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% Tapuscrit Denis Vergès
% Relecture : Arié Yallouz
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small 18 juin 2019}
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\label{Antillesjuin}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  ES/L Antilles-Guyane 18 juin 2019
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{La partie \rm C est indépendante des parties \rm A et \rm B.}

\medskip

Une grande enseigne décide d'organiser un jeu permettant de gagner un bon d'achat. Le jeu
se déroule en deux étapes:

\setlength\parindent{1.2cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]\textbf{Étape 1} : chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de 1 à 50, chaque numéro ayant la même probabilité d'être découvert ;
\item[$\bullet~~$]\textbf{Étape 2}:
	\begin{itemize}
		\item s'il découvre un numéro compris entre 1 et 15, il fait tourner une roue divisée en 10 secteurs de même taille dont 8 secteurs contiennent une étoile ;
		\item sinon, il fait tourner une autre roue divisée elle aussi en $10$ secteurs de même taille dont un seul secteur contient une étoile.
	\end{itemize}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

Un bon d'achat est gagné par le client si la roue s'arrête sur une étoile.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un client joue à ce jeu. On note:

$N$ l'évènement \og Le client découvre un numéro entre 1 et 15\fg{};

$E$ l'évènement \og Le client obtient une étoile \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $P(N) = 0,3$ et que $P_N(E) = 0,8$.
		\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le client trouve un numéro entre 1 et 15 et une étoile.
\item Justifier que la probabilité que le client gagne un bon d'achat est égale à $0,31$.
\item Le client a gagné un bon d'achat. Quelle est la probabilité qu'il ait obtenu un numéro
entre 1 et 15 à la première étape ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le montant d'un bon d'achat est de 10 euros.

Pour ce jeu, le directeur de l'hypermarché a prévu un budget de $250$~euros par tranche de $100$~clients y participant. Pour vérifier que son budget est suffisant, il simule $100$~fois le jeu d'un client à l'aide d'un logiciel.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à $100$ jeux simulés, associe le nombre de bons d'achat gagnés. On admet que $X$ suit une loi binomiale.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser les paramètres de $X$.
\item Calculer la probabilité pour qu'il y ait exactement $30$ clients gagnants.
\item Quel est le montant moyen de la somme totale offerte en bons d'achat ?
Le budget prévisionnel est-il suffisant ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

La direction de l'hypermarché étudie le temps que les clients passent dans son magasin.

On admet que le temps, exprimé en minute, passé dans ce magasin par un client peut être
modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 45$ et d'écart type $\sigma = 5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un client pris au hasard dans ce magasin reste entre $30$ et $60$~minutes.
\item Calculer la probabilité qu'un client pris au hasard dans ce magasin reste plus de $50$
minutes.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip

Un infographiste simule sur ordinateur la croissance d'un bambou. Il prend pour modèle
un bambou d'une taille initiale de $1$~m dont la taille augmente d'un mois sur l'autre de 5\,\% auxquels s'ajoutent $20$~cm.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $u_n$ la taille, exprimée en centimètre, qu'aurait le bambou à la fin du $n$-ième mois, et $u_0 = 100$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$, \:$u_{n+1} = 1,05 \times u_n + 20$.
\item  Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n = u_n + 400$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
		\item  Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item  En déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 500 \times 1,05^n - 400$.
		\item  Calculer la taille du bambou, au centimètre près, à la fin du 7\up{e} mois.
 	\end{enumerate}
\item  On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel $n$ est un entier naturel et $u$ est un nombre réel.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
$u \gets 100$\\
$n \gets 0$\\
Tant que $u < 200$ faire\\
\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
$u \gets 1,05 \times u + 20$\\
$n \gets n+1$
	\end{tabular}\\
Fin Tant que \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que
nécessaire pour retranscrire l'exécution de l'algorithme.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Test $u < 200$& &vrai &&\ldots\\ \hline
Valeur de $u$& 100&&& \ldots\\ \hline
Valeur de $n$& 0&&&\ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item  Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ?

Interpréter le résultat au regard de la situation étudiée dans cet exercice.
		\item  Modifier les lignes nécessaires dans l'algorithme pour déterminer le nombre de
mois qu'il faudrait à un bambou de $50$~cm pour atteindre ou dépasser $10$~m.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

La mairie d'une ville propose une carte jeune annuelle donnant droit à des réductions sur
les activités culturelles et de loisirs. La mairie espère que dans l'avenir, au moins 70\,\% de la population des 12-18~ans possèdent la carte et si oui, en quelle année cela se produirait.

Ces dernières années, lors du renouvellement de la carte, on a constaté que 10\,\% des possesseurs de  la carte ne la rachètent pas. Dans le même temps, 30\,\% de la population des 12-18 ans qui ne la possédaient pas l'année précédente achètent la carte. On fait l'hypothèse que
l'effectif de la population des 12-18 ans est constant et que l'évolution va rester la même
pour les prochaines années.

En 2018, 80\,\% des jeunes de 12-18 ans ne possédaient pas la carte.

On note, pour tout entier naturel $n$, $a_n$ la part de la population des 12-18 ans de la ville possédant la carte l'année $2018+ n$, et $b_n$ la part de la population des 12-18 ans ne la possédant pas.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B où le sommet
A représente l'état \og posséder une carte jeune \fg{} et B l'état \og ne pas posséder une carte jeune \fg.
\item Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre A puis B des
sommets.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $a_2 = 0,552$ et $b_2 = 0,448$.
		\item Interpréter le coefficient $0,552$ dans le contexte de l'énoncé.
 	\end{enumerate}
\item  On note $a$ et $b$ les coefficients de la matrice $P$ correspondant à l'état stable de ce graphe.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les nombres $a$ et $b$ sont solutions du système $\left\{\begin{array}{r c l}
		- 0,1a + 0,3b&=& 0\\
		a + \phantom{0,3}b&=&1
		\end{array}\right.$
		\item Justifier que la mairie peut espérer qu'à l'avenir au moins 70\,\% de la population des 12-18 ans possèdent la carte.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que pour tout entier naturel $n$,\: $a_{n+1} = 0,6 a_n + 0,3$ et que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne l'algorithme suivant dans lequel $A$ est un nombre réel et $N$ est un entier
naturel.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$A \gets 0,2$\\
$N \gets 0$\\
Tant que \ldots\ldots  faire\\
\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
$A$ prend la valeur \ldots\ldots\\
$N$ prend la valeur \ldots\ldots\\
\end{tabular}\\
Fin Tant Que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Recopier puis compléter les pointillés des lignes 3 à 5 de l'algorithme ci-dessus pour
qu'il affiche le nombre d'années nécessaires à la mairie pour atteindre son objectif
qu'au moins 70\,\% de la population des 12-18 ans possèdent la carte.
\item  En quelle année l'objectif sera-t-il atteint ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  7 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip
Dans la figure ci-dessous sont représentés dans un repère orthogonal :

\begin{itemize}
\item la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-10~;~5]$ ;
\item la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $-5$ ;
\item la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ ;
\item le domaine $S$ situé entre la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$, grisé sur la figure.
\end{itemize}


\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-12,-2)(9,6.5)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psline(0,0)(5,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{4}{0}{2.71828 0.2 x mul exp x 5 sub mul 5 add}
}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-12,-1.9)(9,6.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-10}{5}{2.71828 0.2 x mul exp x 5 sub mul 5 add}
%\psplotTangent[linewidth=0.7pt,algebraic]{-5}{6}{(x-5)*2.71828^{0.2*x}+5}
\psplot{-10}{3}{1.321 5 x add 0.367879 mul sub}
\psline(-1.8,-1.8)(6,6)
\psdots(-5,1.321)(5,5)\uput[ul](5,5){B}\uput[ur](-5,1.321){A}
\uput[u](-10,3.2){$T$}
\uput[d](-10,3){\red $\mathcal{C}$}
\uput[dr](6,6){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Dans cette partie les estimations seront obtenues par lecture graphique.}

\smallskip

Cette partie A est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes,
une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence
de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi les quatre valeurs ci-dessous, la meilleure valeur approchée du coefficient directeur de la tangente $T$ est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} $- \dfrac{1}{3}$	&\textbf{b.~~} $- 3$\\
\textbf{c.~~} $3$ 				&\textbf{d.~~} $\dfrac{1}{3}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item La fonction $f$ semble :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~}concave sur $[-5~;~0]$		&\textbf{b.~~}concave sur $[-10~;~0]$\\ 
\textbf{c.~~}convexe sur $[-10~;~5]$	&\textbf{d.~~}convexe sur $[-5~;~5]$
\end{tabularx}
\medskip

\item  L'aire du domaine $S$, en unité d'aire, appartient à l'intervalle:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} $[-4~;~-2]$	&\textbf{b.~~}[4~;~7]\\
\textbf{c.~~} [0~;~3]		&\textbf{d.~~}$[7~;~10]$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction $f$ précédente, définie et dérivable sur l'intervalle $[-10~;~5 ]$, a pour expression
\[
f(x) = (x - 5)\text{e}^{0,2x} + 5.\]

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[-10~;~5]$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(x) = 0,2x\text{e}^{0,2x}$.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [-10~;~5].
		\item Déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $-5$.
	\end{enumerate}
\item  Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants:
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline	
1 	&$g(x) = 0,2x * \text{exp}(0,2x)$\\
	&$\to  g(x) = \dfrac{1}{5} x \text{e}^{\frac{1}{5}x}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
2	&Dérivée  $g'(x) = \dfrac{1}{25} x \text{e}^{\frac{1}{5}x} + \dfrac{1}{5}\text{e}^{\frac{1}{5}x}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item En utilisant ces résultats, justifier que la dérivée seconde de $f$, notée $f''$, est définie par $f''(x) = (0,2 + 0,04x)\text{e}^{0,2x}$.
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10~;~5]$.
 	\end{enumerate}
\item  On admet qu'une primitive de $f$ sur l'intervalle $[-10~;~5]$ est la fonction $F$ définie par
	
\[F(x) = (5x - 50)\text{e}^{0,2x} + 5x.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur exacte de $I$ définie par $I = \displaystyle\int_0^5  f(x) \:\text{d}x$.
		\item Montrer que l'aire du domaine du plan situé sous la droite $\mathcal{D}$, au-dessus de l'axe des abscisses et limité par la droite d'équation $x = 5$ vaut $12,5$ unités d'aire.
		\item En déduire une valeur approchée de l'aire du domaine $S$ en unité d'aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Afin de respecter l'accord signé sur la pollution de l'air, certaines entreprises, dès l'année 2014, ont été contraintes de diminuer chaque année la quantité de CO$_2$ qu'elles produisent.

Une de ces entreprises émettait $15$ milliers de tonnes de CO$_2$ en 2014 et $14,7$ milliers de
tonnes en 2015.

On suppose que le taux de diminution annuel de CO$_2$ émis restera constant pendant les années suivantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution de l'émission de CO$_2$ par cette entreprise entre 2014 et
2015.
\item L'accord prévoit que cette entreprise devra produire moins de $12$ milliers de tonnes de CO$_2$ par an. En détaillant la méthode employée, déterminer à partir de quelle année la
quantité de CO$_2$ émise par cette entreprise passera en dessous de ce seuil de $12$~milliers
de tonnes.
\end{enumerate}
\end{document}