\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} %%% codage et police utilisée \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} %\usepackage{fontspec}%%% Pour Xelatex \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %%% chargement des packages utiles \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{tabularray} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \usepackage[pstricks]{tablvar} \usepackage{esvect} \usepackage{babel} \usepackage[capsit]{frenchmath} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{fancyvrb} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{scratch3} %%% Auteurs %Tapuscrit : Valérie Tamboise, François Hache pour les figures en pstricks %Relecture : Arnaud Gazagnes %%% pour PsTricks \usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST \usepackage{pstricks-add} %%% charge pst-plot, pst-node, pst-3d, pst-math et multido \usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ} \usepackage{pst-eucl} %%% pour TikZ \usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes} \pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma} %%% Définitions ou redéfinitions \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle %%% Taille de la zone d'écriture \usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} %%% Formatage du pdf \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {1ere générale, spécialité}, pdftitle = {Baccalauréat -- Session 2026 -- Spécialité Mathématiques}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} %%% Redéfinitions \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \providecommand{\up}{\textsuperscript} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} %%% En-tête et pied de page \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat Épreuve anticipée en 1\up{e} Spécialité} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{8 juin 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}{\Large\textbf{% \decofourleft~Baccalauréat Centres Étrangers~\decofourright\\[7pt]% Épreuve anticipée de première -- Candidats ayant suivi la spécialité\\[7pt]% 8 juin 2026}} \end{center} \section*{\hfill~ PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (6 points) \hfill~} \textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.} Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point. \medskip \begin{minipage}{0.5\linewidth} \textbf{Question 1} Soient $A$ et $B$ deux événements. On donne l'arbre de probabilités ci-contre : On peut alors affirmer que $P\!\left(\overline{A}\cap B\right)$ est égale à : \begin{tblr}{XXXX} \textbf{a.} $1{,}3$ & \textbf{b.} $0{,}42$ & \textbf{c.} $0{,}7$ & \textbf{d.} $0{,}18$ \\ \end{tblr} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.48\linewidth} \begin{center} %%%Arbre de probabilité en tikz \begin{tikzpicture}[xscale=1.2,yscale=1.5,baseline={(R.base)}] \tikzstyle{noeud}=[fill=white,inner sep=1pt] \tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1pt] \def\NA{0}\def\NB{2}\def\NC{4} \node[noeud] (R) at (\NA,0) {}; \node[noeud] (A) at (\NB,0.8) {$A$}; \node[noeud] (Ab) at (\NB,-0.8) {$\overline{A}$}; \node[noeud] (B1) at (\NC,1.2) {$B$}; \node[noeud] (Bb1)at (\NC,0.4) {$\overline{B}$}; \node[noeud] (B2) at (\NC,-0.4) {$B$}; \node[noeud] (Bb2)at (\NC,-1.2) {$\overline{B}$}; \draw (R.east)--(A.west) node[etiquette]{$0{,}4$}; \draw (R.east)--(Ab.west) node[etiquette]{$0{,}6$}; \draw (A.east)--(B1.west) node[etiquette]{$0{,}2$}; \draw (A.east)--(Bb1.west) node[etiquette]{$0{,}8$}; \draw (Ab.east)--(B2.west) node[etiquette]{$0{,}7$}; \draw (Ab.east)--(Bb2.west)node[etiquette]{$0{,}3$}; \end{tikzpicture} %%%Arbre de probabilité en pstricks % \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=2cm,treesep=1cm]{\TR{}} % { % \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{$0,4$}} % { % \TR{$B$}\naput{$0,2$} % \TR{$\overline{B}$}\nbput{$0,8$} % } % \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{$0,6$}} % { % \TR{$T$}\naput{$0,7$} % \TR{$\overline{B}$}\nbput{$0,3$} % } % } \end{center} \end{minipage} \medskip \textbf{Question 2} Dans un lycée, 150 élèves de première générale suivent la spécialité Mathématiques, ce qui représente $\dfrac{3}{5}$ de l'ensemble des élèves de première générale. Le nombre d'élèves en première générale dans ce lycée est : \begin{tblr}{XXXX} \textbf{a.} 90 & \textbf{b.} 200 & \textbf{c.} 250 & \textbf{d.} 300 \\ \end{tblr} \medskip \textbf{Question 3} On considère les nombres \quad $A=\dfrac{1}{3}$ \quad et \quad $B=\dfrac{5}{6}$. Le nombre \quad $\dfrac{A}{B}+1$ \quad est égal à : \begin{tblr}{XXXX} \textbf{a.} $\dfrac{7}{5}$ & \textbf{b.} $\dfrac{3}{5}$ & \textbf{c.} $\dfrac{23}{18}$ & \textbf{d.} $\dfrac{7}{3}$ \\ \end{tblr} \medskip \textbf{Question 4} Dans un repère orthonormé \Oij, la droite $d$ d'équation réduite \quad $y=\dfrac{1}{3}x+1$ \quad est représentée par : \medskip %%%Graphiques en tikz \begin{tblr}{XXXX} \textbf{a.}~ \begin{tikzpicture}[scale=0.5,baseline={(0,2)},>=stealth] \draw[gray!40,step=1] (-4,-1) grid (2,5); \draw[->] (-4,0)--(2.3,0); \draw[->] (0,-1)--(0,5.3); \draw[->,line width=1pt] (0,0)--(1,0); \draw[->,line width=1pt] (0,0)--(0,1); \node[below left] at (0,0) {\scriptsize O}; \node[below] at (0.9,-0.05) {\scriptsize $\vect{\imath}$}; \node[left] at (-0.05,0.9) {\scriptsize $\vect{\jmath}$}; \clip (-4,-1) rectangle (2,5); \draw[blue,line width=1pt] (-4,-1)--(2,5); \end{tikzpicture} & \textbf{b.}~ \begin{tikzpicture}[scale=0.5,baseline={(0,1.75)},>=stealth] \draw[gray!40,step=1] (-3,-1.5) grid (3,4.5); \draw[->] (-3,0)--(3.3,0); \draw[->] (0,-1.5)--(0,4.8); \draw[->,line width=1pt] (0,0)--(1,0); \draw[->,line width=1pt] (0,0)--(0,1); \node[below left] at (0,0) {\scriptsize O}; \node[below] at (0.9,-0.05) {\scriptsize $\vect{\imath}$}; \node[left] at (-0.05,0.9) {\scriptsize $\vect{\jmath}$}; \clip (-3,-1.5) rectangle (3,4.5); \draw[blue,line width=1pt] (-3,-8)--(3,10); \end{tikzpicture} & \textbf{c.}~ \begin{tikzpicture}[scale=0.5,baseline={(0,1.5)},>=stealth] \draw[gray!40,step=1] (-2,-2) grid (4,4); \draw[->] (-2,0)--(4.3,0); \draw[->] (0,-2)--(0,4.3); \draw[->,line width=1pt] (0,0)--(1,0); \draw[->,line width=1pt] (0,0)--(0,1); \node[below left] at (0,0) {\scriptsize O}; \node[below] at (0.9,-0.05) {\scriptsize $\vect{\imath}$}; \node[left] at (-0.05,0.9) {\scriptsize $\vect{\jmath}$}; \clip (-2,-2) rectangle (4,4); \draw[blue,line width=1pt] (-3,0)--(6,3); \end{tikzpicture} & \textbf{d.}~ \begin{tikzpicture}[scale=0.5,baseline={(0,1.5)},>=stealth] \draw[gray!40,step=1] (-3,-2) grid (3,4); \draw[->] (-3,0)--(3.3,0); \draw[->] (0,-2)--(0,4.3); \draw[->,line width=1pt] (0,0)--(1,0); \draw[->,line width=1pt] (0,0)--(0,1); \node[below left] at (0,0) {\scriptsize O}; \node[below] at (0.9,-0.05) {\scriptsize $\vect{\imath}$}; \node[left] at (-0.05,0.9) {\scriptsize $\vect{\jmath}$}; \clip (-3,-2) rectangle (3,4); \draw[blue,line width=1pt] (-3,-5)--(2,5); \end{tikzpicture}\\ \end{tblr} %%%%Graphiques en pstricks % \begin{tblr}{c X[c]c X[c]} % \hline % \textbf{a.} % & % \psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 2} % \def\xmin{-4.1} \def\xmax{2.1} \def\ymin{-1.1} \def\ymax{5.1} % \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) % \psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, griddots=20, gridcolor=gray] % \psaxes[labels=none, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) % \uput[dl](0,0){O} % \psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{\imath}$,d][$\vec{\jmath}$,l] % %%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) % %%\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$} % \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{\xmin}{\xmax}{x 3 add} % \end{pspicture*} % & % \textbf{b.} % & % \psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 2} % \def\xmin{-3.1} \def\xmax{3.1} \def\ymin{-1.6} \def\ymax{4.6} % \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) % \psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, griddots=20, gridcolor=gray] % \psaxes[labels=none, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) % \uput[dl](0,0){O} % \psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{\imath}$,d][$\vec{\jmath}$,l] % \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{\xmin}{\xmax}{x 3 mul 1 add} % \end{pspicture*}\\ % \textbf{c.} % & % \psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 2} % \def\xmin{-2.1} \def\xmax{4.1} \def\ymin{-2.1} \def\ymax{4.1} % \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) % \psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, griddots=20, gridcolor=gray] % \psaxes[labels=none, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) % \uput[dl](0,0){O} % \psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{\imath}$,d][$\vec{\jmath}$,l] % \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{\xmin}{\xmax}{x 3 div 1 add} % \end{pspicture*} % & % \textbf{d.} % & % \psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 2} % \def\xmin{-3.1} \def\xmax{3.1} \def\ymin{-2.1} \def\ymax{4.1} % \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) % \psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, griddots=20, gridcolor=gray] % \psaxes[labels=none, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) % \uput[dl](0,0){O} % \psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{\imath}$,d][$\vec{\jmath}$,l] % \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{\xmin}{\xmax}{x 2 mul 1 add} % \end{pspicture*}\\ % \hline % \end{tblr} \medskip \textbf{Question 5} La forme développée de \quad $\left(x^{3}-1\right)^{2}$ \quad est : \begin{tblr}{XXXX} \textbf{a.} $x^{6}-1$ & \textbf{b.} $x^{6}-2x^{3}+1$ & \textbf{c.} $x^{5}-2x^{3}+1$ & \textbf{d.} $x^{6}+2x^{3}-1$ \\ \end{tblr} \medskip \textbf{Question 6} L'évolution globale correspondant à une hausse de 20~\% puis une baisse de 50~\%, est une baisse de : \begin{tblr}{XXXX} \textbf{a.} 10~\% & \textbf{b.} 30~\% & \textbf{c.} 40~\% & \textbf{d.} 60~\% \\ \end{tblr} \medskip \newpage \textbf{Question 7} Ce tableau donne les résultats partiels d'un sondage dans une classe de première comptant 25 élèves : \begin{center} \begin{tblr}{hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid}, vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid}, colspec={X[2.5,l]X[c]X[c]},cells={m},row{1}={font=\bfseries},column{1}={font=\bfseries},width=0.9\linewidth} & 16 ans ou moins & Plus de 16 ans \\ Suivent la spécialité Mathématiques & 8 & \\ Ne suivent pas la spécialité Mathématiques & 7 & 4 \\ \end{tblr} \end{center} On interroge un élève de cette classe au hasard. La probabilité que ce soit un élève qui suive la spécialité Mathématiques sachant qu'il est âgé de plus de 16 ans est : \begin{tblr}{XXXX} \textbf{a.} $\dfrac{3}{7}$ & \textbf{b.} $\dfrac{6}{25}$ & \textbf{c.} 6 & \textbf{d.} $\dfrac{3}{5}$ \\ \end{tblr} \medskip \textbf{Question 8} Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs tels que :\quad $x=\dfrac{5}{2+y}$. On peut affirmer que : \begin{tblr}{XXXX} \textbf{a.} $y=\dfrac{10}{2x-5}$ & \textbf{b.} $y=\dfrac{5}{2+x}$ & \textbf{c.} $y=5-2x$ & \textbf{d.} $y=\dfrac{5}{x}-2$ \\ \end{tblr} \section*{\hfill~ DEUXIÈME PARTIE (14 points) \hfill~} \section*{Exercice 1 (5 points)} Un maire souhaite végétaliser sa ville. Pour cela, il décide de planter des mûriers platanes dans les différents parcs. Ces arbres sont réputés pour leurs qualités d'ombrage et de résistance à la sécheresse. \subsection*{Partie A} Au moment de la plantation, un mûrier platane mesure 1~mètre. On suppose que, chaque année, la hauteur de l'arbre augmente de 40~cm. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la hauteur de l'arbre, en mètres, $n$ années après sa plantation. Ainsi $u_{0}=1$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1}$\,. \item Quelle sera la hauteur de l'arbre deux années après sa plantation ? \end{enumerate} \item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Justifier. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. \item Au bout de combien d'années le mûrier atteindra-t-il 9~mètres de haut ? \end{enumerate} \subsection*{Partie B} Au moment de la plantation, l'arbre possède un tronc et deux branches. Un an après la plantation, on observe 4 nouvelles branches. Deux ans après la plantation, on observe 8 nouvelles branches. Chaque année, le nombre de nouvelles branches double comme représenté sur le schéma ci-dessous : \begin{center} %%%Figure en tikz \begin{tikzpicture}[line width=1pt,scale=0.95] % sol \draw (-0.5,0)--(13.5,0); %%% année 0 \begin{scope}[shift={(1.5,0)}] \draw (0,0)--(0,1.1); \draw (0,1.1)--(-0.7,2.1); \draw (0,1.1)--(0.7,2.1); \fill (0,0) circle (2pt); \fill (0,1.1) circle (2pt); \fill (-0.7,2.1) circle (2pt); \fill (0.7,2.1) circle (2pt); \node[left] at (-0.75,1.75) {\footnotesize branche}; \node[right] at (0.75,1.75) {\footnotesize branche}; \node[left] at (-0.1,0.55) {\footnotesize tronc}; \end{scope} %%% année 1 \begin{scope}[shift={(6,0)}] \draw (0,0)--(0,1.1); \draw (0,1.1)--(-0.7,2.1); \draw (0,1.1)--(0.7,2.1); \draw (-0.7,2.1)--(-1.1,2.9); \draw (-0.7,2.1)--(-0.4,2.9); \draw (0.7,2.1)--(0.4,2.9); \draw (0.7,2.1)--(1.1,2.9); \fill (0,0) circle (2pt); \fill (0,1.1) circle (2pt); \fill (-0.7,2.1) circle (2pt); \fill (0.7,2.1) circle (2pt); \foreach \p in {(-1.1,2.9),(-0.4,2.9),(0.4,2.9),(1.1,2.9)} \fill \p circle (2pt); \end{scope} %%% année 2 \begin{scope}[shift={(11,0)}] \draw (0,0)--(0,1.1); \draw (0,1.1)--(-0.7,2.1); \draw (0,1.1)--(0.7,2.1); \draw (-0.7,2.1)--(-1.1,2.9); \draw (-0.7,2.1)--(-0.4,2.9); \draw (0.7,2.1)--(0.4,2.9); \draw (0.7,2.1)--(1.1,2.9); \fill (0,0) circle (2pt); \fill (0,1.1) circle (2pt); \fill (-0.7,2.1) circle (2pt); \fill (0.7,2.1) circle (2pt); \foreach \p in {(-1.1,2.9),(-0.4,2.9),(0.4,2.9),(1.1,2.9)} \fill \p circle (2pt); \foreach \b in {-1.1,-0.4,0.4,1.1}{ \draw (\b,2.9)--({\b-0.2},3.6); \draw (\b,2.9)--({\b+0.2},3.6); \fill ({\b-0.2},3.6) circle (2pt); \fill ({\b+0.2},3.6) circle (2pt);} \end{scope} \node[below=8pt] at (1.5,0) {\begin{tabular}{c}au moment\\de la plantation\\(année 0)\end{tabular}}; \node[below=8pt] at (6,0) {\begin{tabular}{c}un an après\\la plantation\\(année 1)\end{tabular}}; \node[below=8pt] at (11,0) {\begin{tabular}{c}deux ans après\\la plantation\\(année 2)\end{tabular}}; \end{tikzpicture} %%%Figure en pstricks % \psset{unit=0.8cm,radius=3pt,linewidth=1.5pt} % \begin{pspicture*}(-3,-2)(15,5) % %\psgrid[subgriddiv=4, gridlabels=0, subgridcolor=lightgray, gridcolor=lightgray] % %\psaxes[labelFontSize=\footnotesize,arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(0,0)(15,6) % \psline(-3,0)(15,0) % %%% arbre 3 % \Cnode*(12,0){A1} \Cnode*(12,2){A2} % \Cnode*(10.5,2.75){A3} \Cnode*(13.5,2.75){A4} % \Cnode*(9.75,3.75){A5} \Cnode*(11.25,3.75){A6} % \Cnode*(12.75,3.75){A7} \Cnode*(14.25,3.75){A8} % \Cnode*(9.25,4.75){A9} \Cnode*(10.25,4.75){A10} % \Cnode*(10.75,4.75){A11} \Cnode*(11.75,4.75){A12} % \Cnode*(12.25,4.75){A13} \Cnode*(13.25,4.75){A14} % \Cnode*(13.75,4.75){A15} \Cnode*(14.75,4.75){A16} % \psline(A1)(A2)(A3)(A5)(A9) \psline(A2)(A4)(A7)(A13) % \psline(A3)(A6)(A11) \psline(A6)(A12) \psline(A4)(A8)(A15) % \psline(A5)(A10) \psline(A7)(A14) \psline(A8)(A16) % %%%% % \Cnode*(6,0){B1} \Cnode*(6,2){B2} % \Cnode*(4.5,2.75){B3} \Cnode*(7.5,2.75){B4} % \Cnode*(3.75,3.75){B5} \Cnode*(5.25,3.75){B6} % \Cnode*(6.75,3.75){B7} \Cnode*(8.25,3.75){B8} % \psline(B1)(B2)(B3)(B5) \psline(B2)(B4)(B7) % \psline(B3)(B6)\psline(B4)(B8) % %%%% % \Cnode*(0,0){C1} \Cnode*(0,2){C2} % \Cnode*(-1.5,2.75){C3} \Cnode*(1.5,2.75){C4} % \psline(C1)(C2)(C3) \psline(C2)(C4) % \uput[l](0,0.75){tronc} \uput[r](0.75,2.15){branche} % \uput[l](-0.75,2.15){branche} % \rput(0,-0.5){au moment} \rput(0,-1){de la plantation} % \rput(0,-1.5){(année 0)} % \rput(6,-0.5){un an après} \rput(6,-1){la plantation} % \rput(6,-1.5){(année 1)} % \rput(12,-0.5){deux ans après} \rput(12,-1){la plantation} % \rput(12,-1.5){(année 2)} % \end{pspicture*} \end{center} Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ le nombre de nouvelles branches $n$ années après la plantation. À la plantation, l'arbre possède 2 branches, ainsi on pose $v_{0}=2$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? Justifier. \item \begin{enumerate} \item Un an après la plantation, l'arbre a produit 4 nouvelles branches. Il possède alors un nombre total de branches égal à 6. Montrer que, trois ans après sa plantation, l'arbre possède un nombre total de branches égal à 30. \item On donne le programme ci-contre écrit en langage Python : \begin{minipage}{0.5\linewidth} \emph{Rappel :} \texttt{for i in range(n)} \emph{permet de répéter} \texttt{n} \emph{fois un ensemble d'instructions.} \medskip La valeur affichée par ce programme est \np{4094}. Dans le contexte de l'exercice, que représente la valeur \np{4094} affichée par ce programme ? \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.4\linewidth} \begin{ttfamily}% \begin{tblr}{hline{1,Z}={solid}, vlines,colspec={X},rowsep=0pt}% v = 2\\ total = 2\\ for i in range(10):\\ \qquad v = 2 * v\\ \qquad total = total + v\\ print(total)\\ \end{tblr} \end{ttfamily} \end{minipage} \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{Exercice 2 (3 points)} On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé. On considère les points \quad A$(-1 ; 5)$, \quad B$(3 ; 5)$ \quad et \quad C$(4 ; 0)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vectt{AB}$ et $\vectt{AC}$. \item En déduire la valeur du produit scalaire $\vectt{AB}\cdot\vectt{AC}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathrm{AC}=5\sqrt{2}$. \end{enumerate} On admet que $\mathrm{AB}=4$. \begin{minipage}{0.6\linewidth} \begin{enumerate}[start=2] \item Écrire l'expression permettant de calculer le produit scalaire $\vectt{AB}\cdot\vectt{AC}$ en fonction de l'angle $\widehat{\mathrm{BAC}}$. \item En déduire une mesure, en radian, de l'angle $\widehat{\mathrm{BAC}}$. \end{enumerate} \end{minipage} \hfill \begin{tblr}{hline{1,4} = {solid},vlines,colspec={c},cells={m}} \textbf{Aide aux calculs :}\\ $\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$\\ $\dfrac{5}{\sqrt{50}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$\\ \end{tblr} \hfill~ \end{enumerate} \newpage \section*{Exercice 3 (6 points)} Soit $f$ une fonction définie sur $]0 ; +\infty[$. On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ et la droite $T_{\mathrm{A}}$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A de coordonnées $(1 ; 20)$. La droite $T_{\mathrm{A}}$ passe par le point B de coordonnées $(3 ; 10)$. \begin{center} \begin{tikzpicture} \begin{axis}[/pgf/number format/.cd, use comma, width=12cm, height=8cm, xmin=-0.2, xmax=7.3, ymin=-4, ymax=53, xtick distance=1, ytick={10,20,30,40,50}, minor tick num=0, grid=both, axis lines=center, grid style={gray!40,line width=0.3pt}] \addplot[line width=1.2pt,color=blue,smooth,samples=200,domain=0.18:7] {(4*x*x+7*x+9)/x}; \addplot[line width=1pt,color=red,domain=-0.2:5.2] {-5*x+25}; \node[blue] at (axis cs:0.5,46) {$\mathcal{C}_f$}; \node[red] at (axis cs:4.7,5) {$T_\mathrm{A}$}; \node[above right] at (axis cs:1,20) {A}; \node[below left] at (axis cs:3,10) {B}; \node[below left] at (axis cs:0,0) {0}; \draw[shift={(axis cs:1,20)},line width=1pt] (3pt,2.5pt)--(-3pt,-2.5pt) (3pt,-2.5pt)--(-3pt,2.5pt); \draw[shift={(axis cs:3,10)},line width=1pt] (3pt,2.5pt)--(-3pt,-2.5pt) (3pt,-2.5pt)--(-3pt,2.5pt); \end{axis} \end{tikzpicture} %%%Courbe en pstricks % \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.1cm} % \begin{pspicture*}(-0.8,-8)(7.4,58) % \psgrid[yunit=1cm,subgriddiv=1, gridlabels=0, subgridcolor=lightgray, gridcolor=lightgray,griddots=20](0,0)(7.4,6) % \psaxes[labelFontSize=\footnotesize,arrowsize=2pt 3, ticksize=-2pt 2pt,Dy=10]{->}(0,0)(-0.8,-8)(7.4,58) % \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt,plotpoints=200]{0.01}{8}{4 x mul 7 9 x div add add} % \psplot[linecolor=red,linewidth=1.2pt]{-1}{6}{-5 x mul 25 add} % \psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1,20)(3,10) % \uput[70](1,20){A} \uput[60](3,10){B} % \uput[60](4,5){\red $T_{\text{A}}$} \uput[r](0.3,45){\blue $\mathcal{C}_{f}$} % %%% corrigé % \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner $f(1)$. \item Déterminer la valeur de $f'(1)$. \item Justifier que l'équation réduite de la tangente $T_{A}$ à $\mathcal{C}_{f}$ au point $A$ est :\quad $y=-5x+25$. \end{enumerate} \end{enumerate} Pour la suite de l'exercice, la fonction $f$ est définie sur $]0 ; +\infty[$ par \[f(x)=\dfrac{4x^{2}+7x+9}{x}.\] On admet que $f$ est dérivable sur cet intervalle. \begin{enumerate}[start=2] \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $x\in\,]0 ; +\infty[$, on a \[f'(x)=\dfrac{(2x-3)(2x+3)}{x^{2}}.\] \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0 ; +\infty[$. \item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $]0 ; +\infty[$. \end{enumerate} \item Existe-t-il une tangente à $\mathcal{C}_{f}$ parallèle à la droite d'équation \quad $y=3x+5$ ? \quad Justifier votre réponse. \end{enumerate} \end{document}