\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{multirow} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-all,pst-node,pstricks-add} \everymath{\displaystyle} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {ES Asie}, pdftitle = {16 juin 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \setlength\parindent{0mm} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{16 juin 2015}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie 16 juin 2015~\decofourright}}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\ Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point.\\ Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point}\index{Q. C. M.} \medskip \begin{enumerate} \item On lance une pièce de monnaie bien équilibrée 10 fois de suite. $X$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de \og pile \fg{} obtenus. La probabilité d'obtenir exactement 5 \og pile \fg{} est, arrondie au centième :\index{loi binomiale} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,13 &\textbf{b.~~} 0,19 &\textbf{c.~~} 0,25 &\textbf{d.~~} 0,5 \end{tabularx} \medskip \item $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $3$ et d'écart-type $2$ ; alors une valeur approchée au centième de la probabilité $p(X \geqslant 5)$ est :\index{loi normale} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,14 &\textbf{b.~~} 0,16 &\textbf{c.~~} 0,32 &\textbf{d.~~} 0,84 \end{tabularx} \medskip \item Dans une ville donnée, pour estimer le pourcentage de personnes ayant une voiture rouge, on effectue un sondage. L'amplitude de l'intervalle de confiance au seuil de $0,95$ étant inférieure ou égale à $0,04$ la taille de l'échantillon choisi est :\index{intervalle de confiance} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 400 &\textbf{b.~~} \np{1000} &\textbf{c.~~} \np{2000} &\textbf{d.~~} \np{2500} \end{tabularx} \medskip \item Une entreprise vendant des parquets flottants s'approvisionne auprès de deux fournisseurs A et B. Le fournisseur A livre 70\,\% du stock de l'entreprise. On sait que 2\,\% des pièces livrées par A présentent un défaut et 3\,\% des pièces livrées par B présentent un défaut. On prélève au hasard une pièce du stock de l'entreprise, quelle est la probabilité, que cette pièce soit sans défaut ?\index{probabilités} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,023 &\textbf{b.~~} 0,05 &\textbf{c.~~} 0,97 &\textbf{d.~~} 0,977 \end{tabularx} \medskip \item Pour une puissance électrique donnée, le tarif réglementé du kilowattheure est passé de \np{0,1140}~\euro{} au 01/07/2007 à \np{0,1372}~\euro{} au 01/07/2014. Cette augmentation correspond à un taux d'évolution arrondi au centième, chaque année, de :\index{taux} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 1,72\,\% &\textbf{b.~~} 1,67\,\% &\textbf{c.~~} 2,68\,\% &\textbf{d.~~} 1,33\,\% \end{tabularx} \medskip\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L} \medskip Valentine place un capital $c_0$ dans une banque le 1\up{er} janvier 2014 au taux annuel de 2\,\%. À la fin de chaque année les intérêts sont ajoutés au capital, mais les frais de gestion s'élèvent à 25~\euro{} par an.\index{taux} On note $c_n$ la valeur du capital au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$.\index{suite} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'algorithme ci-dessous :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|X|}\hline \textbf{Initialisation}\\ Affecter à $N$ la valeur $0$\\ \textbf{Traitement}\\ Saisir une valeur pour $C$\\ \hspace{1cm}Tant que $C < \np{2000}$ faire\\ \hspace{2cm}Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\ \hspace{2cm}Affecter à $C$ la valeur $1,02C - 25$\\ \hspace{1cm}Fin Tant que\\ \textbf{Sortie}\\ Afficher $N$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On saisit la valeur \np{1900} pour $C$. Pour cette valeur de $C$, recopier le tableau ci-dessous et le compléter, en suivant pas à pas l'algorithme précédent et en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Valeur de $N$&0&&\\ \hline Valeur de $C$&\np{1900}&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Quel est le résultat affiché par l'algorithme ? Dans le contexte de l'exercice, interpréter ce résultat. \end{enumerate} \item Que se passerait-il si on affectait la valeur \np{1250} à $C$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Valentine a placé \np{1900}~\euro{} à la banque au 1\up{er} janvier 2014. On a donc $c_0 = \np{1900}$. \medskip \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $c_{n+1} = 1,02c_n - 25$. \item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie, pour tout nombre entier naturel $n$, par $u_n = c_n - \np{1250}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme.\index{suite géométrique} \item Soit $n$ un nombre entier naturel ; exprimer $u_n$ en fonction de $n$. En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $c_n = 650 \times 1,02^n + \np{1250}$. \end{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(c_n\right)$ est croissante. \item Déterminer, par la méthode de votre choix, le nombre d'années nécessaires pour que la valeur du capital dépasse \np{2100}~\euro.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip La coopérative LAFRUITIERE collecte le lait de 7 exploitations de montagne. La situation géographique est représentée par le graphe ci-dessous, noté $G_L$. La coopérative est située au sommet A, les autres sommets B, C, D, E, F, G et H représentent les différentes exploitations ; les arêtes représentent le réseau routier reliant ces exploitations.\index{graphe} \begin{center} \psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(12,8) \rput(0.75,7.5){\ovalnode{A}{A}} \rput(7.2,7.5){\ovalnode{B}{B}} \rput(11.3,5.5){\ovalnode{C}{C}} \rput(10.3,2){\ovalnode{D}{D}} \rput(3.3,6.4){\ovalnode{E}{E}} \rput(0.3,2.7){\ovalnode{F}{F}} \rput(5.7,0.3){\ovalnode{G}{G}} \rput(6.7,4.3){\ovalnode{H}{H}} \ncline{A}{B} \ncline{A}{E} \ncline{A}{F} \ncline{B}{C} \ncline{B}{D} \ncline{B}{E} \ncline{B}{H} \ncline{C}{D} \ncline{D}{F} \ncline{D}{G} \ncline{D}{H} \ncline{E}{F} \ncline{E}{H} \ncline{F}{G} \ncline{F}{H} \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Le graphe $G_L$ est-il complet ? Justifier.\index{graphe complet} \item Le graphe $G_L$ est-il connexe ? Justifier.\index{graphe connexe} \end{enumerate} \item Est-il possible d'organiser une tournée de toutes les exploitations en partant de A et en terminant en A et en passant au moins une fois par chaque client, tout en empruntant une fois et une seule chaque route ? Justifier la réponse. \item On appelle $M$ la matrice d'adjacence associée au graphe $G_L$ (les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique). On donne la matrice $M^3 = \begin{pmatrix} 4 &11 &3 &7 &8 &11 &3 &6\\ 11 &8 &7 &13 &12 &8 &6 &13\\ 3 &7 &2 &7 &5 &6 &2 &4\\ 7 &13 &7 &8 &8 &13 &7 &12\\ 8 &12 &5 &8 &8 &12 &5 &11\\ 11 &8 &6 &13 &12 &8 &7 &13\\ 3 &6 &2 &7 &5 &7 &2 &4\\ 6 &13 &4 &12 &11 &13 &4 &8 \end{pmatrix}$\index{matrice} Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant A à H. Indiquer ces chemins. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Les arêtes sont pondérées par les distances entre les exploitations, exprimées en kilomètres. La coopérative doit collecter du lait provenant de l'exploitation D ; quel est le plus court parcours pour se rendre de A à D ? Justifier.\index{algorithme de Dijskra} \begin{center} \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(12,8) \cnodeput(0.75,7.5){A}{A} \cnodeput(7.2,7.5){B}{B} \cnodeput(11.3,5.5){C}{C} \cnodeput(10.3,2){D}{D} \cnodeput(3.3,6.4){E}{E} \cnodeput(0.3,2.7){F}{F} \cnodeput(5.7,0.3){G}{G} \cnodeput(6.7,4.3){H}{H} \ncline{A}{B}\ncput*{19} \ncline{A}{E}\ncput*{6} \ncline{A}{F}\ncput*{10} \ncline{B}{C}\ncput*{13} \ncline{B}{D}\ncput*{20} \ncline{B}{E}\ncput*{7} \ncline{B}{H}\ncput*{7} \ncline{C}{D}\ncput*{6} \ncline{D}{F}\ncput*{25} \ncline{D}{G}\ncput*{15} \ncline{D}{H}\ncput*{13} \ncline{E}{F}\ncput*{5} \ncline{E}{H}\ncput*{14} \ncline{F}{G}\ncput*{12} \ncline{F}{H}\ncput*{8} \end{pspicture}\hyperlink{Index}{*} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~10] par \[f(x) = x + \text{e}^{- x + 1}.\]\index{fonction exponentielle} Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous : \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|XX|}\hline 1 &$f(x) : = x + \text{exp}(- x + 1)$&\\ \hline &// Interprète $f$ &\\ &// Succès lors de la compilation $f$&\\ \hline & &$x \longmapsto x +\text{exp}(- x + 1)$\\ \hline\hline 2 &derive $(f(x))$ &\\ \hline & &$- \text{exp}(-x + 1) + 1$\\ \hline\hline 3 &solve $(-\text{exp}(- x + 1) + 1 > 0)$&\\ \hline & &$[x > 1]$\\ \hline\hline 4 &derive $(- \text{exp} (- x + 1) + 1)$&\\ \hline & &$\text{exp}(- x + 1)$\\ \hline\hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Étude des variations de la fonction $f$ \begin{enumerate} \item En s'appuyant sur les résultats ci-dessus, déterminer les variations de la fonction $f$ puis dresser son tableau de variation. \item En déduire que la fonction $f$ admet un minimum dont on précisera la valeur. \end{enumerate} \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10].\index{fonction convexe} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Une entreprise fabrique des objets. Sa capacité de production est limitée, compte tenu de l'outil de production utilisé, à mille objets par semaine. Le coût de revient est modélisé par la fonction $f$ où $x$ est le nombre d'objets fabriqués exprimé en centaines d'objets et $f(x)$ le coût de revient exprimé en milliers d'euros. \medskip \begin{enumerate} \item Quel nombre d'objets faut-il produire pour que le coût de revient soit minimum ? \item Un objet fabriqué par cette entreprise est vendu 12~\euro. On appelle marge brute pour $x$ centaines d'objets, la différence entre le montant obtenu par la vente de ces objets et leur coût de revient. \begin{enumerate} \item Justifier que le montant obtenu par la vente de $x$ centaines d'objets est $1,2x$ milliers d'euros. \item Montrer que la marge brute pour $x$ centaines d'objets, notée $g(x)$, en milliers d'euros, est donnée par : $g(x) = 0,2x - \text{e}^{- x + 1}$. \item Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle [0~;~10]. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~10]. \item Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$. \end{enumerate} \item En déduire la quantité minimale d'objets à produire afin que cette entreprise réalise une marge brute positive sur la vente de ces objets.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~1] par : \[f(x) = 2 - 2x.\] On a tracé ci-dessous la droite $D_f$, représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé (O,~I,~J) du plan.\index{représentation graphique} Le point C a pour coordonnées (0~;~2). $\Delta$ est la partie du plan intérieure au triangle OIC. Soit $a$ un nombre réel compris entre $0$ et $1$ ; on note A le point de coordonnées $(a~;~0)$ et B le point de $D_f$ de coordonnées $(a~;~f(a))$. Le but de cet exercice est de trouver la valeur de $a$, telle que le segment [AB] partage $\Delta$ en deux parties de même aire. Déterminer la valeur exacte de $a$, puis une valeur approchée au centième. \begin{center} \psset{unit=4cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-0.25)(1.5,2.25) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt]{0}{0.32}{2 2 x mul sub} \psline(0.32,0)(0,0)} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=8,griddots=10] \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-0.25)(1.5,2.25) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt]{-0.2}{1.2}{2 2 x mul sub} \uput[ur](1,0){I} \uput[ul](0,1){J}\uput[ul](0,0){O} \uput[d](0.32,0){$a$}\uput[ur](0.32,1.36){B}\uput[ur](0,2){C} \uput[ur](0.75,0.5){$D_f$}\uput[ur](0.32,0){A} \end{pspicture*} \end{center} \end{document}