\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{multirow} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{colortbl} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks,pst-node,pst-tree,pstricks-add} %Sujet aimablement communiqué par Clotilde Rouchon %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Nouvelle-Calédonie mars 2016}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \lhead{\small Baccalauréat ES } \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small mars 2016} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie mars 2016~\decofourright} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse.\\ Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. On ne demande pas de justification.\\ Chaque réponse exacte rapportera $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point.}\index{Q. C. M.} \medskip \textbf{Question 1} \medskip La proportion de gauchers dans la population française est de 13\,\%. Un intervalle de fluctuation asymptotique, au seuil de 95\,\%, de la fréquence de gauchers dans un échantillon de $500$ personnes prises au hasard dans la population française est :\index{intervalle de fluctuation asymptotique} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} [0,080~;~0,180] &\textbf{b.~~} [0,085~;~0,175] &\textbf{c.~~} [0,100~;~0,160] &\textbf{d.~~} [0,128~;~0,132] \end{tabularx} \medskip (\emph{Les bornes de chaque intervalle sont données à $10^{-3}$ près}) \bigskip \textbf{Question 2} \medskip Sur $\R$, l'ensemble des solutions de l'inéquation \[\ln x + \ln 3 \leqslant \ln (2x + 1)\: \text{est :}\]\index{fonction logarithme népérien} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $[2~;~+ \infty[$ &\textbf{b.~~} ]0~;~2] &\textbf{c.~~} $]- \infty~;~1]$ &\textbf{d.~~} ]0~;~1] \end{tabularx} \medskip Pour les questions 3., 4. et 5., on considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~5] par : \[f(x) = x^2 - 3x\ln x + 1\]\index{fonction exponentielle} On a représenté, ci-dessous, cette fonction $f$ dans un repère orthonormé : \bigskip \textbf{Question 3} \medskip \textbf{a.~~} La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle [0,5~;~3]. \textbf{b.~~} La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle [0,5~;~5].\index{fonction convexe} \textbf{c.~~} La courbe représentant $f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse 2.\index{point d'inflexion} \textbf{d.~~} La fonction $f$ est concave sur l'intervalle [0,5~;~1,5]. \bigskip \textbf{Question 4} \medskip On note $I$ l'intégrale $\displaystyle\int_1^2 f(x)\:\text{d}x$ ; on peut affirmer que :\index{intégrale} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $0,5\leqslant I \leqslant 1$ &\textbf{b.~~} $4 \leqslant I \leqslant 7$ &\textbf{c.~~} $1 \leqslant I \leqslant 1,75$ &\textbf{d.~~} $2 \leqslant I \leqslant 4$ \end{tabularx} \medskip \medskip \textbf{Question 5} \medskip On souhaite utiliser un algorithme permettant de déterminer une valeur approchée au centième de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 1$ sur l'intervalle [1~;~3]. (On admet que sur cet intervalle l'équation admet bien une unique solution.)\index{algorithme} Voici trois algorithmes : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{1mm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3} \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme 1}} &&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme 2}}\\ \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Initialisation}} &&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Initialisation}}\\ $a$ prend la valeur 1 &&$a$ prend la valeur 1\\ $b$ prend la valeur 3 &&$b$ prend la valeur 3\\ $s$ prend la valeur 0 &&\\ \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Traitement}} &&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Traitement}}\\ $n = (b - a) * 100$ &&Tant que $b - a > 0,01$ faire\\ Pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire &&$\bullet~~$$c$ prend la valeur $(a + b)/2$\\ $\bullet~~$$x$ prend la valeur $a + 0,01 * i$ &&$\bullet~~$si $f(c) > 1$ alors $a$ prend la valeur $c$\\ $\bullet~~$$s$ prend la valeur $s + 0,01 * f(x)$ &&$\bullet~~$sinon $b$ prend la valeur $c$\\ Fin de Pour &&Fin de Tant que\\ \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Sortie}} &&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Sortie}}\\ Afficher $s$ &&Afficher $a$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme 3}}\\ \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Initialisation}}\\ $a$ prend la valeur 1\\ $b$ prend la valeur 3\\ \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Traitement}}\\ Pour $x$ allant de 1 à 3 faire\\ $\bullet~~$ Si $f(x) < 1$ alors $a$ prend la valeur $(a + b)/2$\\ $\bullet~~$ sinon $b$ prend la valeur $(a + b)/2$\\ Fin de Pour\\ \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Sortie}}\\ Afficher $a$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{a.~~} L'algorithme 1 affiche une valeur approchée au centième de $\alpha$. \textbf{b.~~} L'algorithme 2 affiche une valeur approchée au centième de $\alpha$. \textbf{c.~~} L'algorithme 3 affiche une valeur approchée au centième de $\alpha$. \textbf{d.~~} Aucun des trois algorithmes n'affiche de valeur approchée au centième de $\alpha$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Deux supermarchés concurrents, Alphamarché et Bétamarché ouvrent simultanément un service de retrait permettant à leurs clients de récupérer leurs courses après avoir passé leur commande sur internet. Afin de promouvoir leur service de retrait, chacun organise une campagne de publicité. Alphamarché contrôle l'efficacité de sa campagne par des sondages mensuels où les clients qui utilisent les services de retrait se prononcent tous en faveur d'un seul service de retrait, celui d'Alphamarché ou celui de Bétamarché. Au début de la campagne, 20\,\% des personnes interrogées préfèrent Alphamarché. Les sondages mensuels ont permis de mettre en évidence que les arguments publicitaires font évoluer chaque mois la répartition. On décide de modéliser cette évolution en considérant que 10\,\% des personnes préférant Alphamarché et 15\,\% des personnes préférant Bétamarché changent d'avis d'un mois sur l'autre. Le mois du début de la campagne est noté mois $0$. On interroge, au hasard, un client faisant ses courses dans l'un des deux services de retrait. Pour tout entier naturel $n$, on note : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $a_n$ la probabilité que le client interrogé préfère Alphamarché le mois $n$ ; \item[$\bullet~~$] $b_n$ la probabilité qu'il préfère Bétamarché le mois $n$ ; \item[$\bullet~~$] $P_n = \left(a_n\:\: b_n\right)$ la matrice ligne désignant l'état probabiliste au mois $n$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la matrice ligne $P_0$ de l'état probabiliste initial.\index{matrice} \item On note $A$, l'état \og Le client interrogé préfère Alphamarché \fg{} et $B$ l'état \og Le client interrogé préfère Bétamarché \fg. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.\index{graphe probabiliste} \item \begin{enumerate} \item Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.\index{matrice de transition} \item Montrer que $P_1 = (0,3 \quad 0,7)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer, pour tout entier naturel $n,\: P_n$ en fonction de $P_0,\: M$ et $n$. \item En déduire la matrice ligne $P_3$ et interpréter ce résultat. \end{enumerate} \item Le service de retrait d'Alphamarché finira-t-il par être préféré à celui de Bétamarché ? Justifier. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice comporte trois parties qui peuvent être traitées de manière indépendante} \medskip Les 275 passagers d'un vol long-courrier s'apprêtent à embarquer dans un avion possédant 55 sièges en classe confort et 220 sièges en classe économique. Les voyageurs partent soit pour un séjour court, soit pour un séjour long. Parmi les passagers voyageant en classe économique, 35\,\% partent pour un séjour long alors que parmi les passagers ayant choisi la classe confort, 70\,\% ont opté pour un séjour long.\index{probabilités} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On choisit au hasard un passager du vol. On note les évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $E$ : \og Le passager voyage en classe économique. \fg \item[$\bullet~~$] $L$ : \og Le passager part pour un séjour long. \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $\overline{E}$ et $\overline{L}$ les évènements contraires des évènements $E$ et $L$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité de l'évènement $E$, notée $p(E)$. \item Représenter la situation par un arbre pondéré.\index{arbre} \item Déterminer la probabilité que le passager choisi parte en classe économique pour un séjour long. \item Montrer que $p(L) = 0,42$. \item On choisit au hasard un passager partant pour un long séjour. Quelle est la probabilité que ce passager voyage en classe économique ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Lors de l'embarquement, chaque passager enregistre un bagage qui sera placé dans la soute de l'avion pendant le vol. Le poids de ce bagage ne doit pas excéder 20~kg. Dans le cas où le poids de son bagage dépasserait 20~kg, le passager doit s'acquitter d'une \og taxe d'excédent de bagage \fg. Le montant à payer en cas d'excédent est précisé dans le tableau ci-dessous. \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|m{3cm}|X|}\hline Poids $p$ (en kg) du bagage&Taxe d'excédent de bagage\\ \hline $20 < p \leqslant 21$ &12~\euro\\ \hline $21 < p \leqslant 22$ &24~\euro\\ \hline $22 < p \leqslant 24$ &50~\euro\\ \hline $p > 24$ &20~\euro/kg au-delà des 20~kg autorisés\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On choisit au hasard un bagage devant être transporté dans la soute de l'avion. On admet que le poids de ce bagage, exprimé en kg, est modélisé par une variable aléatoire $M$ qui suit la loi normale d'espérance $18,4$ et d'écart type $1,2$.\index{loi normale} \emph{Dans cette partie, les résultats seront arrondis au millième.} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que le passager propriétaire du bagage choisi s'acquitte d'une taxe d'excédent de bagage. \item Calculer la probabilité que le passager propriétaire du bagage choisi s'acquitte d'une taxe d'excédent de bagage de 24~\euro. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip L'enregistrement des bagages des passagers est possible pendant une durée de 2~h. Un passager du vol est choisi au hasard et on note $T$ la durée (en minutes] qui s'est écoulée entre le début des enregistrements des bagages et l'arrivée de ce passager au comptoir d'enregistrement. On admet que $T$ est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;~120]$.\index{loi uniforme} Déterminer la probabilité que le passager choisi enregistre ses bagages dans les $30$~dernières minutes autorisées. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente le nombre de personnes malades (en milliers) dans un pays lors d'une épidémie en fonction du nombre $t$ de jours écoulés depuis l'apparition de la maladie. \bigskip \textbf{Partie A} \begin{center} \psset{xunit=0.15cm,yunit=0.075cm} \begin{pspicture}(-5,-10)(65,62) \multido{\n=0+5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,62)} \multido{\n=0+10}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(65,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(65,62) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10](0,0)(65,62) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{60}{x dup mul 2.71828 0.1 x mul exp div} \uput[u](63,0){$t$}\uput[r](0,61){$y$} \uput[u](57.5,11){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide du graphique, déterminer au bout de combien de jours le nombre de malades est maximal puis préciser le nombre approximatif de malades ce jour-là.\index{lecture graphique} \item Estimer graphiquement le jour où la vitesse de propagation de la maladie est la plus forte. (Expliquer rapidement la démarche utilisée) \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On modélise le nombre de malades (en milliers) en fonction du temps, à l'aide de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~60] par : \[f(t) = t^2\text{e}^{- 0,1t}\]\index{fonction exponentielle} où $t$ représente le nombre de jours écoulés depuis l'apparition de la maladie. Pour étudier les propriétés de la fonction $f$, on a utilisé un logiciel de calcul formel qui a fourni les résultats suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $f'(t) = 0,1t(20 - t)\text{e}^{- 0,1t}$ \item[$\bullet~~$] $f''(t) = \left(0,01t^2 - 0,4t + 2\right)\text{e}^{- 0,1t}$ \item[$\bullet~~$] $F(t) = \left(- 10t^2 - 200t - \np{2000}\right)\text{e}^{- 0,1t}$ \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} où $f'$ désigne la dérivée de $f$,\:$f''$ désigne sa dérivée seconde et $F$ une primitive de $f$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer le résultat : $f'(t) = 0,1t(20 - t)\text{e}^{- 0,1t}$ qui a été fourni par le logiciel.\index{dérivée} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le signe de $f'(t)$ sur [0~;~60]. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur [0~;~60]. \end{enumerate} \item Le nombre moyen de malades par jour, en milliers, durant les $60$ premiers jours après l'apparition de la maladie est donné par $N = \dfrac{1}{60}\displaystyle\int_0^{60} f(t)\:\text{d}t$.\index{valeur moyenne} \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur exacte de $N$. \item Quel est le nombre moyen de malades par jour, arrondi à la dizaine ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier par le calcul que, sur l'intervalle [0~;~15], la courbe représentative de la fonction $f$ admet un unique point d'inflexion. Préciser une valeur arrondie à l'unité de l'abscisse de ce point d'inflexion. \item Donner une interprétation concrète de cette abscisse. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}