\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
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%Relecture : 
%Corrigé : Laurent Hoarau et Pauline Fontaine

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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\setlist[enumerate,1]{leftmargin=*} % Questions alignées à gauche
\setlist[enumerate,2]{leftmargin=0.5cm,topsep=0pt,itemsep=4pt} % Sous questions décalées de 5mm
\setlist[itemize,1]{left=0.5cm,itemsep=0pt,topsep=2pt} % Sous questions décalées de 5mm
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

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	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {DNB corrigé},
	pdftitle = {DNB Amérique du Nord 3 juin 2026 (corrigé)},
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%%% Redéfinitions
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%   le i des complexes


\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}

%%% En-tête et pied de page
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet}
\lfoot{\small{Amérique du Nord - corrigé}}
\rfoot{\small{3 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{%
	\decofourleft~Corrigé DNB Amérique du Nord~\decofourright\\[7pt]%
	3 juin 2026}}
\end{center}


\medskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{\textsc{Partie 1 - Automatismes} \hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate}[label=\textbf{Question \arabic*} :]
\item $A= \dfrac23 + \dfrac34 = \dfrac{2\times 4}{3\times 4} + \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{8 + 9 }{12}$. Donc  \fbox{$A =\dfrac{17}{12}$}

\item Retrancher 10\,\% c'est multiplier par $1 - \dfrac{10}{100} = 1 - 0,1 = 0,9$

Donc $45 \times 0,9 = 40,5$. Après réduction le prix est de \fbox{$40,50$ euros}

\item Ce quadrilatère a ses diagonales :

\begin{itemize}
\item qui ont le même milieu ;
\item et la même longueur.
\end{itemize}
Réponse \fbox{B : c'est donc un rectangle}

\item $5x - 15 = 20$ donne en ajoutant 15 à chaque membre :

$5x = 35$ ou $5 \times =  5 \times 7$ et en simplifiant par le facteur 5 non nul :

$x = 7$. 7 est la solution de cette équation.

\item 
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item L'abscisse du point $A$ est \fbox{$-4$}
		\item Les coordonnées du point $B$ sont \fbox{$(-2~;~-1)$}
	\end{enumerate} 

\item On a dans l'ordre croissant 1~;~3~;~3~;~8~;~11~;~12~;~12~;~19~;~25 La médiane est le 5\up{e} de ces neuf nombres (4 plus petits et 4 plus grands) soit \fbox{$11$}.

\item $[\text{AB}]$ est le côté adjacent à l'angle dont on connait une mesure en degrés et on connait la longueur de l'hypoténuse : il faut donc utiliser la formule du cosinus :

$\cos \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}$, soit 
 $\cos 60\degres = \dfrac{\text{AB}}{5}$, d'où en multipliant par 5 chaque membre :
 
 AB = \fbox{$5\times \cos(60)$}.
\item Critère de divisibilité par 3 et 9 : on a $3 + 8 + 7 \longmapsto 18 \longmapsto 9 \longmapsto  0$ ; ce nombre 387 est donc divisible par 3 et par 9. \fbox{3} et \fbox{9} sont des diviseurs de 387.

\emph{Rem.} Comme $387 = 360 + 27 = 9 \times 40 + 9 \times 3 = 9 \times (40 + 3) = 9 \times 43 = 3 \times 3 \times 43 = 3 \times 129$.

Donc 387 a pour diviseurs : 1, 3, 9, 43, 129 et 387.
\end{enumerate}

\bigskip 

%\newpage

\textbf{\textsc{Partie 2 - Raisonnement et résolution de problèmes}  \hfill 14 points} \\
\textbf{La clarté et la précision des raisonnements ainsi que la rédaction sont évaluées sur 2 points.}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 2,5 points} 

\medskip

\begin{enumerate}
	\item 
Dans le triangle AED, $[\text{AD}]$ est le plus grand côté et on a : $\text{AD}^2=7,3^2=53,29$\\
De plus, $\text{AE}^2+\text{ED}^2=5,5^2+4,8^2=30,25+23,04=53,29$\\
donc $\text{AD}^2=\text{AE}^2+\text{ED}^2$\\
et d'après la réciproque du théorème de Pythagore, \fbox{le triangle AED est rectangle en E}.
\item
Comme il s'agit d'un triangle rectangle, on peut calculer l'aire de AED comme suit:\\
\hfill\\
$\dfrac{\text{AE}\times \text{ED}}{2}=\dfrac{5,5\times4,8}{2}=13,2  \text{cm}^2$ \, donc \fbox{l'aire du triangle AED est 13,2~cm\up{2}}\\

\item
Les droites (BC) et (ED) sont perpendiculaires à la même droite (BE), elles sont donc parallèles.

\fbox{Les droites (BC) et (ED) sont parallèles}. 

\item On  sait que :
\begin{itemize}[label=\(\circ\)]
\item $(\text{BC}) // (\text{ED})$
\item $\text{A} \in [\text{BE}]$
\item $\text{A} \in [\text{CD}]$
\end{itemize}
donc d'après le théorème de Thalès : $\dfrac{\text{AC}}{\text{AD}}=\dfrac{\text{BA}}{\text{AE}}=\dfrac{\text{CB}}{\text{ED}}$\\
\hfill

En remplaçant par les longueurs connues, on a: $\dfrac{\text{AC}}{7,3}=\dfrac{\text{BA}}{5,5}=\dfrac{7,2}{4,8}$

Or $\dfrac{7,2}{4,8} = \dfrac{72}{48} = \dfrac{8 \times 9}{8 \times 6} = \dfrac{8 \times 3 \times 3}{8 \times 3 \times 2} = \dfrac32 = 1,5$

En prenant l'égalité des deux derniers quotients ci-dessus :

$\dfrac{\text{BA}}{5,5} = 1,5$ on a en multipliant par 5,5

AB $= 1,5 \times 5,5 = 8,25$.

On en déduit que $\text{AB} = 5,5 \times 7,2 \div 4,8=39,6 \div 4,8 = 8,25$  et donc

\fbox{la longueur AB est égale à 8,25~cm.}

\item Les angles alternes-internes $\widehat{\text{ACB}}$ et $\widehat{\text{ADE}}$ ont la même mesure car les droites (BC) et (ED) sont parallèles.

On a donc \fbox{ $\widehat{\text{ADE}} = \widehat{\text{ACB}} \approx 49\degres$}
\end{enumerate}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3,5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $f(-4) = (-4-1)(-4+3) = -5 \times (-1) = $ \fbox{$5$}

\item Pour répondre à la question, on va résoudre l'équation $g(x) = 2$:

$\begin{array}{rl}
 & g(x) =  2\\
\text{soit} & 2x + 1 = 2\\
\text{soit} &2x  = 2-1 \\
\text{soit} &x =  \dfrac{1}{2} 
\end{array}$

L'antécédent de $2$ par $g$ est donc  \fbox{ $\dfrac{1}{2}$}.

\item 
\begin{enumerate}
\item On doit saisir la formule \fbox{ \texttt{2*B1+1}}

\item D'après le tableau, \fbox{$2$} est \textbf{une} solution de $f(x)=g(x)$
\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item La courbe qui représente la fonction \fbox{$f$ est $\mathcal{C}_1$} et celle représente la fonction \fbox{$g$ est $\mathcal{C}_2$}
		\item Par lecture graphique, les deux courbes ont deux points communs d'abscisses $-2$ et 2 ; les nombres $- 2$ et 2 ont donc la même image par $f$ et par $g$ : \fbox{$-2$ et $2$} sont \textbf{les} deux  solutions de l'équation $f(x)=g(x)$
\end{enumerate}
		\item On résout l'équation \smallskip\\
$\begin{array}{rl}
 & f(x) = g(x)\\
\text{soit} & (x - 1)(x + 3) = 2x + 1\: \text{et en développant}\\
\text{soit} & x^2 + 3x -x - 3 = 2x + 1 \\ \text{et en réduisant}
\text{soit} & x^2 +2x -2x -3 -1 = 0 \\ \text{soit finalement}
\text{soit} & x^2 -4 =  0
\end{array}$

Résoudre l'équation $f(x) = g(x)$ revient à résoudre $x^2 -4 =  0$ : Lola a raison.

\emph{Remarque }: $x^2 - 4 = 0$ s'écrit $(x + 2)(x - 2) = 0$ qui a pour solutions les nombres $- 2$ et $2$ déjà trouvés.
\end{enumerate}

\medskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Comme $\np{50000} - \np{28000} - \np{12000} - \np{8000} = \np{2000}$

il y a \fbox{$\np{2000}$} images dans la catégorie \og Autres \fg.

\item On a $\frac{90}{100}\times \np{28000} = \np{25200}$

donc l'IA reconnait correctement \fbox{$\np{25200}$} \og Objets du quotidien \fg.

\item La proportion de \og Véhicules \fg{} reconnue par l'IA vaut: $\dfrac{5600}{8000} = \dfrac{56}{80} = \dfrac{7}{10}$

c'est-à-dire que \fbox{$70\,\%$} des images de cette catégorie sont reconnues.

\item La probabilité qu'un des \og Objets du quotidien \fg{} soit tiré au hasard vaut: 

\medskip

$\dfrac{\np{28000}}{\np{50000}} = \dfrac{280}{500} = \dfrac{70}{125} = $ \fbox{$ 0,56 $} 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item La consommation, estimée à \np{82000}~GWh pour l'IA, correspond à
%82\,000\,000\,000 Wh ou encore
\fbox{$8,2\times 10^{13}$} Wh.\\
Celle d'un collège, estimée à \np{200000}~kWh, correspond à
%200\,000\,000 Wh ou encore
\fbox{$2\times 10^8$}~Wh.

\item Comme $\dfrac{8,2}{2}\dfrac{10^{13}}{10^8} = 4,1\times 10^5 = \np{410000}$

\medskip

On pourrait alimenter \fbox{\np{410000} collèges} avec la consommation électrique de l'IA.

\item Comme $\dfrac{\np{410000}}{\np{7100}} = \dfrac{\np{4100}}{71} \approx 57,7$

\smallskip

l'alimentation de cette intelligence artificielle pendant un an permettrait d'alimenter tous les collèges de France pendant \fbox{57 ans}! \medskip

\textbf{Réponse alternative:}

La consommation en Wh de \np{7100} collèges par an vaut: $ 7,1 \times 10^3 \times 2\times 10^8 = 14,2 \times 10^{11}$

et la consommation en Wh de l'IA en question pendant un an vaut: $8,2\times 10^{13}$

donc le nombre d'années recherchées vaut: $\dfrac{8,2\times 10^{13}}{14,2 \times 10^{11}} \approx 0,577 \times 10^2 \approx 57,7$
\end{enumerate}
\medskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 2 points}
\begin{enumerate}
\item Après le bloc 1, les coordonnées du lutin sont \fbox{$(0~;~0)$}
\item \fbox{\textbf{A} $=4$ et \textbf{B} $=90$}

\fbox{\textbf{C} $=3$ et \textbf{D} $=120$}
\item Le programme \textbf{1} est associé à la \textbf{figure B} ;

Le programme \textbf{2} est associé à la \textbf{figure C} ;

Le programme \textbf{3} est associé à la \textbf{figure A}.
\end{enumerate}
\end{document}