\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree} % Tapuscrit Denis Vergès % Sujet Académie de la Guyane \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Terminale ES}, pdftitle = {Antilles-Guyane 11 septembre 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small septembre 2015} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane septembre 2015~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.} \medskip \textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.} \medskip \begin{enumerate} \item Soit la fonction $f$ définie sur [1~;~100] par $f(x) = 200 \ln x + 10x$,\: $f’(x)$ désigne la fonction dérivée de $f$. On a :\index{dérivée} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $f'(x) = 200 + \dfrac{1}{x}$&\textbf{b.~~} $f'(x) = \dfrac{200}{x} + 10$&\textbf{c.~~} $f'(x) = 200 + 10x$&\textbf{d.~~}$f'(x) = \dfrac{200}{x} + 10x$ \\ \end{tabularx} \item On note $L$ une primitive sur $]0~;~+\infty[$ de la fonction ln. Cette fonction $L$ est : \textbf{a.~~} croissante puis décroissante \textbf{b.~~} décroissante sur $[0~;~+\infty[$ \textbf{c.~~} croissante sur $[0~;~+\infty[$ \textbf{d.~~} décroissante puis croissante \item La fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = x - \ln x$ est : \index{fonction convexe} \textbf{a.~~} convexe sur $]0~;~+\infty[$ \textbf{b.~~} concave sur $]0~;~+\infty[$ \textbf{c.~~} ni convexe ni concave sur $]0~;~+\infty[$ \textbf{d.~~} change de convexité sur $]0~;~+\infty[$ \item On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $h$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ ainsi que sa tangente au point A d'abscisse 2. Par lecture graphique, on peut conjecturer que : \index{lecture graphique} \medskip \parbox{0.35\linewidth}{ \textbf{a.~~} $h'(2) = 2$ \textbf{b.~~} $h'(2) = \dfrac{1}{2}$ \textbf{c.~~} $h'(2) = 0$ \textbf{d.~~} $h'(2) = 1$}\hfill \parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-1.5,-2.15)(6.1,3.2) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8] \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-2.5)(6,3.2) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(6,3.2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{6}{x ln 1 add 2 ln sub} \psplot{-1}{6}{0.5 x mul } \uput[ul](2,1){A} \end{pspicture*} } \item La variable aléatoire $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu = 0$ et d'écart type $\sigma$ inconnu mais on sait que $P( -10 < X < 10) = 0,8$. On peut en déduire: \index{loi normale} \textbf{a.~~} $P(X < 10) = 0,1$ \textbf{b.~~} $P(X < 10) = 0,2$ \textbf{c.~~} $P(X < 10) = 0,5$ \textbf{d.~~} $P(X < 10) = 0,9 $ \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L } \medskip Un supermarché dispose d'un stock de pommes. On sait que 40\,\% des pommes proviennent d'un fournisseur A et le reste d'un fournisseur B. Il a été constaté que 85\,\% des pommes provenant du fournisseur A sont commercialisables. La proportion de pommes commercialisables est de 95\,\% pour le fournisseur B. Le responsable des achats prend au hasard une pomme dans le stock. On considère les évènements suivants : $A$ : \og La pomme provient du fournisseur A \fg. $B$ : \og La pomme provient du fournisseur B \fg. $C$ : \og La pomme est commercialisable \fg.\index{probabilités} \bigskip \textbf{PARTIE A} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. \index{arbre} \item Montrer que la probabilité que la pomme ne soit pas commercialisable est 0,09. \item La pomme choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu'il y a deux fois plus de chance qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B. A-t-il raison ? \end{enumerate} Pour les parties B et C, on admet que la proportion de pommes non commercialisables est $0,09$ et, quand nécessaire, on arrondira les résultats au millième. \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip On prend au hasard 15 pommes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. \index{loi binomiale} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que les 15 pommes soient toutes commercialisables ? \item Quelle est la probabilité qu'au moins 14 pommes soient commercialisables ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE C} \medskip Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de 200 pommes. Il s'aperçoit que 22 pommes sont non commercialisables. Est-ce conforme à ce qu'il pouvait attendre? \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \parbox{0.5\linewidth}{Un cycliste désire visiter plusieurs villages notés A, B, C, D, E, F et G reliés entre eux par un réseau de pistes cyclables. Le graphe ci-contre schématise son plan ; les arêtes représentent les pistes cyclables et les distances sont en kilomètre. } \hfill \parbox{0.47\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,0)(8,6) %\psgrid \psdots(0.2,1.5)(0.2,5.5)(2,5.5)(7,5.5)(2,1.5)(7,1.5)(5.5,0.2)%FABCGDE \uput[ul](0.2,5.5){A}\uput[u](2,5.5){B}\uput[u](7,5.5){C} \uput[r](7,1.5){D}\uput[u](5.5,0.2){E}\uput[dl](0.2,1.5){F} \uput[dl](2,1.5){G} \pspolygon(0.2,1.5)(0.2,5.5)(7,5.5)(7,1.5)(5.5,0.2)(2,1.5)(0.2,1.5)%FACDEGF \pspolygon(2,1.5)(2,5.5)(7,1.5)%GBD \uput[u](1.1,5.5){15} \uput[u](4.5,5.5){21} \uput[r](7,3.5){20} \uput[u](4.5,1.5){17} \uput[u](1.1,1.5){20} \uput[l](0.2,3.5){30} \uput[ur](4.5,3.5){25} \uput[dl](3.75,0.85){15} \uput[dr](6.25,0.85){10} \uput[r](2,3.5){10} \end{pspicture}} \medskip \textbf{Partie A} Pour faire son parcours, le cycliste décide qu'il procèdera selon l'algorithme ci-dessous :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{.85\linewidth}{|m{1cm}|X|}\hline ligne 1&Marquer sur le plan tous les villages comme non \og visités\fg \\ \hline ligne 2& Choisir un village de départ \\ \hline ligne 3&Visiter le village et le marquer \og visité\fg\\ \hline ligne 4&Rouler vers le village le plus proche\\ \hline ligne 5& Tant que le village où il arrive n'est pas un village déjà visité \\ \hline ligne 6&\hspace{0.2cm}|visiter le village et le marquer \og visité\fg\\ ligne 7 &\hspace{0.2cm}|rouler vers le village le plus proche sans revenir en arrière\\ \hline ligne 8& Fin Tant que\\ \hline ligne 9&afficher la liste des villages visités \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Quelle propriété du graphe permet à la ligne 4 d'être toujours exécutable ? \index{graphe} \item En partant du village noté G, quelle sera la liste des villages visités ? \item Existe-t-il un village de départ qui permette, en suivant cet algorithme, de visiter tous les villages ? \item Le cycliste abandonne l'idée de suivre l'algorithme. Il souhaite maintenant, partant d'un village, y revenir après avoir emprunté toutes les pistes cyclables une et une seule fois. Cela sera-t-il possible ? \index{graphe complet} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Écrire la matrice $M$ de transition de ce graphe (dans l'ordre $A, B, C, \ldots ,G$). \item On donne la matrice $M^4$ :\index{matrice} \[M^4 =\bordermatrix{ &A &B &C &D &E &F &G\cr A&10 &5 &9 &11 &4 &1 &16\cr B&5 &30 &12 &23 &18 &16 &16\cr C&9 &12 &12 &14 &9 &4 &18\cr D&11 & 23 &14 &28 &14 &11 &23\cr E&4 &18 &9 &14 &12 &9 &12\cr F&1 &16 &4 &11 &9 &10 &5\cr G&16 &16 &18 &23 &12 &5 &30\cr }\] Interpréter le terme en gras, ligne A, colonne F (valant 1 ) dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un couple fait un placement au taux annuel de 2\,\% dont les intérêts sont capitalisés tous les ans. Son objectif est de constituer un capital de \np{18000}~euros. Le couple a placé le montant de \np{1000}~euros à l'ouverture le 1\up{er} janvier 2010 puis, tous les ans à chaque 1\up{er} janvier, verse \np{2400}~euros.\index{suite} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le capital présent sur le compte le 1\up{er} janvier 2011 après le versement annuel. \item On veut déterminer la somme présente sur le compte après un certain nombre d'années. On donne ci-dessous trois algorithmes : %\hspace*{-1.2cm} {\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.1mm}|X|m{0.1mm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} \textbf{Variables :}&& \textbf{Variables :} &&\textbf{Variables :} \\ $U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel\\ $i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers\\ \textbf{Entrée}&&\textbf{Entrée}&&\textbf{Entrée}\\ Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$\\ \textbf{Début traitement}&&\textbf{Début traitement}&&\textbf{Début traitement}\\ Affecter \np{1000} à $U$&&Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&Affecter \np{1000} à $U$\\ Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&\hspace{0.2cm}\begin{tabular}{|l}Affecter \np{1000} à $U$\\ Affecter $1,02\times U + \np{2400}$ à $U$ \end{tabular}&&Pour $i$ de 1 à $N$ faire\\ | Affecter $1,02 \times U + \np{2400}$ à $U$&&&&\begin{tabular}{|l} Affecter $1,02 \times U + \np{2400}$ à $U$\\ Affecter $N+1$ à $N$\end{tabular}\\ Fin Pour&&Fin Pour&&Fin Pour\\ Afficher $U$&&Afficher $U$&&Afficher $U$ \\ \textbf{Fin traitement}&&\textbf{Fin traitement}&&\textbf{Fin traitement}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} \end{tabularx}} \begin{tabularx}{1.15\linewidth}{Xm{0.4mm}Xm{0.4mm}X} \textbf{algorithme 1} &&\textbf{algorithme 2}&&\textbf{algorithme 3}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Pour la valeur 5 de $N$ saisie dans l'algorithme 1, recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées au centième). \begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|p{2cm}}\hline valeur de $i$& xxx& 1& \ldots \\ \hline valeur de $U$ & \np{1000}&&\ldots \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Pour la valeur 5 de $N$ saisie, quel affichage obtient-on en sortie de cet algorithme ? Comment s'interprète cet affichage ? \item En quoi les algorithmes 2 et 3 ne fournissent pas la réponse attendue? \end{enumerate} \item À partir de la naissance de son premier enfant en 2016, le couple décide de ne pas effectuer le versement du premier janvier 2017 et de cesser les versements annuels tout en laissant le capital sur ce compte rémunéré à 2\,\%. Au premier janvier de quelle année l'objectif de \np{18000}~euros est-il atteint ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'évolution de la population d'une station balnéaire pour l'été 2015 a été modélisée par une fonction $f$, définie sur l'intervalle [0~;~70], dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. \medskip \parbox{0.4\linewidth}{ Lorsque $x$ est le nombre de jours écoulés après le 1\up{er} juillet, $f(x)$ désigne la population en milliers d'habitants. Ainsi $x = 30$ correspond au 31 juillet et $f(30)$ représente la population qu'il est prévu d'accueillir le 31 juillet. On estime qu'un habitant utilisera chaque jour entre 45 et 55~litres d'eau par jour.}\hfill \parbox{0.55\linewidth}{\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-4,-1)(75,11) \multido{\n=0+10}{8}{\psline[linestyle=dashed](\n,0)(\n,11)} \multido{\n=0+2}{6}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(75,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(75,11) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=2](0,0)(75,11) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{70}{0.2 x mul 2.71828 0.025 x mul 1 sub exp div 2 add} \uput[u](60,0){nombre de jours} \uput[r](0,10.5){milliers d’habitants} \end{pspicture} } \medskip \textbf{Partie A } \emph{Dans cette partie, les réponses sont à fournir par lecture graphique}\index{lecture graphique} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Estimer le nombre maximal d'habitants présents dans la station balnéaire selon ce modèle durant l'été 2015 et préciser à quelle date ce maximum serait atteint. \item La commune est en capacité de fournir \np{600000}~litres d'eau par jour, est-ce suffisant ? \end{enumerate} \item Estimer le nombre de jours durant lesquels le nombre d'habitants de la station balnéaire devrait rester supérieur à 80\,\% du nombre maximal prévu. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~70] par \[f(x) = 2 + 0,2x\text{e}^{-0,025x+1}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Calculer $f(9)$ puis vérifier que la consommation d'eau le 10 juillet serait, selon ce modèle, au plus de \np{324890}~litres. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $f'(x) = (0,2 - 0,005 x)\text{e}^{-0,025x+1}$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.\index{dérivée} \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0~;~70]. \item En déduire la date de la consommation d'eau maximale. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~70] par \[g(x) = 55 f(x) = 110 + 11x\text{e}^{-0,025x+1}.\] Lorsque $x$ est le nombre de jours écoulés après le 1\up{er} juillet, $g(x)$ représente alors la consommation maximale d'eau prévue ce jour là et exprimée en m$^3$. Soit la fonction $G$ définie sur l'intervalle [0~;~70] par \[G(x) = 110x - (440x + \np{17600})\text{e}^{-0,025x+1}.\] On admet que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$. La somme $S = g(10) + g(11) + g(12) + \cdots + g(20)$ représente la consommation maximale d'eau du 10\up{e} au 20\up{e} jour exprimée en m$^3$. \medskip \begin{enumerate} \item En l'illustrant sur la courbe $\mathcal{C}_g$ de l’\textbf{annexe} à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique en termes d'aires de la somme $S$.\index{aire et intégrale} \item En déduire une valeur approximative de cette quantité d'eau consommée du 10\up{e} au 20\up{e} jour. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \bigskip \textbf{Annexe à l'exercice 4 à rendre avec la copie} \bigskip \psset{xunit=0.54cm,yunit=0.018cm} \begin{pspicture}(-1,-25)(24,550) \multido{\n=0+1}{25}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,550)} \multido{\n=0+50}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](0,\n)(24,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50]{->}(0,0)(-0.5,-12)(24,550) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50](0,0)(24,550) \uput[r](0,525){consommation $\left(\text{m}^3\right)$} \uput[u](21.5,0){nombre de jours} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{24}{0.2 x mul 2.71828 0.025 x mul 1 sub exp div 2 add 55 mul} \uput[u](8,305){\blue $\mathcal{C}_g$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}