\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{multicol} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{ntheorem,thmtools} \declaretheorem[title=Exercice]{exo} \declaretheorem[title=Théorème]{thm} \declaretheorem[title=Définition]{dfn} \declaretheorem[title=Propriété]{prop} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{geometry} \geometry{lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm,textheight=26cm} \newcommand{\R}{$ \mathbb{R} $ } \newcommand{\N}{$ \mathbb{N} $ } \newcommand{\D}{$ \mathbb{D} $ } \newcommand{\Z}{$ \mathbb{Z} $ } \newcommand{\Q}{$ \mathbb{Q} $ } \newcommand{\C}{$ \mathbb{C} $ } \newcommand{\defin}{\textbf{Définition:\\}} \newcommand{\defs}{\textbf{Définitions:\\}} \newcommand{\props}{\textbf{Propriétés:\\}} \newcommand{\rems}{\textbf{Remarques:\\}} \newcommand{\rem}{\textbf{Remarque:\\}} \newcommand{\expl}{\textbf{Exemple:\\}} \newcommand{\demo}{\textbf{Démonstration:\\}} \newcommand{\prttx}{pour tout réel $ x \in \mathbb{R} $} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand{\labelitemi}{\cdot} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{0cm} \usepackage{fancyhdr} %\thispagestyle{empty} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{pstricks-add} \date{TS} \usepackage{tabularx} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} %\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} %\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\Ci}{\text{i}} %%% MODIFICATION %% Plus simple à taper et aussi clair. %% \e : exponentielle \newcommand{\e}{\text{e}} %%% MODIFICATION %%% dx avec d en romain \newcommand*{\dd}{\text{d}\,} %%% MODIFICATION %% Une majuscule en italique : elle désigne une intégrale et non un %% point. \newcommand*{\I}{\mathit{I}} %%% MODIFICATION %% Une majuscule en italique : elle désigne une transformation. %% \newcommand*{\transformation}{\mathit{S}} %% MODIFICATION %% Titre des exercices + mise en forme ! %% compteur des énoncés : \newcounter{QCM} \setcounter{QCM}{1} \newcounter{exoBac} \setcounter{exoBac}{1} \newcommand{\titreExe}[2][]{\vspace{1cm}\par \textbf {\textsc{Exercice} \theexoBac{} #1 \hfill #2 points} \par \medskip \par \refstepcounter{exoBac}}\newcounter{partieBac}[exoBac]\newcommand{\partieBac}[1]{\refstepcounter{partieBac}\vspace{0.5cm}\hfill\textbf{PARTIE \Alph{partieBac}. #1}\hfill~\par}% %% raccourcis vers l'intervalle : \newcommand*{\intervalleA}{[1\,;\,+\infty[} \newcommand*{\intervalleB}{[0\,;\,1]} \newcommand*{\intervalleC}{\left[0\,;\,\frac{\pi}{4}\right]} \begin{document} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Concours d'admission Ecole de santé des armées avril 2014~\decofourright}} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\section*{Avertissements} %Durée: 1heure 30 minutes, coefficient: 3 %\begin{itemize} %\item L'utilisation de calculatrice, règle de calcul, de formulaire et de papier millimétré n'est pas autorisé. %\item Il ne sera pas fait usage d'encre rouge. %\item Il sera tenu compte de la qualité de la présentation des copies et de l'orthographe. %\item Les candidats devront traités les trois exercices. %\item Les réponses des exercices n°1 et n°2 (QCM) seront données dans une grille prévue à cet effet. %\item L'exercice n°3 sera traité sur une copie à part. %\end{itemize} \section*{EXERCICE 1 \hfill 7 points} Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte. On demande au candidat d'indiquer \underline{sans justification} la réponse qui lui parait exacte \underline{en cochant sur la grille prévue à cet effet.} Toute réponse juste est comptée $+1$point. Toute réponse fausse est comptée $-0,5$ point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. \bigskip Réponses: 1:D; 2:C; 3: A; 4: D; 5: C; 6: B; 7: B \begin{enumerate} \item[] \textbf{QCM 1}: Soit la fonction $h$ définie pour out réel $x$ par $h(x)=e^{-x}-x+4$. Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $h$. :\\ \medskip Pour tout réel $x$, $h'(x)= - \e^{-x}-1$. Ce qui exclut A. Pour tout réel $x$, $h'(x)= - \e^{-x}-1<0$. Ce qui exclut B. On a : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \e^{-x}=+\infty$,$\displaystyle\lim_{x\to-\infty} {-x}=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \e^{-x}-x+4=+\infty$. On a: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \e^{-x}=0$,$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} {-x}=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \e^{-x}-x+4=-\infty$. Ces deux résultats excluent C...Reste D ( h fonction continue strictement monotone sur \R avec $h(x)$ qui décrit \R.) \medskip \item[] \textbf{QCM 2}: Dans l'ensemble des nombres réels, l'inéquation $- 2 x \e^{-x+1}\geqslant 0$ a pour ensemble de solutions... \medskip Pour tout réel $x$, $\e^{-x+1}>0$ et $-2 x \e^{-x+1}\geqslant 0 \Leftrightarrow -2 x\geqslant0 \Leftrightarrow x\leqslant 0$ Réponse: C \medskip \item[] \textbf{QCM 3}: On considère l'intégrale $I=\displaystyle\int_1^\e{t^2\ln(t)}\text{d}t$. Calculons la dérivée de la fonction $h$ définie sur $[1;\e]$ par $h(t)=t^3[3\ln(t)-1]$. On a $h'(t)=3t^2(3\ln(t)-1)+3t^2=9t^2\ln(t)$. On en déduit : $I=\displaystyle\int_1^\e{t^2\ln(t)}\text{d}t=\dfrac{1}{9}\displaystyle\int_1^\e{h'(t)}\text{d}t=\dfrac{1}{9}\left[h(t)\right]_1^\e$. La valeur exacte de I est:$I=\dfrac{2e^3+1}{9}.$ Réponse: A \medskip \item[] \textbf{QCM 4}: Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x\cos x.$ La dérivée $f'$ de $f$ est définie pour tout réel $x$ par: $f'(x)=-x\sin x+\cos x$:: Réponse: D \medskip \item[] \textbf{QCM 5}: Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x\cos x.$ La primitive $F$ de $f$ telle que $F(0)=1$ est définie pour tout réel $x$ par $F(x)=\cos x+x\sin x$: \medskip Il suffit de dériver la fonction de la réponse C \medskip \item[] \textbf{QCM 6}: $I=\displaystyle\int_2^4{\frac{3x}{x^2-1}}\text{d}x=\dfrac{3}{2}\displaystyle\int_2^4{\frac{2x}{x^2-1}}\text{d}x=\dfrac{3}{2}\left[\ln(x^2-1\right]_2^4=\dfrac{3}{2}(\ln(15)-\ln(3))$ D'où $I=1,5\ln(5)$. Réponse: B \medskip \medskip \item[] \textbf{QCM 7}: On considère la fonction $f$ dérivable sur $]0;+\infty[ $ et définie par $f(x)=\dfrac{-x^2-2\ln x}{x}$: On a $f(x)=-x-2\dfrac{\ln x}{x}$. on sait que $\displaystyle\lim _{x\to +\infty}{\dfrac{\ln x}{x}}=0$. On a donc $\displaystyle\lim _{x\to +\infty}{f(x)}=-\infty.$ Réponse: B \end{enumerate} \pagebreak %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section*{EXERCICE 2 \hfill 7 points} Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte. On demande au candidat d'indiquer \underline{sans justification} la réponse qui lui parait exacte \underline{en cochant sur la grille prévue à cet effet.} Toute réponse juste est comptée $+1$point. Toute réponse fausse est comptée $-0,5$ point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. \begin{enumerate} \item[] \textbf{QCM 8:} On considère l'équation $2z+\overline{z}=9+i$ . On pose $z=x+iy$. on a $\overline{z}=x-iy$, avec $x\in \mathbb{R}$ et $y\in \mathbb{R}$. $2z+\overline{z}=9+i\Leftrightarrow 2(x+iy)+(x-iy)=9+i\Leftrightarrow 3x+iy=9+i \Leftrightarrow (x=3 \text{et} y=1)$ Réponse: C \medskip \item[] \textbf{QCM 9:} On considère la suite $u$ définie par son premier terme $u_0=1$ et la relation de récurrence: $u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2$: \medskip La forme de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ exclut A et B. Raisonnons par récurrence sur $n$. Considérons la proposition $u_n<3$. Initialisation: la proposition est vraie pour $n=0$. Hérédité: Si $u_n<3$ est vraie, alors $\frac{1}{3}u_n+2$ est vraie et $u_{n+1}<3$ est vraie. Conclusion: Pour tout entier naturel $n$, d'après l'axiome de récurrence,$u_{n+1}<3$. Et la suite $u$ est majorée par 3. Réponse: C \medskip \item[] \textbf{QCM 10:} On considère trois suites $u$, $v$, et $w$ qui vérifient la propriété suivante: Pour tout entier naturel $n$ non nul: $u_n6}(56)}=\dfrac{4}{20}\times \dfrac{20}{14}=\dfrac{2}{7}.$ Réponse: C \medskip \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section*{EXERCICE 3 \hfill 6 points} Un essai thérapeutique est réalisé chez des patients atteints d'une maladie associée à une très forte mortalité. Les données de cet essai sont correctement ajustées par un modèle de survie exponentielle. Soit $X_A$ la variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda_A=0,22$.\\ C'est à dire $P(X_A\leqslant t)=\int_0^t{0,22 e^{-0.22 x}}dx$.\\ Soit $X_B$ la variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda_B=0,11$.\\ C'est à dire $P(X_B\leqslant t)=\int_0^t{0,11 e^{-0.11 x}}dx$.\\ $t$ représente le temps en années avec $\geqslant 0$.\\ Avec un traitement $A$, la probabilité de survie à l'instant $t$ est égale à $S_A(t)=P(X_A>t)$.\\ Avec un traitement $B$, la probabilité de survie à l'instant $t$ est égale à $S_B(t)=P(X_B>t)$.\\ Aide aux calculs $e^{-2,2}\approx 0,111$ et $\sqrt{0,111}\approx 0,333$. \begin{enumerate} \item Calculons: $P(X_A\leqslant 10)$.\\ On a: $P(X_A\leqslant 10)=\displaystyle\int_0^t{-\lambda_A e^{-\lambda_A x}}dx=\left[-\e^{-\lambda_A x}\right]_0^t=1-\e^{-10\lambda_A}$. Avec $\lambda_A=0,22$, $P(X_A\leqslant 10)=1-\e^{-2,2}=1-0,111=0,889$ \item Démontrons que pour tout réel $t$ positif, $S_A(t)=e^{-0,22 t}$.\\ L'événement ``$X_A>t$'' est l'événement contraire de l'événement ``$X_A\leqslant t $'', on en déduit: $S_A(t)=P(X_A>t)1- p(X_A\leqslant t)=1-\displaystyle\int_0^t{\lambda_A e^{-\lambda_A x}}dx=1-\left[-\e^{-\lambda_A x}\right]_0^t=\e^{-t\lambda_A}$. Et finalement:$S_A(t)=e^{-0,22 t}$. \item La fonction $S_A$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ avec pour tout réel $t$, $t\geqslant0$: $S_A'(t)=-\lambda_A\e^{-\lambda_A t}<0$. $S_A$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$. D'autre part $S(0)=1$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \e^{-x}=0$, alors $\displaystyle\lim_{t\to+\infty} {S_A(t)}=0$ On en déduit le tableau de variation complet de la fonction $S_A$. \\ \item Calculons la probabilité de survie à 10 ans dans le cas du traitement B, c'est à dire $S_B(10)=p(X_B>10)$.\\ On a en utilisant les calculs faits au 2 pour $X_A$: $S_B(10)=p(X_B>10)=\e^{-10\lambda_B}=\e^{-1,1}=(\e^{-2,2})^2=\sqrt{0,111}=0,333$. \item Calculons la probabilité de survie à 5 ans dans le cas du traitement A.\\ On a $S_A(5)=e^{-1,1}$ \item Le rapport de survie des traitements A et B est-il constant au cours du temps?\\ Calculons $S_A(10)$; on a: $S_A(10)=e^{-2,2}$ On a d'autre part $S_B(5)=e^{-0,55}$. On a: $\dfrac{S_A(5)}{S_B(5)}=e^{-0,55}$ et $\dfrac{S_A(10)}{S_B(10)}=e^{-1,1}$. Or $-0,55>-1,1$ et $e^{-0,55} >e^{-1,1}$ On remarque que $\dfrac{S_A(5)}{S_B(5)}> \dfrac{S_A(10)}{S_B(10)}$. Le rapport de survie des traitements A et B n'est pas constant au cours du temps. \item Pour $t$ fixé, établissons la relation entre la survie dans le cas du traitement A et la survie dans le cas du traitement B. On a : $\dfrac{S_A(t)}{S_B(t)}=\dfrac{e^{-0,22 t}}{e^{-0,11 t}}=e^{-0,11 t}.$ \end{enumerate} \end{document}