%Attention pour Mac : composer en XeLaTeX \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-func,pstricks-add}% \usepackage{color,colortbl} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \setlength\headheight{14pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Comptabilité et gestion - corrigé}, pdftitle = {Métropole - 16 mai 2025}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Polynésie} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion - corrigé}} \rfoot{\small{mai 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet de technicien supérieur Polynésie~\decofourright\\[7pt] Mai 2026 -- Comptabilité et gestion}} \bigskip {\Large \textbf{MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES \qquad 2 heures}} \end{center} \medskip \textbf{\large{}Exercice 1\hfill 10,5 points} \medskip %Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. La Commission Nationale de l'Informatique et des Libertés (CNIL) est un organisme chargé de veiller à la protection des données personnelles contenues dans les fichiers numériques ou papiers. Pour cela, elle effectue des contrôles et a un pouvoir de mise en demeure et de sanction. %Le but de cet exercice est de s'intéresser à certaines des activités de la CNIL sur les dernières années. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul d’un tableur, donne l'évolution du nombre de mises en demeure prononcées par la CNIL sur les dernières années (source : CNIL, rapport annuel 2024). \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline & \centering A&B&C&D&E\\ \hline 1&Année&2021&2022&2023&2024\\ \hline 2&Rang de l'année : $x_i$&0&1&2&3\\ \hline 3&Nombre de mises en demeure prononcées : $y_i$&135&147&168&180\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item %Les nombres de mises en demeure pour les années 2021 à 2024 peuvent-ils être des termes consécutifs d'une suite arithmétique ? Justifier. $147-135=12$ et $168-147=21$. Or $12\neq 21$ donc les nombres 135, 147 et 168 ne sont pas les termes consécutifs d'une suite arithmétique. \item À l'aide de la calculatrice, on détermine une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ sous la forme $y = ax + b$, selon la méthode des moindres carrés: $y=15,6x+134,1$. %On donnera les valeurs exactes des coefficients $a$ et $b$. \item Dans cette question, on décide d'ajuster le nuage de points de cette série statistique $(x_i~;~y_i)$ par la droite d'équation : $y = 16x + 134$. %Selon ce modèle : \begin{enumerate} \item% à combien peut-on estimer le nombre de mises en demeure en 2026 ? L'année 2026 correspond au rang 5. Pour $x=5$, on a: $y=16\times 5 +134=80+134=214$. Donc on peut estimer à 214 le nombre de mises en demeure en 2026. \item Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de mises en demeure dépassera $300$ pour la première fois, revient à déterminer la valeur de $x$ telle que $y>300$. On résout cette inéquation. $Y>300 \iff 16x+134 > 300 \iff 16x > 166 \iff x>\dfrac{166}{16} \iff x> 10,375$ Donc c'est à partir du rang 11 que le nombre de mises en demeure dépassera 300, ce qui correspond à l'année 2032. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul d’un tableur, donne l’évolution du nombre de sanctions prononcées par la CNIL sur les dernières années (CNIL, rapport annuel 2024). %La ligne 3 du tableau est au format nombre, arrondi à 0,1. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline & \centering A&B&C&D&E\\ \hline 1&Année&2021&2022&2023&2024\\ \hline 2&Nombre de sanctions prononcées&18&21&42&87\\ \hline 3&Indices (base 100 en 2021)&$100,0$&$116,7$& $\blue 233,3$ &$483,3$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Proposer une formule à saisir dans la cellule C3 et qui, par recopie vers la droite, permet d'obtenir les indices annuels successifs de la ligne 3 du tableau. L'indice 100 correspond à un nombre de sanctions égal à 18. Si le nombre de sanctions est 21, l'indice sera $\dfrac{21}{18}\times 100$, soit $116,7$ à $0,1$ près. La formule à entrer en C3 est donc: \quad \fbox{\texttt{ = C2 * \$B\$3 / \$B\$2}} \item $\dfrac{42}{18}\times 100 \approx 233,33$, donc la valeur contenue dans la cellule D3 du tableau arrondie à $0,1$ est $233,3$. \end{enumerate} \item Le taux d'évolution du nombre de sanctions entre 2022 et 2024 est $\dfrac{87-21}{21}\times 100$ soit, en arrondissant au dixième, $314,3$\,\%.. %Arrondir à 0,1\,\%. \item \begin{enumerate} \item %Justifier qu'entre 2021 et 2024, le nombre de sanctions a augmenté d'environ 383,3\,\% Le taux d'évolution $T$ du nombre de sanctions entre 2021 et 2024 est $\dfrac{87-18}{18}\times 100$ soit, en arrondissant au dixième, $383,3$\,\%.. \item Il y a 3 ans entre 2021 et 2024. Le taux d'évolution annuel moyen correspondant est le nombre $t$ tel que: $\left (1+\dfrac{t}{100}\right )^{3} = 1+\dfrac{T}{100}$, soit: $1+\dfrac{t}{100} = \left (1+\dfrac{383,3}{100}\right )^{\frac{1}{3}}$, soit: $t=100\times \left ( \left (1+\dfrac{383,3}{100}\right )^{\frac{1}{3}} -1\right )$. On trouve: $t\approx 69,1$. % Arrondir à 0,1\,\%. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip On suppose dans cette question qu'à partir de l'année 2024, le nombre de sanctions va augmenter tous les ans de 69\,\%. On décide de modéliser ce nombre par une suite $(u_n)$ où $u_n$ désigne le nombre de sanctions prises pour l'année $(2024 + n)$. On a ainsi : $u_0 = 87$. \medskip \begin{enumerate} \item %Calculer la valeur arrondie à l'unité de $u_1$, puis de $u_2$. Augmenter de 69\,\%, c'est multiplier par $\left (1+\dfrac{69}{100}\right )=1,69$. $u_1=u_0\times 1,69 = 87 \times 1,69 \approx 147$ $u_2=u_1\times 1,69 = 147 \times 1,69 \approx 248$ \item %Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Donner sa raison. On passe du terme $u_n$ au terme $u_{n+1}$ en multipliant par $1,69$, donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=1,69$. \item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. On en déduit que pour tout entier naturel $n$, on a: $u_n=u_0\times q^n = 87\times 1,69^{n}$. \item \begin{enumerate} \item On complète les lignes 4 et 5 de l'algorithme ci-dessous afin qu'après son exécution, la variable $N$ contienne l'année à partir de laquelle, selon ce modèle, le nombre de sanctions prononcées par la CNIL dépassera \np{5000} pour la première fois. \begin{center} \begin{tabular}{|c|l|}\hline 1&\quad $N \gets 0$\\ \cline{1-1} 2&\quad $U \gets 87$\\ \cline{1-1} 3& Tantque $U \leqslant \np{5000}$\\ \cline{1-1} 4&\qquad $N \gets \blue N+1$\\ \cline{1-1} 5&\qquad $U \gets \blue U*1.69$\\ \cline{1-1} 6&Fin Tant que\\ \cline{1-1} 7&$N \gets N + 2024$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item %Déterminer la valeur contenue dans la variable $N$ à la fin de l'exécution de l'algorithme précédent. $87\times 1,69^{7} \approx \np{3426}$ et $87\times 1,69^{8} \approx \np{5789}$ donc la valeur contenue dans la variable $N$ à la fin de l'exécution de l'algorithme précédent est $8+\np{2024}= \np{2032}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{\large{}Exercice 2\hfill 9,5 points} %\medskip % %Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. % %\medskip % Une maison de santé est une structure regroupant plusieurs professionnels de santé qui travaillent de façon coordonnée au service des patients. % %Le but de cet exercice est de s’intéresser au fonctionnement d’une maison de santé. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans le but d'améliorer l'accueil et les soins, les responsables de cette maison de santé ont réalisé un sondage anonyme sur leurs patients. \begin{list}{\textbullet}{Ce sondage a donné les résultats suivants:} \item 18\,\% des patients souffrent d'une affection de longue durée (ALD). \item 13\,\% des patients se rendent à la maison de santé en utilisant un véhicule sanitaire léger (VSL) ou un taxi. Les autres se rendent à la maison de santé par leurs propres moyens. \item Parmi les patients qui se rendent à la maison de santé en utilisant un véhicule sanitaire léger (VSL) ou un taxi, 85\,\% souffrent d’une ALD. \end{list} On choisit au hasard un patient concerné par ce sondage. Tous les patients ont la même probabilité d'être choisis. \begin{list}{\textbullet}{On s'intéresse alors aux évènements suivants:} \item $V$ : « le patient utilise un VSL ou un taxi pour se rendre à la maison de santé » \item $A$ : « le patient souffre d'une ALD ». \end{list} %On note respectivement $\overline{V}$ et $\overline{A}$ les évènements contraires des évènements $V$ et $A$. \medskip \begin{enumerate} \item %À partir de l'énoncé donner, sans calcul, les probabilités $P(V), P(A)$ et la probabilité conditionnelle $P_V(A)$. \begin{list}{\textbullet}{} \item 13\,\% des patients se rendent à la maison de santé en utilisant un véhicule sanitaire donc $P(V)=0,13$. \item 18\,\% des patients souffrent d'une affection de longue durée (ALD) donc\\ $P(A)=0,18$. \item Parmi les patients qui se rendent à la maison de santé en utilisant un véhicule sanitaire léger (VSL) ou un taxi, 85\,\% souffrent d'une ALD donc $P_V(A)=0,85$. \end{list} \item \begin{enumerate} \item $P(V \cap A) = P(V)\times P_V(A)=0,13\times 0,85 = \np{0,1105}$. \item %En déduire que $P\left(\overline{V} \cap A\right) = \np{0,0695}$. D'après la formule des probabilités totales: $P(A) = P\left (V\cap A\right ) + P\left (\overline{V} \cap A\right )$ donc $P(A) - P\left (V\cap A\right ) = P\left (\overline{V} \cap A\right )$ donc $0,18-\np{0,1105} = P\left (\overline{V} \cap A\right )$ donc $P\left (\overline{V} \cap A\right ) = \np{0,0695}$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Calculer la probabilité conditionnelle $P_{\overline{V}}(A)$. Arrondir à 0,01. $P_{\overline{V}}(A) = \dfrac{P\left (\overline{V} \cap A\right )}{P(\overline{V}} = \dfrac{1-P(V)}{P(\overline{V}} = \dfrac{\np{0,0695}}{1-0,13} \approx 0,080$ \newpage \item On complèrer l'arbre pondéré suivant : \end{enumerate} \begin{center} \psset{levelsep=4cm,nodesepB=4pt, treesep=1cm, nrot=:U} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$V$}\naput{$0,13$}} { \TR{$A$}\naput{$0,85$} \TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue $1-0,85=0,15$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{V}$}\nbput{\blue $1-0,13=0,87$}} { \TR{$A$}\naput{$0,08$} \TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue $1-0,08=0,92$} } } \end{center} \item $P_{A}\left (\overline{V}\right ) = \dfrac{P\left (\overline{V}\cap A \right )}{P(A)} = \dfrac{0,87\times 0,08}{0,18} \approx 0,387$ Donc, parmi les personnes souffrant d’une ALD, il y en a environ $38,7$\,\% viennent par leurs propres moyens, donc moins de 40\,\%. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Pour un patient de cette maison de santé, le temps passé dans la salle d'attente avant d’être pris en charge est modélisé par la variable aléatoire $T$ qui suit la loi uniforme sur [0~;~30] (valeurs exprimées en minutes). %\medskip \begin{enumerate} \item %Calculer le temps moyen d'attente selon ce modèle. L'espérance mathématique d'une loi uniforme sur un intervalle $[a~;~b]$ est $\dfrac{a+b}{2}$. Donc le temps d'attente moyen est, en minutes, de $\dfrac{0+30}{2} = 15$. \item \begin{enumerate} \item $P(5 \leqslant T \leqslant 12) = \dfrac{12-5}{30-0} = \dfrac{7}{30} \approx 0,23$ % Arrondir à 0,01. \item %Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. Il y a donc en moyenne 23\,\% des patients qui attendent entre 5 et 12 minutes. \end{enumerate} \item La probabilité qu'un patient passe plus de 25 minutes dans la salle d'attente est: $P\left (T\geqslant 25\right ) = \dfrac{30-25}{30}= \dfrac{1}{6}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Les responsables de la maison médicale envisagent de faire construire une extension pour pouvoir y accueillir davantage de professionnels de santé. Le coût des travaux est évalué à \np{300000}~\euro. Les responsables contractent à la banque un prêt de \np{300000}~\euro{} remboursable en 5 annuités constantes au taux annuel de 3\,\%. On rappelle que si $C$ désigne le capital emprunté, $t$ désigne le taux annuel de l’emprunt et $n$ désigne le nombre d’annuités, alors le montant d’une annuité constante $a$ est égal à : \[a = C \times \dfrac{t}{1 - (1 + t)^{- n}}\] %\medskip \begin{enumerate} \item %Calculer le montant de l’annuité constante $a$ correspondant à cet emprunt. Arrondir au centime. $C=\np{300000}$, $n=5$ et $t=\dfrac{3}{100}=0,03$ L'annuité en euros est donc: $a= \np{300000}\times \dfrac{0,03}{1-\left (1+0,03\right )^{-5}} \approx \np{65506,37}$. \item Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul d’un tableur, est le tableau d’amortissement incomplet correspondant à cet emprunt. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D&E\\ \hline 1&Année&Capital restant dû en début d'année&Intérêts dus&Amortissement du capital&Annuité constante\\ \hline 2&1&\np{300000,00}~\euro& \textcolor{blue}{\np{9000,00}~\euro} & \textcolor{blue}{\np{56506,37}~\euro} &\np{65506,37}~\euro\\ \hline 3&2& \textcolor{blue}{\np{243493,63}~\euro}&&&\np{65506,37}~\euro\\ \hline 4&3&&&&\np{65506,37}~\euro\\ \hline 5&4&&&&\np{65506,37}~\euro\\ \hline 6&5&&&&\np{65506,37}~\euro\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item %Donner les deux formules à saisir dans les cellules C2 et D2 qui, recopiées vers le bas permettent de compléter ce tableau d’amortissement. \begin{list}{\textbullet}{} \item Le taux annuel d'intérêt est de 3\,\%, donc on entre dans C2 la formule:\\ \fbox{\texttt{ = B2 * 0.03}} \item Le montant de l'amortissement est la différence entre le montant de l'annuité et le montant des intérêts payée; donc la formule à entrer dans D2 est: \\ \fbox{\texttt{ = E2 - C2}} \end{list} \item %Calculer la valeur contenue dans la cellule D2 et la valeur contenue dans la cellule B3. \begin{list}{\textbullet}{} \item $\np{30000}\times 0,03=\np{9000}$, donc en C2, il y aura \np{9000}~\euro. $\np{65506,37} - \np{9000} = \np{56506,37}$ donc en D2, il y aura \np{56506,37}~\euro. \item L'année 1, il y a \np{300000}~\euro{} à rembourser et on rembourse \np{56506,37}~\euro{} de capital la 1\iere{} année.. $\np{300000} - \np{56506,37} = \np{243493,63}$ donc en B3 il y aura \np{243493,63}~\euro{} qui est la somme qui reste à rembourser. \end{list} \end{enumerate} \item %Quel est le coût de cet emprunt ? On a payé 5 annuités de \np{65506,37}~\euro{} chacune. $\np{65506,37}\times 5 = \np{327531,85}$ On doit rembourser \np{300000}~\euro. $\np{327531,85} - \np{300000} = \np{27531,85}$ Donc le coût du crédit est de \np{27531,85}~\euro. \end{enumerate} \end{document}