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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours ENI }
\lfoot{\small{Épreuves communes ENI}}
\rfoot{\small{ 2005}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 1 heure 30}
\medskip

{\Large \textbf{\decofourleft~Épreuves communes ENI~\decofourright}}\\[4pt]
{\Large \textbf{ Série Spécialité mathématiques 2005}}
\end{center}
\vspace{0,5cm}


\bigskip

\textbf{EXERCICE 1 - \hfill16 points}

\medskip

Dans cet exercice, on note $a = \ln (1,05)$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : $f(x) = 16\text{e}^{ax}  - x - 16$.

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère \Oij{} orthogonal où l'unité sur l'axe (O$x$) est 1 cm et l'unité sur l'axe (O$y$) est 2 cm.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ et donner sa solution $x_0$, en fonction de $a$.
		\item Donner une valeur approchée de $x_0$ à $10^{-1}$ près.
		\item Donner une valeur approchée de $f\left(x_0\right)$ à $10^{-1}$ près.
	\end{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. Justifier votre réponse.
\item Déterminer, en fonction de $a$, une équation de la tangente $T_0$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution strictement positive que l'on notera $\alpha$.
		\item Montrer qu'on a l'encadrement : $9 < \alpha < 10$.
	\end{enumerate}		
\item  Préciser alors le signe de $f(x)$ en fonction de $x$.
\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}$, la tangente $T_0$ et la tangente au point d'abscisse $x_0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une personne a loué un studio à partir du 1\up{er} janvier 2000.

Elle avait le choix entre deux contrats :

\begin{itemize}
\item Dans les deux cas, le loyer initial valait \np{2400} euros pour l'année 2000.
\item Avec le contrat \no 1, le locataire acceptait que, chaque année, le loyer annuel augmente de $150$~euros par rapport au loyer de l'année précédente.
\item Avec le contrat \no 2, le locataire acceptait que, chaque année, le loyer annuel augmente de 5\,\% par rapport au loyer de l'année précédente.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $u_n$ le loyer payé en euros pour l'année $2000 +n$, lorsque le contrat \no 1 a été choisi.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $u_0,\, u_1$ et $u_2$. 
		\item Déterminer $u_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item On note $v_n$ le loyer payé en euros pour l'année $2000 +n$, lorsque le contrat \no 2 a été choisi.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $v_0,\, v_1$ et $v_2$. 
		\item Déterminer $v_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier $n$, on a : $v_n - u_n = M \times  f(n)$ que l'on précisera.
où $M$ est un entier est le moins élevé.
		\item Indiquer, suivant les valeurs de $n$, lequel des deux loyers $u_n$  ou $v_n$ est le moins élevé.
	\end{enumerate}		
\item Calculer, en fonction de $n$, la somme $U_n = \displaystyle\sum_{p=0}^n u_p$ 
des loyers payés pour les années de 2000 à $2000 + n$, lorsque le contrat \no 1 a été choisi.
\item Calculer, en fonction de $n$, la somme $V_n =  \displaystyle\sum_{p=0}^n v_p$
des loyers payés pour les années de 2000 à $2000 + n$, lorsque le contrat \no 2 a été choisi.
\item La personne a choisi le contrat \no 1 au 1\up{er} janvier 2000 pour une durée de 13 ans (pour les années de 2000 à 2012). A-t-elle fait le bon choix ? Justifier votre réponse.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 - \hfill 6 points}

\medskip

Soit ABC un triangle et soient les points A$'$, B$'$ et C$'$ définis de la façon suivante:

A$'$ est le symétrique de B par rapport à C, B$'$ est le symétrique de C par rapport à A, C$'$ est le symétrique de A par rapport à B.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On donne le triangle ABC.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les points A$'$, B$'$ et C$'$ sur la figure donnée.
\item Déterminer deux réels $b$ et $c$ tels que A$'$ soit le barycentre du système \{(B, $b$); (C, $c$l)\}.
\item De même B$'$ est le barycentre d'un système de deux points affectés de coefficients. Lequel ? Même question pour le point C$'$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
Dans cette partie, on connait le triangle A$'$B$'$C$'$.

On se demande comment retrouver le triangle ABC à partir du triangle A$'$B$'$C$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que le vecteur $2 \vect{\text{AA}'} +4 \vect{\text{AB}'} + \vect{\text{AC}'}$ est nul.
\item Déterminer les réels $a'$,\, $b'$ et $c'$ tels que A soit le barycentre des points A$'$, B$'$ et C$'$ affectés des coefficients $a'$, $b'$ et $c'$.
\item Construire A sur la figure donnée, en faisant les traits de construction en couleur.

En utilisant une autre couleur, construire ensuite les points B et C et tracer le triangle ABC.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 - \hfill 11 points}

\medskip

Si $E$ et $F$ désignent deux évènements quelconques, on note :

$\mathbb{P}(E)$, la probabilité de l'évènement $E$,

$\mathbb{P}_F(E)$, la probabilité conditionnelle de $E$ sachant que l'évènement $F$ est réalisé.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un forain propose le jeu suivant :

Une urne contient une boule blanche et une boule noire, indiscernables au toucher.

 Le joueur tire au hasard une boule de l'urne.
 
\textbf{Si elle noire, il la remet dans l'urne et le forain ajoute une boule noire identique. Le joueur recommence de la même façon jusqu'à ce qu'il tire la boule blanche. Lorsqu'il obtient la boule blanche, le jeu s'arrête et le joueur gagne un lot.}

Pour tout entier $n$ non nul, on note les évènements suivants:

$B_n$ : \og Le joueur a tiré la boule blanche au $n$-ième tirage \fg,

$N_n$ : \og Le joueur a tiré une boule noire au $n$-ième tirage\fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités $\mathbb{P}\left(B_1\right)$ et $\mathbb{P}\left(N_1\right)$.
\item Sachant qu'au premier tirage le joueur a tiré une boule noire, déterminer les probabilités :
$\mathbb{P}_{N_1}\left(B_2\right)$ et $\mathbb{P}_{N_1}\left(N 2\right)$.
\item Déterminer les probabilités : $\mathbb{P}\left(N_1 \cap  B_2\right)$ et $\mathbb{P}\left(N_1 \cap N_2\right)$.
\item Sachant que le joueur a tiré une boule noire aux premier et deuxième tirages, déterminer les probabilités: $\mathbb{P}_{N_1 \cap N_2}\left(B_3\right)$ et $\mathbb{P}_{N_1 \cap N_2}\left(N_3\right)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité $P$ que le joueur gagne un lot au troisième tirage. 
		\item Déterminer la probabilité $Q$ que le joueur tire trois fois de suite une boule noire.
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier non nul. Sachant que le joueur a tiré $n$ boules noires, déterminer les probabilités: 
$\mathbb{P}_{N_1 \cap \ldots \cap N_n}\left(B_{n+1}\right)$, et $\mathbb{P}_{N_1 \cap \ldots \cap N_n}\left(N_{n+1}\right)$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le forain propose ce même jeu au prix de $15$ euros la partie - une partie donnant droit à trois tirages au maximum - et il offre alors au joueur:

\setlength\parindent{15mm}
\begin{description}
\item[ ] 10 euros s'il tire la boule blanche au premier tirage,
\item[ ] 20 euros s'il l'obtient au deuxième tirage,
\item[ ] 40 euros s'il l'obtient au troisième tirage.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

Soit $G$ la variable aléatoire représentant la somme remise au joueur à la fin de la partie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que cette somme $G$ soit nulle ?
\item Donner le tableau de la loi de $G$.
\item Déterminer l'espérance de gain $\mathbb{E}(G)$ du joueur.
\item Quelle devrait être le prix p de la partie pour qu'en moyenne le joueur ne perde pas d'argent à ce jeu ?
\end{enumerate}

Le propriétaire du jeu désire attirer davantage de clients : le prix de la partie reste $15$ euros mais le gain sera supérieur : 

\setlength\parindent{15mm}
\begin{description}
\item[ ] $a$ euros si le joueur obtient la boule blanche au premier tirage,
\item[ ] $2 a$ euros s'il l'obtient au deuxième tirage,
\item[ ] $4 a$ euros s'il l'obtient au troisième tirage.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

On note $G_a$ la variable aléatoire représentant la somme alors remise au joueur à la fin de la partie.
\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'espérance de gain $\mathbb{E}\left(G_a\right)$ du joueur.
		\item Quel doit être le montant maximum $a_{\text{max}}$~ de $a$ pour que le propriétaire ne perde pas d'argent en moyenne ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 15 points}

\medskip

\textbf{Premier rappel} : On considère un disque de centre $\Omega$ et de rayon $r$.

L'aire du secteur circulaire $\widearc{\text{D}\Omega\text{E}}$  tel que l'angle $\widehat{\text{D}\Omega\text{E}}$ mesure $\theta$ radians est égale à : 

\begin{center}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,0)(0.1,3)
%\psgrid
\psarc(0,0){2.75}{80}{170}
\psline(2.75;98)(0;0)(2.75;165)
\uput[u](2.75;98){E}\uput[ul](2.75;165){D}\uput[r](0,0){$\Omega$}
\uput[ur](1.4;95){$r$}
\psarc(0,0){0.8}{98}{165}
\rput(-0.7,0.8){$\theta$}
\end{pspicture}  \qquad 
Aire du secteur circulaire $\widearc{\text{D}\Omega\text{E}} = \dfrac{\theta}{2} \times r^2$.
\end{center}

\textbf{Deuxième rappel} : Pour tous les réels $a$ et $b$, on a :

\[\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \qquad \sin(a + b) =  \sin a \cos b + \cos a \sin b.\]

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $a$ un réel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $\cos(2\alpha)$ et $\sin(2\alpha)$ en fonction de $\cos \alpha$ et de $\sin \alpha$.
\item Justifier que: $cos(2\alpha) = 2 \cos^2 (\alpha) - 1$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\parbox{0.65\linewidth}{On considère un disque $\mathcal{D}$ de centre O et de rayon $R$ délimité par le cercle $\mathcal{D}$. Soit A un point du cercle $\mathcal{C}$.

Le but de l'exercice est de tracer un cercle $\mathcal{C}'$ de centre A qui partage le disque $\mathcal{D}$ en deux parties de même aire.

On désigne par B et B$'$ les points d'intersection des cercles $\mathcal{C}$
et $\mathcal{C}'$ et on désigne par $\alpha$ la mesure en radian, comprise entre 0
et $\dfrac{\pi}{2}$, de l'angle $\widehat{\text{OAB}}$.}\hfill
\parbox{0.28\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2.25)
%\psgrid
\pscircle[linewidth=1.25pt](0,0){2}
\psarc(2,0){2.4}{90}{260}\uput[d](1.9,2.4){$\mathcal{C}'$}\uput[l](-1.9,1){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](-0.5,1.5){$\mathcal{D}$}\uput[r](2,0){A}\uput[l](-2,0){A$'$}\uput[d](0.6,-1.9){B}\uput[u](0.6,2){B$'$}
\psline(-2,0)(2,0)\uput[u](1,0){$R$}
\psarc(2,0){0.6}{180}{236}
\pspolygon(2,0)(0,0)(0.58,-1.92)
\psline[linestyle=dashed](-2,0)(0.58,-1.92)\rput(1.3,-0.4){$\alpha$}
\end{pspicture}
}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le rayon AB du cercle $\mathcal{C}'$ vérifie: ~
$\text{AB} = 2R \cos \alpha$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$, en fonction de $\alpha$.
		\item En déduire l'aire, en unités d'aires, du secteur circulaire $\widearc{\text{AOB}}$ du disque $\mathcal{D}$, en fonction de $\alpha$ et de $R$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire, en unités d'aires, du triangle OAB, en fonction de $\alpha$ et de $R$.
		\item Déterminer l'aire, en unités d'aires, de la partie grisée de la figure ci-dessus, en fonction de $\alpha$ et de $R$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $\mathcal{D}'$ le disque de centre A et de rayon AB, délimité par le cercle $\mathcal{C}'$.

 Calculer, en fonction de $a$ et de $R$, l'aire du secteur circulaire $\widearc{\text{BAB}'}$ du disque 
 $\mathcal{D}'$.
\item En déduire l'aire commune $\mathcal{A}_{\text{com}}$co~ aux deux disques $\mathcal{D}$ et$\mathcal{D}'$, en fonction de $R$ et de $\alpha$.
\item A l'aide des questions \textbf{4. 1} et \textbf{4. 2} de la partie A, montrer que $\mathcal{C}'$ partage le disque $\mathcal{D}$ en deux parties de même aire si et seulement si $\alpha$ vérifie :

\[2 \alpha cos(2 \alpha) - \sin(2 \alpha) + \dfrac{\pi}{2} = 0.\]

\end{enumerate}

\textbf{La partie C peut être traitée indépendamment du reste de l'exercice}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par :

\[g(x) = 2x \cos(2 x) - \sin(2 x) + \dfrac{\pi}{2}.\]


\begin{enumerate}
\item Déterminer $g'(x)$.
\item Résoudre dans $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ l'équation $g'(x) = 0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $g'(x)$ sur [0, ~]. Justifier la réponse.
		\item Dresser le tableau de variation de 9 sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$. On précisera $g(0)$ et $g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$.
	\end{enumerate}
\item En déduire l'existence d'un unique réel $\alpha_0$ de $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ solution de $g(x) = 0$.
\item Déterminer un encadrement de $\alpha_0$ d'amplitude $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

Soit un disque $\mathcal{D}$ de rayon $R = 3$~cm, délimité par un cercle $\mathcal{C}$. Soit A un point de $\mathcal{C}$.

On considère le cercle $\mathcal{C}'$ de centre A et de rayon $r$ qui partage le disque $\mathcal{D}$ en deux parties de même aire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur exacte de $r$.
\item Donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $r$. 
\item Tracer le cercle $\mathcal{C}'$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 5  \hfill 12 points}

\medskip

On se place dans le plan complexe rapporté à un repère \Ouv{} orthonormé.

On dit qu'une fonction $f$ définie de $\C$ dans $\C$ est involutive si, pour tout complexe $z$ de $\C$, on a : 

\[(f \circ f)(z) = z\]

où $f \circ f$ désigne la fonction composée de $f$ avec $f$.

Dans tout cet exercice, si $z$ désigne un complexe, on notera $\overline{z}$ son complexe conjugué.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soient $A$ et $B$ deux nombres réels.

On considère la fonction $F$ définie de $\C$ dans $\C$ par : $F(z) = Az + B\overline{z}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $F(1)$ et $F(\text{i})$.
\item Supposons que, pour tout complexe $z$, on a: $F(z) = 0$

Montrer que l'on a alors: $A = B = 0$.
\item Déterminer $A$ et $B$ pour que, pour tout complexe $z$, on ait: $F(z) = z$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.

On considère la fonction $f_{a,\,b}$ définie de $\C$ dans $\C$ par : $f_{a,\,b}(z) = az + b\overline{z}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer, pour tout complexe $z$,\, $(f_{a,\,b} \circ f_{a,\,b})(z)$.
\item La fonction $f_{a,\,b}$ est involutive si et seulement si $a$ et $b$ vérifient un système de deux
équations. Donner ce système.
\item Déterminer toutes les fonctions $f_{a,\,b}$ involutives.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère dans cette partie, la fonction $g$ définie de $\C$ dans $\C$ par :

\[g(z)= \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\overline{z} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} (1 + \text{i})\overline{z}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $g$ est-elle involutive ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

Soit $M$ un point quelconque du plan, d'affixe $z = x + \text{i}y$.

On considère le point $M'$ d'affixe $z' = x' + \text{i} y'$ tel que: $z' = g(z)$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et de $y$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le système des deux équations que doivent vérifier $x$ et $y$ pour que $M' = M$. 
		\item On note $\Delta$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que $M' = M$.
		
Justifier que $\Delta$ est la droite d'équation : $y = \left(\sqrt{2} - 1\right)x$.

Donner un vecteur directeur $\vect{u}$ de cette droite.
	\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout point $M$ du plan, le vecteur $\vect{M M'}$ est orthogonal à $\vect{u}$. Déterminer les coordonnées $x_{\text{I}}$ et  $y_{\text{I}}$ du milieu I du segment $[MM']$.
\item Montrer que I appartient à $\Delta$.
\item Par quelle transformation géométrique simple le point $M'$ se déduit-il du point $M$ ?
\end{enumerate}
\end{document}