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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours ENI GEIPI--POLYTECH Série STI2D et STL}
\lfoot{\small{Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH}}
\rfoot{\small{13 mai 2015}}
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\begin{center}\textbf{Durée : 1 heure 30}

{\Large \textbf{\decofourleft~Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH ~ \decofourright}}\\
 {\Large Série STI2D et STL \textbf{Mercredi 13 mai 2015}}

\textbf{SUJET DE MATHÉMATIQUES}
 \end{center}

Il faut choisir et réaliser seulement \textbf{trois des quatre exercices} proposés

\bigskip
 
\textbf{EXERCICE 1}
 
\medskip

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \Ouv, on considère les points A
et B d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = 2\sqrt{3} - 2\text{i}\quad  \text{et}\quad  z_{\text{B}} = \text{i} z_{\text{A}}.\]

\begin{enumerate}
\item Donner la forme algébrique de $z_{\text{B}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les modules respectifs $\left|z_{\text{A}}\right|$ et $\left|z_{\text{B}}\right|$ de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. Détailler le calcul.
		\item Donner les longueurs OA et OB.
	\end{enumerate}
\item  Tracer le triangle OAB sur la figure.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un argument arg$\left(z_{\text{A}}\right)$ de $z_{\text{A}}$. Détailler le calcul.
		\item Déterminer un argument arg$\left(z_{\text{B}}\right)$ de $z_{\text{B}}$. Justifier le résultat.
		\item En déduire une mesure des angles $\left(\vect{u},~ \vect{\text{OA}}\right)$ et $\left(\vect{u},~ \vect{\text{OB}}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  Donner la nature précise du triangle OAB. Justifier la réponse.
\item  On considère le milieu K du segment [AB].
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{K}}$  de K. Justifier le calcul.
		\item Placer le point K sur la figure de la question 3.
 	\end{enumerate}
\item  On note C le point tel que OACB soit un parallélogramme.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer le parallélogramme OACB sur la figure de la question 3.
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{C}}$ de C. Justifier la réponse.
		\item Donner la nature précise du parallélogramme OACB. Justifier la réponse.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE II}
 
\medskip

On considère la fonction $f$ définie par :

\[\text{pour tout réel }\:x,\quad f(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{2x} + 1}.\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item On en déduit que $\mathcal{C}_f$ admet deux asymptotes, notées $\Delta_1$ et $\Delta_2$.
		
Donner leurs équations respectives.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ désigne la dérivée de $f$.

Justifier que, pour tout réel $x,$
		$f'(x) = - \dfrac{2\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^{2x} + 1\right)^2}$.

		\item Dresser le tableau des variations de $f$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
		\item Déterminer une équation de la tangente $T_0$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
	\end{enumerate}
\item Tracer les droites $\Delta_1$, $\Delta_2$, $T_0$ puis la courbe $\mathcal{C}_f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère les intégrales $I$ et $J$ définies par

\[I = \displaystyle\int_{-1}^1 \dfrac{1}{\text{e}^{2x} + 1}\:\text{d}x \quad \text{et}\quad 
J = \displaystyle\int_{-1}^1 \dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x} + 1}\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item On considère les fonctions $h$ et $H$ définies par :

\[\text{pour tout réel }\:x,\: h(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x} + 1}\quad \text{et} \quad  H(x) = \dfrac{1}{2}\ln \left(\text{e}^{2x} + 1\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'égalité : $\dfrac{\text{e}^{2} + 1}{\text{e}^{-2} + 1} = \text{e}^{2}$.
		\item Justifier que $H$ est une primitive de $h$.
		\item Déduire des questions précédentes que $J = 1$. Détailler le calcul.
	\end{enumerate}
\item Calculer la somme $I + J$. Détailler le calcul.
\item En déduire la valeur de $I$.
\item Hachurer, sur la figure de la question A 4., le domaine dont l'aire, en unités
d'aire, vaut $I$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE III}
 
\medskip

La victoire de l'équipe féminine espagnole, le 2 août 2013, aux championnats du monde de
water-polo a été fortement médiatisée en France. Il s'ensuivit une forte augmentation du nombre
de filles licenciées dans tous les clubs français de water-polo à partir de septembre 2013.

Au 1\up{er} septembre 2013, les clubs français de water-polo comptaient \np{4500} filles licenciées.

L'évolution du nombre de filles licenciées est modélisée par une suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ de la façon suivante :

\medskip

$u_0$ représente le nombre de filles licenciées, exprimé en milliers, au 1\up{er} septembre 2013. Ainsi $u_0 = 4,5$.

Pour tout $n \geqslant 1$,\: $u_n$ représente le nombre de filles licenciées, exprimé en milliers, $n$ mois plus tard.

Ainsi $u_1$ désigne le nombre de filles licenciées au 1\up{er} octobre 2013, $u_2$ désigne le nombre de filles licenciées au 1\up{er} novembre 2013, etc.

\medskip

On constate que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ vérifie : 

\[\text{pour tout entier }\:n,\quad  u_{n+1} = 2 + 0,8 u_n.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le nombre de filles licenciées à chacune des dates suivantes : au 1\up{er} octobre 2013, au 1\up{er} novembre 2013 et au 1\up{er} décembre 2013.
		\item $p_1$ désigne le pourcentage d'augmentation du nombre de filles licenciées entre le 1\up{er} septembre et le 1\up{er} octobre 2013.
		
$p_2$ désigne le pourcentage d'augmentation du nombre de filles licenciées entre le 1\up{er} octobre et le 1\up{er} novembre 2013.

$p_3$ désigne le pourcentage d'augmentation du nombre de filles licenciées entre le 1\up{er}
novembre et le 1\up{er} décembre 2013.

Donner les valeurs approchées à $10^{-2}$ près de $p_1,\: p_2$ et $p_3$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ définie par: pour tout entier $n, \:v_n = 10 - u_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $v_0$.
		\item Justifier que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est une suite géométrique de raison $q = 0,8$.
		
Détailler le calcul.
		\item Exprimer, pour tout entier $n,\: v_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item Justifier alors que, pour tout entier $n,\: u_n = 10 - 5,5 \times  0,8^n$.
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n$. Justifier la réponse.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la plus petite valeur $n_0$ de l'entier $n$ tel que : $5,5 \times  0,8^n \leqslant  1$.
		
Justifier soigneusement la réponse.
		\item À quelle date le nombre de filles licenciées dans les clubs français de water-polo
aura-t-il doublé par rapport à celui du 1\up{er} septembre 2013 ?
		
Justifier soigneusement votre raisonnement.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE IV}
 
\medskip

\textbf{Dans tout l'exercice, pour chaque probabilité ou chaque pourcentage demandé, on
donnera une valeur approchée à \boldmath $10^{-3}$\unboldmath{} près.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude sur tous les nageurs français de haut niveau a montré que leur taille, mesurée en
centimètres, pouvait être représentée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de
moyenne $m = 190$ et d'écart-type $\sigma = 7$.

On choisit au hasard un nageur français de haut niveau.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité $P_1$ que ce nageur mesure plus de 195~cm.
\item Donner la probabilité $P_2$ que ce nageur mesure moins de 180~cm.
\item Donner la probabilité $P_3$ que ce nageur mesure entre 180~cm et 195~cm.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne la taille, en centimètres, et le poids, en kilogrammes, d'un échantillon de $14$~nageurs français de haut niveau. La taille et le poids de chaque nageur sont arrondis à une unité près.
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering\arraybackslash\footnotesize}X|}}\hline
Nom				& Agnel	& Bernard	& Bousquet	& Coelho&Giot		&Horth	&Joly\\ \hline
Poids (en kg)	& 90	& 90		& 86		& 74	& 85		& 80	& 70\\ \hline
Taille (en cm)	& 200	& 196		& 188		& 182	& 198		& 185	& 188\\\hline\hline
Nom				&Lacourt& Lefert	&Leveaux	&Manaudou&Ress		&Sauvage&Steimetz\\ \hline
Poids (en kg)	& 85	& 68		& 92		& 99	& 78		& 82	& 83\\ \hline
Taille (en cm)	& 200	& 185		&202		& 199	& 183		& 184	& 191\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner le poids moyen $m_p$ et la taille moyenne $m_r$ des nageurs de cet échantillon.
\item Donner le pourcentage $Q_1$ de nageurs de cet échantillon qui mesurent entre $186$~cm
et 190~cm.
\item Donner le pourcentage $Q_2$ de nageurs de cet échantillon qui pèsent plus de $91$~kg.
\item Donner le pourcentage $Q_3$ de nageurs de cet échantillon qui pèsent moins de $91$~kg
et mesurent plus de $186$~cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère maintenant la population totale des nageurs français ayant une licence de natation.
On suppose que la probabilité qu'un nageur, choisi au hasard dans cette population, pèse plus
de $91$~kg est égale à $0,3$.

Un entraineur doit constituer, pour une compétition amicale, une équipe de $10$~nageurs. Pour
cela, il choisit au hasard $10$~nageurs dans la population décrite ci-dessus. On suppose que cette
population est suffisamment importante pour que les choix des nageurs puissent être supposés
indépendants les uns des autres.

On note $Y$ la variable aléatoire représentant, parmi les 10~nageurs choisis, le nombre de nageurs
pesant plus de $91$~kg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $Y$ suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi.
\item Donner la probabilité $R_1$ que l'équipe ne contienne aucun nageur pesant plus de
91~kg.
\item Donner la probabilité $R_2$ que l'équipe contienne au moins un nageur pesant plus
de 91~kg.
\end{enumerate}
\end{document}