\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-node,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Terminale ES}, pdftitle = {Métropole La Réunion juin 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Baccalauréat ES/L } \lfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \rfoot{\small 24 juin 2015} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L Métropole--La Réunion 24 juin 2015~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le service marketing d'un magasin de téléphonie a procédé à une étude du comportement de sa clientèle. Il a ainsi observé que celle-ci est composée de 42\,\% de femmes, 35\,\% des femmes qui entrent dans le magasin y effectuent un achat, alors que cette proportion est de 55\,\% pour les hommes. Une personne entre dans le magasin. On note : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$F$ l'évènement : \og La personne est une femme \fg{} ; \item[$\bullet~~$]$R$ l'évènement : \og La personne repart sans rien acheter \fg{} ; \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \smallskip Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ son évènement contraire et $p(A)$ sa probabilité. \emph{Dans tout l'exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.\\ Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.}\index{probabilités} \bigskip \textbf{PARTIE A} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré illustrant la situation.\index{arbre} \item Calculer la probabilité que la personne qui est entrée dans le magasin soit une femme et qu'elle reparte sans rien acheter. \item Montrer que $p(R) = 0,534$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip Un client du magasin s'inquiète de la durée de vie du téléphone de type T$_1$ qu'il vient de s'offrir. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque téléphone mobile de type T$_1$ prélevé au hasard dans la production, associe sa durée de vie, en mois. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 48$ et d'écart-type $\sigma = 10$.\index{loi normale} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que la probabilité que le téléphone de type T$_1$ prélevé fonctionne plus de 3 ans, c'est-à-dire 36 mois, est d'environ $0,885$. \item On sait que le téléphone de type T$_1$ prélevé a fonctionné plus de 3 ans. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne moins de 5 ans ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE C} \medskip Le gérant du magasin émet l'hypothèse que 30\,\% des personnes venant au magasin achètent uniquement des accessoires (housse, chargeur, \ldots). Afin de vérifier son hypothèse, le service marketing complète son étude. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de personnes ayant uniquement acheté des accessoires dans un échantillon de taille \np{1500}.\index{intervalle de fluctuation asymptotique} \item Le service marketing interroge un échantillon de \np{1500} personnes. L'étude indique que $430$ personnes ont acheté uniquement des accessoires. Doit-on rejeter au seuil de 5\,\% l'hypothèse formulée par le gérant ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L} \medskip Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l'utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuse plusieurs puits suffisamment profonds. Lors de la construction d'une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul, par : \[u_n = \np{2000} \times 1,008^{n-1}\] où $u_n$ représente le coût en euros du forage de la $n$-ième dizaine de mètres. On a ainsi $u_1 = \np{2000}$ et $u_2 = \np{2016}$, c'est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte \np{2000}~euros, et celui des dix mètres suivants coûte \np{2016}~euros.\index{suite} \smallskip \emph{Dans tout l'exercice, arrondir les résultats obtenus au centième.} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_3$ puis le coût total de forage des 30 premiers mètres. \item Pour tout entier naturel $n$ non nul : \begin{enumerate} \item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et préciser la nature de la suite $\left(u_n\right)$. \item En déduire le pourcentage d'augmentation du coût du forage de la $(n + 1)$-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la $n$-ième dizaine de mètres. \end{enumerate} \item On considère l'algorithme ci-dessous :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline INITIALISATION\\ $u$ prend la valeur \np{2000}\\ $S$ prend la valeur \np{2000}\\ TRAITEMENT \\ Saisir $n$\\ Pour $i$ allant de 2 à $n$\\ \hspace{1cm}$u$ prend la valeur $u \times 1,008$\\ \hspace{1cm}$S$ prend la valeur $S + u$\\ Fin Pour\\ SORTIE\\ Afficher $S$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} La valeur de $n$ saisie est 5. \begin{enumerate} \item Faire fonctionner l'algorithme précédent pour cette valeur de $n$. Résumer les résultats obtenus à chaque étape dans le tableau ci-dessous (à recopier sur la copie et à compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire). \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Valeur de $i$& &2 &\multicolumn{1}{|X}{~}\\ \hline Valeur de $u$&\np{2000} & &\multicolumn{1}{|X}{~}\\ \hline Valeur de $S$&\np{2000} & &\multicolumn{1}{|X}{~}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Quelle est la valeur de $S$ affichée en sortie ? Interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice. \end{enumerate} \item On note $S_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n$ la somme des $n$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$, $n$ étant un entier naturel non nul. On admet que : \[S_n = - \np{250000} + \np{250000} \times 1,008^n.\] Le budget consenti pour le forage du premier puits est de \np{125000} euros, On souhaite déterminer la profondeur maximale du puits que l'on peut espérer avec ce budget. \begin{enumerate} \item Calculer la profondeur maximale par la méthode de votre choix (utilisation de la calculatrice, résolution d'une inéquation \ldots). \item Modifier l'algorithme précédent afin qu'il permette de répondre au problème posé.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip On considère le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous :\index{graphe} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7.5,5) \psframe(7.5,5) \psdots(2.5,4.5)(4.5,4.5)(2.7,2.5)(1,2.1)(3,0.7)(4.3,2.7)(6.8,3)(6.6,1)%ABCDEFGH \psline(2.5,4.5)(4.5,4.5)(4.3,2.7)(2.7,2.5)(3,0.7)(1,2.1)(2.5,4.5)%ABFCED \uput[ul](2.5,4.5){A} \uput[u](4.5,4.5){B} \uput[l](2.7,2.5){C} \uput[l](1,2.1){D} \uput[d](3,0.7){E} \uput[ur](4.3,2.7){F} \uput[r](6.8,3){G} \uput[dr](6.6,1){H} \pspolygon(4.5,4.5)(6.8,3)(6.6,1)%BGH \pspolygon(4.3,2.7)(6.6,1)(3,0.7)%FHE \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer en justifiant si ce graphe: \begin{enumerate} \item est connexe ;\index{graphe connexe} \item admet une chaîne eulérienne.\index{chaîne eulérienne} \end{enumerate} \item On note $M$ la matrice d'adjacence associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.\index{matrice} On donne : \[M^3 = \begin{pmatrix} 0 &5 &2 &3 &2 &2 &1 &3\\ 5 &4 &3 &2 &5 &9 &6 &8\\ 2 &3 &2 &1 &6 &6 &3 &3\\ 3 &2 &1 &0 &5 &3 &2 &2\\ 2 &5 &6 &5 &4 &8 &3 &9\\ 2 &9 &6 &3 &8 &6 &3 &9\\ 1 &6 &3 &2 &3 &3 &2 &6\\ 3 &8 &3 &2 &9 &9 &6 &6\\ \end{pmatrix} \] Donner, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à B. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip Un club alpin souhaite proposer à ses membres des randonnées de plusieurs jours dans les Alpes. À cet effet, huit refuges notés A, B, C, D, E, F, G et H ont été sélectionnés. Le graphe $\mathcal{G}$ de la partie A permet de visualiser les différents itinéraires possibles, les sommets représentant les refuges et les arêtes schématisant tous les sentiers de randonnée balisés les reliant. \medskip \begin{enumerate} \item D'après l'étude effectuée dans la partie A, le club alpin est-il en mesure de proposer: \begin{enumerate} \item un itinéraire au départ du refuge A qui passerait par tous les refuges en empruntant une fois et une seule fois chacun des sentiers? Si oui, proposer un tel itinéraire; \item des itinéraires de trois jours (un jour correspondant à une liaison entre deux refuges) reliant le refuge E au refuge B ? Si oui, combien peut-il en proposer? \end{enumerate} \item Le graphe $\mathcal{G}$ est complété ci-dessous par la longueur en kilomètres de chacun des sentiers. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7.5,5) \psframe(7.5,5) \psdots(2.5,4.5)(4.5,4.5)(2.7,2.5)(1,2.1)(3,0.7)(4.3,2.7)(6.8,3)(6.6,1)%ABCDEFGH \pnode(2.5,4.5){A}\uput[ul](2.5,4.5){A} \pnode(4.5,4.5){B}\uput[u](4.5,4.5){B} \pnode(2.7,2.5){C}\uput[l](2.7,2.5){C} \pnode(1,2.1){D} \uput[l](1,2.1){D} \pnode(3,0.7){E} \uput[d](3,0.7){E} \pnode(4.3,2.7){F}\uput[ur](4.3,2.7){F} \pnode(6.8,3){G} \uput[r](6.8,3){G} \pnode(6.6,1){H} \uput[dr](6.6,1){H} \ncarc{A}{B}\ncput*{12} \ncarc{A}{D}\ncput*{14} \ncarc{B}{G}\ncput*{16} \ncarc{G}{H}\ncput*{11} \ncarc{B}{H}\ncput*{21} \ncarc{B}{F}\ncput*{9} \ncarc{F}{H}\ncput*{11} \ncarc{F}{E}\ncput*{16} \ncarc{E}{H}\ncput*{10} \ncarc{F}{C}\ncput*{10} \ncarc{C}{E}\ncput*{13} \ncarc{D}{E}\ncput*{10} %\psline(2.5,4.5)(4.5,4.5)(4.3,2.7)(2.7,2.5)(3,0.7)(1,2.1)(2.5,4.5)%ABFCED %\pspolygon(4.5,4.5)(6.8,3)(6.6,1)%BGH %\pspolygon(4.3,2.7)(6.6,1)(3,0.7)%FHE %\ncline{A}{D}\naput{14} \end{pspicture} \end{center} Le club alpin désire aussi proposer à ses membres l'itinéraire le plus court reliant A à H. Déterminer cet itinéraire et en préciser la longueur en kilomètres.\index{algorithme de Dijskra}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous représente dans un repère orthogonal une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-4~;~3]$. Les points A d'abscisse $- 3$ et B(0~;~2) sont sur la courbe $(\mathcal{C})$.\index{représentation graphique} Sont aussi représentées sur ce graphique les tangentes à la courbe $(\mathcal{C})$ respectivement aux points A et B, la tangente au point A étant horizontale. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. \begin{center} \psset{xunit=1.25cm,yunit=0.4cm} \begin{pspicture*}(-4.5,-6)(3.5,22) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10] \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4.5,-5.9)(3.5,21.9) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(3.5,21.9) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{3}{x 4 add 2.71828 x exp div 2 sub} \psline{<->}(-4,18)(-2,18)\uput[u](-3,18){A} \uput[ur](0,2){B} \psline{<->}(-2,8)(2,-4) \uput[r](-4,2){$(\blue \mathcal{C})$} \end{pspicture*} \end{center} \textbf{Les parties A et B sont indépendantes} \bigskip \textbf{PARTIE A} \medskip \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, déterminer : \begin{enumerate} \item $f'(-3)$ ; \item $f(0)$ et $f'(0)$. \end{enumerate} \item La fonction $f$ est définie sur $[-4~;~3]$ par \[f(x) = a + (x + b)\text{e}^{- x}\]\index{fonction exponentielle} où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on va déterminer dans cette partie. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $[-4~;~3]$.\index{dérivée} \item À l'aide des questions 1. b. et 2. a., montrer que les nombres $a$ et $b$ vérifient le système suivant : \[\left\{\begin{array}{l c l} a + b&=&2\\ 1 - b &=& - 3 \end{array}\right.\] \item Déterminer alors les valeurs des nombres $a$ et $b$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip On admet que la fonction $f$ est définie sur $[-4~;~3]$ par \[f(x) = - 2 + (x + 4)\text{e}^{- x}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout réel $x$ de $[-4~;~3]$, $f'(x) = (- x - 3)\text{e}^{- x}$ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur $[-4~;~3]$. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-3~;~3]$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près par défaut. \item On souhaite calculer l'aire $S$, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - 3$ et $x = 0$. \begin{enumerate} \item Exprimer, en justifiant, cette aire à l'aide d'une intégrale. \item Un logiciel de calcul formel dorme les résultats ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X r|}\hline 1 & $F(x) :=-2x+(-x-5)*\text{exp}(-x)$&\\\hline \multicolumn{1}{c|}{} &//Interprète $F$&\\\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{} &// Succès lors de la compilation $F$&\\\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{} & &$x \mapsto - 2*x + (- x - 5)* \text{exp}(-x)$\\\hline 2 &derive $(F (x))$&\\\hline \multicolumn{1}{c|}{} & &$-\text{exp}(-x)-\text{exp}(-x)*(- x - 5) - 2$\\\hline 3&\small simplifier$(-\text{exp}(-x)-\text{exp}(-x)*(- x - 5) -2)$&\\\hline \multicolumn{1}{c|}{}&&$x*\text{exp}(-x) + 4 *\text{exp}(- x) - 2$\\\cline{2-3} \end{tabularx} \end{center} À l'aide de ces résultats, calculer la valeur exacte de l'aire $S$ puis sa valeur arrondie au centième.\index{aire et intégrale}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = 3x - 3x\ln (x).\]\index{fonction logarithme népérien} On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé et $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$. \smallskip Quelle est la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ ? \end{document}