\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{multirow} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks,pst-tree,pstricks-add} \usepackage{pst-all} %\def\psvlabel#1{\nombre{$#1$}} %Sujet aimablement communiqué par Clotilde Rouchon %Tapuscrit : Denis Vergès corrigé par Arié Yallouz %Corrigé : François Hache \usepackage[body={15cm,24cm}]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %\setlength{\voffset}{-1,5cm} %%%% Commandes perso FH \newcommand{\ds}{\displaystyle}% displaystyle \newcommand{\cg}{\rceil \hspace{-4.5pt} \rfloor}% crocher gauche \newcommand{\cd}{\lceil \hspace{-4.5pt} \lfloor}% crochet droit \renewcommand{\d}{\,\text{d}\,}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\,\text{e}\,}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}% le i des complexes %\newcommand{\o}{\left(}% parenthèse gauche %\newcommand{\f}{\right)}% parenthèse droite \newcommand{\pg}{\geqslant}% plus grand ou égal \newcommand{\pp}{\leqslant}% plus petit ou égal \newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent \newcommand{\limit}[2]{\lim\limits_{#1 \to #2}}% limite \newcommand{\integ}[2]{\displaystyle\int_{#1}^{\,#2}}% intégrale %\newcommand{\t}[1]{\text{#1}} \newcommand*{\point}[4]{ \psdots(#1,#2) \uput[#3](#1,#2){#4} } % permet de placer un point et de marquer son nom en même temps % abscisse ordonnée emplacement et nom \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma% pas d'espace après la virgule en mode mathématique \usepackage[np]{numprint} \setlength\parindent{0mm} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \lhead{\small Baccalauréat ES } \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small 7 mars 2014} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \vspace*{-10pt} \begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[10pt] 7 mars 2014 -- Corrigé} \end{center} \vspace{0,25cm} \subsubsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} % %\medskip % %Une classe est composée de 17 filles dont 8 étudient le russe et 9 l'allemand et de 23 garçons dont 12 étudient le russe et 11 l'allemand. % %Chaque élève étudie une et une seule de ces deux langues vivantes. % %On choisit un élève au hasard dans la classe et on définit les évènements : % %\setlength\parindent{8mm} %\begin{description} %\item[ ] $F$ l'évènement : \og L'élève choisi est une fille \fg{}; %\item[ ] $G$ l'évènement : \og L'élève choisi est un garçon \fg{}; %\item[ ] $R$ l'évènement : \og L'élève choisi étudie le russe \fg{}; %\item[ ] $A$ l'évènement : \og L'élève choisi étudie l'allemand \fg. %\end{description} %%\setlength\parindent{0mm} % %\medskip % %\textbf{Rappel des notations :} % %Si $X$ et $Y$ sont deux évènements, $P(X)$ désigne la probabilité que l'évènement $X$ se réalise et $P_{Y}(X)$ désigne la probabilité que l'évènement $X$ se réalise sachant que l'évènement $Y$ est réalisé. % %$\overline{X}$ désigne l'évènement contraire de l'évènement $X$. % %\medskip % %Chaque résultat sera exprimé sous forme décimale exacte ou sous la forme d'une fraction irréductible. % %On pourra utiliser un tableau ou un arbre. % %\medskip On regroupe les données du texte dans un tableau: { \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{center} \def\esp{\hspace*{1cm}} $\begin{array}{|c|c|c|c|} \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} & \esp F \esp & \esp G \esp & \esp \text{Total} \esp \\ \hline R & 8 & 12 & 20 \\ \hline A & 9 & 11 & 20 \\ \hline \esp \text{Total} \esp & 17 & 23 & 40 \\ \hline \end{array}$ \end{center} } Comme on choisit un élève au hasard, on est dans une situation d'équiprobabilité. \begin{enumerate} \item Il y a 23 garçons pour 40 élèves donc: $P\left( G\right) = \dfrac{23}{40}=0,575$. Il y a 12 garçons qui font du russe donc: $P\left( R \cap G\right)=\dfrac{12}{40} = \dfrac{3}{10}=0,3$. Il y a 20 élèves qui font du russe donc: $P\left( R\right) =\dfrac{20}{40}=\dfrac{1}{2}=0,5$. \item% Quelle est la probabilité que l'élève choisi soit une fille qui étudie l'allemand ? \og{}L'élève choisi est une fille qui étudie l'allemand\fg{} est l'événement $F \cap A$ et il y a 9 filles qui font de l'allemand; $P\left( F \cap A \right)= \dfrac{9}{40}= 0,225$. \item% L'élève choisi étudie le russe. Calculer la probabilité que cet élève soit un garçon. On cherche $P_R\left( G\right)$; $P_R\left( G\right) = \dfrac{P\left( R \cap G\right)}{P\left( R\right)} = \dfrac{0,3}{0,5} = \dfrac{3}{5} = 0,6$. \item% On procède successivement deux fois au choix d'un élève de la classe. Le même élève peut être choisi deux fois. %Calculer la probabilité de l'évènement: \og Les deux élèves choisis n'étudient pas la même langue \fg. \ \\[-21pt] \begin{minipage}{0.6\linewidth} On procède successivement deux fois au choix d'un élève, le même élève pouvant être choisi deux fois. On peut représenter les langues étudiées par les couples $\left( R\:; R\right)$, $\left( R\:; A\right)$, $\left( A\:; R\right)$ et $\left( A\:; A\right)$. L'événement \og{}les deux élèves choisis n'étudient pas la même langue\fg{} correspond à ${\red \left( R\:; A\right)} \cup {\blue \left( A\:; R\right)}$. $P\left(\left( R\:; A\right)\right) = P\left( R\right) \times P\left( A \right) = 0,5\times 0,5 = 0,25$; $P\left(\left( A\:; R\right)\right) = P\left( A\right) \times P\left( R \right) = 0,5\times 0,5 = 0,25$; les deux événements $\left( R\:; A\right)$ et $\left( A\:; R\right)$ sont incompatibles donc la probabilité de leur réunion est égale à la somme de leurs probabilités. La probabilité cherchée est $0,25+0,25=0,5$. \end{minipage} \begin{minipage}{0.38\linewidth} \begin{flushright} {\small \def\ARouge{\ncline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]} \def\ABleu{\ncline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]} \psset{treesep=.75cm,levelsep=2cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt] {\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{$R$}\naput{0,5}} { \TR{$R$}\naput{0,5} \TR[edge=\ARouge]{$A$}\nbput{0,5} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ABleu]{$A$}\nbput{0,5}} { \TR[edge=\ABleu]{$R$}\naput{0,5} \TR{$A$}\nbput{0,5} } } }% fin du \small \end{flushright} \end{minipage} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} %\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \subsubsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip %On a observé l'évolution des inscriptions dans le club de gymnastique d'une ville. % %\medskip % %Chaque année, 30\,\% des personnes inscrites au club de gymnastique l'année précédente renouvellent leur inscription au club. % %De plus, chaque année, 10\,\% des habitants de la ville qui n'étaient pas inscrits au club l'année précédente s'y inscrivent. % %On appelle $n$ le nombre d'années d'existence du club. % %On note $g_{n}$ la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique lors de l'année $n$ et $p_{n}$ la proportion de la population qui n'est pas inscrite. % %\medskip % %La première année de fonctionnement du club (année \og zéro \fg), 20\,\% des habitants de la ville se sont inscrits. On a donc $g_{0} = 0,2$. % %\medskip \begin{enumerate} \item% Soit $n$ un entier naturel. Que vaut la somme $g_{n} + p_{n}$ ? Le nombre $g_n$ représente le pourcentage de personnes inscrites au club l'année $n$, et $p_n$ le pourcentage de personnes non inscrites à ce club. Donc $g_n+p_n=1$. \item \begin{enumerate} \item% Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: g_{n+1} = 0,3g_{n} + 0,1p_{n}$. Pour déterminer le pourcentage $g_{n+1}$ des inscrits au club l'année $n+1$, il faut ajouter \begin{list}{\textbullet}{} \item $30\,\%$ des personnes inscrites au club l'année $n$, soit $0,3g_n$; \item $10\,\%$ des personnes non inscrites l'année $n$, soit $0,1p_n$. \end{list} Donc $g_{n+1}=0,3g_n+0,1p_n$. \item% En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: g_{n+1} = O,2g_{n} + 0,1$. On a vu que $g_{n+1}=0,3g_n+0,1p_n$; or $g_n+p_n=1$ donc: $g_{n+1}=0,3g_n+0,1\left( 1-g_n \right) \iff g_{n+1}= 0,3g_n +0,1 - 0,1g_n \iff g_{n+1}=0,2g_n+0,1$ \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} = g_{n} - 0,125$. %Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. $u_{n+1} = g_{n+1} - 0,125 = 0,2g_n +0,1 -0,125 = 0,2g_n -0,025$; or $u_{n} = g_{n} - 0,125$ donc $g_n=u_n+0,125$. Donc $u_{n+1}=0,2\left( u_n+0,125\right) -0,025 = 0,2 u_n +0,025-0,025=0,2 u_n$. $u_0=g_0-0,125 = 0,2-0,125 = 0,075$ Donc la suite $\left (u_n\right )$ est géométrique de premier terme $u_0=0,075$ et de raison $q=0,2$. \item% Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. La suite $\left (u_n\right )$ est géométrique de premier terme $u_0=0,075$ et de raison $q=0,2$ donc, pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n$ donc $u_n= 0,075 \times 0,2^n$. On peut en déduire que tous les termes de la suite $\left( u_n \right )$ sont positifs. Pour tout $n$, $u_{n+1}=0,2u_n$; or $u_n >0$ et $0,2<1$ donc $0,2u_n < u_n$ ce qui veut dire que, pour tout $n$, $u_{n+1}}{G}{P} \Aput{0,7}% arc pondéré partant de G \ncarc{->}{P}{G} \Aput{0,1}% arc pondéré arrivant à G \nccircle[angleA=90]{->}{G}{4mm} \Bput{0,3}% boucle autour de G \nccircle[angleA=-90]{->}{P}{.4cm} \Bput{0,9}% boucle autour de P \end{pspicture} \item% On nomme $A$ la matrice de transition associée à cette situation, c'est-à-dire la matrice vérifiant : pour tout entier naturel $n,\: E_{n+1} = E_{n} \times A$. %Donner la matrice $A$. D'après le texte, on a: $\left\lbrace \begin{array}{r @{\:=\:} l} g_{n+1} & 0,3g_{n} + 0,1p_{n}\\ p_{n+1} & 0,7 g_n + 0,9 p_n \end{array} \right. $; donc $\begin{pmatrix} g_n & p_n \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,3 & 0,7 \\ 0,1 & 0,9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g_{n+1} & p_{n+1} \end{pmatrix}$ La matrice de transition est donc $A= \begin{pmatrix} 0,3 & 0,7 \\ 0,1 & 0,9 \end{pmatrix}$ \item% Déterminer $E_{1}$ et $E_{2}$. Interpréter les résultats. $E_1=E_0 \times A = \begin{pmatrix} 0,2 & 0,8 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,3 & 0,7 \\ 0,1 & 0,9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,14 & 0,86 \end{pmatrix}$ Donc au bout d'un an, il y a $14\,\%$ de la population qui est inscrite au club de gymnastique et $86\,\%$ qui ne l'est pas. $E_2=E_1 \times A = \begin{pmatrix} 0,14 & 0,86 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,3 & 0,7 \\ 0,1 & 0,9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,128 & 0,872 \end{pmatrix}$ Donc au bout de deux ans, il y a $12,8\,\%$ de la population qui est inscrite au club de gymnastique et $87,2\,\%$ qui ne l'est pas. \item% Déterminer l'état probabiliste stable (on donnera les coefficients de la matrice ligne sous la forme de fractions irréductibles). %Comment peut-on interpréter ce résultat ? L'état probabiliste stable est l'état $\begin{pmatrix} g & p \end{pmatrix}$ tel que $\left\lbrace \begin{array}{r @{\:=\:} l} \begin{pmatrix} g & p \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,3 & 0,7 \\ 0,1 & 0,9 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} g & p \end{pmatrix} \\ g+p & 1 \end{array} \right. $ $\begin{pmatrix} g & p \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,3 & 0,7 \\ 0,1 & 0,9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g & p \end{pmatrix} \iff \left\lbrace \begin{array}{r @{\:=\:} l} 0,3g+0,1p & g\\ 0,7g + 0,9p & p \end{array} \right. \iff 0,7g-0,1p=0 \iff 7g=p $ $\left\lbrace \begin{array}{@{} l @{\:=\:} l} 7g & p\\ g+p & 1 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{@{} l @{\:=\:} l} g & 1/8\\ p & 7/8 \end{array} \right.$; l'état stable est $\begin{pmatrix} 0,125 & 0,875 \end{pmatrix}$. Si le pourcentage d'inscrits au club de gymnastique est $12,5\,\%$, ce pourcentage restera stable pour les années suivantes. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} %\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points} \subsubsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip % %Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse et \textbf{justifier la réponse}. \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $G$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $G(x) = x \ln x - x + 10$ $G'(x) = 1 \times \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x +1-1 = \ln x$ Donc $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $g\left (x\right ) = \ln x$. \textbf{Affirmation vraie} \item% On a l'égalité : $\displaystyle\int_{0}^1 \left(x^2 + 1\right)\:\text{d}x = \dfrac{1}{3}$. La fonction $f: x \longmapsto x^2+1$ a pour primitive $F: x \longmapsto \dfrac{x^3}{3}+x$. Donc $\displaystyle\int_{0}^1 \left(x^2 + 1\right)\:\text{d}x = F(1) - F(0) = \left ( \dfrac{1}{3} + 1 \right ) - 0 = \dfrac{4}{3} \neq \dfrac{1}{3}$ \textbf{Affirmation fausse} \item Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [0~;~1]. On sait d'après le cours que l'espérance mathématique $E(X)$ d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi uniforme sur l'intervalle $[a\:; b]$ est $\dfrac{b+a}{2}$; sur l'intervalle $[0\:; 1]$ on a: $E(X) = \dfrac{1+0}{2}=\dfrac{1}{2} \neq 1$. \textbf{Affirmation fausse} \item Dans une population, la proportion de garçons à la naissance est $p = 0,51$. Pour une proportion $p$ et un échantillon de taille $n$, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% est: \hfill $\left[ p- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds \sqrt{n}}\:; p + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds\sqrt{n}} \right]$\hfill\, Pour $n=100$ et $p=0,51$ l'intervalle est: $\left[ 0,51 - 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{0,51\left(1-0,51\right)}}{\ds \sqrt{100}}\:; 0,51 + 1,96\dfrac{\ds\sqrt{0,51\left(1-0,51\right)}}{\ds\sqrt{100}} \right]$ ce qui donne bien, en arrondissant à 0,001 près, l'intervalle $[0,412\:; 0,608]$. \textbf{Affirmation vraie} %L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de garçons dans un échantillon de taille $100$ est (en arrondissant les bornes à $0,001$ près) : [0,412~;~0,608]. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} %\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points} \subsubsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [2~;~5] par $f(x) = (3 - x) \e^x + 1$. %soit $f'$ sa fonction dérivée et soit $f''$ sa fonction dérivée seconde. \medskip \begin{enumerate} \item% Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [2~;~5], $f'(x) = (2 - x) \text{e}^x$ et $f''(x) = (1 - x) \text{e}^x$. $f'(x) = (-1) \e^x + (3-x) \e^x = (2-x) \e^x$ $f''(x) = (-1) \e^x + (2-x) \e^x = (1-x) \e^x$ \item% Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [2~;~5]. On étudie le signe de $f'(x)$ sur $[2\:; 5]$; pour tout $x$, $\e^x>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $2-x$. Sur $]2\:; 5]$, $2-x <0$ donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[2\:; 5]$. \item% Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [2~;~5]. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[2\:; 5]$. De plus: $f(2) = (3-2) \e^2 +1 = \e^2+1 \approx 8,4 >0$ et $f(5) = (3-5) \e^5 +1 = -2\e^5+1 \approx -296 < 0$. Or $0 \in \left [ f(5)\:; f(2) \right ]$ donc, d'après la propriété des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $[2\:; 5]$. Comme $f(3) = (3-3) \e^3 +1 = 1 >0$ et $f(4) = (3-4) \e^4 +1 = -\e^4+1 \approx -53,6 < 0$, on peut dire que: $3 < \alpha < 4$. \item \begin{enumerate} \item Soit $T$ la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $3$. La droite $T$ a pour équation $y=f'(3)(x-3)+f(3)$; \\ or $f'(x)=(2-x)\e^x$ donc $f'(3)=(2-3)\e^3 = -\e^3$ et $f(3)=1$. Donc l'équation de $T$ est: $y=-\e^3 (x-3)+1$ soit $y=-\e^3x+3\e^3+1$. %Montrer que $T$ a pour équation $y = - \text{e}^3 x + 3 \text{e}^3 + 1$. \item Le point d'intersection de la droite $T$ et de l'axe des abscisses a pour ordonnée 0 et pour abscisse la solution de l'équation $-\e^3x+3\e^3+1 = 0$. $-\e^3x+3\e^3+1 = 0 \iff 3\e^3+1=\e^3x \iff \dfrac{3\e^3+1}{\e^3}=x \iff x=3+\e^{-3}$ Le point d'intersection de $T$ avec l'axe des abscisses a pour coordonnées $\left (3+\e^{-3} \:; 0 \right )$. \item% Étudier le signe de $f''(x)$ sur l'intervalle [2~;~5] et en déduire la convexité ou la concavité de $f$ sur cet intervalle. $f''(x)=(1-x)\e^x$ est du signe de $1-x$ car $\e^x>0$ pour tout $x$. Sur $[2\:; 5]$, $1-x<0$ donc $f''(x)<0$ donc $f$ est concave. \item% En déduire que : $\alpha < 3 + \dfrac{1}{\text{e}^3}$. Sur $[2\:; 5]$, la fonction $f$ est concave; donc sur $[2\:; 5]$, la courbe représentant $f$ est entièrement située au-dessous de chacune de ses tangentes. Le point d'intersection de la courbe représentant $f$ avec l'axe des abscisses est donc situé à gauche du point d'intersection de la tangente $T$ avec cet axe. Donc l'abscisse du point d'intersection de la courbe représentant $f$ avec l'axe des abscisses (la solution de l'équation $f(x)=0$) est inférieure à l'abscisse du point d'intersection de $T$ avec l'axe des abscisses: $\alpha < 3+\e^{-3}$. On a donc : $3 < \alpha < 3 + \dfrac{1}{\e^3} < 3,05$. \end{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2,5cm}X} \textbf{Variables :}& $a, b, m$ et $r$ sont des nombres réels \\ \textbf{Initialisation :} &Affecter à $a$ la valeur 3\\ & Affecter à $b$ la valeur 3,05\\ \textbf{Entrée :} &Saisir $r$\\ \textbf{Traitement :}& TANT QUE $b - a > r$\\ &\hspace{0,5cm} Affecter à $m$ la valeur $\dfrac{a+b}{2}$\\ &\hspace{0,5cm} SI $f(m) > 0$\\ &\hspace{1cm} ALORS Affecter à $a$ la valeur $m$\\ &\hspace{1cm} SINON Affecter à $b$ la valeur $m$\\ &\hspace{0,5cm} FIN SI \\ &FIN TANT QUE\\ \textbf{Sortie :}& Afficher $a$\\ &Afficher $b$\\ \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item On fait fonctionner l'algorithme précédent avec $r = 0,01$: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\small $b - a$& \small $b - a > r$ &\small$m$ &\small$f(m)$ &\small$f(m) > 0$ &\small $a$ &\small $b$ \\ \hline Initiali\-sation&&&&&& 3 &3,05\\ \hline étape 1& 0,05 &oui &3,025 &0,485 &oui &3,025 &3,05 \\ \hline étape 2& 0,025 & oui & \np{3,0375}& 0,218& oui & \np{3,0375}& 3,05\\ \hline étape 3& \np{0,0125}& oui & \np{3,04375}& 0,082& oui &\np{3,04375}& 3,05\\ \hline étape 4 & \np{0,00625} & non &&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item% Interpréter les résultats trouvés pour $a$ et $b$ à la fin de l'étape 3. Cet algorithme permet de donner un encadrement de la solution de l'équation $f(x)=0$ par dichotomie. On peut donc dire que le nombre $\alpha$ appartient à l'intervalle $[\np{3,04375} \:; \np{3,05}]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}