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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\label{Polynesie}
\rfoot{\small 2 septembre 2020}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES Polynésie 2 septembre 2020
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\textbf{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. \\Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.\\ Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\bigskip
 
Seules les affirmations 1, 2 et 3 s'appuient sur la figure ci-dessous dans laquelle:

\bigskip

\parbox{0.5\linewidth}{
\begin{list}{\textbullet}{}
\item la courbe $\mathcal{C}$ représente une fonction $g$ définie et strictement croissante sur $\R$,
\item le point A est le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse 1 et le point B celui d'abscisse 2,
\item la droite $(d)$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A,
\item la tangente $(t)$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point B est horizontale.
\end{list}}%\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(5.5,11)
%\multido{\n=-1.0+0.2}{33}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-3)(\n,11)}
%\multido{\n=-1+1}{7}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,-3)(\n,11)}
%\multido{\n=-3.0+0.4}{36}{\psline[linewidth=0.1pt](-1,\n)(5.5,\n)}
%\multido{\n=-2+2}{7}{\psline[linewidth=0.8pt](-1,\n)(5.5,\n)}
\psgrid[unit=1cm,gridcolor=gray,subgriddiv=5,gridlabels=0](-1,-1.5)(5.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-3)(5.5,11)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue](-1,1)(5.5,1)\uput[u](4.5,1){$(t)$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0}{5}{3 x mul 3 sub}\uput[ul](3,6){$(d)$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.4}{5}{x 3 exp  x dup mul 6  mul sub 12 x mul add  7 sub}\uput[r](3.5,4.2){\red $\mathcal{C}$}
\psdots(1,0)(2,1) \uput[ul](1,0){A}  \uput[u](2,1){B} 
\end{pspicture*}
}

\textbf{Affirmation 1}

$g'(1) = 1$

\medskip

\textbf{Affirmation 2}

Toute primitive de la fonction $g$ est strictement croissante sur [0~;~3].

\medskip

\textbf{Affirmation 3}

Le point B est un point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $g$.

\medskip

\textbf{Affirmation 4}

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, d'expression $f(x) = x\e^{3x}$.

La fonction dérivée de $f$ notée $f'$ est définie sur $\R$ par $f'(x) = 3\e^{3x}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Les parties de cet exercice sont indépendantes.

Le syndrome d'apnée du sommeil se manifeste par des interruptions répétées de la respiration pendant le sommeil. Ce syndrome peut être dû à plusieurs facteurs.

\newpage
\vspace*{-1cm}
\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{Sauf indication contraire, les résultats numériques seront approchés à \boldmath$10^{-4}$\unboldmath{} près}

\medskip

Dans cette partie, on cherche à étudier le lien entre le surpoids et le syndrome d'apnée du sommeil dans une population donnée.

Parmi les personnes participant à l'étude, 41\,\% sont en surpoids.

On observe que parmi les individus en surpoids, 12\,\% souffrent du syndrome d'apnée du sommeil, et que parmi les individus qui ne sont pas en surpoids, 4\,\% souffrent du syndrome d'apnée du sommeil.

\smallskip

Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $P(E)$ sa probabilité.

\smallskip

Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

\smallskip

On choisit au hasard une personne ayant participé à l'étude, et on note :

$\bullet~~$ $S$ l'évènement : \og la personne est en surpoids \fg{} ;

$\bullet~~$ $A$ l'évènement : \og la personne souffre d'apnée du sommeil \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un arbre pondéré.
\item Calculer la probabilité que la personne choisie soit en surpoids et souffre d'apnée du sommeil.
\item Montrer que $P(A) = \np{0,0728}$. 

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item On choisit au hasard une personne qui souffre du syndrome d'apnée du sommeil. Quelle est la probabilité que cette personne soit en surpoids ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse au cas particulier d'un patient souffrant d'apnée du sommeil.

Pendant plusieurs nuits, on observe son rythme respiratoire au cours de son sommeil. Ces examens permettent d'établir que la durée, en seconde, des apnées de ce patient peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 22$ et d'écart-type $\sigma = 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité $P(14 \leqslant D \leqslant 30)$.

 Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Calculer, à $10^{-2}$ près, une valeur approchée de la probabilité qu'une apnée de ce patient dure plus de $30$ secondes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Une entreprise d'équipement médical commercialise un dispositif de ventilation en pression positive continue. Ce dernier permet de maintenir ouvertes les voies respiratoires du patient, prévenant ainsi les apnées du sommeil.

\smallskip

L'entreprise affirme que $91$\,\% des patients qui utilisent le dispositif ressentent une amélioration de la qualité de leur sommeil.

\smallskip

Une étude est menée sur $348$ patients auxquels on fait tester le dispositif. Après plusieurs nuits, 290 personnes déclarent avoir ressenti une amélioration de la qualité de leur sommeil.

\smallskip

Peut-on remettre en cause l'affirmation de l'entreprise d'équipement médical? Justifier la réponse.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Au 31 décembre 2017, un magazine possède \np{450000} abonnés. On note que chaque année, seuls 80\,\% des abonnés de l'année précédente renouvellent leur abonnement auxquels viennent s'ajouter \np{180000} nouveaux abonnés.

\medskip

On note $\left(u_n\right)$ une suite modélisant le nombre d'abonnés, exprimé en millier, au $31$ décembre de l'année $(2017+n)$. On a donc $u_0 = 450$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, selon ce modèle, le nombre d'abonnés au 31 décembre 2018.
\item Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 0,8u_n +180$.
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 900$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,8$. Préciser son premier terme.
		\item Soit $n$ un entier naturel. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, \:  $u_n = - 450 \times 0,8^n + 900$.
	\end{enumerate}
\item La direction du magazine affirme qu'à long terme, le nombre d'abonnés dépassera \np{900000}. Que penser de cette affirmation ? Justifier la réponse.
\item En s'appuyant sur ce modèle, au 31 décembre de quelle année le nombre d'abonnés dépassera-t-il \np{800000} pour la première fois ?
\item La direction du magazine s'engage à verser chaque année 1 euro par abonnement à une association caritative.

On dispose de l'algorithme ci-dessous:


\[\begin{array}{|l|}\hline
U \gets 450\\
S \gets 450\\
\text{Pour } I \text{ allant de } 1\: \text{à }  N\\
\qquad U \gets 0,8*U + 180\\
\qquad S \gets S + U\\
\text{Fin Pour}\\ \hline
\end{array}\]

On affecte 3 à la variable $N$ et on exécute l'algorithme.
	\begin{enumerate}
		\item Après l'exécution, quelle valeur numérique contient la variable $S$ ?
		\item Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Deux plateformes proposant des films en streaming se font concurrence sur le marché: Webflix et Yellow Cinéma. 

Au 1\up{er} janvier 2019, 63\,\% des utilisateurs de ces plateformes sont abonnés à Webflix et les 37\,\% restants à Yellow Cinéma. On souhaite étudier l'évolution du marché au fil du temps.

\smallskip

On estime que chaque mois:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item parmi les clients de Webflix, 89\,\% renouvellent leur abonnement tandis que les autres quittent la plateforme pour s'abonner à Yellow Cinéma.
\item parmi les clients de Yellow Cinéma, 91\,\% renouvellent leur abonnement tandis que les autres quittent la plateforme pour s'abonner à Webflix.
\end{list}

\smallskip

On suppose également que le nombre total de clients reste constant. 

Pour tout entier naturel $n$, on note :

$\bullet~~$ $w_n$ la proportion de clients abonnés à Webflix $n$ mois après le 1\up{er} janvier 2019.

$\bullet~~$ $y_n$ la proportion de clients abonnés à Yellow Cinéma $n$ mois après le 1\up{er} janvier 2019.

\smallskip

L'état probabiliste $n$ mois après le 1\up{er} janvier 2019 est noté $P_n= \begin{pmatrix} w_n& y_n\end{pmatrix}$. 

On a ainsi $P_0 = \begin{pmatrix} 0,63&0,37\end{pmatrix}$. 

On rappelle que pour tout entier naturel $n$,\:  $w_n + y_n = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste dans lequel on notera respectivement W et Y les sommets correspondants aux plate-formes Webflix et Yellow Cinéma.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice de transition $M$ de ce graphe, en considérant les sommets dans leur ordre alphabétique.
		\item Calculer l'état probabiliste $P_2$.
	\end{enumerate}
\item  Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $w_{n+ 1} = 0,8w_n + 0,09$.
\item  On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $a_n = w_n - 0,45$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(a_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,8$ dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item Étant donné un entier naturel $n$, exprimer $a_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $w_n = 0,18 \times 0,8^n + 0,45$.
	\end{enumerate}
\item  Les dirigeants de Webflix peuvent-ils espérer rester les leaders du marché à long terme ?
Expliquer.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le réseau de serveurs permettant à Webflix de diffuser les films que la plateforme propose à ses abonnés est modélisé par le graphe ci-dessous. Les sommets représentent les serveurs et sur les arêtes on a indiqué les temps de réponse, exprimés en milliseconde, entre deux serveurs.


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,5)
\rput(0,2.5){\circlenode{A}{A}} \rput(1.5,0.5){\circlenode{B}{B}} 
\rput(2,4.5){\circlenode{C}{C}} \rput(2.5,2.5){\circlenode{D}{D}} 
\rput(5,2){\circlenode{E}{E}} \rput(5,4){\circlenode{F}{F}} 
\rput(7,0.5){\circlenode{G}{G}} \rput(8.5,2.5){\circlenode{H}{H}} 
\ncline{A}{B}\ncput*[nrot=:U]{31}\ncline{A}{C}\ncput*[nrot=:U]{26}
\ncline{A}{D}\ncput*[nrot=:U]{43}\ncline{B}{D}\ncput*[nrot=:U]{24}
\ncline{B}{E}\ncput*[nrot=:U]{21}\ncline{C}{D}\ncput*[nrot=:U]{22}
\ncline{C}{F}\ncput*[nrot=:U]{29}\ncline{D}{E}\ncput*[nrot=:U]{33}
\ncline{E}{F}\ncput*[nrot=:U]{25}\ncline{E}{G}\ncput*[nrot=:U]{16}
\ncline{E}{H}\ncput*[nrot=:U]{29}\ncline{F}{H}\ncput*[nrot=:U]{22}
\ncline{G}{H}\ncput*[nrot=:U]{11}
\end{pspicture}
\end{center}

Des données doivent transiter du serveur A vers le serveur H.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide d'un algorithme, un chemin que doivent suivre ces informations pour que la transmission soit la plus rapide possible.
\item Préciser le temps de réponse pour le chemin trouvé précédemment.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On étudie l'évolution du taux de natalité d'une population entre 1750 et 1870.

\smallskip

On admet que le taux de natalité peut être modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle 
[0~;~120] par :

\[f(x) = 0,1 + \dfrac{4,3}{1 + \e^{0,1x-6}}\]

où :

$\bullet~~$ $x$ représente le temps, exprimé en années, écoulé depuis 1750,

$\bullet~~$ $f(x)$ représente le taux de natalité, exprimé en pourcentage, de la population totale. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur [0~;~120] et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Sur le graphique ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}$ représente la fonction $f$, et la droite  $\mathcal{T}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 38.

\begin{center}
\psset{xunit=0.085cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,0.25)(120,6)
\multido{\n=0+2}{61}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,6)}
\multido{\n=0+10}{13}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,6)}
\multido{\n=0.0+0.2}{31}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](0,\n)(120,\n)}
\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray](0,\n)(120,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=10]{->}(0,0)(0,0)(120,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=10](0,0)(0,0)(120,6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{120}{4.3 1 2.71828 0.1 x mul 6 sub exp add div 0.1 add}
\uput[u](95,0.2){\red $\mathcal{C}$}\uput[u](105,1.5){\blue $\mathcal{T}$}\uput[u](38,4){A}
\psline[linecolor=blue](0,5.45)(120,0.8)
\psdots(38,3.97)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Avec la précision permise par le graphique:
	\begin{enumerate}
		\item Donner une valeur approchée de $f'(38)$.
		\item Recopier, parmi les propositions suivantes, celle qui est exacte:

\[7 \leqslant \displaystyle\int_{10}^{30} f(x)\:\text{d}x\leqslant 8 \quad ;\quad 130 \leqslant \displaystyle\int_{30}^{120} f(x)\:\text{d}x \leqslant 190 \quad ; \quad 700 \leqslant \displaystyle\int_{80}^{100} f(x)\:\text{d}x \leqslant 800.\]

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~120] : 
		
		\[f'(x) = - \dfrac{ 0,43\e^{0,1x-6}}{\left(1 + \e^{0,1x-6} \right)^2}.\]
		
		\item Retrouver le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~120].
		\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que sur l'intervalle [0~;~120], l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution que l'on appelle $\alpha$.
		\item Encadrer $\alpha$ par deux entiers consécutifs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item On admet que sur l'intervalle [0~;~120], la fonction $g$ d'expression $g(x) = \dfrac{4,3}{\left(1 + \e^{0,1x-6}\right)}$ a pour primitive la fonction $G$ d'expression $G(x) = -43 \ln\left(1 + \e^{-0,1x+6}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~120].
		\item En déduire la valeur exacte de $\displaystyle\int_{30}^{120} f(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\item Calculer le taux de natalité moyen entre 1780 et 1870. On en donnera une valeur approchée à $0,01 \,\%$ près.
\end{enumerate}
\end{document}