\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx,colortbl,graphicx} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-all,pst-3d,pst-3dplot,pst-func} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : Arié Yallouz \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage{colortbl} \usepackage{multicol} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion}, pdftitle = {13 septembre 2019}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \frenchbsetup{StandardLists=true} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%% le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d}%%% le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES/L} \lfoot{\small{Métropole La Réunion}} \rfoot{\small 13 septembre 2019} \pagestyle{fancy} \label{AmNord} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures } \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES/L -- Métropole - La Réunion~\decofourright\\[5pt] 13 septembre 2019}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip En 2018, la France comptait environ \np{225000}~médecins actifs. On prévoit que chaque année, 4\,\% des médecins cessent leur activité tandis que \np{8000} nouveaux médecins s'installent. Pour étudier l'évolution du nombre de médecins en activité dans les années à venir, on modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$. Pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$ représente le nombre de médecins en $2018 + n$, exprimé en millier. \medskip \begin{enumerate} \item Donner $u_0$ et calculer $u_1$. \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,96u_n + 8$. \item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il calcule, selon cette modélisation, le nombre de médecins que compterait la France en 2031. \begin{center} \begin{tabularx}{0.35\linewidth}{|X|}\hline $U \gets 225$\\ Pour $N$ allant de\ldots à \ldots\\ \hspace{1.5cm}$U \gets \ldots\ldots$\\ Fin Pour\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par, pour tout entier naturel $n$ : \[v_n = u_n - 200.\] \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,96$. Préciser son terme initial. \item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$. \item En déduire que pour tout entier naturel $n$,\; $u_n = 25 \times 0,96^n + 200$. \end{enumerate} \item On admet que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} - u_n = - 0,96^n$. \begin{enumerate} \item En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$. \item Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation \[25 \times 0,96^n + 200 < 210.\] \item Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} \medskip \begin{enumerate} \item Un laboratoire reçoit un lot de prélèvements sanguins et réalise des analyses sur ce lot. On choisit un prélèvement au hasard et on note $X$ la variable aléatoire égale au taux d'hémoglobine dans ce prélèvement. On admet que $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu = 12$. \emph{Pour tout évènement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité.} \smallskip \textbf{Affirmation A} : $P(X > 14) = P(X < 11)$. \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 5\text{e}^{-0,3x} + 1$. \smallskip \textbf{Affirmation B} : La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0~;~5]$ est égale à $3,6$, arrondie au dixième. \item Un comité d'entreprise souhaite mettre à disposition des salariés une salle de sport. Son directeur affirme qu'un tiers des employés serait intéressé par une telle salle. On réalise un sondage dans lequel on interroge $180$ employés au hasard, parmi lesquels $72$ se déclarent intéressés. \smallskip \textbf{Affirmation C} : Ce sondage remet en question l'affirmation du directeur. \item ~ \begin{minipage}{0.54\linewidth}Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$, dont la courbe représentative est donnée ci-contre. Soit $F$ une primitive de $f$ sur $\R$. \smallskip \textbf{Affirmation D} : La fonction $F$ est convexe sur $[1~;~3]$.\end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.42\linewidth}\psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture*}(-3,-5.5)(8,7.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3,-5.5)(8,7.5) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{8}{x 3 exp 3 div x dup mul 2.85 mul sub 2.6 x mul add 0.7 mul 7 add} %\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{8}{x dup mul 5.7 x mul sub 2.6 add} \end{pspicture*} \end{minipage} \item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~1]$ par $f(x) = 3x^2 - 4x + 2$. \textbf{Affirmation E :} $f$ est une fonction de densité sur $[0~;~1]$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle [1,1~;~8]. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.7,-0.5)(8.5,13) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(9,13) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(8.5,13) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.1}{8}{2 x mul 1 sub x ln div} \end{pspicture} \end{center} \textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.} \bigskip \textbf{Partie A : étude graphique} \medskip \begin{enumerate} \item Donner une valeur approchée du minimum de la fonction $f$ sur l'intervalle [1,1~;~8]. \item Quel est le signe de $f'(5)$ ? Justifier. \item Encadrer l'intégrale $\displaystyle\int_2^4 f(x)\:\text{2}4 f(x)\:\text{d}x$ par deux entiers consécutifs. \item La fonction $f$ est-elle convexe sur [1,1~;~8] ? Justifier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : étude analytique} \medskip On admet que $f$ est la fonction définie sur l'intervalle [1,1~;~8] par \[f(x) = \dfrac{2x - 1}{\ln (x)}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [1,1~;~8], on a : \[f'(x) = \dfrac{2\ln (x) - 2 + \frac{1}{x}}{(\ln (x))^2}\] \item Soit $h$ la fonction définie sur [1,1~;~8] par : $h(x) = 2\ln (x) - 2 + \frac{1}{x}$. \begin{enumerate} \item Soit $h'$ la fonction dérivée de $h$ sur l'intervalle [1,1; 8]. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [1,1~;~8], \[h'(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2}.\] \item En déduire les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle [1,1~;~8]. \item Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1,1~;~8]. Donner un encadrement de $\alpha$ par deux entiers consécutifs. \end{enumerate} \item Déduire des résultats précédents le signe de $h(x)$ sur l'intervalle [1,1~;~8]. \item À l'aide des questions précédentes, donner les variations de $f$ sur [1,1~;~8]. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L} \medskip \emph{Pour tous évènements $E$ et $F$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$, $P(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est de probabilité non nulle, $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$. \\On arrondira les résultats au millième si besoin.} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Pour mieux cerner le profil de ses clients, une banque réalise un sondage qui permet d'établir que: \begin{itemize} \item 53\,\% de ses clients ont plus de 50 ans ; \item 32\,\% de ses clients sont intéressés par des placements dits \emph{risqués} ; \item 25\,\% de ses clients de plus de 50 ans sont intéressés par des placements dits \emph{risqués}. \end{itemize} On choisit au hasard un client de cette banque et on considère les évènements suivants: \begin{itemize} \item $A$ : \og Le client a plus de 50 ans \fg{} ; \item $R$ : \og Le client est intéressé par des placements dits risqués \fg. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Donner $P(R)$ et $P_A(R)$. \item Représenter la situation par un arbre pondéré. Cet arbre pourra être complété par la suite. \item Montrer que la probabilité que le client ait plus de $50$ ans et soit intéressé par des placements dits risqués est \np{0,1325}. \item Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu'il ait plus de $50$~ans ? \item Calculer $P\left(\overline{A} \cap R\right)$ puis en déduire $P_{\overline{A}}(R)$. Interpréter les deux résultats obtenus. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'une des agences de cette banque charge ses conseillers de proposer un placement dit \emph{risqué}, $R_1$ à tous ses clients. Elle promet à ses conseillers une prime de $150$\euro{} s'ils convainquent au moins $10$~clients d'effectuer ce placement en un mois et une prime supplémentaire de $150$\euro{} s'ils convainquent au moins $15$ clients d'effectuer ce placement en un mois. L'une des conseillères de cette banque, Camille, reçoit $45$ clients ce mois-ci. \medskip \begin{enumerate} \item On admet que la probabilité que Camille réussisse à placer ce produit auprès de l'un de ses clients est de $0,23$ et que la décision d'un client est indépendante de celles des autres clients. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que Camille place le produit $R_1$ auprès de $10$ clients exactement ce mois-ci. \item Calculer la probabilité que Camille ait $300$\euro{} de prime. \item Montrer que la probabilité que Camille ait $150$\euro{} exactement de prime est environ de $0,532$. \end{enumerate} \item Le placement $R_1$ a rapporté $30$\,\% d'intérêt sur les $5$ dernières années. Calculer le taux d'intérêt annuel moyen du placement $R_1$ sur ces $5$ dernières années. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats de ES ayant suivi la spécialité} \medskip Deux amis, Louisa et Antoine, passent la journée dans un parc d'attraction. \medskip Le plan du parc est donné par le graphe $\Gamma$ ci-dessous. Les arêtes de ce graphe représentent les allées du parc et les sommets correspondent aux intersections de ces allées. On a pondéré les arêtes de ce graphe par les temps de parcours en minutes. \begin{center} \psset{unit=1cm,nrot=:U} \begin{pspicture}(12,7) \cnodeput(0.5,5){F}{F} \cnodeput(0.5,0.5){E}{E} \ncline{E}{F}\ncput*{5} \cnodeput(1.75,3){G}{G} \cnodeput(5.5,5.5){J}{J} \cnodeput(4.5,0.3){H}{H} \cnodeput(8,3.5){M}{M} \cnodeput(6,1.7){L}{L} \cnodeput(11,6.5){N}{N} \cnodeput(11.5,3){K}{K} \cnodeput(8.5,0.2){I}{I} \ncline{F}{J}\ncput*{7} \ncline{F}{G}\ncput*{4} \ncline{E}{G}\ncput*{3}\ncline{G}{J}\ncput*{6}\ncline{G}{H}\ncput*{2} \ncline{G}{M}\ncput*{8}\ncline{J}{M}\ncput*{3}\ncline{N}{J}\ncput*{8} \ncline{E}{H}\ncput*{6}\ncline{H}{L}\ncput*{4}\ncline{H}{I}\ncput*{7} \ncline{J}{M}\ncput*{3}\ncline{L}{M}\ncput*{1}\ncline{M}{N}\ncput*{5} \ncline{J}{N}\ncput*{8}\ncline{K}{N}\ncput*{4} \ncline{L}{K}\ncput*{6}\ncline{I}{K}\ncput*{5} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Le graphe est-il connexe ? Justifier. \item Antoine prétend avoir trouvé un itinéraire permettant d'emprunter chaque allée une et une seule fois mais Louisa lui répond que c'est impossible. Lequel des deux a raison ? Justifier la réponse. \item On considère la matrice $M$ ci-dessous ($a$, $b$ et $c$ sont des entiers). \[M = \begin{pmatrix} 0 &1 &1 &1 &a &0 &0 &0 &0 &0\\ 1 &0 &1 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &0 &1 &0\\ 1 &0 &1& 0 &1 &0 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &0 &1 &0 &0 &c &0 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &0 &0 &b &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &0 &1 &0 &0 &1 &0 &1 &0\\ 0 &0 &1 &0 &0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &1 &0\\ \end{pmatrix}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les entiers $a$, $b$ et $c$ pour que la matrice $M$ représente la matrice d'adjacence associée au graphe $\Gamma$, les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique. Soit $S$ la matrice définie par : $S = M + M^2 + M^3$. On admet que : \[M^3 = \begin{pmatrix} 4 &7 &8 &7 &1 &4&2 &2 &5 &3\\ 7 &4 &9 &3 &2 &8 &1 &4 &4 &3\\ 8 &9 &8 &10 &1 &10 & 5 &2 &11 &3\\ 7 &3 &10 &2 &6 &5 &0 &8 &2 &5\\ 1 & 2 &1 &6 &0 &2 &5 &0 &4 &0\\ 4 &8 &10 &5 &2 &6 &2 &4 &8 &7\\ 2 &1 &5 &0 &5 &2 &0 &7 &1 &6\\ 2 &4 &2 &8 &0 &4 &7 &0 &8 &1\\ 5 &4 &11 &2 &4 &8 &1 &8 &4 &8\\ 3 &3 &3 &5 &0 &7 &6 &1 &8 &2\\ \end{pmatrix}\] \[\text{et }\; S = \begin{pmatrix} 7 &9 &11 &9 &2 &6 &2 &3 &6 &3\\ 9 &7 &12 &5 &2 &10 &1 &4 &6 &4\\ 11 &12 &13 &12 &2 &13 &5 &4 &13 &5\\ 9 &5 &12 &6 &7 &6 &2 &9 &4 &5\\ 2 &2 &2 &7 &2 &2 &6 &2 &4 &1\\ 6 &10 &13 &6 &2 &10 &3 &5 &11 &9\\ 2 &1 &5 &2 &6 &3 &3 &8 &3 &7\\ 3 &4 &4 &9 &2 &5 &8 &3 &9 &3\\ 6 &6 &13 &4 &4 &11 &3 &9 &8 &10\\ 3 &4 &5 &5 &1 &9 &7 &3 &10 &5\\ \end{pmatrix} \] \item Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant F à L. Préciser ces chemins. \item Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 partant de E. \item Que signifie le coefficient à l'intersection de la première ligne et de la troisième colonne de $S$ ? \end{enumerate} \item Un défilé part tous les jours à $14$~h du sommet N. Louisa et Antoine choisissent de déjeuner dans un restaurant situé au sommet E avant d'aller admirer le défilé. \begin{enumerate} \item À l'aide d'un algorithme, déterminer le chemin que doivent emprunter Louisa et Antoine pour se rendre du restaurant au départ du défilé le plus rapidement. \item À quelle heure au plus tard doivent-ils quitter le restaurant pour assister au début du défilé ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}