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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion Mayotte}}
\rfoot{\small 13 septembre 2019}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole--La Réunion 13 septembre 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}


\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
%
%\emph{Les deux parties sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un laboratoire étudie l'évolution d'une population d'insectes parasites de plantes.

Cette évolution comporte deux stades : un stade larvaire et un stade adulte qui est le seul au
cours duquel les insectes peuvent se reproduire.

L'observation de l'évolution de cette population conduit à proposer le modèle suivant.

Chaque semaine :

\smallskip

\begin{itemize}
\item Chaque adulte donne naissance à 2 larves puis 75\,\% des adultes meurent.
\item 25\,\% des larves meurent et 50\,\% des larves deviennent adultes.
\end{itemize}

\smallskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $\ell_n$ le nombre de larves et $a_n$ le nombre d'adultes au bout de $n$ semaines.

Pour tout entier naturel $n$, on note $X_n$ la matrice colonne définie par : $X_n = \begin{pmatrix} \ell_n\\a_n\end{pmatrix}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\; $X_{n+1} = AX_n$ où $A$ est la matrice:
%\[A =  \begin{pmatrix}0,25 &2\\0,5& 0,25\end{pmatrix}.\]
\begin{list}{\textbullet}{Chaque semaine,}
\item chaque adulte donne naissance à 2 larves, donc la part de larves la semaine $n+1$ provenant des adultes de la semaine $n$ est $2\times a_n$;

\item 25\,\% des larves meurent et 50\,\% des larves deviennent adultes, donc il reste 25\,\% de larves quand on passe de la semaine $n$ à la semaine $n+1$. La part de larves la semaine $n+1$ provenant des larves de la semaine $n$ est $0,25 \ell_n$.
\end{list}

On a donc $\ell_{n+1} = 0,25 \ell_n + 2 a_n$.

\begin{list}{\textbullet}{Chaque semaine,}
\item 75\,\% des adultes meurent donc il en reste 25\,\%:  la part des adultes la semaine $n+1$ provenant des adultes de la semaine $n$ est $0,25 a_n$;
\item  50\,\% des larves deviennent adultes donc la part des adultes la semaine $n+1$ provenant des larves de la semaine $n$ est $0,5 \ell_n$.
\end{list}

On a donc $a_{n+1} = 0,5\ell_n + 0,25 a_n$.

\smallskip

Le système
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l !{+} l}
\ell_{n+1} & 0,25 \ell_n & 2 a_n\\
a_{n+1}    & 0,5\ell_n & 0,25 a_n
\end{array}
\right .$
s'écrit sous forme matricielle\\
$\begin{pmatrix}
\ell_{n+1} \\ a_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,25 & 2 \\ 0,5 & 0,25 
\end{pmatrix}
\times 
\begin{pmatrix}
\ell_{n} \\ a_{n}
\end{pmatrix}$
ou encore
$X_{n+1} = AX_n$
où
$A =  \begin{pmatrix}0,25 &2\\0,5& 0,25\end{pmatrix}$.

\item  On note $U$ et $V$ les matrices colonnes : $U = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ et $V = \begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}$, où $a$ est un nombre réel.
	\begin{enumerate}
		\item $AU = 
		 \begin{pmatrix}0,25 &2\\0,5& 0,25\end{pmatrix}
		 \times  \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}
		 = \begin{pmatrix}
		 0,25\times 2 + 2 \times 1 \\ 0,5\times 2 + 0,25 \times 1
		 \end{pmatrix}
		 = \begin{pmatrix} 2,5 \\ 1,25 \end{pmatrix}		
		 = 1,25\times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}			  
		 = 1,25U$.
		\item 
$AV = - 0,75V
\iff \begin{pmatrix}0,25 &2\\0,5& 0,25\end{pmatrix} \times  \begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}
=-0,75  \begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}
\iff \begin{pmatrix}0,25a + 2\\0,5a +  0,25\end{pmatrix} 
= \begin{pmatrix} -0,75a \\ -0,75\end{pmatrix} \\
\phantom{AV = - 0,75V}
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
0,25a +2 & -0,75a\\
0,5a+0,25 & -0,75
\end{array}
\right .
\iff a=-2$
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

Dans la suite, le réel $a$ est fixé de sorte qu'il est  la solution de  $AV = -0,75V$ donc
$V=\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}[resume]	
\item  On admet qu'il existe deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que: $X_0 = \alpha U + \beta V$ et $\alpha > 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\mathcal{P}_n$ l'égalité $X_n = \alpha(1,25)^nU + \beta(- 0,75)^nV$.
		
		On va démontrer par récurrence sur $n$ que $\mathcal{P}_n$ est vraie pour tout $n$.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

On sait que $X_0 = \alpha U + \beta V$ donc $X_0 = \alpha(1,25)^0 U + \beta(-0,75)^0 V$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.

\item \textbf{Hérédité} 

On suppose la propriété vraie pour un $n$ quelconque, et on va démontrer qu'elle est vraie au rang $n+1$.

 $X_n = \alpha(1,25)^nU + \beta(- 0,75)^nV$
 donc \\
  $X_{n+1} = AX_n
 = A\left (\alpha(1,25)^nU + \beta(- 0,75)^nV \right )
=\alpha(1,25)^n AU + \beta(- 0,75)^n AV$

Or $AU=1,25U$ et $AV = -0,75 V$ donc \\
$X_{n+1}
=\alpha(1,25)^n (1,25)U + \beta(- 0,75)^n (-0,75)V
=  \alpha(1,25)^{n+1} U + \beta(- 0,75)^{n+1} V$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

\item\textbf{Conclusion} 

La propriété est vraie au rang 0, et elle est héréditaire pour tout $n$, donc elle est vraie pour tout $n$.
\end{list}

Pour tout $n$, on a  $X_n = \alpha(1,25)^nU + \beta(- 0,75)^nV$.

		\item 
%		En déduire que pour tout entier naturel $n$ :\; $\left\{\begin{array}{l c l}
%		\ell_n &=& 2(1,25)^n\left(\alpha - \beta(- 0,6)^n\right)\\
%		a_n &=&\phantom{2} (1,25)^n\left(\alpha + \beta(- 0,6)^n\right).
%		\end{array}\right.$
$X_n = \alpha(1,25)^nU + \beta(- 0,75)^nV$ donc
$\begin{pmatrix} \ell_n \\ a_n \end{pmatrix}
=
\alpha(1,25)^n
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}
 + \beta(- 0,75)^n
\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$
ce qui équivaut à
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
		\ell_n & 2\alpha (1,25)^n - 2\beta(- 0,75)^n\\
		a_n    &  \alpha (1,25)^n + \beta(- 0,75)^n
		\end{array}\right.$
ou encore
$\left\{\begin{array}{l !{=} r}
		\ell_n & \rule[-13pt]{0pt}{0pt}2(1,25)^n \left (\alpha - \beta\left (\dfrac{-0,75}{1,25}\right )^n\right )\\
		a_n    &  (1,25)^n\left ( \alpha + \beta \left (\dfrac{-0,75}{1,25}\right )^n\right )
		\end{array}\right.$		
		
c'est-à-dire		
$\left\{\begin{array}{l !{=} r}
		\ell_n & 2(1,25)^n\left(\alpha - \beta(- 0,6)^n\right)\\
		a_n    &  (1,25)^n\left(\alpha + \beta(- 0,6)^n\right)
		\end{array}\right.$

 	\end{enumerate}
 	
\item%  Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{\ell_n}{a_n} = 2$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
$ \dfrac{\ell_n}{a_n} = \dfrac{2(1,25)^n\left(\alpha - \beta(- 0,6)^n\right)}{(1,25)^n\left(\alpha + \beta(- 0,6)^n\right)}
=\dfrac{2\left(\alpha - \beta(- 0,6)^n\right)}{\left(\alpha + \beta(- 0,6)^n\right)}
$

Or $-1<0,6<1$ donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (0,6)^n =0$; 

il s'ensuit que
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}  2\left (\alpha - \beta(- 0,6)^n\right)= 2 \alpha$
et
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left (\alpha + \beta(- 0,6)^n\right)=\alpha$.

Donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{\ell_n}{a_n}
= \displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{2\alpha}{\alpha} = 2$.

\smallskip

On en déduit, qu'à long terme, le nombre de larves sera le double du nombre d'adultes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation $(E) :\; 19x - 6y = 1$.% Déterminer le nombre de couples d'entiers $(x~;~y)$ solutions de l'équation $(E)$ et vérifiant $\np{2000}  \leqslant x \leqslant \np{2100}$.

Les nombres 19 et 6 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Bézout, l'équation $19x - 6y = 1$ admet une infinité de couples d'entiers relatifs $(a~;~b)$ solutions.

$19\times 1 - 6 \times 3 = 1$ donc le couple $(1~;~3)$ est solution de $(E)$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Soit $(a~;~b)$ un couple d'entier solutions de $(E)$; on a donc $19\times a - 6 \times b = 1$.

$\left .
\begin{array}{@{} l !{=} l}
19\times 1 - 6 \times 3 & 1\\
19\times a - 6 \times b & 1
\end{array}
\right \rbrace
\stackrel{\text{par soustraction}}{\implies}
19\left (1-a\right ) - 6 \left (3-b\right ) = 0
\text{ donc } 19\left (1-a\right ) = 6 \left (3-b\right )$

$19\left (1-a\right ) = 6 \left (3-b\right )$ donc 19 divise $6 \left (3-b\right )$; or 19 et 6 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, 19 divise $3-b$. Donc $3-b$ peut s'écrire $19k$ où $k$ est un entier relatif, ce qui entraîne $b=3-19k$.

$19\left (1-a\right ) = 6 \left (3-b\right )$ et $3-b=19k$ donc $19\left (1-a\right ) = 6 \times 19k$ donc $1-a=6k$, ce qui entraîne $a=1-6k$.

On peut donc dire que si $(a~;~b)$ est une solution de $(E)$, alors $(a~;~b)$ s'écrit sous la forme $(1-6k~;~3-19k)$ où $k\in \Z$.

\item Réciproquement, pour tout $k$ de $\Z$, 
$19\left ( 1-6k\right )-6\left (3-19k\right ) = 19 - 114k - 18 + 114k=1$
donc tout couple $(1-6k~;~3-19k)$ où $k\in \Z$  est solution de $(E)$.
\end{list}  

L'ensemble des solutions de $(E)$ est donc
$\left \lbrace (1-6k~;~3-19k) \strut \right \rbrace_{k\in\Z}$.

\smallskip

On cherche les couples d'entiers $(x~;~y)$ solutions de l'équation $(E)$ et vérifiant $\np{2000}  \leqslant x \leqslant \np{2100}$, ce qui revient à chercher $k$ de $\Z$ tel que 
$\np{2000}  \leqslant 1-6k \leqslant \np{2100}$
autrement dit
$\np{1999}  \leqslant -6k \leqslant \np{2099}$
ou encore
$-\dfrac{\np{2099}}{6} \leqslant k \leqslant -\dfrac{\np{1999}}{6}$.

$-\dfrac{\np{2099}}{6} \approx -349,8$ et $-\dfrac{\np{1999}}{6}\approx -332,2$ et comme $k$ est entier, on a $-349 \leqslant k \leqslant -334$ ce qui fait 16 valeurs de $k$ donc 16 couples solutions de $(E)$ vérifiant la condition imposée.

\item  Soit $n$ un entier naturel. %Montrer que les entiers $(2n + 3)$ et $(n + 3)$ sont premiers entre eux si et seulement si $n$ n'est pas un multiple de 3.

Un nombre $d$ qui divise deux nombres $a$ et $b$ divise toute combinaison linéaire de ces deux nombres.

Soit $d$ un diviseur commun à $(n+3)$ et $(2n+3)$, alors $d$ divise $\left (2\left (n+3\right ) - \left (2n+3\right )\right )$ donc $d$ divise 3.
Les seuls diviseurs communs possibles de $(n+3)$ et $(2n+3)$ sont donc les diviseurs de 3, c'est-à-dire  1 et 3.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Si $n$ est multiple de 3, alors $2n+3$ et $n+3$ sont aussi multiples de 3 donc les deux nombres $(n+3)$ et $(2n+3)$ ne sont pas premiers entre eux.
\item Si $n$ n'est pas multiple de 3, alors $n$ s'écrit $3q+r$ avec $r=1$ ou $r=2$.

\begin{list}{$\circ$}{}
\item $2n+3 = 2(3q+r)+3 = 3(2q+1)+2r$ n'est pas multiple de 3.
\item $n+3= 3q+r+3 = 3(q+1)+r$ n'est pas multiple de 3.
\end{list}

3 n'est pas un diviseur commun à $(n+3)$ et $(2n+3)$ donc le seul autre diviseur commun possible est 1 ce qui prouve que $(n+3)$ et $(2n+3)$ sont premiers entre eux.
\end{list}

On a donc démontré que les entiers $(2n + 3)$ et $(n + 3)$ sont premiers entre eux si et seulement si $n$ n'est pas un multiple de 3.

\end{enumerate}

\end{document}