%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat ES}, pdftitle = {Centres étrangers 13 juin 2019}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{13 juin 2019}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers\footnote{Pondichéry} 13 juin 2019~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante. Les résultats approchés seront arrondis au millième.} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On s'intéresse à la clientèle d'un musée. Chaque visiteur peut acheter son billet sur internet avant sa visite ou l'acheter aux caisses du musée à son arrivée. Pour l'instant, la location d'un audioguide pour la visite n'est possible qu'aux caisses du musée. Le directeur s'interroge sur la pertinence de proposer la réservation des audioguides sur internet. Une étude est réalisée. Elle révèle que: \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 70\,\% des clients achètent leur billet sur internet; \item[$\bullet~~$] parmi les clients achetant leur billet sur internet, 35\,\% choisissent à leur arrivée au musée une visite avec un audioguide ; \item[$\bullet~~$] parmi les clients achetant leur billet aux caisses du musée, 55\,\% choisissent une visite avec un audioguide. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \smallskip On choisit au hasard un client du musée. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$A$ : \og Le client choisit une visite avec un audioguide \fg{} ; \item[$\bullet~~$]$B$ : \og Le client achète son billet sur internet avant sa visite \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré. \item Démontrer que la probabilité que le client choisisse une visite avec un audioguide est égale à $0,41$. \item On s'intéresse aux clients qui visitent le musée avec un audioguide. Si plus de la moitié d'entre eux ont acheté leur billet sur internet alors le directeur proposera à l'avenir la location de l'audioguide sur le site internet du musée. D'après les résultats de cette étude, que va décider le directeur? Justifier la réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On s'intéresse désormais à la fréquentation de la boutique du musée. On note $T$ la variable aléatoire qui, à chaque visiteur, associe la durée en minutes passée dans la boutique. Une étude statistique a montré que la variable aléatoire $T$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma = 2$. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'un visiteur reste moins de six minutes dans la boutique? \item Calculer $P(6 \leqslant T \leqslant 14)$. \item Déterminer une valeur approchée au dixième du nombre réel $a$ tel que $P(T\geqslant a) = 0,25$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \item Les recettes obtenues par la boutique ne sont pas jugées satisfaisantes ; celle-ci est donc réaménagée. Une étude menée suite à ce réaménagement montre que 25\,\% des visiteurs passent désormais au moins $15$~minutes dans la boutique. Pour s'en assurer le gérant de la boutique constitue un échantillon aléatoire de $720$~visiteurs. Il constate que $161$ d'entre eux sont restés $15$ minutes ou plus. Cet échantillon confirme-t-il les résultats de l'étude ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.\\ Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.\\ Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. \\ Aucune justification n'est demandée.} \medskip Un constructeur automobile commercialise un nouveau véhicule. Afin de le faire connaître, une campagne publicitaire est organisée. On étudie l'impact de cette campagne publicitaire dans une certaine région. \medskip \begin{enumerate} \item On montre la publicité à \np{3000}~habitants de cette région. Parmi eux, $817$ la trouvent attractive. Un intervalle de confiance au seuil de $0,95$ de la proportion d'habitants de la région trouvant que la publicité est attractive est (les bornes ont été arrondies à $10^{-3}$) : \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|X|}\hline \textbf{A.~~} [0,271~;~0,273]&\textbf{B.~~} [0,211~;~0,333] \\\textbf{C.~~} [0,254~;~0,333] &\textbf{D.~~}[0,254~;~0,291]\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Dans une ville de la région, sur une population de \np{4200}~ habitants, $36$\,\% ont pris connaissance de la publicité lors de la première semaine de la campagne. Le nombre d'habitants de cette ville ayant pris connaissance de la publicité lors de la première semaine de la campagne est: \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|X|}\hline \textbf{A.~~}\np{2688} &\textbf{B.~~} \np{1512} \\ \textbf{C.~~}\np{1167}&\textbf{D.~~} \np{4164}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Le premier jour de la campagne publicitaire, $150$ habitants de la région ont pris connaissance de la publicité. Chaque jour, le nombre d'habitants de la région ayant pris connaissance de la publicité est multiplié par 2. On souhaite écrire un algorithme qui détermine le nombre de jours au bout desquels au moins \np{30000}~habitants de la région auront pris connaissance de la publicité. Parmi ces algorithmes, quel est celui dont le contenu de la variable $N$, après exécution de l'algorithme, répond au problème ? \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}\hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{A.}}& \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{B.}} \\ $A \gets 150$ & $A \gets 150$\\ $N\gets 1 $ & $N\gets 1$\\ Tant que $A < \np{30000}$& Tant que $A < \np{30000}$\\ \hspace{0.5cm}$A \gets 2A$&\hspace{0.5cm} $A \gets 2A$\\ Fin Tant que & \hspace{0.5cm}$N \gets N+1$\\ $N \gets N+1$ &Fin Tant que\\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{C.}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{D.}} \\ $A \gets 150$ &$A \gets 150$ \\ $N\gets 1$ & $N \gets 1$ \\ Tant que $A < \np{30000}$& Tant que $A > \np{30000}$\\ \hspace{0.5cm}$A \gets 2A$&\hspace{0.5cm}$A \gets 2A$\\ Fin Tant que &\hspace{0.5cm}$N \gets N+1$\\ &Fin Tant que\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Dans une concession automobile de la région, le temps d'attente, exprimé en minutes, avant d'être reçu par un conseiller commercial peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [1~;~10]. Un visiteur se présente. Quelle est la probabilité qu'il attende au moins 5 minutes avant d'être reçu par un conseiller commercial ? \begin{center} \begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|X|}\hline \textbf{A.~~}0,4 & \textbf{B.~~}0,5 \\ \hline \textbf{C.~~} $\dfrac{4}{9}$&\textbf{D.~~} $\dfrac{5}{9}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L.} \medskip Afin de conserver au fil des années un parc en bon état, un loueur de vélos se sépare chaque hiver de 20\,\% de son stock et achète ensuite $35$ nouveaux vélos. On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ représente le nombre de vélos présents dans le stock de ce loueur au 1\up{er} juillet de l'année $(2018 + n)$. Au 1\up{er} juillet 2018, le loueur possède $150$ vélos, ainsi $u_0 = 150$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de vélos dans le stock du loueur au 1\up{er} juillet 2019. \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,8u_n + 35$. \end{enumerate} \item On a calculé les premiers termes de cette suite à l'aide d'un tableur. Une copie d'écran est donnée ci-dessous: \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B\\ \hline 1 &rang $n$ &terme $u_n$\\ \hline 2 &0 &150 \\ \hline 3 &1 &155\\ \hline 4 &2 &159 \\ \hline 5 &3 &162,2\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B3 pour obtenir, par copie vers le bas, les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ ? \item Pour les termes de rang 36, 37, 38, 39 et 40, on obtient les résultats suivants (arrondis au millième) : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 38& 36& 174,992 \\ \hline 39& 37& 174,994\\ \hline 40& 38& 174,995\\ \hline 41& 39& 174,996\\ \hline 42& 40& 174,997\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, on cherche à démontrer la conjecture émise à la question précédente}. Pour cela, on pose pour tout entier naturel $n$ : $v_n= u_n - 175$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = - 25 \times 0,8^n + 175$. \item Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \item On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que : $u_n \geqslant 170$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un restaurateur se fournit auprès de 5 producteurs locaux. Le graphe ci-dessous représente la situation géographique du restaurateur et de ses fournisseurs, les arêtes correspondant au réseau routier et les sommets aux producteurs: \medskip \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,0)(5,5) \psdots(2,4.5)(2,0.5)(0.5,2)(3,3)(4.5,4.5)(3.75,1.25)%EFMPRV \pspolygon(2,4.5)(0.5,2)(2,0.5)(3.75,1.25)(4.5,4.5)(3,3) \psline(4.5,4.5)(2,4.5)(2,0.5)(3,3)(3.75,1.25) \uput[u](2,4.5){E} \uput[d](2,0.5){F} \uput[l](0.5,2){M} \uput[u](3,3){P} \uput[u](4.5,4.5){R} \uput[d](3.75,1.25){V} \end{pspicture}} \hfill \parbox{0.48\linewidth}{ Légende : E : éleveur F : fromager M : maraîcher P : pisciculteur R : \textbf{restaurateur} V: vigneron } \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Le graphe est-il complet? Justifier la réponse. \item Le graphe est-il connexe? Justifier la réponse. \end{enumerate} \item Est-il possible pour le restaurateur d'organiser une visite de tous ses producteurs en partant de son restaurant et en empruntant une fois et une seule chaque route ? Justifier la réponse. Si oui, préciser le point d'arrivée et proposer un tel parcours. \item On appelle $N$ la matrice d'adjacence associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique. \begin{enumerate} \item Déterminer la matrice $N$. \item On donne la matrice $N^3 = \begin{pmatrix} 6 &10 &6 &10 &9 &5\\ 10 &6 &6 & 10 &5 & 9 \\ 6& 6&2 &4 &4 & 4\\ 10 &10&4 &8 & 8 & 8\\ 9 & 5 &4 &8 &4 &8\\ 5 & 9 &4 &8 &8 &4 \end{pmatrix}$ Déterminer, en justifiant la réponse, le nombre de chemins de longueur 3 reliant l'éleveur au vigneron. \end{enumerate} \item Les arêtes du graphe sont pondérées par les distances, exprimées en kilomètre, entre les différents lieux: \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,5) %\psgrid \psdots(2,4.5)(2,0.5)(0.5,2)(3,3)(4.5,4.5)(3.75,1.25)%EFMPRV \pspolygon(2,4.5)(0.5,2)(2,0.5)(3.75,1.25)(4.5,4.5)(3,3) \psline(4.5,4.5)(2,4.5)(2,0.5)(3,3)(3.75,1.25) \uput[u](2,4.5){E} \uput[d](2,0.5){F} \uput[l](0.5,2){M} \uput[u](3,3){P} \uput[u](4.5,4.5){R} \uput[d](3.75,1.25){V} \rput(1,3.4){8} \rput(1.2,1){2} \rput(2.9,1.1){1} \rput(1.8,2.6){6} \rput(2.4,3.4){3} \rput(3.2,4.7){5} \rput(3.8,3.4){4} \rput(4.3,2.7){10} \rput(3.2,2.2){5} \rput(2.8,1.9){7} \end{pspicture} \end{center} Le restaurateur doit se rendre chez le maraîcher en partant de chez lui. Quel est le plus court chemin pour effectuer ce trajet? Justifier la réponse à l'aide d'un algorithme. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans le repère ci-dessous, on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-10~;~2]$. On a placé les points A(0~;~2), B(2~;~0) et C$( -2~;~0)$. On dispose des renseignements suivants: \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Le point B appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$. \item[$\bullet~~$]La droite (AC) est tangente en A à la courbe $\mathcal{C}_f$. \item[$\bullet~~$]La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1 est une droite horizontale. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-10,-1.5)(2.5,3.5) \psgrid[gridlabels=0,griddots=5,subgriddiv=1](-10,-2)(3,4) \psdots[dotstyle=+,dotscale=3](0,2)(2,0)(-2,0) \uput[dr](0,2){A} \uput[ur](2,0){B} \uput[ul](-2,0){C} \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-10,-1.5)(2.5,3.5) \uput[ur](1.7,2){\blue $\mathcal{C}_f$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-10}{2}{2 x sub 2.71828 x exp mul} \psline(-10,2.71828)(2,2.71828) \psline(-3,-1)(1.5,3.5) \end{pspicture*} \end{center} Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. \medskip \begin{enumerate} \item Indiquer les valeurs de $f(0)$ et de $f(2)$. \item Indiquer la valeur de $f'(1)$. \item Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A. \item Indiquer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ dans l'intervalle $[-10~;~2]$. \item Indiquer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10~;~2]$. \item Déterminer l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe, et celui sur lequel elle est concave. \item On s'intéresse au nombre $I = \displaystyle\int_0^2 f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Sur le graphique donné \textbf{en annexe et à rendre avec la copie}, hachurer le domaine du plan dont l'aire, exprimée en unités d'aire, est égale à $I$. \item Donner un encadrement du nombre $I$ par deux entiers consécutifs. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on cherche à vérifier par le calcul les résultats lus graphiquement dans la partie A. On sait désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[-10~;~2]$ par : \[f(x) = (2 - x)\text{e}^x.\] \smallskip . \begin{enumerate} \item Calculer $f(0)$ et $f(2)$. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre $x$ appartenant à l'intervalle $[-10~;~2]$. \item En déduire la valeur de $f'(1)$. \end{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$. \item \begin{enumerate} \item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10~;~2]$. \item En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ dans l'intervalle $[-10~;~2]$, puis donner une valeur approchée au centième de chacune de ces solutions. \end{enumerate} \item Un logiciel de calcul formel fournit le résultat suivant: \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|X|}\hline 1 & $ f(x): = (2 - x) * \text{exp}(x)$\\ \hline &\hspace{2cm}$f(x): = (-x + 2)\text{e}^x$\\ \hline 2 &Simplifier(Dérivée(Dérivée($f(x)$)))\\ \hline &\hspace{3cm}$- x \text{e}^x$ \\ \hline \end{tabularx} \end{center} Utiliser le résultat du logiciel pour étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10~;~2]$. \item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[-10~;~2]$ par: \[F(x) = (3 - x)\text{e}^x.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10~;~2]$. \item En déduire la valeur exacte et une valeur approchée au centième du nombre \[I = \displaystyle\int_0^2 f(x)\:\text{d}x.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Feuille annexe à rendre avec la copie} \vspace{2cm} \textbf{Exercice 4} \vspace{2cm} \psset{unit=.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-21,-3)(5,7) \psgrid[gridwidth=0.25pt,subgriddiv=0,gridlabels=0](-21,-3)(5,7) \psset{unit=1cm} \begin{tiny} \psaxes[labelsep=.8mm,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=.5,comma]{->}(0,0)(-10.5,-1.5)(2.5,3.5) \uput[dl](0,0){0} \end{tiny} \uput[ur](1.7,2){\blue $\mathcal{C}_f$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-10}{2}{2 x sub 2.71828 x exp mul} \psline(-3,-1)(1.5,3.5)\psline(-10,2.71828)(2.5,2.71828) \psdots[dotstyle=+,dotscale=3](0,2)(2,0)(-2,0) \uput[dr](0,2){A} \uput[ur](2,0){B} \uput[ul](-2,0){C} \end{pspicture} \end{center} \end{document}