\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add} %\usepackage{tikz} %\usepackage{tkz-tab} \usepackage{esvect} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.3cm, right=3.3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \headheight5 mm \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\text{\,e\,}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité}, pdftitle = {Polynésie Sujet 1 19 juin 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \renewcommand\arraystretch{1.} %\frenchsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{4pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{19 juin 2024}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Polynésie 19 juin 2024~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}} \medskip \textbf{Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée} \end{center} \medskip \textbf{\large{}Exercice 1\hfill 4 points} \medskip %\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\ %Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.\\ %Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.} % %\medskip % %Les quatre affirmations se placent dans la situation suivante: % %Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère les points: \begin{center}A$(2~;~1~;~-1)$, \quad B$(-1~;~2~;~1)$ et \quad C$(5~;~0~;~-3)$.\end{center} On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne: $x + 5y - 2z + 3 = 0.$ On note $\mathcal{D}$ la droite de représentation paramétrique : $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&-t +3\\ y&=&t+ 2\\ z &=& 2t +1 \end{array}\right., \: t \in \R.$ \medskip \textbf{Affirmation 1 :} %Le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan (OAC). On a $\vect{\text{OA}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{OC}}\begin{pmatrix}5\\0\\-3\end{pmatrix}$ : ces vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points O, A et C ne sont pas alignés et définissent bien un plan. D'autre part : $\vect{n} \cdot \vect{\text{OA}} = 2 + 0 - 2 = 0$ et $\vect{n} \cdot \vect{\text{OC}} = 5 + 0 - 6 = - 1$ ; conclusion le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal au vecteur $\vect{\text{OA}}$ du plan (OAC) mais n'est pas orthogonal au vecteur $\vect{\text{OC}}$ de ce même plan ; il n'est donc pas normal au plan (OAC) : l'affirmation 1 est fausse. \medskip \textbf{Affirmation 2 :} %Les droites $\mathcal{D}$ et (AB) sont sécantes au point C. On cherche la représentation paramétrique de (AB). On a : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{AB}) \iff \vect{\text{A}M} = u\vect{\text{AB}}$, avec $u \in \R$. Comme $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}$ on obtient : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{AB}) \iff \left\{\begin{array}{l c l} x - 2 &=& -3u\\ y - 1 &=&\phantom{-}1u\\ z + 1 &=&\phantom{-}2u \end{array}\right., \: u \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &= &2 -3u\\ y &= &1 + \phantom{2}u\\ z &= &- 1 + 2u \end{array}\right., \: u \in \R$. Donc $M(x~;~y~;~z) \in (\text{AB}) \cap \mathcal{D} \iff \left\{\begin{array}{l c l} 2 - 3u &=&3 - t\\ 1 + u &=&2 + t\\ - 1 + 2u&=&1 + 2t \end{array}\right.$ La deuxième équation donne $u = t + 1$ et en remplaçant $u$ par $t + 1$ dans les deux autres on obtient le système : $\left\{\begin{array}{l c l} u &=& t + 1\\ 2 - 3(t + 1) &=& 3 - t\\ - 1 + 2(1 + t) &=&1 + 2t \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} u &=& t + 1\\ 2 - 3t - 3 &=& 3 - t\\ - 1 + 2 + 2t &=&1 + 2t \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l} u &=& t + 1\\ - 4 &=& 2t\\ 1 &=& 1 \end{array}\right.$ : d'où $t = - 2$ et $u = t + 1 = - 2 + 1 = -1$. En remplaçant $t$ ou $u$ dans l'une des équations paramétriques de (AB) ou $(D)$ on obtient le point commun de coordonnées (5~;~0~;~-3), donc le point C. Conclusion : l'affirmation 2 est vraie. \medskip \textbf{Affirmation 3 :} %La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$. Si un point $M(x~;~y~;~z)$ est commun à la droite $\mathcal{D}$ et au plan $\mathcal{P}$ ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de $\mathcal{D}$ et l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$, donc le système : \newpage $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&-t +3\\ y&=&t+ 2\\ z &=& 2t +1\\ x + 5y - 2z + 3&=&0 \end{array}\right., \: t \in \R,$ D'où en remplaçant dans l'équation du plan $x, y$ et $z$ par leurs valeurs en fonction de $t$: $- t + 3 + 5(t + 2) - 2(2t + 1) + 3 = 0 \iff -t + 3 + 5t + 10 - 4t - 2 + 3 = 0 \iff 0t = - 14$ cette équation n'a pas de solution : $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ sont parallèles (strictement) ; l'affirmation 3 est vraie \medskip \textbf{Affirmation 4 :} %Le plan médiateur du segment [BC], noté $Q$, a pour équation cartésienne : %\[3x - y - 2z - 7 = 0.\] %\emph{On rappelle que le plan médiateur d'un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.} $\bullet~$Le milieu H de [BC] a pour coordonnées H$\left(\dfrac{-1 + 5}{2}~;~\dfrac{2 + 0}{2}~;~\dfrac{1 - 3}{2}\right)$, soit H$(2~;~1~;~- 1)$. $3x_{\text H} - y_{\text H} -2z_{\text H}-7 = 3\times 2 -1-2\times (-1)-7 = 0$ donc $\text H \in Q$. $\bullet~$Le vecteur $\vectt{BC}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 5-(-1) \\ 0-2\\ -3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2\\ -4 \end{pmatrix}$. Le plan $Q$ a pour vecteur normal le vecteur $\vect{v}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$. $\vectt{BC} = 2\vect{v}$ donc le vecteur $\vect{\text{BC}}$ est normal au plan $Q$. L'affirmation 4 est vraie. \bigskip \textbf{\large{}Exercice 2\hfill 5 points} \medskip %Une entreprise fabrique des objets en plastique en injectant dans un moule de la matière fondue à $210$~\degres C. On cherche à modéliser le refroidissement du matériau à l'aide d'une fonction $f$ donnant la température du matériau injecté en fonction du temps $t$. % %Le temps est exprimé en seconde et la température est exprimée en degré Celsius. % %On admet que la fonction $f$ cherchée est solution d'une équation différentielle de la forme suivante où $m$ est une constante réelle que l'on cherche à déterminer: Soit $(E)$ l'équation différentielle: $y' +0,02y = m$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item %Justifier l'affichage suivant d'un logiciel de calcul formel: %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline %Entrée :& RésoudreEquationDifférentielle $(y' + 0,02y = m)$\\ \hline %Sortie :& \fbox{$\to$}\: $y = k *\text{exp}(-0.02 * t) + 50 * m$\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} On sait que l'équation différentielle $y' + 0,02y = 0$ a pour solutions les fonctions $t \longmapsto y = k\e^{-0,02t}$, avec $k \in \R$. D'autre part une fonction constante $y = \alpha$, \:$\alpha \in \R$ est solution de $(E)$ (avec donc $y' = 0$) si $0 + 0,02\alpha = m \iff 0,02\alpha = m \iff \alpha = \dfrac{m}{0,02} = 50m$. Conclusion : toutes les solutions de $(E)$ sont les fonctions définies par \begin{center} $t \longmapsto y = k\e^{0,02t} + 50m$, \: avec $k \in \R$\end{center} \item %La température de l'atelier est de 30~\degres C. On admet que la température $f(t)$ tend vers 30~\degres C lorsque $t$ tend vers l'infini. %Démontrer que $m = 0,6$. On sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \e^{-0,02t} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} k\e^{-0,02t} = 0$ et $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} k\e^{-0,02t} + 50m = 50m$. Or on a $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} k\e^{-0,02t} + 50m = 30$, donc $m = \dfrac35 = \dfrac{6}{10} = 0,6$. \item %Déterminer l'expression de la fonction $f$ cherchée en tenant compte de la condition initiale $f(0) = 210.$ Avec $50m = 50 \times 0,6 = 5 \times 6 = 30$, les solutions de $(E)$ sont les fonctions $f$ définies par : $ t \longmapsto f(t) = k\e^{-0,02t} + 30$ On a $f(0) = 210 \iff k \times 1 + 30 = 210 \iff k = 180$. Finalement : $f(t) = 180\e^{-0,02t} + 30$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip %On admet ici que la température (exprimée en degré Celsius) du matériau injecté en fonction du temps (exprimé en seconde) est donnée par la fonction dont l'expression et une représentation graphique sont données ci-dessous: Soit $f$ la fonction définie par $f(t) =180 \e^{-0,02t} + 30.$ \begin{center} \psset{unit=0.05cm,yunit=0.02cm,arrowsize =2pt 3} \begin{pspicture}(-20,-15)(220,230) \multido{\n=0+20}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,230)} \multido{\n=0+50}{5}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(220,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=20,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(220,230) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{220}{180 2.71828 0.02 x mul exp div 30 add} \uput[u](190,0){temps (en s)}\uput[r](0,220){température (en \degres C)} \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,50)(109.86,50)(109.86,0) \uput[d](110,0){\red \footnotesize 110} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item %L'objet peut être démoulé lorsque sa température devient inférieure à 50\degres C. \begin{enumerate} \item %Par lecture graphique, donner une valeur approchée du nombre $T$ de %secondes à attendre avant de démouler l'objet. On lit sur le graphique $T \approx 110$~(s). \item %Déterminer par le calcul la valeur exacte de ce temps $T$. $\begin{aligned}[t] f(T) = 50 & \iff 180 \e^{-0,02T} + 30 = 50 \iff 180 \e^{-0,02T} = 20 \\ & \iff 20 \times 9\e^{-0,02T} = 20 \times 1 \iff 9\e^{-0,02T} = 1 \iff \e^{-0,02T} = \dfrac19 \\ & \iff -0,02T = \ln \left(\dfrac 19 \right) \text{par croissance de la fonction logarithme}\\ & \text{népérien)} \: \iff -0,02T = - \ln 9 \iff 0,02T = \ln 9 \\ & \iff T = \dfrac{\ln 9}{0,02} \end{aligned}$ Donc $T = \dfrac{\ln 9}{0,02} = 50\ln 9 \approx 109,86$. \end{enumerate} \item %À l'aide d'une intégrale, calculer la valeur moyenne de la température sur les $100$~premières secondes. La valeur moyenne $\overline{t}$ de la température sur les $100$~premières secondes est: $\begin{aligned} \overline{t} & = \dfrac{1}{100}\displaystyle\int_0^{100} \left(180 \e^{-0,02t} + 30\right)\:\text{d}t = \dfrac{1}{100}\left[- \dfrac{180}{0,02}\e^{-0,02t} + 30t \right]_0^{100}\\ & = \dfrac{1}{100}\left[- 9000\e^{-0,02t} + 30t \right]_0^{100} = \dfrac{1}{100}\left[-9000\e^{-2} + 9000 + \np{3000} \right] \\ & = \dfrac{1}{100}\left[9000\left(1 - \e^{-2}\right) + \np{3000}\right] = 90\left(1 - \e^{-2}\right) + 30 \approx 107,82 \end{aligned}$ soit environ 107,8~(\degres C). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large{}Exercice 3\hfill 5 points} \medskip \emph{Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté \og Face \fg. \medskip \begin{enumerate} \item %Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$. On lance 3 fois une pièce de monnaie bien équilibrée donc il s'agit d'une répétition de 3 épreuves identiques et indépendantes; la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté \og Face \fg{} suit donc la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac{1}{2}$. \item $P(X=0)=\ds\binom{3}{0} \left (\dfrac{1}{2}\right )^{0} \left (1-\dfrac{1}{2}\right )^{3-0} = \left (\dfrac{1}{2}\right )^{3} = \dfrac{1}{8}$ $P(X=1)=\ds\binom{3}{1} \left (\dfrac{1}{2}\right )^{1} \left (1-\dfrac{1}{2}\right )^{3-1} = 3 \left (\dfrac{1}{2}\right )^{3} = \dfrac{3}{8}$ $P(X=2)=\ds\binom{3}{2} \left (\dfrac{1}{2}\right )^{2} \left (1-\dfrac{1}{2}\right )^{3-2} = 3 \left (\dfrac{1}{2}\right )^{3} = \dfrac{3}{8}$ $P(X=3)=\ds\binom{3}{3} \left (\dfrac{1}{2}\right )^{3} \left (1-\dfrac{1}{2}\right )^{3-3} = \left (\dfrac{1}{2}\right )^{3} = \dfrac{1}{8}$ On complète le tableau donnant la loi de probabilité de $X$: \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $k$& 0 & 1 & 2& 3 \\ \hline $P(X = k)$&$\dfrac18$ &$\dfrac38$ &$\dfrac38$ &$\dfrac18$ \rule[-11pt]{0pt}{30pt}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Voici les règles d'un jeu où le but est d'obtenir trois pièces du côté \og Face \fg{} en un ou deux essais : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item On lance trois pièces équilibrées : \begin{itemize}[label=$\circ~$] \item Si les trois pièces sont tombées du côté \og Face \fg, la partie est gagnée ; \item Sinon, les pièces tombées du côté \og Face\fg{} sont conservées et on relance celles tombées du côté \og Pile \fg. \end{itemize} \item La partie est gagnée si on obtient trois pièces du côté \og Face \fg, sinon elle est perdue. \end{itemize} On considère les évènements suivants : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item $G$ : \og la partie est gagnée \fg. Et pour tout entier $k$ compris entre 0 et 3, les évènements: \item $A_k$ : \og $k$ pièces sont tombées du côté \og Face\fg{} au premier lancer \fg. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item %Démontrer que $P_{A_1}(G) = \dfrac14$. $P_{A_1}(G)$ est la probabilité de l'événement \og on a gagné sachant que lors du premier lancer, on a obtenu une fois \og Face \fg. C'est donc la probabilité qu'au deuxième lancer, les deux pièces tombent sur \og Face \fg. Il y a 4 résultats équiprobables possibles: PP - PF - FP - FF, dont un seul favorable ; la probabilité cherchée est donc égale à $\dfrac{1}{4}$. \item On complète l'arbre pondéré ci-dessous: \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=3cm,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,npos=0.7]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A_0~~$}\ncput*{$\frac18$}} {\TR{$G$}\ncput*{\blue $\frac18$} \TR{$\overline{G}$}\ncput*{\blue $\frac78$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A_1~~$}\ncput*{$\frac38$}} {\TR{$G$}\ncput*{\blue $\frac14$} \TR{$\overline{G}$}\ncput*{\blue $\frac34$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A_2~~$}\ncput*{$\frac38$}} {\TR{$G$}\ncput*{\blue $\frac12$} \TR{$\overline{G}$}\ncput*{\blue $\frac12$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A_3$}\ncput*{$\frac18$}} {\TR{$G$}\ncput*{\blue $1$} } } \end{center} \item %Démontrer que la probabilité $p$ de gagner à ce jeu est $p = \dfrac{27}{64}$ D'après la loi des probabilités totales on a : $\begin{aligned} p & = P(A_0) \times P_{A_0}(G) + P(A_1) \times P_{A_1}(G) + P(A_2) \times P_{A_2}(G) + P(A_3) \times P_{A_3}(G)\\ & = \dfrac18 \times \dfrac18 + \dfrac38 \times \dfrac14 + \dfrac38 \times \dfrac12 + \dfrac18 \times 1 = \dfrac{1 + 6 + 12 + 8}{64} = \dfrac{27}{64} \end{aligned}$ \item La partie a été gagnée. La probabilité qu'exactement une pièce soit tombée du côté \og Face \fg{} à la première tentative est: $P_G(A_1) = \dfrac{P\left(A_1 \cap G\right)}{P(G)} = \dfrac{\dfrac38 \times \dfrac14}{\dfrac{27}{64}} = \dfrac{\dfrac{3}{32}}{\dfrac{27}{64}} = \dfrac{3}{32} \times \dfrac{64}{27} = \dfrac29$. \item %Combien de fois faut-il jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0,95$ ? Les parties sont à chaque fois indépendantes et la probabilité de gagner est à chaque fois égale à $\dfrac{27}{64}$. Pour $n$ parties jouées, on appelle $Z$ la variable aléatoire comptant le nombre de parties gagnées, $Z$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p = \dfrac{27}{64}$. $P(Z = 0) = \displaystyle\binom{n}{0} \times \left(\dfrac{27}{64}\right)^0 \times \left(1 - \dfrac{27}{64}\right)^n = \left(\dfrac{37}{64}\right)^n$ donc $P(Z\geqslant 1) = 1 - \left (\dfrac{37}{64}\right )^n$. Il faut trouver $n \in \N$ tel que $P(Z \geqslant 1) > 0,95$. On résout donc l'inéquation: $\begin{aligned} 1 - \left(\dfrac{37}{64}\right)^n > 0,95 & \iff \left(\dfrac{37}{64}\right)^n < 0,05\\ & \iff \ln \left (\left ( \dfrac{37}{64}\right )^n\right ) < \ln (0,05) \text{ (croissance de la fonction ln)}\\ & \iff n\, \ln \left (\dfrac{37}{64}\right ) < \ln (0,05) \\ & \iff n > \dfrac{\ln( 0,05)}{\ln \left (\frac{37}{64}\right )} \text{ car } \dfrac{1}{\ln\left (\frac{37}{64}\right)} < 0 \end{aligned}$ Or la calculatrice donne $\dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left (\frac{37}{64}\right )} \approx 5,46$. Il faut donc faire au moins 6 parties. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large{}Exercice 4\hfill 6 points} \medskip %L'objectif de cet exercice est de conjecturer en partie A puis de démontrer en partie B le comportement d'une suite. % %Les deux parties peuvent cependant être traitées de manière indépendante. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \N$ : $u_{n+1} = \dfrac{4}{5 - u_n}.$ \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item On complète la fonction Python suivante \texttt{suite(n)} qui prend comme paramètre le rang $n$ et renvoie la valeur du terme $u_n$. \begin{center} {\ttfamily \begin{tabular}{|l|}\hline \pmb{def} suite(n):\\ \qquad u = \blue 3\\ \qquad \pmb{for} i \pmb{in} range(n) : \quad\\ \qquad \qquad u = \blue 4/(5 - u)\\ \qquad \pmb{return} u \\ \hline \end{tabular} } \end{center} \item %L'exécution de suite(2) renvoie 1.3333333333333333. %Effectuer un calcul pour vérifier et expliquer cet affichage. À la première boucle on trouve $u_1 = \dfrac{4}{5 - 3} = \dfrac{4}{2} = 2$. À la seconde on trouve $u_2 = \dfrac{4}{5 - 2} = \dfrac{4}{3}\approx 1,333$. \item À l'aide des affichages ci-dessous, émettre une conjecture sur le sens de variation et une conjecture sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$. \begin{center} {\ttfamily \begin{tabular}{|l|}\hline >> suite(2) \\ 1.3333333333333333\\ >> suite(5)\\ 1.0058479532163742\\ >> suite(10)\\ 1.0000057220349845\\ >> suite(20)\\ 1.000000000005457\\ \hline \end{tabular} } \end{center} Les affichages successifs sont des approximations de $u_2, \:u_5,\:u_{10}, \: u_{20}$ et leur examen laisse à conjecturer que la la limite de la suite est égale à 1. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $] -\infty~;~5[$ par: $f(x) = \dfrac{4}{5 - x}.$ Ainsi, la suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \N,\:\: u_{n+1} = f\left(u_n\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item %Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]-\infty~;~5[$. La fonction $f$ quotient de fonctions dérivables sur $]-\infty~;~5[$, de dénominateur non nul puisque $x \ne 5$, est dérivable et sur cet intervalle : %$f'(x) = 4 \times \left(- \dfrac{1 \times (-1)}{(5 - x)^2}\right) = \dfrac{4}{(5 - x)^2}$. $f'(x) = \dfrac{0-4\times (-1)}{(5-x)^2}= \dfrac{4}{(5-x)^2}$ Quotient de deux carrés cette dérivée est strictement positive, donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty~;~5[$. \item %Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a : Soit la propriété: $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4$. \emph{Initialisation} : on a vu que $u_1 = 2$ et on a $u_0 = 3$, donc $1 \leqslant u_{1} \leqslant u_0 \leqslant 4.$ La propriété est vraie au rang 0. \emph{Hérédité} : soit $n \in \N$ tel que $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4$ : ces nombres étant rangés dans l'ordre croissant leur images par $f$ fonction strictement croissante pour des réels plus petits que 4, sont rangées dans le même ordre, soit $f(1) \leqslant f\left(u_{n+1}\right) \leqslant f\left(u_{n}\right) \leqslant f(4)$. Comme $f(1) = \dfrac{4}{5 - 1} = 1$ et $f(4) = \dfrac{4}{5 - 4} = 4$, on obtient $1 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$. Donc la propriété est vraie au rang $n + 1$. \emph{Conclusion} : la propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire ; d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout $n$. Donc, pour tout $n \in \N$, on a: $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4$. \item \begin{enumerate} \item Soit $x$ un réel de l'intervalle $]-\infty~;~5[$. %Prouver l'équivalence suivante: % %\[f(x) = x \iff x^2 - 5x + 4 = 0.\] On a pour $x < 5$: $f(x) = x \iff \dfrac{4}{5 - x} = x \iff 4 = x(5 - x) \iff 4 = 5x - x^2 \iff x^2 - 5x + 4 = 0$. \item %Résoudre $f(x) = x$ dans l'intervalle $]-\infty~;~5[$. Résoudre $f(x) = x$ dans l'intervalle $]-\infty~;~5[$, revient d'après la question précédente à résoudre l'équation du second degré $x^2 - 5x + 4 = 0$. Les racines de cette équation 1 et 4 sont évidentes (sinon on calcule le discriminant), donc : $x^2 - 5x + 4 = 0 \iff (x - 1)( x - 4) = 0 \iff \left[\begin{array}{l c l} x - 1 &=&0\\ &\text{ou}&\\ x - 4 &=&0 \end{array}\right. \iff \left[\begin{array}{l c l} x &= &1\\ &\text{ou} &\\ x &= & 4 \end{array}\right.$ La solution 4 est vraisemblable puisque $x \leqslant 4$, on a donc $S = \{1~;~4\}$. \end{enumerate} \item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. %Déterminer sa limite. L'encadrement démontré par récurrence montre deux choses : pour tout $n \in \N$ $\bullet~$ $u_{n+1} \leqslant u_n$ signifie que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante ; $\bullet~$ $1\leqslant u_n$ signifie que la suite $\left(u_n\right)$ est minorée par 1. La suite $\left(u_n\right)$ décroissante et minorée par 1 est donc convergente vers un réel $\ell \geqslant 1$. Par continuité de la fonction trinôme la limite $\ell$ est solution de l'équation précédente et cette solution est 1 ou 4, mais on a vu que $u_0 = 3$ et la suite étant décroissante la solution 4 est à rejeter.. Conclusion : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$. La suite $\left(u_n\right)$ converge vers 1. \item %Le comportement de la suite serait-il identique en choisissant comme terme initial $u_0 = 4$ au lieu de $u_0 = 3$ ? Avec $u_0 = 4$, on a $u_1 = \dfrac{4}{5 - 4} =\dfrac41 = 4$ et donc en répétant le calcul $u_n = 4$ quel que soit $n \in \N$. Dans ce cas la suite est constante : tous ses termes sont égaux à 4, elle converge vers 4. \end{enumerate} \end{document}