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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{5pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion}}
\rfoot{\small 11 septembre 2020}
\pagestyle{fancy}
\label{AmNord}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES/L -- Métropole - La Réunion~\decofourright\\[5pt] 11 septembre 2020}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip


\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.}

\emph{\textbf{Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}}

\emph{Chaque réponse exacte rapporte $1$ point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{-x^2+1}$.

La fonction $f$ admet pour dérivée la fonction $f'$ définie sur ~ par:

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.}~~ $f'(x) = \text{e}^{-x^2+1}$ &\textbf{b.}~~$f'(x) = \left(-x^2 +1\right)\text{e}^{-x^2+1}$ \\
\textbf{c.}~~  $f'(x) =  - 2x\e^{-x^2+1}$ &\textbf{d.}~~  $f'(x) = \text{e}^{-2x}$
\end{tabularx}

\item  Soit $a$ un réel quelconque. On pose :

\[B = \dfrac{\e^{a}\times \e^{3-a}}{\e}.\]

Alors :
\smallskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~$B = \e^2$ &\textbf{b.}~~$B = 7,39$&\textbf{c.}~~$B = \e^{3a-a^2-1}$ &\textbf{d.}~~$B = a \times \e^{3-a}$
\end{tabularx}
\item Un institut réalise un sondage sur \og les Français et la musique \fg{} auprès d'un échantillon représentatif de \np{1408} personnes.

28\,\% des personnes interrogées déclarent qu'elles chantent régulièrement sous la douche (\emph{données: Institut BVA-Presse Régionale-Foncia, mars $2017$}).

Un intervalle de confiance, au niveau de confiance 0,95 et dont les bornes sont arrondies au millième, de la proportion de Français qui chantent régulièrement sous la douche est :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~[0,253~;~0,307] &\textbf{b.}~~[\np{1013}~;~\np{1803}] &\textbf{c.}~~ [0,201~;~0,359] &\textbf{d.}~~ [0,279~;~0,281]
\end{tabularx}
\end{enumerate}

 Pour les deux questions suivantes, on utilisera le repère ci-dessous, dans lequel on a tracé la courbe représentative d'une fonction $g$ définie et dérivable sur $[-10~;~9]$. La tangente au point A de coordonnées (4~;~5) passe par le point B de coordonnées (-8~;~3).


\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-12,-2)(10,9)
\multido{\n=-12+2}{12}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-2)(\n,9)}
\multido{\n=-2+1}{12}{\psline[linewidth=0.1pt](-12,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2]{->}(0,0)(-12,-2)(10,9)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-10}{9}{4 x 4 exp 4 div x 3 exp add x dup mul 14 mul sub 100 div sub}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-10,0)(-8,7)(-6,7.3)(-4,6)(-2,4.5)(0,4)(2,4.4)(4,5)(6,4.5)(8,2.1)(9,-2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-12}{10}{x 6 div 13 3 div add}
\uput[u](4,5){A}\uput[dr](-8,3){B}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-8,3)(4,5)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item Le nombre dérivé $g'(4)$ est égal à :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~5&\textbf{b.}~~$0$&\textbf{c.}~~$6$&\textbf{d.}~~$\dfrac{1}{6}$
\end{tabularx}

\item  On pose $I =\displaystyle\int_{-2}^4 g(x)\:\text{d}x$.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.}~~$12 \leqslant I \leqslant 15$&\textbf{b.}~~$24\leqslant I \leqslant 30$\\
\textbf{c.}~~$I = 6$&\textbf{d.}~~$I = g(4) - g(- 2)$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

En France, la pratique de l'escalade est en plein essor ces dernières années, notamment grâce aux nombreuses ouvertures de salles dans les villes. La Fédération Française de la Montagne et de l'Escalade (FFME) comptait \np{90000}~adhérents au début de l'année 2017.

On estime qu'au début de chaque année :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 21\,\% des adhérents ne renouvellent pas leur adhésion ;
\item[$\bullet~~$] \np{29400} nouveaux pratiquants s'inscrivent.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

À partir de ces données, on modélise le nombre d'adhérents $n$ années après le début de
l'année 2017 par une suite $\left(u_n\right)$. Ainsi $u_0 = \np{90000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'adhérents au début de l'année 2018 puis au début de l'année
2019.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,79u_n + \np{29400}$.
\item On souhaite déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n > \np{135000}$. 

On considère l'algorithme suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$N \gets 0$\\
$U \gets \np{90000}$ \\
Tant que \ldots\\
\qquad $N \gets N+1$\\
\qquad $U \gets \ldots$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il permette de répondre à la question posée.
		\item Quelle est la valeur de $N$ après l'exécution de l'algorithme ? 
		
Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item On pose pour tout $n \in \N$ :

\[v_n = u_n - \np{140000}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
		\item Exprimer, pour tout $n \in \N$,\: $v_n$ en fonction de $n$. En déduire que pour tout $n \in \N$ :

\[u_n = - \np{50000} \times  0,79^n + \np{140000}\]

		\item La FFME peut-elle espérer dépasser les \np{140000}~adhérents ?
		
Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Pour automatiser l'estimation du nombre d'adhérents et du nombre de personnes ne renouvelant pas leur adhésion chaque année, on prépare la feuille de calcul suivante, dans laquelle les colonnes B et C sont au format nombre, arrondi à l'unité.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|m{2.5cm}|}\hline
&A&B&C\\ \hline
1&$n$&$u_n$&nombre de non renouvellements\\ \hline
2&0& \np{90000}&\cellcolor{lightgray} \\ \hline
3&1&& \\ \hline
4&2&& \\ \hline
5&3&& \\ \hline
6&4&& \\ \hline
7&5&& \\ \hline
8&6&& \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Pour obtenir les termes de la suite $\left(u_n\right)$ quelle formule peut-on saisir dans la cellule B3 avant de la recopier vers le bas ?
		\item Pour estimer le nombre de personnes ne renouvelant pas leur adhésion en début d'année, quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3 avant de la recopier vers le bas ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L}

\medskip

\emph{Pour tous évènements $E$ et $F$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$,\: $p(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est un évènement de probabilité non nulle, $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$.}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au millième si nécessaire.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une scierie produit des planches en chêne, en sapin ou en bois de hêtre pour fabriquer des parquets massifs. Il existe deux qualités de planche : les planches déclassées (de moins bonne qualité) et les planches de premier choix (de qualité supérieure). On sait que:

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]20\,\% des planches produites sont en chêne,
\item[$\bullet~~$]66\,\% des planches sont en sapin,
\item[$\bullet~~$]les autres sont en bois de hêtre.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

De plus, 46\,\% des planches en chêne sont déclassées et 25\,\% des planches en sapin sont déclassées.

\smallskip

On choisit une planche au hasard dans la production de la scierie, et on définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$C$: \og la planche est en chêne \fg;
\item[$\bullet~~$]$S$: \og la planche est en sapin\fg ;
\item[$\bullet~~$]$T$: \og la planche est en bois de hêtre\fg;
\item[$\bullet~~$]$D$: \og la planche est déclassée \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de $p(C)$,\: $p_C(D)$ et $p_S(D)$.
		\item On représente la situation par l'arbre suivant. Recopier l'arbre et compléter les
pointillés.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$~~}\taput{\ldots}}
	{\TR{$D$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{D}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$S$~~}\taput{\ldots}}
	{\TR{$D$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{D}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$T$~~}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$D$} 
	\TR{$\overline{D}$} 
	}
}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la planche soit en chêne et déclassée. 
\item On sait que la scierie produit 32\,\% de planches déclassées.

Montrer que $p(T \cap D) = 0,063$.
\item On choisit une planche de la production en bois de hêtre. Quelle est la probabilité qu'elle
soit déclassée ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On choisit un lot de $10$ planches au hasard, et on suppose que le nombre de planches déclassées dans ce lot peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,32$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $p(X = 4)$ et interpréter le résultat.
\item Calculer la probabilité qu'au moins une planche du lot soit déclassée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

L'épaisseur en millimètre d'une planche de sapin est modélisée par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu_S = 27$ et d'écart type $\sigma_S = 0,4$.

L'épaisseur en millimètre d'une planche de chêne est modélisée par une variable aléatoire $Z$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu_C = 25$ et d'écart type $\sigma_C$.

On sait de plus que $\sigma_C > \sigma_S$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $p(26,5 \leqslant  Y \leqslant 27,5)$.
\item Parmi les courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ ci-dessous, l'une représente la densité de probabilité de $Y$, une autre celle de $Z$.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.25)(6,1.5)
\multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,1.5)}
\multido{\n=0.00+0.25}{7}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=23,Dy=0.25](0,0)(0,0)(6,1.5)
\psGauss[mue=2,sigma=0.3,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0}{6}\uput[r](2.4,1){\red $\mathcal{C}_2$}
\psGauss[mue=2,sigma=0.5,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{6}\uput[l](1.2,0.3){\blue $\mathcal{C}_1$}
\psGauss[mue=4,sigma=0.4,linewidth=1.25pt]{2}{6}\uput[r](4.3,0.8){$\mathcal{C}_3$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la courbe représentant la fonction de densité de $Y$ ? Justifier. 
		\item Quelle est la courbe représentant la fonction de densité de $Z$ ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item On sait que la probabilité qu'une planche en chêne ait une épaisseur comprise entre 24~mm et 26~mm est égale à environ $0,95$. Donner une valeur approchée de l'écart type $\sigma_C$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi la spécialité}

\medskip

L'organisatrice d'une course à pied dans la ville de Berlin voudrait faire passer les participants par les lieux suivants :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Alexanderplatz (A)
\item[$\bullet~~$] Porte de Brandebourg (B)
\item[$\bullet~~$] Checkpoint Charlie (C)
\item[$\bullet~~$] Fleamarket (F)
\item[$\bullet~~$] Musée de Pergame (P)
\item[$\bullet~~$] Reichstag (R)
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On peut résumer la situation par le graphe ci-dessous:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(7,6)
\psset{nodesep=0pt, radius=2pt}
%\psgrid
%%% sommets et noms
\Cnode*(3,6){A} \uput[u](A){A}
\Cnode*(5.6,4.1){B} \uput[ur](B){B}
\Cnode*(6,1){C} \uput[-10](C){C}
\Cnode*(3,0){F} \uput[d](F){F}
\Cnode*(0,1.5){P} \uput[dl](P){P}
\Cnode*(0,4.5){R} \uput[ul](R){R}
%%% arêtes
\ncline{R}{B}
\ncline{R}{F} \ncline{P}{A}
\ncline{P}{B} \ncline{P}{C}
\ncline{F}{C} \ncline{F}{A} \ncline{F}{B}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} \ncline{A}{C}
\end{pspicture}
\end{center}


Les lieux sont représentés par les sommets, et les rues ouvertes à la course par les arêtes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ordre de ce graphe? 
		\item Est-il complet ? Justifier.
		\item Est-il connexe ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'organisatrice peut-elle envisager un parcours passant par tous ces lieux en empruntant une seule fois chacune des rues? Justifier.
		\item Peut-elle envisager un parcours passant par tous ces lieux en empruntant une seule fois chacune des rues, et dont le départ et l'arrivée se font au même endroit?
	\end{enumerate}
\item Donner la matrice d'adjacence $M$ de ce graphe, en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique.


\item On admet que:


\[M^3 = \begin{pmatrix}
10&13&11&12&10& 5\\
13&12&13&12&11& 8\\
11&13&10&12&10& 5\\
12&12&12&8& 7& 7\\
10&11&10&7& 6& 5\\
5&8&5&7&5&2
\end{pmatrix}\]

Combien de parcours peut-on envisager d'Alexanderplatz au Reichstag passant par exactement 3 rues ?

Justifier la réponse.
\item L'organisatrice veut également prévoir un autre parcours pour les coureurs moins expérimentés. Ce parcours doit débuter à Alexanderplatz et se terminer au Reichstag. 

Les distances entre les différents lieux sont indiquées en kilomètres sur le graphe ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(7,6)
\psset{nodesep=0pt, radius=2pt}
%\psgrid
%%% sommets et noms
\Cnode*(3,6){A} \uput[u](A){A}
\Cnode*(5.6,4){B} \uput[10](B){B}
\Cnode*(6,1){C} \uput[-10](C){C}
\Cnode*(3,0){F} \uput[d](F){F}
\Cnode*(0,1.5){P} \uput[190](P){P}
\Cnode*(0,4.5){R} \uput[170](R){R}
%%% arêtes et poids
\ncline{R}{B}\ncput*[npos=0.43]{0,5}
\ncline{R}{F}\ncput*[npos=0.45]{5}
\ncline{P}{A}\ncput*{2}
\ncline{P}{B}\ncput*[npos=0.6]{4,5}
\ncline{P}{C}\ncput*[npos=0.55]{2}
\ncline{F}{C}\ncput*{6}
\ncline{A}{F}\ncput*[npos=0.43]{3,5}
\ncline{F}{B}\ncput*{4}
\ncline{A}{B}\ncput*{6}
\ncline{B}{C}\ncput*{1,5}
\ncline{A}{C}\ncput*[npos=0.45]{5}
\end{pspicture}
\end{center}


%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(7,6)
%\cnode*(0.5,1){2pt}{P}\cnode*(2.5,5.5){2pt}{A}
%\cnode*(2,0.5){2pt}{F}\cnode*(6,1){2pt}{C}
%\cnode*(0.4,3.5){2pt}{R}\cnode*(5,3.5){2pt}{B}
%\ncline{R}{B}\ncput*{0,5}
%\ncline{R}{F}\ncput*{5}\ncline{P}{A}\ncput*{2}
%\ncline{P}{B}\ncput*{4,5}\ncline{P}{C}\ncput*{2}
%\ncline{F}{C}\ncput*{6}\ncline{F}{A}\ncput*{3,5}
%\ncline{F}{B}\ncput*{4}
%\ncline{A}{B}\ncput*{6}\ncline{B}{C}\ncput*{1,5}\ncline{A}{C}\ncput*{5}
%\uput[ul](0.4,3.5){R}\uput[u](2.5,5.5){A}\uput[ur](5,3.5){B}
%\uput[r](6,1){C}\uput[d](2,0.5){F}\uput[dl](0.5,1){P}
%\end{pspicture}
%\end{center}

Déterminer le parcours le plus court possible d'Alexanderplatz au Reichstag. Donner sa longueur.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ deux fois dérivable sur l'intervalle [1~;~4], définie par : 

\[f(x) = - x^2 + 4x - 5 + 6 \ln (x).\]

La courbe représentative $\mathcal{C}$ de cette fonction est donnée dans le repère ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.7,-2.2)(4.7,5.6)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=5,gridcolor=gray,gridlabels=0](-2,-3)(10,6)
%\multido{\n=-0.5+0.1}{51}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](\n,-2.0)(\n,5.6)}
%\multido{\n=-0.5+0.5}{10}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=lightgray](\n,-2.0)(\n,5.6)}
%\multido{\n=-2.0+0.2}{39}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](-0.5,\n)(4.5,\n)}
%\multido{\n=-2+1}{8}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=lightgray](-0.5,\n)(4.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(-0.7,-2.2)(4.7,5.6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{4}{4 x mul x dup mul sub 5 sub x ln 6 mul add}
\uput[ur](3.25,4.5){\blue $\mathcal{C}$}
\rput(-0.2,-0.44){0}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](4,3.318)(1,-2)
\end{pspicture*}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [1~;~4].
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~4], on a :
		
\[f'(x) = \dfrac{- 2x^2 + 4x + 6}{x}.\]

		\item Dresser le tableau de signe de $f'$ sur l'intervalle [1~;~4].
		\item En déduire le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [1~;~4]. On arrondira les
valeurs des images si nécessaire au millième.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~4].
		
Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
		\item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~4].
	\end{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants, qu'on admettra dans la suite:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|l|}\hline
1 &Dériver((-2x \verb+^+2+ 4x + 6)/x)\\
&\multicolumn{1}{c|}{$-2 - \dfrac{6}{x^2}$}\rule[-4mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
2&Dériver(- x \verb+^+3 / 3 + 2x\verb+^+2-11x + 6x ln (x)) \\
&\multicolumn{1}{c|}{$-x^2 +4x - 5 + 6 \ln (x)$}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le premier résultat fourni par le logiciel, justifier que la courbe $\mathcal{C}$ est située en-dessous de toutes ses tangentes.
		\item En utilisant le deuxième résultat fourni par le logiciel, calculer l'intégrale $I$ définie par :
		
\[I = \displaystyle\int_1^4 f(x)\:\text{d}x.\]

Donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie au millième de $I$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
	
\textbf{Partie B}

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Chaque mois, un prothésiste dentaire produit entre $100$ et $400$ prothèses.

On admet que lorsque $x$ centaines de prothèses sont fabriquées (avec $1 \leqslant x \leqslant 4$), le bénéfice, en millier d'euros, est donné par $f(x)$, où $f$ est la fonction définie à la partie A.

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Utiliser des résultats de la partie A pour répondre aux questions suivantes:

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\begin{enumerate}
\item Combien de prothèses faut-il fabriquer pour obtenir un bénéfice maximal ? Donner ce bénéfice maximal à l'euro près.
\item Combien de prothèses faut-il fabriquer au minimum pour obtenir un bénéfice positif ?
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~4]. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{document}
