% Préambule APMEP - Annales % Auteurs % tapuscrit : Denis Vergès % relecture : François Kriegk % figures TikZ : % figures pstricks : % modifications : % Remerciements : Sujet aimablement fourni par Marc Incamps % version 1 : 2026-07-05 % \documentclass[12pt,a4paper,french]{article} % Packages %%% codage et police utilisée \usepackage[T1]{fontenc} \RequirePackage{iftex} \iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex \usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX) % Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX) \usepackage{hyperref} %\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système \else % pour les autres moteurs latex, pdflatex \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[dvips]{hyperref} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \fi \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} % tableaux \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \usepackage{tabularx} \usepackage{tabularray} % texte et composition \usepackage{textcomp} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} % \usepackage{fancyhdr} \usepackage{makeidx} \makeindex % pour le symbole € \usepackage{eurosym} \DeclareRobustCommand{\officialeuro}{% \ifmmode\expandafter\text\fi {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}} \AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}} % couleurs étendues \usepackage{xcolor} % pour les listes \usepackage{enumitem} % Enumérations réglage par défaut \setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left} \setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left} \setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}} \setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}} \setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}} % pour l'ajustement des boites (figures…) \usepackage{adjustbox} % pour ne pas commencer un exercice en fin de page \usepackage{needspace} % % Taille de la zone d'écriture \usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \setlength{\headheight}{15pt} \setlength{\parindent}{0mm} % % Formatage du pdf \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Troisième, Série professionnelle}, pdftitle = {Diplôme National du Brevet -- Session 2026}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } % Pour scratch (code) \usepackage{scratch3} % Pour le code Python \usepackage{listings} \lstdefinestyle{python}{ language=Python, basicstyle=\ttfamily\small, keywordstyle=\color{blue}\bfseries, commentstyle=\color{gray}\itshape, stringstyle=\color{orange}, numbers=left, numberstyle=\tiny\color{gray}, breaklines=true, frame=single, backgroundcolor=\color{gray!5}, tabsize=4 } % usage (exemple) %\begin{lstlisting}[style=python] %def seuil(): % n = 1 % p = 0.5 % while p < 0.6 : % n = n + 1 % p = p*7/15 + 1/3 % return n %\end{lstlisting} % Pour une visualisation de type tableur \usepackage{pas-tableur} % %% pour PsTricks \usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ} \usepackage{pst-eucl} %% pour TikZ \usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes} \usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows} \pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma} \usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules \DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Définitions % % notation en mode mathématique et hors mode mathématique \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} \newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}} \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}} % \providecommand{\up}{\textsuperscript} % \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} % \def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$} % \newcommand{\ds}{\displaystyle} % \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}} \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}} \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{26 juin 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \Large \bfseries \decofourleft~ Diplôme National du Brevet ~\decofourright\\[10pt] Série professionnelle -- Polynésie -- 26 juin 2026 \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt] Corrigé \end{center} \section*{\centering Partie 1 : Automatismes (6 pts)} \subsection*{Question 1} 1 km vaut \np{1000} mètres, donc 32,5 km valent $32,5 \times \np{1000} = \np{32300}$~m. \subsection*{Question 2} $0,25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{25 \times 1}{25 \times 4} = \dfrac14$ : Sur un verre doseur, la graduation correspond à 0,25 L est 1/4 L. \subsection*{Question 3} $\np{0,00647} = \np{0,00647} \times 10^3 \times 10^{-3} = \left(\np{0,00647} \times 10^3 \right)\times 10^{-3} = 6,47 \times 10^{-3}$. On ne change pas le nombre en déplaçant la virgule de trois rangs vers la droite puis trois rangs vers la gauche ou en multipliant par $\np{1000} = 10^3$ puis par $0,001 = 10^{-3}$. \textbf{Bonne réponse : D}. \subsection*{Question 4} Rangés dans l'ordre croissant : 6~;~13~;~18~;~43~;52. Il y a 5 nombres, la médiane est le 3\up{e}, soit 18. \subsection*{Question 5} Comme les boules sont indiscernables au toucher, on est en situation d'équiprobabilité. La probabilité d'un évènement est le quotient du nombre d'issues favorables à l'évènement par le nombre total d'issues. La probabilité $p$ de tirer une boule bleue est :\quad $p = \dfrac{\text{nombre de boules bleues}}{\text{nombre de boules total}} = \dfrac36 = \dfrac{3 \times 1}{3 \times 2} = \dfrac12 = 0,5$. \textbf{Bonne réponse : C}. \subsection*{Question 6} Le triangle est bien rectangle, on peut appliquer les formules de trigonométrie. Par définition :\quad $\cos \widehat{\text{BCA}} = \dfrac{\text{mesure du côté adjacent}}{\text{mesure de l'hypoténuse}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AC}}$. \textbf{Bonne réponse : C}. \subsection*{Question 7} Les 10\,\% de 80 valent : \quad $\dfrac{10}{100} \times 80 = \dfrac{10 \times 80}{100} = \dfrac{10 \times 8 \times 10}{10 \times 10} = 8$. \textbf{Bonne réponse : C}. \subsection*{Question 8} Pour $x= 1$,\quad on a :\quad $4 \times 1 = 4$,\quad puis \quad $A = 4 + 5 = 9$. \subsection*{Question 9 – Question d'algorithmique} On obtient : \begin{itemize} \item \ovalvariable{x} prend la valeur 4; \item \ovalvariable{Produit 1} prend la valeur :\quad $4 + 3 = 7$; \item \ovalvariable{Produit 2} prend la valeur :\quad $4 - 2 = 2$; \item \ovalvariable{Résultat} prend la valeur :\quad \ovalvariable{Produit 1} $\times$ \ovalvariable{Produit 2} = $7 \times 2 = 14$. \end{itemize} Avec 4 au départ, le script affiche 14 pendant 2 secondes. \newpage \section*{\centering Partie 2 -- Raisonnement et résolution de problèmes -- 14 points} \section*{Exercice 1 \hfill 4 points} \begin{enumerate} \item En 2000, la production mensuelle a varié de sa valeur minimale : 43 à sa valeur maximale : 248. Soit une étendue de :\quad $248 - 43 = 205$ tonnes. \item En 2018 la production mensuelle moyenne a été de : $\overline{p} = \dfrac{128,3 + 176,3 + \ldots + 263,6}{2} = \dfrac{\np{2540,9}}{12} \approx 211,74$ tonnes (arrondi au centième). \item De 2000 à 2018, la production a augmenté de \quad $\np{2540,9} - \np{2052} = 488,9$ tonnes. $\dfrac{488,9}{\np{2052}} \times 100 \approx 23,825$. Cette évolution représente donc une augmentation en pourcentage de $23,8~\%$, au dixième près : l'affirmation est vraie. \end{enumerate} \section*{Exercice 2 \hfill 3,5 points} \begin{enumerate} \item Les point A, E et C sont alignés, donc :\quad $\mathrm{AE} = \mathrm{AC} - \mathrm{EC} = 24 - 16 = \np[cm]{8}$. \item Le triangle BAE est rectangle en A; le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle s'écrit : $\mathrm{BE}^2 = \mathrm{BA}^2 + \mathrm{AE}^2$,\quad soit $\mathrm{BE}^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$. BE étant une longueur, c'est un nombre positif, il en résulte que $\mathrm{BE}= \np[cm]{10}$. \item \begin{enumerate} \item Les trois dernières données de l'énoncé montrent que l'on est dans une configuration de Thalès : les mesures des côtés des triangles AEB et CED sont proportionnelles ; en particulier : $\dfrac{\text{AE}}{\text{EC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{CD}}$. Les produits en croix sont égaux soit \quad $\text{AE} \times \text{CD} = \text{AB} \times \text{EC}$. Cette égalité traduit l'égalité des quotients proposée en deuxième soit : \quad $\dfrac{\text{EC}}{\text{EA}} = \dfrac{\text{DC}}{\text{AB}}$. \item En remplaçant dans l'égalité précédente par les valeurs connues on obtient : \quad $\dfrac{16}{8} = \dfrac{\text{DC}}{6}$. En multipliant chaque membre par 6, on obtient :\quad $6 \times \dfrac{16}{8} = \text{DC} = 6 \times 2 = 12$. On a donc DC = 12~cm. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{Exercice 3 \hfill 4,5 points} \begin{enumerate} \item \begin{tblr}[T]{width=0.99\linewidth,colspec={X[c,m,4.6cm]*{2}{X[c,m]}},row{2,3} = {10mm},hlines,vlines,cell{2}{3}={fg=red},cell{3}{2}={fg=red}} Nombre de séances \linebreak dans le mois & 3 & 10 \\ Montant à payer avec le \linebreak tarif A (en F) & \np{5700}& $\np{1900} \times 10 = \np{19000}$ \\ Montant à payer avec \linebreak le tarif B (en F) &$\np{5900} + 720 \times 3 = \np{8060}$ & \np{13100} \\ \end{tblr} \needspace{10\baselineskip} \item \begin{enumerate} \item Voici le graphique : %Début Tikz \hspace*{-1cm} \begin{tikzpicture}[x=14mm,y=0.009mm,>=stealth,line cap=round] \fill[yellow!30] (7,10940)--(11.6,10940)--(11.6,12000)--(8.472,12000)--cycle; \fill[yellow!30] (7,0) -- (7,-15pt)--(11.6,-15pt)--(11.6,0)--cycle ; \draw [color = gray!55, line width = 0.3pt, xstep=0.2, ystep = 200] (0,0) grid (11.6,12000); \draw [color = gray!85, line width = 0.6pt, xstep=1, ystep = 1000] (0,0) grid (11.6,12000); \draw[line width=1.2pt,<->] (0,12000)node[below right]{Prix en F} -- (0,0) -- (11.6,0)node[above left]{Nombre de séances dans le mois}; \foreach \x in {1,...,11} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\np{\x}$}; \foreach \y in {1000,2000,...,11000} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left, fill = white] {\footnotesize $\np{\y}$}; \draw[color=black] (-2pt,-2pt) node[below left] {\footnotesize 0}; \begin{scope} \clip (0,0) rectangle (11.6,12000); \draw[line width=1.2pt,color=red] (0,0)--(7,13300); \draw[<-, line width=3pt,shift={(1.4,2600)}] (0,0) to [out=-90, in=150] (0.4,-600) node[inner xsep=6pt,draw,line width=0.8pt, fill=gray!30,text width=35mm,right]{\rule{0mm}{5mm}TARIF {\color{red}A}\dotfill}; \draw[line width=1.2pt,color=teal] (0,5900)--(9,12380); \draw[<-, line width=3pt,shift={(3.4,8408)}] (0,0) to [out=90, in=-30] (-0.4,600) node[inner xsep=6pt,draw,line width=0.8pt, fill=gray!30,text width=35mm,left]{\rule{0mm}{5mm}TARIF {\color{teal}B}\dotfill}; \draw[line width=1.2pt,color=purple] (0,10940)--(12,10940); \draw[<-, line width=3pt,shift={(8.6,10880)}] (0,0) to [out=-90, in=150] (0.4,-600) node[inner xsep=6pt,draw,line width=0.8pt, fill=gray!30,text width=30mm,right]{\rule{0mm}{5mm}TARIF {\color{purple}C} \dotfill}; \end{scope} \draw[line width=1.5pt] (5,-10pt) circle (10pt); \draw[line width=1.5pt,dashed] (5,0)--(5,9500)--(0,9500) node[left]{\np{9500}} ; \draw[line width=1.5pt,dashed, black!30!yellow!70] (7,10940)--(7,0); \end{tikzpicture} %Fin tikz % %%Début PSTricks % \begin{center} % \psset{xunit=1cm,yunit=0.00125cm,arrowsize=2pt 3} % \begin{pspicture*}(-1.5,-400)(12,12000) % \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=1000,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(12,12000) % \multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,12000)} % \multido{\n=0+1000}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(12,\n)} % \psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{12}{x 1900 mul} % \psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{720 x mul 5900 add} % \psline(0,11000)(12,11000) % \rput{67}(2,3000){\red TARIF A} % \rput{39}(2,7600){\blue TARIF B} % \rput(10,10700){TARIF C} % \uput[u](9.,0){Nombre de séances dans le mois} % \uput[r](0,11800){Prix en F} % \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->](5,0)(5,9500)(0,9500) % \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,linecolor=blue,ArrowInside=->](8,0)(8,11660)(0,11660) % \uput[l](0,9500){\np{9500}}\uput[l](0,11660){\blue \np{11660}} % \end{pspicture*} % \end{center} % %Fin PSTricks \item Graphiquement, on cherche l'abscisse du point où les droites représentant les tarifs A et B se croisent. C'est pour $x = 5$. Pour 5 séances il en coûtera la même somme \np{9500}~F avec les tarifs A ou B. \item $\np{1900}\,x = \np{5900} + 720\,x$ en ajoutant $- 720x$ à chaque membre :\quad $\np{1900}\,x - 720\,x= \np{5900}$, \quad soit $\np{1180}~x = \np{5900}$ en multipliant chaque membre par $\dfrac{1}{\np{1180}}$, \quad $x = \dfrac{\np{5900}}{\np{1180}} = 5.$ \item Graphiquement, on cherche à partir de quand la droite représentant le tarif C est en dessous de celle représentant le tarif B. À partir de 7 séances le tarif C est le moins cher \emph{Remarque }: pour 7 séances mensuelles exactement, les tarifs B et C sont au même prix : $\np{5900} + 7 \times 720 = \np{5900} + \np{5040} = \np{10940}$. Le tarif B est \textbf{strictement} plus cher que le tarif C à partir de 8 demi-journées par mois. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}