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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Métropole -- La Réunion}}
\rfoot{\small{2 juin 2016}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Métropole -- La Réunion~\decofourright\\[4pt]22 juin 2016}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. \\
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué. \\
Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}\index{Q. C. M.}

\begin{enumerate}

\item 
Un organisme de formation désire estimer la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l'année 2013. Pour cela, il interroge un échantillon représentatif de 300 stagiaires. On constate que 225 sont satisfaits. 

Alors, un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l'année 2013 est : \index{intervalle de confiance}

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.}~~[0,713~;~0,771] & \textbf{b.}~~[0,692~;~0,808]\\
\textbf{c.}~~[0,754~;~0,813] & \textbf{d.}~~[0,701~;~0,799]
\end{tabularx}

\item En suivant la loi uniforme, on choisit un nombre au hasard dans l'intervalle [4\,;\,11]. La probabilité que ce nombre soit inférieur à 10 est :\index{loi uniforme}

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\textbf{a.}~~$\dfrac{6}{11}$ 	& \textbf{b.}~~$\dfrac{10}{7}$ & 
\textbf{c.}~~$\dfrac{10}{11}$ 	& \textbf{d.}~~$\dfrac{6}{7}$
\end{tabularx}


\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (x+1)\e^{-2x + 3}$. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et sa fonction dérivée $f'$ est donnée par:\index{dérivée}

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.}~~$f'(x)=-2\e^{-2x+3}$ 		& \textbf{b.}~~$f'(x) = \e^{-2x+3}$\\
\textbf{c.}~~$f'(x)=(-2x+3)\e^{-2x+3}$ 	& \textbf{d.}~~$f'(x) = (-2x-1)\e^{-2x+3}$
\end{tabularx} 

\item \ \\[-20pt]

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ telle que sa fonction dérivée $f'$ soit aussi dérivable sur $\R$. La courbe ci-contre représente la fonction $f''$. \index{fonction convexe}

\vspace{2cm}

On peut alors affirmer que : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
\textbf{a.}~~$f$ est convexe sur $[-2~;~2]$.\\ 
\textbf{b.}~~$f$ est concave sur $[-2~;~2]$.\\
\textbf{c.}~~La courbe représentative de $f$ sur $[-2~;~2]$ admet un point d'inflexion.\\
\textbf{d.}~~$f'$ est croissante sur $[-2~;~2]$.
\end{tabularx}\index{point d'inflexion}
\vspace{3cm}\null
\end{minipage} 
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{unit=0.6cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\def\xmin {-2.1}     \def\xmax {2.1}
\def\ymin {-9.2}       \def\ymax {7.2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1, griddots=7, gridlabels=0, gridcolor=black] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\def\f{x 3 exp 1 sub}% définition de la fonction
\psplot[plotpoints=2000]{-2}{2}{\f}%   f
\end{pspicture*}
\end{flushright}
\end{minipage}\hyperlink{Index}{*}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats de ES n'ayant pas  suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\bigskip

Un loueur de voitures dispose au 1\ier{} mars 2015 d'un total de \np{10000} voitures pour l'Europe. 

Afin d'entretenir son parc, il décide de revendre, au 1\ier{} mars de chaque année, 25\,\% de son parc automobile et d'acheter \np{3000} voitures neuves.

\smallskip

On modélise le nombre de voitures de l'agence à l'aide d'une suite: 

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1\ier{} mars de l'année $2015+n$.\index{suite} 

On a donc $u_0=\np{10000}$.

%\end{document}

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,75 u_n+\np{3000}$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par

\hfill$v_n=u_n-\np{12000}$.\hfill{}

\begin{enumerate}
 \item 
Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser son premier terme.

\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.

\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\np{12000} - \np{2000} \times 0,75^n$.

\item En vous appuyant sur les réponses données aux deux questions précédentes, que pouvez-vous conjecturer sur le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur au bout d'un grand nombre d'années? 
  
\end{enumerate} 

\item On admet dans cette question que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. 

On aimerait déterminer l'année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins \np{11950} voitures. 

\begin{enumerate}
\item Recopier l'algorithme suivant et compléter les pointillés afin qu'il permette de répondre au problème posé.\index{algorithme} 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l @{\hspace*{0.5cm}}l|}
\hline
Initialisation & U prend la valeur \np{10000}\\
               & N prend la valeur 0\\
Traitement     & Tant que \dots\\
               & \hspace*{0.3cm} N prend la valeur \dots \hspace*{1cm}\ \\
               & \hspace*{0.3cm} U prend la valeur \dots\\
               & Fin Tant que\\
Sortie         & Afficher \dots\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année recherchée.

\item Retrouver ce résultat en résolvant l'inéquation 

\hfill$\np{12000} - \np{2000}\times 0,75^n \geqslant \np{11950}$.\hfill{}

\end{enumerate}\hyperlink{Index}{*}

\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Afin de se préparer à courir des marathons, Hugo aimerait effectuer quotidiennement un footing à
compter du 1\up{er} janvier 2014.

On admet que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Si Hugo court un jour donné, la probabilité qu'il ne coure pas le lendemain est de 0,2 ;
\item[$\bullet~~$] s'il ne court pas un jour donné, la probabilité qu'il ne coure pas le lendemain est de 0,4.
\end{itemize}

\medskip

On note $C$ l'état \og Hugo court \fg{} et $R$ l'état \og Hugo ne court pas \fg.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $c_n$ la probabilité de l'évènement \og Hugo court le $(n + 1)$-ième jour \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $r_n$ la probabilité de l'évènement \og Hugo ne court pas le $(n + 1)$-ième jour\fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $P_n$ la matrice $\begin{pmatrix}c_n& r_n\end{pmatrix}$ correspondant à l'état probabiliste le $(n + 1)$-ième jour.
\end{itemize}

\smallskip

Le 1\up{er} janvier 2014, motivé, le jeune homme court.

On a donc : $P_0 = \begin{pmatrix}c_0& r_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1& 0\end{pmatrix}$.\index{matrice}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets $C$ et $R$.
\item Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des
sommets.\index{matrice}
\item  On donne $M^6 = \begin{pmatrix}\np{0,750016}&  \np{0,249984} \\\np{0,749952} &\np{0,250048}\end{pmatrix}$·

Quel calcul matriciel permet de déterminer la probabilité $c_6$ qu'Hugo coure le 7\up{e} jour ?

Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $c_6$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $c_{n+1} = 0,2c_n + 0,6$.
	\end{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n = c_n - 0,75$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,2$. Préciser le premier terme.\index{suite}
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		
Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$,\: $c_n = 0,75 + 0,25\times 0,2^n$.
		\item Que peut-on conjecturer concernant la probabilité qu'Hugo coure le 29 décembre 2014 ?
		\item Conjecturer alors l'état stable de ce graphe.\index{etat stable@état stable}

Comment valider votre conjecture ?\hyperlink{Index}{*}
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip

Un téléphone portable contient en mémoire \np{3200} chansons archivées par catégories : rock, techno, rap, reggae \dots{} dont certaines sont interprétées en français. 

Parmi toutes les chansons enregistrées, 960 sont classées dans la catégorie rock. 

\smallskip

Une des fonctionnalités du téléphone permet d'écouter de la musique en mode \og lecture aléatoire\fg{}: les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équiprobable parmi l'ensemble du répertoire. 

Au cours de son footing hebdomadaire, le propriétaire du téléphone écoute une chanson grâce à ce mode de lecture. 

On note:

~~\textbullet~~$R$ l'évènement: \og la chanson écoutée est une chanson de la catégorie rock\fg{};

~~\textbullet~~$F$ l'évènement: \og la chanson écoutée est interprétée en français\fg. 

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{\textsc{Partie A}}

\medskip

\begin{enumerate}

\item Calculer $p(R)$, la probabilité de l'évènement $R$.\index{probabilités}

\item 35\,\% des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français; traduire cette donnée en utilisant les évènements $R$ et $F$. 

\item Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu'elle soit interprétée en français.

\item Parmi toutes les chansons enregistrées 38,5\,\% sont interprétées en français.

Montrer que $p\left(F \cap \overline R\right) = 0,28$. 

\item En déduire  $p_{\overline R}(F)$ et exprimer par une phrase ce que signifie ce résultat. 

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Partie B}} \hspace{1cm}
\emph{Les résultats de cette partie seront arrondis au millième.} 

\medskip

Le propriétaire du téléphone écoute régulièrement de la musique à l'aide de son téléphone portable. 

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque écoute de musique, associe la durée (en minutes) correspondante; on admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu=30$ et d'écart-type $\sigma=10$. \index{loi normale}

Le propriétaire écoute de la musique. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la durée de cette écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes ? 

\item Quelle est la probabilité que cette écoute dure plus d'une heure ? \hyperlink{Index}{*}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip

La courbe (C) ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0,5~;~6]$.
Les points A\,(1~;~3) et B d'abscisse $1,5$ sont sur la courbe (C). 

Les tangentes à la courbe (C) aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point B est horizontale. 

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. 

\begin{center}
\psset{xunit=1cm, yunit=1cm}
\def\xmin {-0.5}     \def\xmax {6.2}
\def\ymin {-2.2}      \def\ymax {5.2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin}
\psgrid[subgriddiv=1, griddots=7, gridlabels=0, gridcolor=black] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-0.1,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(0,0)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\def\f{3 x ln mul 2 x mul sub 5 add}% définition de la fonction
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{6}{\f}%   f
\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{0}{3}{x 2 add}%   Tangente en A
\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{0.2}{2.8}{3.2164}%   Tangente en B
\psdots(1,3)(1.5,3.2164)         \uput[dr](1,3){A}
\uput[ur](1.5,3.2164){B}
\uput[dl](5.5,-1){\blue (C)}
\end{pspicture*}
\end{center}

\emph{Les parties \rm A et \rm B sont indépendantes.}

\medskip

\textsc{\textbf{Partie A} : Étude graphique}\index{lecture graphique}

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(1,5)$.

\item La tangente à la courbe (C) passant par A passe par le point de coordonnées (0\,;\,2). Déterminer une équation de cette tangente.

\item Donner un encadrement de l'aire, en unités d'aire et à l'unité près, du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.\index{aire}

\item Déterminer la convexité de la fonction $f$ sur [0,5\,;\,6]. Argumenter la réponse.\index{fonction convexe}

\end{enumerate}

\textsc{\textbf{Partie B} :Étude analytique}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur [0,5~;~6] par 

\[f(x) = - 2x + 5 + 3\ln (x). \]\index{fonction logarithme népérien}

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de [0,5~;~6], calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{-2x+3}{x}$.\index{dérivée} 

\item Étudier le signe de $f'$ sur [0,5~;~6] puis dresser le tableau de variation de $f$ sur [0,5~;~6].

\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement une solution $\alpha$ sur [0,5\,;\,6].

Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.  

\item En déduire le tableau de signe de $f$ sur [0,5~;~6].

\item On considère la fonction $F$ définie sur [0,5~;~6] par
$F(x)= - x^2 +2x +3x \ln(x)$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur [0,5~;~6].\index{primitive}
		\item En déduire l'aire exacte, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième. \index{aire et intégrale}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}