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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet Académie de la Guyane
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 24 juin 2015}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane 24 juin 2015~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune
justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3 + 6x^2$ est convexe sur l'intervalle :\index{fonction convexe}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $]- \infty~;~+\infty[$&\textbf{b.~~} $[- 2~;~+\infty[$ &\textbf{c.~~} $]-\infty~;~-2]$ &\textbf{d.~~} $[-6~;~+\infty[$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = (x - 2)\text{e}^{x}$.
L'équation $g(x) = 0$ admet sur $\R$ :\index{fonction exponentielle}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} aucune solution&\textbf{b.~~} une seule solution\\
\textbf{c.~~} exactement deux solutions&\textbf{d.~~} plus de deux solutions
\end{tabularx}
\medskip

\item  On pose : $I = \displaystyle\int_0^1 - 2x\text{e}^{- x^2}\:\text{d}x$. La valeur de $I$ est :\index{intégrale}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $1 - \text{e}^{-1}$ &\textbf{b.~~} $\text{e}^{-1} - 1$&\textbf{c.~~}$- \text{e}^{-1} $&\textbf{d.~~}$\text{e}^{-1}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  La fonction $h$ est définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = (2x + 4) \ln x$.

On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$.

Pour tout nombre $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$,\: $h'(x)$ est égale à :\index{dérivée}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{2}{x}$&\textbf{b.~~} $2\ln x + \dfrac{4}{x}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{2x + 4}{x}$
&\textbf{d.~~}$2\ln x + \dfrac{2x + 4}{x}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Le prix d'une action a augmenté chaque mois de 5\,\% et cela pendant 3 mois consécutifs.

Globalement, le prix de l'action a été multiplié par:\index{taux}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $1,05^3$ &\textbf{b.~~}  1,15&\textbf{c.~~}  $3 \times 1,05$ &\textbf{d.~~}  1,45
\end{tabularx}
\medskip
\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

\medskip

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur sensibilité au
développement durable et leur pratique du tri sélectif.

L'enquête révèle que 70\,\% des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux
qui sont sensibles au développement durable, 80\,\% pratiquent le tri sélectif.

Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve 10\,\% qui pratiquent
le tri sélectif.

On interroge un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{description}
\item[ ]$S$ : L'élève interrogé est sensible au développement durable.\index{probabilités}
\item[ ]$T$ : L'élève interrogé pratique le tri sélectif.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\emph{Les résultats seront arrondis à } $10^{-2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation.\index{arbre}
\item Calculer la probabilité que l'élève interrogé soit sensible au développement durable et
pratique le tri sélectif.
\item Montrer que la probabilité $P(T)$ de l'évènement $T$ est $0,59$.
\item On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif.

Peut-on affirmer que les chances qu'il se dise sensible au développement durable sont
inférieures à 10\,\% ?
\item On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi
les élèves de l'établissement.\index{loi binomiale}

Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves pratiquant le tri sélectif parmi
les 4 élèves interrogés.

Le nombre d'élèves de l'établissement est suffisamment grand pour que l'on considère que
$X$ suit une loi binomiale.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
		\item Calculer la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne pratique le tri sélectif.
		\item Calculer la probabilité qu'au moins deux des quatre élèves interrogés pratiquent le
tri sélectif.\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

U ne municipalité vient de mettre en place le service \og vélo en liberté \fg. Il s'agit d'un service de location de vélos à la journée.

Les vélos sont disponibles sur deux sites $A$ et $B$ et doivent être ramenés en fin de journée
indifféremment dans l'un des deux sites.

Après une étude statistique, on considère que :

\begin{itemize}
\item si un vélo est loué sur le site $A$, la probabilité d'être ramené en $A$ est $0,6$ ;
\item si un vélo est loué sur le site $B$, la probabilité d'être ramené en $B$ est $0,7$.
 \end{itemize}
 
Les résultats numériques seront arrondis à $10^{-2}$ près.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En notant respectivement $A$ et $B$ les états \og le vélo est en $A$ \fg{} et \og le vélo est en $B$ \fg,
traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.\index{graphe}
\item  Donner $M$ la matrice de transition de ce graphe en considérant les sommets dans l'ordre
$A$,\: $B$.\index{matrice}
\item  Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ (respectivement $b_n$) la probabilité qu'un vélo quelconque soit, après $n$ jours, sur le site $A$ (respectivement sur le site $B$).

On note $P_n$ la matrice $\begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ correspondant à l'état probabiliste après $n$ jours.

Le premier jour, tous les vélos sont distribués également sur les deux sites. On a donc
$P_0 = \begin{pmatrix}0,5& 0,5\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item On donne :

\[M^2 = \begin{pmatrix} 0,48& 0,52\\0,39& 0,61\end{pmatrix}.\]
		
Calculer $P_2$ en donnant le détail des calculs matriciels.
		\item Calculer $P_4$ et interpréter le résultat dans le contexte du problème.
		\item Déterminer l'état stable du graphe, noté $\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$.
		\item Tous les mois, un véhicule est affecté à la redistribution des vélos afin de rétablir au mieux la répartition initiale qui était de $70$~vélos sur chaque site.
		
La municipalité envisage d'affecter un véhicule pouvant contenir $12$vélos.
		
Ce choix parait-il adapté à la situation ?\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

En 2010, un opérateur de téléphonie mobile avait un million de clients. Depuis, chaque année,
l'opérateur perd 10\,\% de ses clients, mais regagne dans le même temps \np{60000}~nouveaux clients.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On donne l'algorithme ci-dessous. Expliquer ce que l'on obtient avec cet algorithme.\index{algorithme}
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables :}	& $k$, NbClients\\
\textbf{Traitement :}	&Affecter à $k$ la valeur $0$\\
						&Affecter à NbClients la valeur 1 000 000\\
						&Tant que $k < 8$\\
						&\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
								affecter à $k$ la valeur $k + 1$\\
								affecter à NbClients la valeur $0,9 \times \text{NbClients} +\np{60000}$\\
							 	Afficher NbClients\\
								\end{tabular}\\
						&Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous avec toutes les valeurs affichées pour $k$ de $0$ jusqu'à $5$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$k$			&0	&1	&2	&3	&4	&5\\ \hline
NbClients	&	&	&	&	&	&\\ \hline
		\end{tabularx}
		\end{center}
	\end{enumerate}
\item  En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être
modélisée par la suite $\left(U_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
U_0& =& \np{1000}\\
U_{n+1}& =& 0,9U_n + 60.
\end{array}\right.\]

Le terme $U_n$ donne une estimation du nombre de clients, en millier, pour l'année $2010 + n$.

Pour étudier la suite $\left(U_n\right)$, on considère la suite $\left(V_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 

$V_n = U_n - 600$.\index{suite}

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(V_n\right)$ est géométrique de raison 0,9.\index{suite géométrique}
		\item Déterminer l'expression de $V_n$ en fonction de $n$.
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $U_n = 400 \times  0,9^n + 600$.
		\item Montrer que la suite $\left(U_n\right)$ est décroissante. Interpréter le résultat dans le contexte de ce problème.
	\end{enumerate}
\item À la suite d'une campagne publicitaire conduite en 2013, l'opérateur de téléphonie observe
une modification du comportement de ses clients.
	
Chaque année à compter de l'année 2014, l'opérateur ne perd plus que 8\,\% de ses clients
et regagne \np{100000}~nouveaux clients.
	
On admet que le nombre de clients comptabilisés en 2014 était égal à \np{860000}.
	
En supposant que cette nouvelle évolution se poursuive durant quelques années, déterminer
le nombre d'années nécessaire pour que l'opérateur retrouve au moins un million de
clients.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes}

\medskip

Une machine permet le conditionnement d'un jus de fruit dans des bouteilles.

La quantité de jus injecté dans une bouteille par la machine, exprimée en ml (millilitre), est
modélisée avec une variable aléatoire réelle $X$.

On admet que celle-ci suit une loi normale de moyenne $\mu = 500$ et d'écart-type $\sigma = 2$.\index{loi normale}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On prélève une bouteille au hasard en fin de chaîne de remplissage.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(X \leqslant 496)$. Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$ près.
\item Déterminer la probabilité que la bouteille ait un contenu compris entre $497$ et $500$ millilitres.
Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$ près.
\item  Comment choisir la valeur de $\alpha$ afin que $P(500 - \alpha \leqslant X \leqslant  500 + \alpha)$ soit approximativement égale à $0,95$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une association de consommateurs a testé un lot de 200 bouteilles issues de cette chaine de
production. Il a été constaté que $15$ bouteilles contiennent moins de $500$~ml de jus de fruit
contrairement à ce qui est annoncé sur l'étiquetage.

L'entreprise qui assure le conditionnement de ce jus de fruit affirme que 97\,\% des bouteilles
produites contiennent au moins $500$~millilitres de jus de fruit.

Le test réalisé par l'association remet-il en cause l'affirmation de l'entreprise ?\index{intervalle de confiance}
\end{document}