\documentclass[10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{multirow} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks,pst-tree,pstricks-add} %\def\psvlabel#1{\nombre{$#1$}} %Sujet aimablement communiqu\'e par Laurence Surivi et Clotilde Rouchon %Tapuscrit : Denis Vergès corrigé par Arié Yallouz \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Baccalauréat ES } \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small 19 novembre 2012} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large \gray \decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\ 19 novembre 2012} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un article paru en 2008 dans le journal \emph{Les \'Echos} indiquait les coûts (en milliards d'euros) des derniers Jeux Olympiques depuis 1984. Ces données sont résumées dans le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{7}{@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}|}}\hline Lieu &\footnotesize Los Angeles &\small Séoul &\small Barcelone &\small Atlanta &\small Sydney & \small Athènes &\small Pékin\\ \hline Année &1984 &1988 &1992 &1996 &2000 &2004 &2008\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline Coût $y_{i}$ &0,45 &0,96 &1,67 &2,75 &4,5 &11,6 &26,3 \\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item On a tracé ci-dessous le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{1}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. Expliquer pourquoi un ajustement affine ne semble pas justifié. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm} \begin{pspicture}(-0.4,-2)(7,28) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(7,28) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.4,-1.9)(7,28) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-0.4,-1.9)(7,28) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](0,0.45)(1,0.96)(2,1.67)(3,2.75)(4,4.5)(5,11.6)(6,26.3) \uput[dr](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \item Une première modélisation : ajustement exponentiel Pour $0 \leqslant i \leqslant~ 6$, on pose $z_{i} = \ln y_{i}$. \begin{enumerate} \item Recopier le tableau ci-dessous et le compléter avec les valeurs $z_{i}$, arrondies au centième. \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang de l'année $x_{i}$ & 0 &1 & 2 &3 &4 &5 &6\\ \hline $z_{i} = \ln y_{i}$ & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item \`A l'aide de la calculatrice, et en utilisant les données du tableau ci-dessus, donner une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, sous la forme $z = ax + b$ (les coefficients seront arrondis au millième). \item En déduire une approximation des coûts $y$, en milliards, sous la forme $y = A\text{e}^{Bx}$ où les coefficients $A$ et $B$ seront arrondis au centième. \item On suppose que cette modélisation reste acceptable jusqu'en 2012. Quelle estimation des coûts peut-on alors faire pour les Jeux Olympiques de Londres de 2012 (le résultat sera arrondi au milliard). \end{enumerate} \item Une deuxième modélisation: \begin{enumerate} \item Trouver le pourcentage d'augmentation des coûts entre 1984 et 1988. \item Justifier qu'entre 1984 et 2008 le pourcentage moyen d'augmentation par olympiade (période de 4 ans), arrondi à l'unité, est de 97\,\%. \item Si cette évolution des coûts continue suivant la même progression, donner une estimation des coûts pour les Jeux Olympiques de Londres en 2012 (le résultat sera arrondi au milliard). \end{enumerate} \item Un journal anglais a déclaré que les coûts des Jeux Olympiques de Londres approcheraient les 45~milliards d'euros. Laquelle des deux modélisations semble la plus cohérente avec cette affirmation ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \medskip Une enquête a été réalisée auprès de français s'étant rendus à Londres pour des raisons touristiques. Cette enquête révèle que, pour se rendre dans la capitale anglaise, 30\,\% de ces touristes ont utilisé l'avion, 50\,\% ont utilisé le train passant par le tunnel sous la Manche et les autres touristes ont traversé la Manche par bateau. Sur l'ensemble de tous les touristes interrogés, 40\,\% sont restés en Angleterre plus d'une semaine. Parmi les touristes interrogés ayant utilisé l'avion, 20\,\% sont restés en Angleterre plus d'une semaine et parmi ceux qui ont choisi le train, 60\,\% sont restés en Angleterre plus d'une semaine. On interroge au hasard un touriste ayant répondu à l'enquête. On suppose que chaque touriste avait la même probabilité d'être choisi. On note : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement \og Le touriste interrogé a voyagé en avion \fg. \item[$\bullet~~$] $T$ l'évènement \og Le touriste interrogé a voyagé en train \fg. \item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement \og Le touriste interrogé a voyagé en bateau \fg. \item[$\bullet~~$] $S$ l'évènement \og Le touriste interrogé est resté en Angleterre plus d'une semaine \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que le touriste interrogé ait voyagé en bateau pour se rendre en Angleterre. \item \begin{enumerate} \item Exprimer à l'aide d'une phrase l'évènement $A \cap S$. \item Déterminer les probabilités $p(A \cap S)$ et $p(T \cap S)$. (On pourra utiliser un arbre pondéré). \end{enumerate} \item Montrer que $P(B \cap S) = 0,04$. \item Déterminer la probabilité que le touriste interrogé ait voyagé en bateau sachant qu'il est resté plus d'une semaine en Angleterre. \item On interroge au hasard 3 touristes ayant répondu à l'enquête de façon indépendante. On suppose que le nombre de personnes ayant répondu à l'enquête est suffisamment grand pour assimiler l'interrogation au hasard à un tirage avec remise. Déterminer la probabilité que parmi ces trois touristes se trouve un seul touriste étant resté en Angleterre plus d'une semaine. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Afin d'être performant lors d'une grande compétition, Christophe, champion d'athlétisme spécialiste du sprint, s'entraine chaque jour de l'année et réalise quotidiennement une course à pleine vitesse sur 100 mètres en tentant de courir en moins de 10 secondes. On constate que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] S'il réalise moins de 10~secondes sur 100~mètres un jour, la probabilité qu'il réalise moins de 10~secondes sur 100~mètres le lendemain est égale à $0,75$. \item[$\bullet~~$] S'il ne réalise pas moins de 10~secondes sur 100~mètres un jour, la probabilité qu'il réalise moins de 10~secondes sur 100~mètres le lendemain est égale à $0,5$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Le premier jour de l'année, Christophe n'a pas réussi à réaliser moins de 10 secondes sur sa course à pleine vitesse. Soit $n$ un entier naturel non nul. On note : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $a_{n}$, la probabilité que Christophe réalise moins de 10~secondes le $n$-ième jour. \item[$\bullet~~$] $b_{n}$, la probabilité que Christophe ne réalise pas moins de 10 secondes le n-ième jour. \item[$\bullet~~$] $P_{n} = \left(a_{n \quad } b_{n}\right)$, la matrice ligne traduisant l'état probabiliste le $n$-ième jour. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Écrire la matrice ligne $P_{1}$ de l'état probabiliste initial. \item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l'état \og Christophe réalise moins de 10 secondes au 100 mètres \fg, B représentant l'état \og Christophe ne réalise pas moins de 10 secondes au 100 mètres\fg). \item Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en considérant les états dans l'ordre alphabétique. \item Déterminer la matrice ligne $P_{3}$. Comment peut-on interpréter ce résultat pour Christophe ? \item Soit $P = (a \quad b)$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste stable. \begin{enumerate} \item Justifier que $a$ et $b$ vérifient le système $\left\{\begin{array}{l c l}0,25 a - 0,5 b &=&0\\ a + b &=& 1 \end{array}\right.$. \item Lors d'une interview à un journaliste sportif, Christophe déclare : \og Au vu de tous les entrainements effectués pour me préparer à ce grand évènement je suis confiant et je pense avoir deux chances sur trois de pouvoir réaliser moins de 10~secondes sur 100~mètres lors de la compétition \fg. Cette affirmation vous paraît-elle justifiée ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $[3~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{x}{x+ 5 \ln x}\] \begin{enumerate} \item On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$. Montrer que la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est égale à $1$. \item On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $[3~;~+ \infty[$ on a $f^{\prime}(x) = \dfrac{5(\ln x - 1)}{(x + 5\ln x)^2}$. \item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $[3~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur cet intervalle. \item Montrer que sur l'intervalle [3~;~50] l'équation $f(x) = 0,5$ possède une unique solution $\alpha$ puis, à l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à l'entier supérieur par excès de $\alpha$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'organisation chargée de vendre les billets pour assister aux différentes épreuves d'un grand év\`enement sportif a mis en vente ces billets environ deux ans avant le début officiel des épreuves. Une étude, portant sur la progression des ventes de ces billets, à partir du troisième jour de mise en vente, a permis de modéliser l'évolution des ventes des billets selon la fonction $f$ étudiée dans la partie A. La proportion des ventes effectuées par rapport à l'ensemble des billets $x$ jours après le début de la mise en vente, est donnée par la valeur $f(x)$, arrondie au millième, pour tout $x$ entier de l'intervalle $[3~;~700]$. Ainsi la valeur approchée de $f(3)$, arrondie au millième, est $0,353$ ; cela signifie que trois jours après le début de la mise en vente des billets, 35,3\,\% des billets étaient déjà vendus. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant la partie A, déterminer le nombre de jours nécessaires à la vente de 50\,\% de l'ensemble des billets. \item On considère l'algorithme suivant (la fonction $f$ est celle qui est définie dans la partie A). \vspace{0,3cm}\begin{tabular}{|l l} Initialisation :& Affecter à $X$ la valeur 3.\\ &Affecter à Y la valeur f(X).\\ ~&\\ Saisie :& Afficher \og Entrer un nombre $P$ compris entre 0 et 1 \fg.\\ & Lire $P$.\\ ~&\\ Traitement : & Tant que $Y < P$\\ &\hspace{0,75cm}- Affecter à $X$ la valeur $X + 1$.\\ &\hspace{0,75cm}- Affecter à $Y$ la valeur $f(X)$.\\ &Fin du Tant que\\ ~&\\ Sortie :& Afficher $X$.\\ \end{tabular} \medskip \begin{enumerate} \item Si l'utilisateur de cet algorithme choisit $0,9$ comme valeur de $P$, la valeur de sortie de l'algorithme est $249$. Que signifie ce résultat pour les organisateurs ? \item Si l'utilisateur de cet algorithme choisit $0,5$ comme valeur de $P$, quelle valeur de $X$ apparaîtra à la sortie de l'algorithme ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de chaque question et indiquer la réponse choisie. \medskip \emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Aucune justification n'est attendue.} \medskip On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : \[f(x) = x\text{e}^x.\] \begin{enumerate} \item On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Pour tout réel $x$ on a : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} $f^{\prime}(x) = \text{e}^x$ &\textbf{b.~~} $f^{\prime}(x) = (x - 1)\text{e}^x$ &\textbf{c.~~} $f^{\prime}(x) = (x + 1)\text{e}^x$ \end{tabularx} \medskip \item Le nombre de solutions réelles de l'équation $f(x) = 2x$ est \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} $0$& \textbf{b.~~} $1$& \textbf{c.~~} $2$ \end{tabularx} \medskip \item La valeur exacte de $f(- \ln 2)$ est \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~}$2\ln 2$&\textbf{b.~~} $- \dfrac{\ln 2}{2}$& \textbf{c.~~} $- 0,346$ \end{tabularx} \medskip \item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique d'une primitive de la fonction $f$. Laquelle ? \end{enumerate} \medskip \begin{tabular}{*{3}{c}} \psset{xunit=0.65cm,yunit=0.95cm} \begin{pspicture}(-4,-3)(2,4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5,gridwidth=1.5pt] \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-3)(2,4) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{0.62}{x 1 add 2.71828 x exp mul neg} \rput(-1,-3.5){\textbf{a.}}\uput[dr](0,0){O} \end{pspicture}& \psset{xunit=0.65cm,yunit=0.95cm} \begin{pspicture}(-4,-3)(2,4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5,gridwidth=1.5pt] \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-3)(2,4) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{1.716}{x 1 sub 2.71828 x exp mul} \rput(-1,-3.5){\textbf{b.}}\uput[dr](0,0){O} \end{pspicture}& \psset{xunit=0.65cm,yunit=0.95cm} \begin{pspicture}(-4,-3)(2,4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5,gridwidth=1.5pt] \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-3)(2,4) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{1.135}{x dup mul 2.71828 x exp mul} \rput(-1,-3.5){\textbf{c.}}\uput[dr](0,0){O} \end{pspicture} \end{tabular} \end{document}