\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphics,graphicx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : François Hache %Corrigé : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add} \usepackage{esvect} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.3cm, right=3.3cm, top=2cm, bottom=2cm]{geometry} \setlength{\headheight}{13.59999pt} \addtolength{\topmargin}{-1.59999pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité}, pdftitle = {Métropole Antilles-Guyane Sujet 1 1 septembre 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ts}{\textstyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1 - corrigé} \lfoot{\small Métropole Antilles-Guyane} \rfoot{\small 5 septembre 2024} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat Métropole Antilles-Guyane~\decofourright\\[7pt] 11 septembre 2024\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}} \end{center} \medskip \section*{Exercice 1\hfill6 points} \medskip On considère un cube ABCDEFGH de côté 1. \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(9,9.4) \psdots(1.4,1)(5.6,0.5)(7.9,1.4)(3.7,1.9)(1.4,5.5)(5.6,5)(7.9,5.9)(3.7,6.4)(4.65,1.2)(1.4,8.2)(7.1,4.72)%ABCDEFGHIKL \pspolygon(1.4,1)(5.6,0.5)(5.6,5)(1.4,5.5)%ABFE \psline(5.6,0.5)(7.9,1.4)(7.9,5.9)(5.6,5)%BCGF \psline(7.9,5.9)(3.7,6.4)(1.4,5.5)%GHE \psline(1.4,8.2)(5.6,0.5)(7.9,5.9)%KBG \psline(1.4,8.2)(5.5,5.7)%K...L \psline[linestyle=dashed](5.5,5.7)(7.9,4.2)%...L \psline(1.4,8.2)(2.24,5.98)%KD \psline(1.4,1)(1.4,9)%% AK... \psline(0.4,8.8)(1.4,8.2) \psline[linestyle=dashed](2.24,5.98)(3.7,1.9)%...D \psline(7.9,4.2)(8.7,3.7) \psline[linestyle=dashed](1.4,1)(3.7,1.9)(7.9,1.4)%ADC \psline[linestyle=dashed](3.7,6.4)(3.7,1.9)(5.6,0.5)%HDB \psline[linestyle=dashed](4.65,1.2)(7.9,5.9)(3.7,1.9)%IGD... \uput[l](1.4,1){A} \uput[dr](5.6,0.5){B} \uput[r](7.9,1.4){C} \uput[170](3.7,1.9){D} \uput[l](1.4,5.5){E} \uput[ul](5.6,5){F} \uput[ur](7.9,5.9){G} \uput[170](3.7,6.4){H} \uput[dl](4.65,1.2){I} \uput[ur](1.4,8.2){K} \uput[d](7.1,4.72){L} \uput[dl](0.4,8.8){$\Delta$} \end{pspicture} \end{center} Le point I est le milieu du segment [BD]. On définit le point L tel que $\vect{\text{IL}}= \dfrac34\vect{\text{IG}}$. On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},\:\vect{\text{AD}},\:\vect{\text{AE}}\right)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Préciser les coordonnées des points D, B, I et G. Aucune justification n'est attendue. D\,(0~;~1~;~0), B\,(1~;~0~;~0), I\,$\left ( \dfrac{1}{2}~;\dfrac{~1}{2}~;~0 \right )$ et G\,(1~;~1~;~1) \item %Montrer que le point L a pour coordonnées $\left(\dfrac78~;~\dfrac78~;~\dfrac34\right)$. {\renewcommand{\arraystretch}{1.2} \begin{list}{\textbullet}{} \item $\vectt{IL}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_{\text L} - x_{\text I} \\ y_{\text L} - y_{\text I} \\ z_{\text L} - z_{\text I} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{\text L} - \frac{1}{2} \\ y_{\text L} - \frac{1}{2} \\ z_{\text L} - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{\text L} - \frac{1}{2} \\ y_{\text L} - \frac{1}{2} \\ z_{\text L} \end{pmatrix}$ \item $\vectt{IG}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_{\text G} - x_{\text I} \\ y_{\text G} - y_{\text I} \\ z_{\text G} - z_{\text I} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - \frac{1}{2} \\ 1 - \frac{1}{2} \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$ \end{list} $\vectt{IL} = \dfrac{3}{4} \vectt{IG} \iff \left \{ \begin{array}{l !{=} l} x_{\text L} - \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \\ y_{\text L} - \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \times \frac{1}{2}\\ z_{\text L} &\frac{3}{4} \times 1 \end{array} \right . \iff \left \{ \begin{array}{l !{=}l} x_{\text L} & \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \\ y_{\text L} &\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\\ z_{\text L} &\frac{3}{4} \end{array} \right . \iff \left \{ \begin{array}{l !{=}l} x_{\text L} & \frac{7}{8} \\ y_{\text L} &\frac{7}{8}\\ z_{\text L} &\frac{3}{4} \end{array} \right .$ }%%% fin du \renewcommand{\arraystretch}{...} \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne $x + y - z - 1 = 0$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $x_{\text B} + y_{\text B} -z_{\text B} -1 = 1+0 - 0-1 = 0$ donc $\text{B}\in\mathcal{P}$. \item $x_{\text D} + y_{\text D} -z_{\text D} -1 = 0+1-0-1=0$ donc $\text{D}\in\mathcal{P}$. \item $x_{\text G} + y_{\text G} -z_{\text G} -1 = 1+1-1-1=0$ donc $\text{G}\in\mathcal{P}$. \end{list} Donc le plan (BDG) a pour équation cartésienne $x + y - z - 1 = 0$. \item On considère la droite $\Delta$ perpendiculaire au plan (BDG) passant par L. \begin{enumerate} \item (BDG) a pour équation $x+y-z-1=0$, donc il a pour vecteur normal $\vect{n}\,\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$ La droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan (BDG) donc elle a le vecteur $\vect{n}$ comme vecteur directeur. Donc la droite $\Delta$ est l'ensemble des points M\,$(x~;~y~;~z)$ tels que $\vectt{LM}=t\vect{n}$ avec $t\in\R$. {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} $\vectt{LM}=t\vect{n} \iff \left \{ \begin{array}{l !{=} l} x- \frac{7}{8} & t\times 1\\ y- \frac{7}{8} & t\times 1\\ z-\frac{3}{4} & t\times (-1) \end{array} \right . \iff \left \{ \begin{array}{l !{=} l} x & \frac{7}{8} + t\\ y & \frac{7}{8} + t\\ z & \frac{3}{4} - t \end{array} \right . \text{ où } t\in\R$} \item Soit K le point de coordonnées $\left(0~;~0~;~\dfrac{13}{8}\right)$. \begin{list}{\textbullet}{} \item On regarde si les coordonnées de K vérifient la représentation paramétrique de $\Delta$, autrement dit on cherche s'il existe un réel $t$ tel que; {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} $\left \{ \begin{array}{l !{=} l} 0 & \frac{7}{8} + t\\ 0 & \frac{7}{8} + t\\ \frac{13}{8} & \frac{3}{4} - t \end{array} \right .$} Le réel $t=-\dfrac{7}{8}$ convient donc $\text K \in \Delta$. \item $\vectt{AE}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$ et $\vectt{AK}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ \frac{13}{8} \end{pmatrix}$. Donc les vecteurs $\vectt{AE}$ et $\vectt{AK}$ sont colinéaires donc $\text K \in \text{(AE)}$. \end{list} Les deux droites $\Delta$ et (AE) sont donc sécantes en K. \item %Que représente le point L pour le point K ? Justifier la réponse. \begin{list}{\textbullet}{} \item $\vect{\text{IL}}= \dfrac34\vect{\text{IG}}$ donc $\text L \in (\text{IG})$ donc $\text L \in (\text{BDG})$. \item La droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan (BDG) en L. \item $\text K \in \Delta$ \end{list} Donc le point L est le projeté orthogonal du point K sur le plan (BDG). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Calculer la distance KL. K a pour coordonnées $\left(0~;~0~;~\dfrac{13}{8}\right)$ et L a pour coordonnées $\left(\dfrac78~;~\dfrac78~;~\dfrac34\right)$. Donc $\text{KL}^2 = \left (\dfrac{7}{8}-0 \right )^2 + \left ( \dfrac{7}{8}-0 \right )^2 + \left ( \dfrac{3}{4} - \dfrac{13}{8}\right )^2 = \left (\dfrac{7}{8}\right )^2 + \left ( \dfrac{7}{8}\right )^2 + \left ( - \dfrac{7}{8}\right )^2 = \dfrac{49}{64} + \dfrac{49}{64} + \dfrac{49}{64} = \dfrac{147}{64}$\\ donc $\text{KL} = \dfrac{\sqrt{147}}{8}=\dfrac{7\sqrt{3}}{8}$ \item On admet que le triangle DBG est équilatéral, donc chaque angle mesure $\dfrac{\pi}{3}$. Le point I est le milieu de [BD] donc I est aussi le pied de la hauteur issue de G dans le triangle DBG. Dans le triangle GIB rectangle en I, on a: $\sin \left ( \widehat{\text{IBG}} \right ) = \dfrac{\text{IG}}{\text{BG}}$. BG est la diagonale du carré BCGF de côté 1, donc $\text{BG}=\sqrt{2}$. De même $\text{BD}=\sqrt{2}$. On a donc $\sin \left ( \dfrac{\pi}{3} \right ) = \dfrac{\text{IG}}{\text{BG}}$, donc $\dfrac{\sqrt{3}}{2}= \dfrac{\text{IG}}{\sqrt{2}}$ et donc $\text{IG} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$. L'aire du triangle BDG vaut: $\dfrac{\text{BD} \times \text{IG}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{6}}{2}}{2} = \dfrac{ \frac{\sqrt{2}\times \sqrt{2} \times \sqrt{3}}{2}}{2}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. \item Le tétraèdre KDBG a pour base le triangle BDG et pour hauteur KL, donc son volume vaut: $\dfrac{1}{3}\times \text{aire(BDG)}\times \text{KL} = \dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{7\sqrt{3}}{8} = \dfrac{7}{16}$ %\begin{list}{\textbullet}{On rappelle que :} %\item le volume d'une pyramide est donné par la formule $\mathcal{V} = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la longueur de la hauteur relative a cette base ; %\item un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire. %\end{list} \end{enumerate} \item On désigne par $a$ un réel appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et on note K$_a$ le point de coordonnées $(0~;~0~;~a)$. \begin{enumerate} \item On exprime le volume $\mathcal{V}_a$ de la pyramide ABCDK$_a$ en fonction de $a$. \begin{list}{\textbullet}{} \item La base de la pyramide est le carré ABCD d'aire 1. \item Le point K$_a$ a pour coordonnées $(0~;~0~;~a)$ donc il appartient à la droite (AE) et donc AK$_a$ est la hauteur de la pyramide ABCDK$_a$. \item De façon évidente, AK$_a$ = $a$. \end{list} Donc $\mathcal{V}_a= \dfrac{1}{3}\times a \times 1 = \dfrac{a}{3}$. \item On note $\Delta_a$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l !{=} l} x&\phantom{-}t' \\ y &\phantom{-}t' \\ z&- t' + a \end{array}\right. \text{ où } t' \in \R. $ On appelle L$_a$ le point d'intersection de la droite $\Delta_a$ avec le plan (BDG). %Montrer que les coordonnées du point L$_a$ sont $\left(\dfrac{a+1}{3}~;~\dfrac{a+1}{3}~;~\dfrac{2a-1}{3}\right)$. Les coordonnées de L$_a$ vérifient le système $\left\{ \begin{array}{l !{=} l} x&\phantom{-}t' \\ y &\phantom{-}t' \\ z&- t' + a \\ x+y-z-1 & 0 \end{array} \right.$ On a donc $t' + t' -(-t'+a) -1=0$ soit $3t'=a+1$ donc $t'=\dfrac{a+1}{3}$. $x=t'=\dfrac{a+1}{3}$; $y=t'=\dfrac{a+1}{3}$ et $z=-t'+a = -\dfrac{a+1}{3}+a = \dfrac{-a-1+3a}{3}=\dfrac{2a-1}{3}$ Donc les coordonnées du point L$_a$ sont $\left(\dfrac{a+1}{3}~;~\dfrac{a+1}{3}~;~\dfrac{2a-1}{3}\right)$. \item %Déterminer, s'il existe, un réel strictement positif $a$ tel que le tétraèdre GDBK$_a$ et la pyramide ABCDK$_a$ sont de même volume. \begin{list}{\textbullet}{On cherche le volume du tétraèdre GDBK$_a$.} \item $\begin{aligned}[t] \text{K}_a\text{L}_a^{~~2} & =\left ( \dfrac{a+1}{3} - 0\right )^2 + \left ( \dfrac{a+1}{3} - 0\right )^2 + \left ( \dfrac{2a-1}{3} - a\right )^2\\ & = \left ( \dfrac{a+1}{3}\right )^2 + \left ( \dfrac{a+1}{3}\right )^2 + \left ( \dfrac{-a-1}{3}\right )^2 = 3\times \dfrac{(a+1)^2}{9} = \dfrac{(a+1)^2}{3} \end{aligned}$ Donc $\text{K}_a\text{L}_a = \dfrac{a+1}{\sqrt{3}}$. \item Le volume du tétraèdre GDBK$_a$ est:\\ $\dfrac{1}{3}\times \text{K}_a\text{L}_a \times \text{aire(GBD)} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{a+1}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a+1}{6}$ \end{list} Le tétraèdre GDBK$_a$ et la pyramide ABCDK$_a$ sont de même volume si et seulement si $\dfrac{a+1} 6=\dfrac{a}{3}$, soit $\dfrac{a+1}{6}=\dfrac{2a}{6}$, soit $a+1 = 2a$, et donc si $a = 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \section*{Exercice 2\hfill 5 points} %\medskip % %\textit{Les deux parties sont indépendantes.} \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} Un artisan crée des bonbons au chocolat dont la forme rappelle le profil de la montage locale représentée en \textbf{Figure 1}. La base d'un tel bonbon est modélisée par la surface grisée, définie ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 1~cm (\textbf{Figure 2}). \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}} \psset{unit=2.cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1.2,-0.2)(1.4,1.6) %\psgrid \def\fond{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.414214}{1}{1 x dup mul sub 2.71828 x exp mul}} \rput(0.42,0.3){\fond} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1}{1}{1 x dup mul sub 2.71828 x exp mul} \rput(0,0.){\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1}{1}{1 x dup mul sub 2.71828 x exp mul}\psline(1,0)(-1,0)}} \psline(1,0)(1.45,0.3) \psline(0.35,1.24)(0.85,1.56) \psline{<->}(1.2,0)(1.65,0.3) \uput[r](1.42,0.1){3 cm} \end{pspicture} & \psset{unit=2.cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-1.2,-0.5)(1.4,1.4) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1}{1}{1 x dup mul sub 2.71828 x exp mul}\psline(1,0)(-1,0)} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{-1}{1}{1 x dup mul sub 2.71828 x exp mul} \uput[ur](0.7,1){$\mathcal{C}_f$} \psgrid[subgriddiv=5, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,0)(1.4,1.4) \end{pspicture*}\\ \textbf{Figure 1}&\textbf{Figure 2}\\ \end{tabularx} \end{center} Cette surface est délimitée par l'axe des abscisses et la représentation graphique notée $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ définie sur $[-1~;~1]$ par : $f(x) = \left(1 - x^2\right)\e^x.$ L'objectif de cette partie est de calculer le volume de chocolat nécessaire à la fabrication d'un bonbon au chocolat. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Justifier que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-1~;~1]$ on a $f(x) \geqslant 0$. Pour tout réel $x$, on a $\e^{x}>0$, et si $x\in [-1~;~1]$, on a $1-x^2\geqslant 0$. Donc pour tout $x$ de $[-1~;~1]$, on a $f(x)\geqslant 0$. \item %Montrer à l'aide d'une intégration par parties que : $ \int_{-1}^1 f(x) \d x = 2 \int_{-1}^1 x\,\e^{x} \d x. $ Soit $I= \ds\int_{-1}^1 f(x) \d x$. On pose $u(x)=1-x^2$ et $v'(x)=\e^{x}$. Donc $u'(x)=-2x$ et $v(x)=\e^{x}$. Par intégration par parties: $\ds\int_{a}^{b} u(x)v'(x) \d x = \left [ u(x)v(x)\strut\right ]_{a}^{b} - \ds\int_{a}^{b} u'(x)v(x) \d x$. Donc $I= \left [ (1-x^2)\e^{x} \strut \right ]_{-1}^{1} - \ds\int_{-1}^{1} (-2x)\e^{x} \d x = 0+2 \ds\int_{-1}^{1} x\e^{x} \d x = 2\ds\int_{-1}^{1} x\e^{x} \d x$ \end{enumerate} \item Le volume $\mathcal{V}$ de chocolat, en cm\up{3}, nécessaire à la fabrication d'un bonbon est donné par : $\mathcal{V} = 3 \times S$ où $S$ est l'aire, en cm\up{2}, de la surface colorée (\textbf{Figure 2}). %En déduire que ce volume $\mathcal{V}$, arrondi à $0,1$~cm\up{3} près, est égal à $4,4$~cm\up{3}. On calcule $\ds\int_{-1}^{1} x\e^{x} \d x$ par une intégration par parties. On pose $u(x)=x$ et $v'(x)=\e^{x}$. Donc $u'(x)=1$ et $v(x)=\e^{x}$. $\begin{aligned} \ds\int_{-1}^{1} x\e^{x} \d x & = \left [ x \e^{x} \strut \right ]_{-1}^{1} - \ds\int_{-1}^{1} 1\times \e^{x} \d x = \left [ x \e^{x} \strut \right ]_{-1}^{1} - \left [ \e^{x} \strut \right ]_{-1}^{1} = \left [ 1 \e^{1} - (-1)\e^{-1} \strut \right ] - \left [ \e^{1} - \e^{-1} \strut \right ]\\ & = \e + \e^{-1} -\e +\e^{-1} = 2 \e^{-1} \end{aligned}$ Donc $S = \ds\int_{-1}^{1} f(x) \d x = 2 \ds\int_{-1}^{1} x\e^{x} \d x = 4 \e^{-1}$. $\mathcal{V} = 3 \times S = 12\e^{-1}$ donc $\mathcal{V} \approx 4,4$ cm$^3$. \end{enumerate} \smallskip \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} On s'intéresse maintenant au bénéfice réalisé par l'artisan sur la vente de ces bonbons au chocolat en fonction du volume hebdomadaire des ventes. %\smallskip Ce bénéfice peut être modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[0,01~;~+\infty[$ par : $B(q) = 8q^2 [2 -3\,\ln q] - 3.$ Le bénéfice est exprimé en dizaines d'euros et la quantité $q$ en centaines de bonbons. On admet que la fonction $B$ est dérivable sur $[0,01~;~+\infty[$. On note $B'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Déterminer $\displaystyle\lim_{q \to +\infty}B(q)$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $\ds\lim_{q \to +\infty} \ln q = +\infty$ donc $\ds\lim_{q \to +\infty} 2- 3\,\ln q = -\infty$ \item $\ds\lim_{q \to +\infty} q^2 = +\infty$ \item Donc $\ds\lim_{q \to +\infty} 8q^2 [2 -3\,\ln(q)] = -\infty$ et donc $\ds\lim_{q \to +\infty} 8q^2 [2 -3\,\ln(q)]-3 = -\infty$ \end{list} On a donc démontré que $\ds\lim_{q \to +\infty} B(q)=-\infty$. \item Pour tout $q \geqslant 0,01$: $\begin{aligned}[t] B'(q) & = 8\times 2q\left (2-3\,\ln q\right ) +8q^2\left (0 -\dfrac{3}{q}\right ) - 0\\ & = 8q\left (4 - 6\,\ln q\right ) + 8q\left (-3\right ) = 8q \left (1 - 6\,\ln q\right ) \end{aligned}$ \item %Étudier le signe de $B'(q)$, et en déduire le sens de variation de $B$ sur $[0,01~;~+\infty[$. $q>0$ donc $B'(q)$ est du signe de $1- 6\,\ln q$. $1- 6\,\ln q>0 \iff 1> 6\,\ln q \iff \dfrac{1}{6} > \ln q \iff \e^{\frac{1}{6}} > q$ $\e^{\frac{1}{6}} \approx 1,2$ : $B\left (\e^{\frac{1}{6}} \right ) \approx 13,7$; $B(0,01) \approx -3$ On dresse le tableau de variation complet de la fonction $B$. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| l *4{c}|} \hline q & 0,01 & \esp & \e^{\frac{1}{6}}\approx 1,2 & \esp & +\infty \\ \hline B'(q) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{\approx 13,7} & & \\ B(q) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{\approx -3} & & & & \Rnode{min2}{-\infty} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} \item %Quel est le bénéfice maximal, à l'euro près, que peut espérer l'artisan ? Le maximum de la fonction $B$ est $B\left (\e^{\frac{1}{6}} \right ) \approx 13,7$, donc le bénéfice maximum que peut espérer l'artisan est de 137~\euro. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que l'équation $B(q)= 10$ admet une unique solution $\beta$ sur l'intervalle $[1,2~;~+\infty[$. \begin{list}{\textbullet}{Sur l'intervalle $[1,2~;~+\infty[$:} \item La fonction $B$ est dérivable, donc continue, et strictement décroissante. \item Elle décroît de $13,7$ à $-\infty$. \end{list} Donc, d'après le corollaire des valeurs intermédiaires, l'équation $B(q)=10$ admet une solution unique sur l'intervalle $[1,2~;~+\infty[$. On l'appelle $\beta$. %Donner une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-3}$ près. $\left . \begin{array}{l} B(1) = 13 >10\\ B(2 \approx -5,5 <10 \end{array} \right \} \implies \beta \in [1 ~;~2]$ \hfill $\left . \begin{array}{l} B(1,5) \approx 11,1 >10\\ B(1,6 \approx 9,1 <10 \end{array} \right \} \implies \beta \in [1,5 ~;~1,6]$ $\left . \begin{array}{l} B(1,55) \approx 10,17 >10\\ B(1,56 \approx 9,97 <10 \end{array} \right \} \implies \beta \in [1,55 ~;~1,56]$ $\left . \begin{array}{l} B(1,558) \approx 10,007 >10\\ B(1,559 \approx 9,986 <10 \end{array} \right \} \implies \beta \in [1,558 ~;~1,559]$ Donc $\beta$ a pour valeur approchée $1,558$ à $10^{-3}$ près. \item On admet que l'équation $B(q)= 10$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0,01~;~1,2[$. On donne $\alpha \approx 0,757$, et on complète le tableau de variation de $B$. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline q & 0,01 & \esp & 1,2 & \esp & +\infty \\ %\hline %f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{13,7} & & \\ B(q) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{-3} & & & & \Rnode{min2}{-\infty} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \rput*(-6.1,0.95){\Rnode{zero}{\blue 10}} \rput(-6.1,2.5){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}} \ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero} \rput*(-2,0.95){\Rnode{zero2}{\red 10}} \rput(-2,2.5){\Rnode{beta}{\red \beta}} \ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} Pour réaliser un bénéfice supérieur à $100$~euros, le nombre minimal de bonbons au chocolat à vendre correspond à $\alpha$ centaines, soit environ 76, et le nombre maximal de bonbons au chocolat à vendre correspond à $\beta$ centaines, soit environ 156. \end{enumerate} \end{enumerate} %\pagebreak \section*{Exercice 3\hfill5 points} %\medskip % %\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.} \smallskip %\textit{Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.} \begin{enumerate} \item On considère une suite $\left(t_n\right)$ vérifiant la relation de récurrence : \\ pour tout entier naturel $n$, $t_{n+1}= - 0,8t_n + 18.$ \textbf{Affirmation 1} : La suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = t_n - 10$ est géométrique. \smallskip Pour tout $n$: $\begin{aligned}[t] w_{n +1} & =t_{n+1}-10 = -0,8 t_n +18 - 10 = -0,8t_n +8 = -0,8\left ( t_n-10\right)\\ & = -0,8 w_n \end{aligned}$ Donc la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $-0,8$. \hfill{\blue\bf Affirmation 1 vraie} \item Soit la suite $\left(S_n\right)$ qui vérifie pour tout $n\in \N^*$: $3n - 4 \leqslant S_n \leqslant 3n + 4.$ La suite $\left(u_n\right)$ est définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par : $u_n=\dfrac{S_n}{n}$. \textbf{Affirmation 2} : La suite $\left(u_n\right)$ converge. \smallskip $n>0$ donc \\ $3n - 4 \leqslant S_n \leqslant 3n + 4.$ entraîne $\dfrac{3n - 4}{n} \leqslant \dfrac{S_n}{n} \leqslant \dfrac{3n + 4}{n}$ c'est-à-dire $3-\dfrac{4}{n} \leqslant u_n \leqslant 3+\dfrac{4}{n}$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $\ds\lim_{n\to +\infty} \dfrac{4}{n}=0$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} 3-\dfrac{4}{n}=3$ \item $\ds\lim_{n\to +\infty} \dfrac{4}{n}=0$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} 3+\dfrac{4}{n}=3$ \item Pour tout $n>0$: $3-\dfrac{4}{n} \leqslant u_n \leqslant 3+\dfrac{4}{n}$ \end{list} Donc, d'après le théorème des gendarmes, on peut déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et que $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n=3$. \hfill{\blue\bf Affirmation 2 vraie} \item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie par : $ v_1=2 \text{ et pour tout entier naturel } n\geqslant1,~v_{n+1}=2-\dfrac{1}{v_n}. $ \textbf{Affirmation 3} : Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $v_{n}=\dfrac{n+1}{n}$. \smallskip On va démontrer cette propriété par récurrence. \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{Initialisation} Pour $n=1$: $v_1=2$ et $\dfrac{n+1}{n}=\dfrac{1+1}{1}=2$. Donc la propriété est vraie au rang 1. \item \textbf{Hérédité} On suppose la propriété vraie au rang $n$, c'est-à-dire $v_n=\dfrac{n+1}{n}$ (hypothèse de récurrence). $\begin{aligned} v_{n+1} & = 2-\dfrac{1}{v_n} = 2 - \dfrac{1}{\frac{n+1}{n}} = 2- \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{2(n+1)-n}{n+1} = \dfrac{2n+2-n}{n+1} = \dfrac{n+2}{n+1}\\ & = \dfrac{(n+1)+1}{n+1} \end{aligned}$ Donc la propriété est vraie au rang $n+1$. \item \textbf{Conclusion} La propriété est vraie au rang 1, et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 1$. Donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 1$. \end{list} \hfill{\blue\bf Affirmation 3 vraie} \item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \e^n-n$. \textbf{Affirmation 4} : La suite $\left(u_n\right)$ converge. \smallskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par: $f(x)= \e^{x}-x$. Donc $u_n=f(n)$ pour tout $n$. Pour $x>0$, $f(x)=x \left ( \dfrac{\e^{x}}{x} - 1 \right )$. On sait que $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{x}}{x} = +\infty$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{x}}{x} -1 = +\infty$ et donc $\ds\lim_{x\to +\infty} x\left ( \dfrac{\e^{x}}{x}-1 \right ) = +\infty$. On a alors $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$n ce qui entraîne que $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty$. \hfill{\blue\bf Affirmation 4 fausse} \item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie à l'aide du script écrit ci-dessous en langage \textsf{Python}, qui renvoie la valeur de $u_n$. \texttt{\begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline \textbf{def} u(n) :\\ \qquad valeur = 2\\ \qquad \textbf{for} k \textbf{in range}(n) :\\ \qquad \qquad valeur = 0.5 * (valeur + 2/valeur)\\ \qquad \textbf{return} valeur\\ \hline \end{tabular} \end{center} } On admet que $\left(u_n\right)$ est décroissante et vérifie pour tout $n$ : $\sqrt{2} \leqslant u_n \leqslant 2.$ \textbf{Affirmation 5} : La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\sqrt{2}$. \smallskip D'après le script Python, $(u_n)$ est définie par: $\left \{ \begin{array}{l !{=} l} u_0 & 2\\ u_{n+1} & 0,5 \left (u_n + \frac{2}{u_n} \right) \text{ pour tout }n \end{array} \right .$ \begin{list}{\textbullet}{} \item La suite $(u_n)$ est décroissante. \item Pour tout $n$, on a: $\sqrt{2} \leqslant u_n \leqslant 2$ donc la suite est minorée par $\sqrt{2}$. \item D'après le théorème de la convergence monotone, on peut dire que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ tel que $\ell \geqslant \sqrt{2}$. \end{list} $\ds\lim_{n\to + \infty} u_n = \ell$ et $\ds\lim_{n\to + \infty} u_{n+1} = \ell$ De l'égalité $u_{n+1} = 0,5 \left ( u_n + \dfrac{2}{u_n} \right )$, on déduit: $\ell = 0,5 \left ( \ell + \dfrac{2}{\ell} \right )$. On résout cette équation. $\ell = 0,5 \left ( \ell + \dfrac{2}{\ell}\right ) \iff 2\ell = \ell + \dfrac{2}{\ell} \iff \ell=\dfrac{2}{\ell} \iff \ell^2=2 \iff \ell=\sqrt{2} \text{ ou } \ell=-\sqrt{2}$ On a vu que $\ell\geqslant \sqrt{2}$ donc $\ell=\sqrt{2}$. \hfill{\blue\bf Affirmation 5 vraie} \end{enumerate} %\pagebreak \section*{Exercice 4\hfill4 points} %\medskip % %\textit{Les deux parties sont indépendantes.} \smallskip Un laboratoire fabrique un médicament conditionné sous forme de cachets. \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} Un contrôle de qualité, portant sur la masse des cachets, a montré que 2\,\% des cachets ont une masse non conforme. Ces cachets sont conditionnés par boîtes de 100 choisis au hasard dans la chaîne de production. On admet que la conformité d'un cachet est indépendante de celle des autres. %\smallskip On note $N$ la variable aléatoire qui à chaque boîte de $100$~cachets associe le nombre de cachets non conformes dans cette boîte. \begin{enumerate} \item %Justifier que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. Un cachet peut être non conforme, avec la probabilité $p=0,02$, ou conforme. Un échantillon de 100 cachets correspond à une répétition avec remise de l'expérience qui consiste à tirer un cachet de la production totale. Donc la variable aléatoire $N$ qui à chaque boîte de $100$~cachets associe le nombre de cachets non conformes dans cette boîte suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,02$. \item L'espérance de $N$ est $E(N)=np=100\times 0,02 =2$. Il y a donc, en moyenne, 2 cachets non conformes par boîte. \item %\textit{On arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.} \begin{enumerate} \item %Calculer la probabilité qu'une boîte contienne exactement trois cachets non conformes. La probabilité qu'une boîte contienne exactement trois cachets non conformes est: $P(N=3)= \binom{100}{3} \times 0,02^3 \times (1-0,02)^{100-3}\approx 0,182$. \item La probabilité qu'une boîte contienne au moins 95 cachets conformes est la probabilité qu'elle contienne au plus 5 cachets non conformes, c'est-à-dire: $P(N\leqslant 5)\approx 0,985$. \end{enumerate} \item Le directeur du laboratoire veut modifier le nombre de cachets par boîte pour pouvoir affirmer : \og La probabilité qu'une boîte ne contienne que des cachets conformes est supérieure à $0,5$\fg. %Combien de cachets une boîte doit-elle contenir au maximum pour respecter ce critère ? Justifier. Pour $N$ suivant la loi binomiale de paramètres $n$, à déterminer, et $p=0,02$, on veut: $P(N=0) >0,5$. C'est-à-dire: $\ds\binom{n}{0} \times 0,02^0 \times (1-0,02)^{n} > 0,5$. On résout cette inéquation. $\begin{aligned} \ds\binom{n}{0} \times 0,02^0 \times (1-0,02)^{n} > 0,5 & \iff 0,98^n > 0,5 \iff \ln \left (0,98^n \right ) > \ln\left (0,5\right )\\ & \iff n \times \ln \left (0,98 \right ) > \ln\left (0,5\right ) \iff n < \dfrac{\ln\left (0,5\right )}{\ln \left (0,98 \right )} \end{aligned}$ $\dfrac{\ln\left (0,5\right )}{\ln \left (0,98 \right )}\approx 34,3$ Donc le nombre maximum de cachets dans la boîte pour que la probabilité qu'une boîte ne contienne que des cachets conformes soit supérieure à $0,5$ est 34. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} On admet que les masses des cachets sont indépendantes les unes des autres. On prélève $100$~cachets et on note $M_i$, pour $i$ entier naturel compris entre 1 et $100$, la variable aléatoire qui donne la masse en gramme du $i$-ème cachet prélevé. %\smallskip On considère la variable aléatoire $S$ définie par : $ S= M_1+ M_1+ \ldots+ M_{100}.$ On admet que les variables aléatoires $M_1$,\: $M_2$,\: \ldots,\: $M_{100}$ suivent la même loi de probabilité d'espérance $\mu = 2$ et d'écart-type $\sigma$. \begin{enumerate} \item Chaque variable aléatoire $M_i$ suit une loi de probabilité d'espérance $\mu=2$. $ S= M_1+ M_2+ \ldots+ M_{100}$ On utilise la linéarité de l'espérance donc: $E(S) = E \left (M_1+ M_2+ \ldots+ M_{100} \right ) = E \left (M_1\right ) + E\left (M_2\right) + \ldots+ E\left (M_{100} \right) = 100 \times 2 = 200$ % Déterminer $E(S)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. La masse de 100 cachets est donc en moyenne de 200 grammes. \item On note $s$ l'écart type de la variable aléatoire $S$. Chaque variable aléatoire $M_i$ suit une loi de probabilité d'écart-type $\sigma$, donc de variance $V\left (M_i\right ) = \sigma^2$. Les variables $M_i$ étant indépendantes, on va utiliser l'additivité de la variance: $V(S) = V \left (M_1+ M_2+ \ldots+ M_{100} \right ) = V \left (M_1\right ) + V\left (M_2\right )+ \ldots+ V\left (M_{100} \right ) = 100 \sigma^2$ $s = \ds\sqrt{V(S)} = \ds\sqrt{100 \sigma^2}=10\sigma$ %Montrer que : $s = 10\sigma$. \item On souhaite que la masse totale, en gramme, des comprimés contenus dans une boîte soit strictement comprise entre 199 et 201 avec une probabilité au moins égale à $0,9$, c'est-à-dire que $P(199 0,9$. \begin{enumerate} \item %Montrer que cette condition est équivalente à : $P \left ( \left |S-200 \strut \right | \geqslant 1 \right ) \leqslant 0,1.$ $\begin{aligned}[t] 199 < S < 201 & \iff 199-200 < S - 200 < 201-200 \iff -1 < S-200 < 1\\ & \iff \left | S-200 \strut \right |<1 \end{aligned}$ Donc $P \left ( 199 < S < 201 \right ) = P \left ( \left | S-200 \strut \right |<1\right )$ En prenant l'événement contraire: $P \left ( \left | S-200 \strut \right |<1\right ) > 0,9 \iff P \left ( \left |S-200 \strut \right | \geqslant 1 \right ) \leqslant 0,1$ \item% En déduire la valeur maximale de $\sigma$ qui permet, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé­-Tchebychev, d'assurer cette condition. La variable aléatoire $S$ a pour espérance $E(S)=200$ et pour variance $V(S)=100\sigma2$ donc, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a: pour tout $\delta\in\, \left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$, $P\left ( \left |S-E(S)\strut \right | \geqslant \delta \right ) \leqslant \dfrac{V(S)}{\delta^2}$, c'est-à-dire, pour tout $\delta\in\, \left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$, $P\left ( \left |S-200\strut \right | \geqslant \delta \right ) \leqslant \dfrac{100\sigma^2}{\delta^2}$, On cherche $\sigma$ pour que $P \left ( \left |S-200 \strut \right | \geqslant 1 \right ) \leqslant 0,1$. On prend $\delta=1$ donc l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev devient:\\ $P\left ( \left |S-200\strut \right | \geqslant 1 \right ) \leqslant \dfrac{100\sigma^2}{1^2}$, c'est-à-dire $P\left ( \left |S-200\strut \right | \geqslant 1 \right ) \leqslant 100\sigma^2$ Il suffit que $100\sigma^2 \leqslant 0,1$ donc que $\sigma^2 \leqslant 10^{-3}$, et donc que $\sigma \leqslant \ds\sqrt{10^{-3}}$. La valeur maximale de $\sigma$ qui permet d'assurer la condition requise est\\ $\sigma= \ds \sqrt{10^{-3}}\approx \np{0,0316}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}