% Préambule APMEP - Annales % Auteurs % tapuscrit : Denis Vergès % relecture : François Kriegk % figures TikZ : François Kriegk % figures pstricks : Denis Vergès % modifications : v4 : ajout d'une ligne oubliée dans le programme scratch (automatismes, Q9) % Remerciements : % version 4 : 2026-07-06 % \documentclass[12pt,a4paper,french]{article} % Packages %%% codage et police utilisée \usepackage[T1]{fontenc} \RequirePackage{iftex} \iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex \usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX) % Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX) \usepackage{hyperref} %\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système \else % pour les autres moteurs latex, pdflatex \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[dvips]{hyperref} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \fi \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} % tableaux \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \usepackage{tabularx} \usepackage{tabularray} % texte et composition \usepackage{textcomp} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} % \usepackage{fancyhdr} \usepackage{makeidx} \makeindex % pour le symbole € \usepackage{eurosym} \DeclareRobustCommand{\officialeuro}{% \ifmmode\expandafter\text\fi {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}} \AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}} % couleurs étendues \usepackage{xcolor} % pour les listes \usepackage{enumitem} % Enumérations réglage par défaut \setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left} \setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left} \setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}} \setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}} \setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}} % pour l'ajustement des boites (figures…) \usepackage{adjustbox} % pour ne pas commencer un exercice en fin de page \usepackage{needspace} % % Taille de la zone d'écriture \usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry} \setlength{\headheight}{15pt} \setlength{\parindent}{0mm} % % Formatage du pdf \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Troisième, Série générale}, pdftitle = {Brevet des collèges -- Session 2026}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } % Pour scratch (code) \usepackage{scratch3} % Pour le code Python \usepackage{listings} \lstdefinestyle{python}{ language=Python, basicstyle=\ttfamily\small, keywordstyle=\color{blue}\bfseries, commentstyle=\color{gray}\itshape, stringstyle=\color{orange}, numbers=left, numberstyle=\tiny\color{gray}, breaklines=true, frame=single, backgroundcolor=\color{gray!5}, tabsize=4 } % usage (exemple) %\begin{lstlisting}[style=python] %def seuil(): % n = 1 % p = 0.5 % while p < 0.6 : % n = n + 1 % p = p*7/15 + 1/3 % return n %\end{lstlisting} % Pour une visualisation de type tableur \usepackage{pas-tableur} % %% pour PsTricks \usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ} \usepackage{pst-eucl} %% pour TikZ \usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes} \usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows} \pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma} \usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules \DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Définitions % % notation en mode mathématique et hors mode mathématique \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} \newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}} \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}} % \providecommand{\up}{\textsuperscript} % \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} % \def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$} % \newcommand{\ds}{\displaystyle} % \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}} \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}} \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} % Réglage entête, pied de page \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Sujet} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{26 juin 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} % Titre \begin{center} {\Large \bfseries \decofourleft~ Diplôme National du Brevet ~\decofourright\\[10pt] Série professionnelle -- Polynésie -- 26 juin 2026 \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \\[10pt] Sujet} \end{center} \section*{\centering Partie 1 -- Automatismes -- 6 points} \subsection*{Question 1} Convertir 32,3 km en mètres. \begin{minipage}{0.7\linewidth} ~ \subsection*{Question 2} Sur le verre doseur ci-contre, quelle graduation correspond à 0,25 L ? \end{minipage} %Début tikz \hfill~ \begin{tikzpicture}[line width=1.2pt, line cap=round, line join=round,every node/.style={font=\footnotesize },scale=1.2,baseline={(A)}] \draw (0,0)--(0,2.1) (0.2,0.7)--(-0.2,0.7) (-0.12,0.7) node[left]{1/4\,L} (0.2,1.3)--(-0.2,1.3) (-0.12,1.3) node[left]{1/2\,L} (0.2,1.8)--(-0.2,1.8) (-0.12,1.8) node[left]{3/4\,L} (0.55,2.3)--(-0.55,2.3) node[pos=0.5,fill=white] (A){1\,L}; \draw[shift={(0,3.2)}] (160:1.4 and 0.42) arc (160:-160:1.4 and 0.42) .. controls (-170 : 1.4 and 0.42) and (-1.9,-0.2) .. (-1.9,-0.1) .. controls (-1.9,0) and (170 : 1.4 and 0.42) .. (160 : 1.4 and 0.42); \draw[] (-1.9,3.08) ..controls (-1.4,2.6) and (-1.35,2.7) .. (-1.3,2.4)-- (-1,0) arc (180:360:1 and 0.3) -- (1.4,3.2); \draw[darkgray] (-1,0) arc (180:0:1 and 0.3); \end{tikzpicture} \hfill~ %Fin tikz \subsection*{Question 3} Parmi les nombres suivants, lequel correspond à l'écriture scientifique de $0,00647$ ? \begin{tblr}{*{4}{X}} \textbf{A.}\quad $0,647 \times 10^{-2}$& \textbf{B.}\quad $6,47 \times 10^{-2}$& \textbf{C.}\quad $64,7 \times 10^{-3}$& \textbf{D.}\quad $6,47 \times 10^{-3}$ \end{tblr} \subsection*{Question 4} Voici une série de nombres : \quad $18$\,;\,$52$\,;\,$6$\,;\,$13$\,;\,$43$. Quelle est la médiane de cette série ? \subsection*{Question 5} Une urne contient 2 boules rouges, 1 boule blanche et 3 boules bleues indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ? \begin{tblr}{*{4}{X}} \textbf{A.}\quad $\dfrac{1}{6}$ & \textbf{B.}\quad $\dfrac{2}{6}$ & \textbf{C.}\quad $\dfrac{3}{6}$ & \textbf{D.}\quad $3$ \end{tblr} \subsection*{Question 6} \begin{minipage}[t]{0.5\linewidth} Dans le triangle ABC rectangle en B ci-contre, le cosinus de l'angle $\widehat{\text{BCA}}$ est égal à : \medskip \begin{tblr}{*{2}{X}} \textbf{A.}\quad $\dfrac{\text{AC}}{\text{AB}}$ & \textbf{B.}\quad $\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$ \\ \textbf{C.}\quad $\dfrac{\text{BC}}{\text{AC}}$ & \textbf{D.}\quad $\dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}$ \end{tblr} \end{minipage} \hfill %%Début PStricks %\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(5,2.7) %\pspolygon(0.3,0.3)(4.3,0.3)(0.3,2.3)%BCA %\uput[dl](0.3,0.3){B} \uput[dr](4.3,0.3){C} \uput[ul](0.3,2.3){A} %\psframe(0.3,0.3)(0.5,0.5) %\psarc(4.3,0.3){0.5}{150}{180} %\end{pspicture} %\end{minipage} %%Fin PStricks %%Début tikz \begin{tikzpicture}[baseline={(A.base)}] \coordinate (A) at (0,2.2); \coordinate (B) at (0,0); \coordinate (C) at (4.3,0); \draw[fill=red!40,draw=red,line width=1pt] (0,0) rectangle (0.3,0.3); \draw[fill=teal!40,draw=teal,line width=1pt] (4.3,0) -- (3.6,0) arc (180:147:0.6); \draw[line width=1.2] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; \node[above] at (A) {A}; \node[below left] at (B) {B}; \node[below right] at (C) {C}; \end{tikzpicture} \hfill~ %%Fin tikz \subsection*{Question 7} Les 10\,\% de 80 valent : \begin{tblr}{*{4}{X}} \textbf{A.}\quad $70$ & \textbf{B.}\quad $10$ & \textbf{C.}\quad $8$ & \textbf{D.}\quad $0,8$ \end{tblr} \subsection*{Question 8} $A = 4x + 5$ Calculer $A$ pour $x = 1$. \subsection*{Question 9 – Question d'algorithmique} \begin{minipage}[t]{0.42\linewidth} On considère le programme de calcul ci-contre. \bigskip Quel est le résultat de ce script si on choisit le nombre 4 au départ ? \end{minipage} \hfill \begin{scratch}[] \blockinit{quand \greenflag est cliqué} \blocksensing{demander \ovalnum{choisir un nombre} et attendre} \blockvariable{mettre \selectmenu{x} à \ovalsensing{réponse}} \blockvariable{mettre \selectmenu{Produit 1} à \ovaloperator{\ovalvariable{x} + \ovalnum{3}}} \blockvariable{mettre \selectmenu{Produit 2} à \ovaloperator{\ovalvariable{x} - \ovalnum{2}}} \blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Produit 1} * \ovalvariable{Produit 2}}} \blocklook{dire \ovalvariable{Résultat} pendant \ovalnum{2} secondes} \end{scratch} \newpage \section*{\centering Partie 2 -- Raisonnement et résolution de problèmes -- 14 points} \section*{Exercice 1 \hfill 4 points} Le tableau suivant répertorie la collecte de coprah en tonnes dans l'archipel des Marquises en Polynésie Française en 2000 et en 2018. \begin{tblr}{colspec={|c|*{12}{X[c,colsep=1pt]|}c}, vline{1-14}={solid},vline{15}={2-Z}{solid}, cell{1}{1-13}={bg=gray!20}, cell{1,3,5}{1}={bg=gray!20}, hline{1}={1-13}{solid}, hline{2-Z}={solid}, row{1,3,5}={8mm},row{1}={font=\bfseries},row{2,4}={rowsep=0pt}} Année & Jan. & Fév. & Mars & Avril & Mai & Juin & Juil. & Août & Sept. & Oct. & Nov. & Déc & \\ \SetCell[r=1,c=13]{c} & & & & & & & & & & & & & Total \\ 2000 & 193 & 128 & 123 & 43 & 125 & 154 & 236 & 157 & 219 & 248 & 228 & 198 & \textbf{\np{2052}} \\ \SetCell[r=1,c=13]{c} & & & & & & & & & & & & & \\ 2018 & 128,3 & 176,3 & 224,9 & 153 & 264 & 118 & 222,8 & 272,6 & 144,9 & 330,9 & 241,6 & 263,6 & \textbf{\np{2540,9}} \end{tblr} \begin{enumerate} \item Calculer l'étendue de la série pour l'année 2000. \item Calculer la masse moyenne mensuelle, en tonnes, de coprah en 2018. Arrondir au centième. \item Une productrice de coprah lit dans la presse l'affirmation suivante : \og En 2018, la masse totale de coprah a augmenté d'environ 23,8\,\% par rapport à l'année 2000 \fg{}. Cette affirmation est-elle exacte ? \textbf{Justifier la réponse.} \end{enumerate} \needspace{10\baselineskip} \section*{Exercice 2 \hfill 3,5 points} \begin{minipage}{0.45\linewidth} On considère la figure ci-contre : \bigskip On sait que :\quad\begin{minipage}[t]{5cm} $\text{EC} = 16\,\text{cm}$\\ $\text{AB} = 6\,\text{cm}$\\ $\text{AC} = 24\,\text{cm}$ \end{minipage} \bigskip et que : \bigskip les droites (AB) et (DC) sont parallèles ; les points A, E et C sont alignés; les points B, E et D sont alignés. \end{minipage}\hfill %Début Tikz \begin{tikzpicture}[scale=0.9,baseline={(current bounding box.center)}]%mettre scale=1 pour l'échelle du sujet original \coordinate (A) at (-2.7,0); \coordinate (E) at (0,0); \coordinate (C) at (5.4,0); \coordinate (B) at (-2.7,-2); \coordinate (D) at (5.4,4); \draw[fill=red!40,draw=red,line width=1pt] (-2.7,0) rectangle ++(0.3,-0.3) (5.4,0) rectangle ++(-0.3,0.3); \draw[line width=1.2pt,line join=round] (A) -- (B) -- (D) -- (C) -- cycle; \node[above left] at (A) {A}; \node[above] at (E) {E}; \node[right] at (C) {C}; \node[below] at (B) {B}; \node[above right] at (D) {D}; \node at (1.35,-2.5) {\emph{La figure n'est pas à l'échelle}}; \end{tikzpicture} %Fin Tikz %Début PSTricks %\begin{minipage}{0.48\linewidth} %\begin{center} %\psset{unit=0.775cm} %\begin{pspicture}(-3,-2)(5.3,4.3) %\pspolygon(-2.6,0)(5.1,0)(5.1,3.9)(-2.6,-1.9)%ACDB %\uput[ul](-2.6,0){A} \uput[l](-2.6,-1.9){B} \uput[d](5.1,0){C} \uput[ur](5.1,3.9){D} \uput[ul](0,0){E}\psframe(-2.6,0)(-2.35,-0.25) %\psframe(5.1,0)(4.85,0.25) %\rput(1.15,-2){\emph{La figure n'est pas à l'échelle}} %\end{pspicture} %\end{center} %\end{minipage} %%Fin PSTricks \begin{enumerate} \item Montrer que AE est égale à 8 cm. \item Calculer BE en utilisant le théorème de Pythagore et en indiquant le triangle rectangle utilisé. \textbf{Préciser la démarche mise en œuvre.} \item On souhaite calculer DC en utilisant le théorème de Thalès. \begin{enumerate} \item L'une des égalités suivantes correspond au théorème de Thalès appliqué à la figure ci-dessus : \[ \frac{\text{AE}}{\text{AB}} = \frac{\text{EC}}{\text{ED}} \qquad;\qquad \frac{\text{EC}}{\text{EA}} = \frac{\text{DC}}{\text{AB}} \qquad;\qquad \frac{\text{ED}}{\text{EA}} = \frac{\text{DC}}{\text{EB}} \] Recopier l'égalité correcte sur la copie. \item Calculer DC en donnant toutes les étapes du calcul. \end{enumerate} \end{enumerate} \needspace{10\baselineskip} \section*{Exercice 3 \hfill 4,5 points} \textbf{Information :} Dans cet exercice, le symbole F représente l'unité du franc CFP. \vspace{0.5em} Un cinéma propose trois tarifs à ses clients : \begin{itemize} \item \textbf{Tarif A :} \np{1900} F à chaque séance \item \textbf{Tarif B :} Une carte d'abonnement à \np{5900} F par mois puis 720 F à chaque séance \item \textbf{Tarif C :} Un forfait mensuel à \np{10940} F{}, quel que soit le nombre de films vus dans le mois \end{itemize} Iris se demande quel tarif choisir. \begin{enumerate} \item Elle réalise un tableau pour calculer le montant à payer avec les tarifs A et B en fonction du nombre de séances. Compléter ce tableau fourni en \textbf{ANNEXE} à rendre avec la copie. Détailler les calculs dans les cases du tableau. \item Dans cette question, Iris décide d'utiliser un graphique et définit trois fonctions $f$, $g$ et $h$ qui modélisent respectivement les tarifs A, B et C. La variable $x$ désigne le nombre de séances dans le mois. \begin{tblr}{colspec={*{3}{X[c]}},vlines, hline{1,3}={solid}} Tarif A & Tarif B & Tarif C \\ $f(x) = \np{1900}x$ & $g(x) = \np{5900} + 720x$ & $h(x) = \np{10940}$ \end{tblr} \begin{enumerate} \item Indiquer, sur le graphique de l'\textbf{ANNEXE} à rendre avec la copie, le tarif correspondant à chacune des droites représentant les fonctions. \item Déterminer graphiquement le nombre de séances pour lequel les tarifs A et B sont identiques. Estimer, à l'aide du graphique, le montant à payer. Laisser les traits de construction apparents. Rédiger une phrase réponse. \item Retrouver ce nombre de séances en résolvant l'équation : \[\np{1900}x = \np{5900} + 720x \] \textbf{Détailler les étapes de la résolution de l'équation.} \item Déterminer, graphiquement, à partir de combien de séances par mois, il devient avantageux de choisir le tarif C. Laisser les traits de construction apparents. \textbf{Rédiger une phrase réponse.} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE} \end{center} \section*{Exercice 3 \quad question 1.} \begin{tblr}{colspec={X[c,m,4.7cm]*{2}{X[c,m]}},row{2,3} = {20mm},hlines,vlines} Nombre de séances \linebreak dans le mois & 3 & 10 \\ Montant à payer avec le \linebreak tarif A (en F) & \np{5700}&{\rule{0pt}{8mm}\dotfill \\ \rule{0pt}{8mm}\dotfill} \\ Montant à payer avec \linebreak le tarif B (en F) &{\rule{0pt}{8mm}\dotfill \\ \rule{0pt}{8mm}\dotfill} & \np{13100} \\ \end{tblr} \bigskip \section*{Exercice 3 \quad question 2.} \vspace{0.5em} \begin{center} %Début Tikz \begin{tikzpicture}[x=14mm,y=0.009mm,>=stealth,line cap=round] \draw [color = gray!55, line width = 0.3pt, xstep=0.2, ystep = 200] (0,0) grid (11.6,12000); \draw [color = gray!85, line width = 0.6pt, xstep=1, ystep = 1000] (0,0) grid (11.6,12000); \draw[line width=1.2pt,<->] (0,12000)node[below right]{Prix en F} -- (0,0) -- (11.6,0)node[above left]{Nombre de séances dans le mois}; \foreach \x in {1,...,11} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below, fill = white] {\footnotesize $\np{\x}$}; \foreach \y in {1000,2000,...,11000} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left, fill = white] {\footnotesize $\np{\y}$}; \draw[color=black] (-2pt,-2pt) node[below left] {\footnotesize 0}; \clip (0,0) rectangle (11.6,12000); \draw[line width=1.2pt,color=red] (0,0)--(7,13300); \draw[<-, line width=3pt,shift={(1.4,2600)}] (0,0) to [out=-90, in=150] (0.4,-600) node[inner xsep=6pt,draw,line width=0.8pt, fill=gray!30,text width=35mm,right]{\rule{0mm}{5mm}TARIF \dotfill}; \draw[line width=1.2pt,color=teal] (0,5900)--(9,12380); \draw[<-, line width=3pt,shift={(3.4,8408)}] (0,0) to [out=90, in=-30] (-0.4,600) node[inner xsep=6pt,draw,line width=0.8pt, fill=gray!30,text width=35mm,left]{\rule{0mm}{5mm}TARIF \dotfill}; \draw[line width=1.2pt,color=purple] (0,10940)--(12,10940); \draw[<-, line width=3pt,shift={(8.6,10880)}] (0,0) to [out=-90, in=150] (0.4,-600) node[inner xsep=6pt,draw,line width=0.8pt, fill=gray!30,text width=30mm,right]{\rule{0mm}{5mm}TARIF \dotfill}; \end{tikzpicture} %Fin Tikz %Début PSTricks %\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.00125cm,arrowsize=2pt 3} %\begin{pspicture*}(-0.8,-400)(12,12000) %\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=1000,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(12,12000) %\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,12000)} %\multido{\n=0+1000}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(12,\n)} %\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{12}{x 1900 mul} %\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{720 x mul 5900 add} %\psline(0,11000)(12,11000) %\rput{67}(2,3000){\red TARIF \ldots} %\rput{39}(2,7600){\blue TARIF \ldots} %\rput(10,10700){TARIF \ldots} %\uput[u](9.,0){Nombre de semaines dans le mois} %\uput[r](0,11800){Prix en F} %\end{pspicture*} %Fin PSTricks \end{center} % Fin du document \end{document}