$. Les coordonnées de H sont donc $(-1 + 4~;~6 - 5~;~8 - 2)$ soit H(3~;~1~;~6). \item %En déduire que la distance du point G au plan (ABC) est égale à $3\sqrt 5$. La distance du point G au plan (ABC) est donc égale à GH. Or GH$^2 = (3 - 7)^2 + (1 + 4)^2 + (6 - 4)^2 = 16 + 25 + 4 = 45$, d'où \\ GH $= \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que le triangle ABC est rectangle en A. D'après la question \textbf{2. a.}, on a $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}} = 2 \times 2 + 2 \times 0 + 4 \times (- 1) = 4 - 4 = 0$ : les vecteurs $\vect{\text{AB}} $ et $\vect{\text{AC}}$ sont orthogonaux, donc les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires : le triangle ABC est rectangle en A. \item %Calculer le volume $V$ du tétraèdre ABCG. En prenant comme base le triangle ABC, la hauteur correspondante est GH, donc : $V = \dfrac13 \times \mathcal{A}(\text{ABC}) \times \text{GH} = \dfrac13 \times \dfrac12 \times \text{AB} \times \text{AC} \times \text{GH}$. On a AB$^2 = 2^2 + 2^2 + (- 1)^2 = 4 + 4 + 1 = 9$, donc AB $= 3$ ; AC$^2 = 2^2 + 0^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$, donc AC $ = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$. Donc $V = \dfrac13 \times \dfrac12 \times 3\times 2\sqrt{5}\times 3\sqrt{5} = 15$. %\emph{On rappelle que le volume V d'un tétraèdre est donné par la formule $V = \dfrac13 \times B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondant à cette base.} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}