\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{psvectorian} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{colortbl} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-func} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}} \renewcommand{\d}{\,\text{d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\,\text{e}\,}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i}}% le i des complexes \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \def\e{\text{e}} \def\i{\text{i}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \makeindex \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat ES}, pdftitle = {Baccalauréat ES - 2016}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Baccalauréat ES/L : l'intégrale 2016}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES 2016~\decofourright \\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril à novembre 2016}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \hypertarget{Retour}{} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry 21 avril 2016} \dotfill \pageref{Pondichery} \medskip \hyperlink{Liban}{Liban 31 mai 2016} \dotfill \pageref{Liban} \medskip \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord 1\up{er} juin 2016} \dotfill \pageref{AmeriqueNord} \medskip \hyperlink{etrangers}{Centres étrangers 8 juin 2016} \dotfill\pageref{etrangers} \medskip \hyperlink{Polynesie}{Polynésie 10 juin 2016} \dotfill \pageref{Polynesie} \medskip \hyperlink{Metropolejuin}{Métropole 22 juin 2016} \dotfill \pageref{Metropolejuin} \medskip \hyperlink{Asie}{Asie 22 juin 2016} \dotfill \pageref{Asie} \medskip \hyperlink{Antillesjuin}{Antilles-Guyane 23 juin 2016} \dotfill \pageref{Antillesjuin} \medskip \hyperlink{Metrosep}{Métropole 11 septembre 2016} \dotfill \pageref{Metrosep} \medskip \hyperlink{Antillessep}{Antilles-Guyane 12 septembre 2016} \dotfill \pageref{Antillessep} \medskip %\hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie 9 septembre 2016} \dotfill 49 \medskip \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2016} \dotfill \pageref{Caledonienov} \medskip \hyperlink{AmeriSud}{Amérique du Sud 25 novembre 2016} \dotfill \pageref{AmeriSud} \medskip % \hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle-Calédonie 2 mars 2017} \dotfill \pageref{Caledoniemars} } \vspace{1cm}\hyperlink{Index}{À la fin index des notions abordées} À la fin de chaque exercice cliquez sur * pour aller à l'index \newpage ~ \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \newpage %%%%%%%%%%%% Pondichéry avril 2015 \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} \lhead{\small Baccalauréat ES/L } \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small 21 avril 2016} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Pondichéry ~\decofourright\\[4pt]21 avril 2016}} \end{center} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions posées, une seule des trois réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.}\index{Q. C. M.} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = 3x - x \ln x\] On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée. Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ on a :\index{dérivée} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} $f'(x) = 3 - \dfrac{1}{x}$ &\textbf{b.~~} $f'(x) = 3 - \ln x$ &\textbf{c.~~} $f'(x) = 2 - \ln x$ \end{tabularx} \medskip \item On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.\index{suite géométrique} La somme des 13 premiers termes de cette suite vaut :\index{suite géométrique} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} \np{4095} &\textbf{b.~~} \np{8191} &\textbf{c.~~} $\dfrac{1 - 2^{14}}{1 - 2}$ \end{tabularx} \medskip \item Une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur l'intervalle [2~;~7] dont la fonction de densité est représentée ci-dessous.\index{loi uniforme} \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=6cm,arrowscale=1.5} \begin{pspicture}(-0.75,-0.05)(8,0.4) \multido{\n=0+1}{8}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,0.4)} \multido{\n=0+0.1}{5}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](0,\n)(8,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(8,0.4) \uput[l](0,0.2){$\frac{1}{5}$} \psline[linewidth=1.25pt](2,0.2)(7,0.2) \uput[dl](0,0){$0$} \end{pspicture} \end{center} $P(A)$ désigne la probabilité d'un évènement $A$ et $E(X)$ l'espérance de la variable aléatoire $X$. \medskip \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{X m{4cm}X} \textbf{a.~~} $P(3 \leqslant X \leqslant 7) = \dfrac{1}{4}$& \textbf{b.~~} $P(X\geqslant4) = P(2\leqslant X \leqslant 5)$&\textbf{c.~~} $E(X) = \dfrac{9}{5}$ \end{tabularx} \medskip \item On réalise un sondage sur un échantillon de $n$ personnes ($n$, entier naturel non nul).\index{intervalle de confiance} Parmi les tailles de l'échantillon proposées ci-dessous, quelle est celle qui permet d'obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ avec une amplitude de $0,02$ ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} $n = \np{5000}$ &\textbf{b.~~} $n = 100$ &\textbf{c.~~} $n = \np{10000}$ \end{tabularx} \medskip\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.} \medskip L'entreprise \emph{BBE (Bio Bois Énergie)} fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités. L'entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour. \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par : \[C(x) = 0,3x^2 - x + \text{e}^{- x + 5}\]\index{fonction exponentielle} où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $C(x)$ le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d'euros. \item[$\bullet~~$]Dans l'entreprise \emph{BBE} le prix de vente d'une tonne de granulés de bois est de $300$~euros. La recette quotidienne de l'entreprise est donc donnée par la fonction $R$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par: \[R(x) = 3x\] où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $R(x)$ la recette quotidienne correspondante en centaines d'euros. \item[$\bullet~~$]On définit par $D(x)$ le résultat net quotidien de l'entreprise en centaines d'euros, c'est-à-dire la différence entre la recette $R(x)$ et le coût $C(x)$, où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \begin{center} \textbf{Partie A : Étude graphique} \end{center} Sur le graphique situé en annexe (page \pageref{Pondi_fig_2}), on donne $\mathcal{C}$ et $\Delta$ les représentations graphiques respectives des fonctions $C$ et $R$ dans un repère d'origine O. \textbf{Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l'aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n'est demandée.}\index{lecture graphique} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l'entreprise est minimal. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les valeurs $C(6)$ et $R(6)$ puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l'entreprise pour 6~tonnes de granulés fabriqués et vendus. \item Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l'entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c'est-à-dire un bénéfice. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B : Étude d'une fonction} \end{center} On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par : \[g(x) = - 0,6x + 4 + \text{e}^{- x + 5}\]\index{fonction exponentielle} On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~15] et on note $g'$ sa fonction dérivée. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~15].\index{dérivée} \item En déduire que la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle [1~;~15]. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~15], en précisant les valeurs $g(1)$ et $g(15)$ arrondies à l'unité. \item Le tableau de variation permet d'affirmer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~15]. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,1$ près. \item Déduire des questions précédentes le tableau de signe de $g(x)$ sur l'intervalle [1~;~15]. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie C : Application économique}\end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~15], on a : \[D (x) = - 0,3x^2 + 4x - \text{e}^{- x + 5}\]\index{fonction exponentielle} \item On admet que la fonction $D$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~15] et on note $D'$ sa fonction dérivée. Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~15], on a $D'(x) = g(x)$, où $g$ est la fonction étudiée dans la partie B. \item En déduire les variations de la fonction $D$ sur l'intervalle [1~;~15]. \item \begin{enumerate} \item Pour quelle quantité de granulés l'entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ? On donnera une valeur approchée du résultat à $0,1$ tonne près. \item Calculer alors le bénéfice maximal à l'euro près. \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante} \medskip \begin{center}\textbf{Partie A}\end{center} On dispose des renseignements suivants à propos du baccalauréat session 2015 : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]49\,\% des inscrits ont passé un baccalauréat général, 20\,\% un baccalauréat technologique et les autres un baccalauréat professionnel; \item[$\bullet~~$]91,5\,\% des candidats au baccalauréat général ont été reçus ainsi que 90,6\,\% des candidats au baccalauréat technologique. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \begin{flushright} \emph{Source: DEPP (juillet 2015)}\end{flushright} On choisit au hasard un candidat au baccalauréat de la session 2015 et on considère les évènements suivants :\index{probabilités} \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$G$ : \og Le candidat s'est présenté au baccalauréat général \fg ; \item[$\bullet~~$]$T$: \og Le candidat s'est présenté au baccalauréat technologique\fg ; \item[$\bullet~~$]$S$: \og Le candidat s'est présenté au baccalauréat professionnel\fg ; \item[$\bullet~~$]$R$: \og Le candidat a été reçu \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} Pour tout évènement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ son évènement contraire. De plus, si $B$ est un autre évènement, on note $P_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$. \medskip \begin{enumerate} \item Préciser les probabilités $P(G), P(T), P_T(R)$ et $P_G(R)$. \item Traduire la situation par un arbre pondéré. On indiquera les probabilités trouvées à la question précédente. Cet arbre pourra être complété par la suite.\index{arbre de probabilités} \item Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat technologique et l'ait obtenu est égale à \np{0,1812}. \item Le ministère de l'Éducation Nationale a annoncé un taux global de réussite pour cette session de 87,8\,\% pour l'ensemble des candidats présentant l'un des baccalauréats. \begin{enumerate} \item Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat professionnel et l'ait obtenu est égale à \np{0,24845}. \item Sachant que le candidat s'est présenté au baccalauréat professionnel, déterminer la probabilité qu'il ait été reçu. On donnera une valeur approchée du résultat au millième. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie B}\end{center} À l'issue des épreuves du baccalauréat, une étude est faite sur les notes obtenues par les candidats en mathématiques et en français. On admet que la note de mathématiques peut être modélisée par une variable aléatoire $X_M$ qui suit la loi normale de moyenne $12,5$ et d'écart-type $3,5$.\index{loi normale} De même la note de français peut être modélisée par une variable aléatoire $X_F$ qui suit la loi normale de moyenne $13,2$ et d'écart-type $2,1$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer $P (9 \leqslant X_M \leqslant 16)$ en donnant le résultat arrondi au centième. \item Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté en pointillé la fonction densité associée à la variable aléatoire $X_M$. La fonction densité associée à $X_F$ est représentée sur un seul de ces graphiques. Quel est ce graphique ? Expliquer le choix. \end{enumerate} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} \psset{xunit=0.1cm,yunit=18cm,algebraic=true,comma=true,labelFontSize=\scriptstyle} %%%%%%%%%%% Graphique 1 \begin{pspicture}(-4,-0.03)(32,0.25) \multido{\n=0+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,0.25)} \multido{\n=0.00+0.05}{6}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](0,\n)(32,\n)} \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=0.05]{->}(0,0)(-4,-0.03)(32,0.25) \uput[dl](0,0){$0$} \def\m{13.2}% moyenne \def\s{5}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=1000]{-4}{32}{\f} \def\m{12.5}% moyenne \def\s{3.5}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt]{-4}{32}{\f} \end{pspicture}&\psset{xunit=0.1cm,yunit=18cm,algebraic=true,comma=true,labelFontSize=\scriptstyle} %%%%%%%%%%% Graphique 2 \begin{pspicture}(-4,-0.03)(32,0.25) \multido{\n=0+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,0.25)} \multido{\n=0.00+0.05}{6}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](0,\n)(32,\n)} \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=0.05]{->}(0,0)(-4,-0.03)(32,0.25) \uput[dl](0,0){$0$} \def\m{13.2}% moyenne \def\s{2.1}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=1000]{-4}{32}{\f} \def\m{12.5}% moyenne \def\s{3.5}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt]{-4}{32}{\f} \end{pspicture}&\psset{xunit=0.1cm,yunit=18cm,algebraic=true,comma=true,labelFontSize=\scriptstyle} %%%%%%%%%%% Graphique 3 \begin{pspicture}(-4,-0.03)(32,0.25) \multido{\n=0+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,0.25)} \multido{\n=0.00+0.05}{6}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](0,\n)(32,\n)} \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=0.05]{->}(0,0)(-4,-0.03)(32,0.25) \uput[dl](0,0){$0$} \def\m{10}% moyenne \def\s{2.1}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=1000]{-4}{32}{\f} \def\m{12.5}% moyenne \def\s{3.5}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt]{-4}{32}{\f} \end{pspicture}\\ Graphique 1 &Graphique 2& Graphique 3\\ \end{tabularx}\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip En janvier 2016, une personne se décide à acheter un scooter coûtant \np{5700}~euros sans apport personnel. Le vendeur lui propose un crédit à la consommation d'un montant de \np{5700}~euros, au taux mensuel de 1,5\,\%. Par ailleurs, la mensualité fixée à $300$~euros est versée par l'emprunteur à l'organisme de crédit le 25 de chaque mois. Ainsi, le capital restant dû augmente de 1,5\,\% puis baisse de $300$ euros. Le premier versement a lieu le 25 février 2016. On note $u_n$ le capital restant dû en euros juste après la $n$-ième mensualité ($n$ entier naturel non nul). On convient que $u_0 = \np{5700}$.\index{suite} Les résultats seront donnés sous forme approchée à $0,01$ près si nécessaire. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $u_1$, capital restant dû au 26 février 2016 juste après la première mensualité, est de \np{5485,50}~euros. \item Calculer $u_2$. \end{enumerate} \item On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par : \[u_{n+1} = 1,015 u_n - 300\] On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline \textbf{Variables :} &$n$ est un entier naturel\\ &$u$ est un nombre réel\\ \textbf{Traitement :} &Affecter à $u$ la valeur \np{5700}\\ &Affecter à $n$ la valeur 0\\ &Tant que $u > \np{4500}$ faire\\ &\begin{tabular}{m{0.4cm}|l} &$u$ prend la valeur $1,015 \times u - 300$\\ &$n$ prend la valeur $n + 1$\\ \end{tabular}\\ &Fin Tant que\\ \textbf{Sortie :} &Afficher $n$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaires entre la deuxième et la dernière colonne. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,3) \psframe(0,0)(5.5,3)\psline(4,0)(4,3)\psline(0,1)(5.5,1) \psline(0,2)(5.5,2) \psframe(7,0)(10,3)\psline(8.5,0)(8.5,3)\psline(7,1)(10,1)\psline(7,2)(10,2) \psline[linestyle=dashed](5.5,0)(6,0) \psline[linestyle=dashed](5.5,1)(6,1) \psline[linestyle=dashed](5.5,2)(6,2) \psline[linestyle=dashed](5.5,3)(6,3) \psline[linestyle=dashed](6.5,0)(7,0) \psline[linestyle=dashed](6.5,1)(7,1) \psline[linestyle=dashed](6.5,2)(7,2) \psline[linestyle=dashed](6.5,3)(7,3) \uput[u](1.2,2.1){Valeur de $u$} \uput[u](4.8,2.1){\np{5700}} \uput[u](1.2,1.1){Valeur de $n$} \uput[u](4.8,1.1){0} \uput[u](1.6,0.1){$u > \np{4500}$ (vrai/faux)} \uput[u](5,0.1){vrai} \uput[u](7.6,0.1){vrai} \uput[u](9.1,0.1){faux} \end{pspicture} \end{center} \item Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - \np{20000}$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n+1} = 1,015 \times v_n$. \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = \np{20000} - \np{14300} \times 1,015^n$. \end{enumerate} \item À l'aide de la réponse précédente, répondre aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item Démontrer qu'une valeur approchée du capital restant dû par l'emprunteur au 26 avril 2017 est \np{2121,68}~euros. \item Déterminer le nombre de mensualités nécessaires pour rembourser intégralement le prêt. \item Quel sera le montant de la dernière mensualité ? \item Lorsque la personne aura terminé de rembourser son crédit à la consommation, quel sera le coût total de son achat ? \end{enumerate} \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Une étude statistique sur une population d'acheteurs a montré que :\index{probabilités} \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]90\,\% des personnes qui ont fait leur dernier achat en utilisant internet affirment vouloir continuer à utiliser internet pour faire le suivant. Les autres personnes comptent faire leur prochain achat en magasin; \item[$\bullet~~$]60\,\% des personnes qui ont fait leur dernier achat en magasin affirment vouloir continuer à effectuer le suivant en magasin. Les autres comptent effectuer leur prochain achat en utilisant internet. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} Dans toute la suite de l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul. Une personne est choisie au hasard parmi les acheteurs. On note : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$a_n$ la probabilité que cette personne fasse son $n$-ième achat sur internet; \item[$\bullet~~$]$b_n$ la probabilité que cette personne fasse son $n$-ième achat en magasin. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} On suppose de plus que $a_1 = 1$ et $b_1 = 0$. On note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& bn\end{pmatrix}$ l'état probabiliste correspondant au $n$-ième achat. Ainsi $P_1 = \begin{pmatrix}1& 0\end{pmatrix}$. On note : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$A$ l'état: \og La personne effectue son achat sur internet\fg; \item[$\bullet~~$]$B$ l'état: \og La personne effectue son achat en magasin \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.\index{graphe} \item Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.\index{matrice de transition} \item \begin{enumerate} \item Calculer la matrice $M^4$. \item En déduire que la probabilité que la personne interrogée fasse son 5\up{e} achat sur internet est égale à \np{0,8125}. \end{enumerate} \item On note $P = (a\quad b)$ l'état stable associé à ce graphe.\index{etat stable@état stable} \begin{enumerate} \item Montrer que les nombres $a$ et $b$ sont solutions du système : \[\left\{\begin{array}{r c r c l} 0,1a & - & 0,4b &=& 0\\ a & + & b &=& 1 \end{array}\right.\] \item Résoudre le système précédent. \item À long terme, quelle est la probabilité que cette personne fasse ses achats sur internet ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : \[a_{n+1} = 0,5a_n + 0,4\] \item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il affiche le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que $a_n \leqslant 0,801$.\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l|X|}\hline \textbf{Variables:} &$N$ est un entier naturel\\ &$A$ est un nombre réel\\ \textbf{Initialisation :} &Affecter à $N$ la valeur 1\\ &Affecter à A la valeur 1\\ \textbf{Traitement :} &Tant que \ldots\\ &\begin{tabular}{m{0.4cm}| l} &Affecter à $A$ la valeur $0,5 \times A + 0,4$\\ &Affecter à $N$ la valeur \ldots. \end{tabular}\\ &Fin Tant que\\ \textbf{Sortie :} &Afficher $N$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Quelle est la valeur affichée par l'algorithme en sortie ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{\large ANNEXE}\label{Pondi_fig_2} \bigskip \textbf{\large N'est pas à rendre avec la copie} \vspace{2cm} \psset{xunit=0.75cm,yunit=0.25cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(15,54) \multido{\n=0+1}{16}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,54)} \multido{\n=0+2}{28}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](0,\n)(15,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(15,54) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2](0,0)(0,0)(15,54) \psline(15,45)\uput[dr](14,42){$\Delta$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.0}{15}{x dup mul 0.3 mul x sub 2.71828 5 x sub exp add} \uput[r](1.1,46){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture}\hyperlink{Index}{*} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Pondichéry avril 2016 \newpage %%%%%%%%%%%% Liban 31 mai 2016 \hypertarget{Liban}{} \label{Liban} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small 31 mai 2016} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures } \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L Liban ~\decofourright\\[5pt]31 mai 2016}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\ Pour chacune des questions posées, une seule des quatre propositions est exacte.\\ Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la proposition choisie. Aucune justification n'est demandée.}\index{Q. C. M.} \medskip \begin{enumerate} \item La représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ est tracée ci-dessous ainsi que les tangentes respectives aux points d'abscisses $- 3$ et $0$. %\begin{center} %\psset{unit=0.8cm} %\begin{pspicture}(-7,-4)(5,6) %\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-7,-4)(5,6) %\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-7,5)(-6,4.6)(-5,4.25)(-4,3.8)(-3,3)(-2,1.5)(-1,-0.2)(0,-1)(1,-0.85)(2,-0.45)(3,0.2)(4,1)(5,1.95) %\psline[linewidth=1.25pt](-7,-1)(5,-1) %\psline[linewidth=1.25pt](-6,6)(4,-4) %\uput[dl](0,0){O} %\end{pspicture} %\end{center} \begin{center} \psset{unit=.8cm} \begin{pspicture}(-7,-3)(5,5) \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \def\f{(-58*x^3-957*x^2-5776*x-5481)/1600} \def\g{5*x^3/27+x^2-1} \def\h{-3*x^3/250+89*x^2/500-1} \psgrid[griddots=10,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,-3)(5,5) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-7,-3)(5,5) \psaxes[labelsep=1.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}} \psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{-7}{-3}{\f} \psplot[algebraic=true,plotpoints=150,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{-3}{0}{\g} \psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0}{5}{\h} \psline[linewidth=1pt](-5,5)(3,-3) \psline[linewidth=1pt](-7,-1)(5,-1) \uput[dr](-6,5){\small{\blue{$\mathcal{C}_f$}}} \end{pspicture} \end{center} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $f'(0) = - 1$&\textbf{b.~~}$f'(-1) = 0$ &\textbf{c.~~} $f'(-3) = - 1$ &\textbf{d.~~} $f'(-3) = 3$ \end{tabularx} \end{center} \item On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : $g(x) = (x + 1)\ln (x)$.\index{dérivée} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $g'(x) = \dfrac{1}{x}$&\textbf{b.~~} $g'(x) = 1 + \ln (x)$\\ \textbf{c.~~} $g'(x) = - \dfrac{1}{x^2}$&\textbf{d.~~} $g'(x) = 1 + \dfrac{1}{x} + \ln (x)$ \end{tabularx} \end{center} \item On considère la fonction $h$ définie sur [0~;~7] et représentée par la courbe ci-dessous : %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(-1,-0.5)(9,10.5) %\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(9,10.5) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](0,0)(9,10) %\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,10)(1,8)(2,6)(3,4.1)(4,2.25)(5,1)(6,0.75)(7,3.45) %%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{ x dup mul 0.2083 mul x 2.417 mul sub 10 add} %\uput[r](0.5,9.5){\blue $\mathcal{C}_h$} %\end{pspicture} %\end{center} \begin{center} \psset{unit=.8cm} \begin{pspicture}(-.5,-.5)(9,11) \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \def\f{3*x^3/125-2*x^2/25-2*x+10} \def\g{9*x^2/8-49*x/4+273/8} \psgrid[griddots=10,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(9,11) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-.5,-.5)(9,11) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,11){\footnotesize{$y$}} \psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0}{5}{\f} \psplot[algebraic=true,plotpoints=150,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{5}{7}{\g} \uput[dl](1,10){\small{\blue{$\mathcal{C}_h$}}} \end{pspicture} \end{center} \begin{center} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $\displaystyle\int_0^5 h(x)\:\text{d}x = h(5) - h(0)$&\textbf{b.~~}$20 < \displaystyle\int_0^5 h(x)\:\text{d}x < 30$\\ \textbf{c.~~} $15 < \displaystyle\int_0^5 h(x)\:\text{d}x < 20$&\textbf{d.~~}$\displaystyle\int_0^5 h(x)\:\text{d}x = 20$ \end{tabularx} \end{center}\index{aire et intégrale} \item On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée seconde $k''$ d'une fonction $k$ définie sur $[0~;~+ \infty[$. %\begin{center} %\psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm} %\begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(3.1,3.5) %\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(3.1,3.5) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=7](0,-1.5)(3.1,3.5) %%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.5}{x dup mul 4 mul 11 x mul sub 6 add} %\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(0.25,-0.1)(0.5,-0.3)(1,-1)(1.35,-1.2)(1.6,-1)(2,0)(2.5,3.5) %\uput[l](2.45,3.2){\blue $\mathcal{C}_{k''}$}\uput[dl](0,0){O} %\end{pspicture*} %\end{center} \begin{center} \psset{xunit=2cm,yunit=1.2cm} \begin{pspicture*}(-.5,-1.5)(3.25,3.5) \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \def\f{x^2*(x^2-4)/3} \psgrid[griddots=15,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-2)(4,4) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-1.5)(3.25,3.5) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0}{3}{\f} \uput[ur](2,3){\small{\blue{$\mathcal{C}_{k''}$}}} \end{pspicture*} \end{center} \begin{center}\index{fonction convexe} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\small}X}} \textbf{a.~~}$k$ est concave sur l'intervalle [1~;~2].& \textbf{b.~~} $k$ est convexe sur l'intervalle [0~;~2].\\ \textbf{c.~~}$k$ est convexe sur $[0~;~+ \infty[$.&\textbf{d.~~} $k$ est concave sur $[0~;~+ \infty[$. \end{tabularx} \end{center}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les parties A et B sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un centre de loisirs destiné aux jeunes de 11 ans à 18 ans compte 60\,\% de collégiens et 40\,\% de lycéens. Le directeur a effectué une étude statistique sur la possession de téléphones portables. Cette étude a montré que 80\,\% des jeunes possèdent un téléphone portable et que, parmi les collégiens, 70\,\% en possèdent un. On choisit au hasard un jeune du centre de loisirs et on s'intéresse aux évènements suivants :\index{probabilités} \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item $C$ : \og le jeune choisi est un collégien \fg{} ; \item $L$ : \og le jeune choisi est un lycéen \fg{} ; \item $T$ : \og le jeune choisi possède un téléphone portable \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \emph{Rappel des notations} \medskip Si $A$ et $B$ sont deux évènements, $p(A)$ désigne la probabilité que l'évènement $A$ se réalise et $p_B(A)$ désigne la probabilité de $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé. On note aussi $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner les probabilités : $p(C),\: p(L),\: p(T),\: p_C(T)$. \item Faire un arbre de probabilités représentant la situation et commencer à le renseigner avec les données de l'énoncé.\index{arbre de probabilités} \item Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien possédant un téléphone portable. \item Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu'il possède un téléphone portable. \item \begin{enumerate} \item Calculer $p(T \cap L)$, en déduire $p_L(T)$. \item Compléter l'arbre construit dans la question 2. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip En 2012 en France, selon une étude publiée par l'Arcep (Autorité de régulation des communications électroniques et des postes), les adolescents envoyaient en moyenne 83 SMS (messages textes) par jour, soit environ \np{2500} par mois. On admet qu'en France le nombre de SMS envoyés par un adolescent en un mois peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = \np{2500}$ et d'écart-type $\sigma = 650$.\index{loi normale} \smallskip \emph{Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les probabilités arrondies au millième.} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un adolescent envoie entre \np{2000} et \np{3000} SMS par mois. \item Calculer $p(X \geqslant \np{4000})$. \item Sachant que $p(X \leqslant a) = 0,8$, déterminer la valeur de $a$. On arrondira le résultat à l'unité. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé. \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3\hfill 5 points} \textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L} \medskip L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien aux propriétaires de piscines privées. Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12\,\% de contrats supplémentaires sont souscrits et 6 contrats résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à venir. En 2015, l'entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits. On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de contrats souscrits auprès de l'entreprise PiscinePlus l'année $2015+ n$. Ainsi, on a $u_0 = 75$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Estimer le nombre de contrats d'entretien en 2016. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 1,12 u_n - 6$. \end{enumerate} \item L'entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maximum de $100$ contrats avec son nombre actuel de salariés. Au-delà, l'entreprise devra embaucher davantage de personnel. On cherche à connaître en quelle année l'entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|l|X|}\hline L1& Variables : & $n$ est un nombre entier naturel\\ L2& &$U$ est un nombre réel\\ L3& &Traitement: Affecter à $n$ la valeur 0\\ L4& &Affecter à $U$ la valeur 75\\ L5& &Tant que $U \leqslant 100$ faire\\ L6& &$n$ prend la valeur $n + 1$\\ L7& &$U$ prend la valeur $1,12 U - 6$\\ L8& &Fin Tant que\\ L9& Sortie : &Afficher \ldots \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter la ligne L9. \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l'algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats à l'unité. \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|m{1.5cm}|m{1.5cm}|X|}\hline Valeur de $n$ &0 & &\\ \hline Valeur de $U$ &75 & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Donner la valeur affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme puis interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice. \end{enumerate} \item On rappelle que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 1,12u_n - 6$ et $u_0 = 75$.\index{suite} On pose pour tout entier naturel $n$ : $v_n = u_n - 50$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme.\index{suite géométrique} \item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 25 \times 1,12^n + 50$. \item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_n > 100$. \item Quel résultat de la question 2 retrouve-t-on ? \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3\hfill 5 points} \textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien aux propriétaires de piscines privées. C'est la seule entreprise dans les environs. Aussi, les propriétaires de piscines n'ont que deux choix possibles : soit ils s'occupent eux-mêmes de l'entretien de leur piscine, soit ils souscrivent un contrat avec l'entreprise PiscinePlus. On admet que le nombre de propriétaires de piscines est constant. Le patron de cette entreprise remarque que chaque année : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]12\,\% des particuliers qui entretenaient eux-mêmes leur piscine décident de souscrire un contrat avec l'entreprise PiscinePlus ; \item[$\bullet~~$]20\,\% de particuliers sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus décident de le résilier pour entretenir eux-mêmes leur piscine. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets $C$ et $L$ où :\index{graphe probabiliste} \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $C$ est l'évènement \og Le particulier est sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus \fg{} ; \item[$\bullet~~$]$L$ est l'évènement \og Le particulier effectue lui-même l'entretien de sa piscine \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Chaque année, on choisit au hasard un particulier possédant une piscine et on note pour tout entier naturel $n$ : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$c_n$ la probabilité que ce particulier soit sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus l'année $2015 + n$ ; \item[$\bullet~~$]$l_n$ la probabilité que ce particulier entretienne lui-même sa piscine l'année $2015 + n$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $P_n = \begin{pmatrix} c_n& l_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année $2015 + n$.\index{matrice} Dans cet exercice, on se propose de savoir si l'entreprise PiscinePlus atteindra l'objectif d'avoir au moins 35\,\% des propriétaires de piscines comme clients sous contrat d'entretien. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Dessiner le graphe probabiliste représentant cette situation et donner la matrice de transition associée au graphe dont les sommets sont pris dans l'ordre $C$ et $L$.\index{matrice de transition}\index{graphe} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'état stable de ce graphe est $P = \begin{pmatrix}0,375& 0,625\end{pmatrix}$. \item Déterminer, en justifiant, si l'entreprise PiscinePlus peut espérer atteindre son objectif. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip En 2015, on sait que 15\,\% des propriétaires de piscines étaient sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus. On a ainsi $P_0 = \begin{pmatrix}0,15& 0,85\end{pmatrix}$.\index{matrice} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $c_{n+1} = 0,68 c_n + 0,12$. \item À l’aide d’un algorithme, on cherche à connaître au bout de combien d’années l’entreprise PiscinePlus atteindra son objectif :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|l|X|}\hline L1& Variables : & $n$ est un nombre entier naturel\\ L2& &$C$ est un nombre réel\\ L3& Traitement :&Affecter à $n$ la valeur $0$\\ L4& &Affecter à $C$ la valeur $0,15$\\ L5& &Tant que $C < 0,35$ faire\\ L6& &\hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ L7& &\hspace{0,5cm} $C$ prend la valeur $0,68C + 0,12$\\ L8& & Fin Tant que\\ L9& Sortie : & Afficher $n$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l’algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats au millième. \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|m{1.5cm}|m{1.5cm}|X|}\hline Valeur de $n$ &0 & &\\ \hline Valeur de $C$ &0,15 & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Donner la valeur affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme puis interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice. \end{enumerate} \item On rappelle que, pour tout entier naturel $n$, on a $c_{n+1} = 0,68c_n + 0,12$ et que $c_0 = 0,15$.\index{suite} On pose, pour tout entier naturel $n,\: v_n = c_n - 0,375$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme.\index{suite géométrique} On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $c_n = - 0,225 \times 0,68^n + 0,375$. \item Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation $c_n \geqslant 0,35$. \item Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on ? \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \textbf{Exercice 4\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [3~;~13] par : \[ f(x) = - 2x + 20 - \text{e}^{-2x + 10}.\]\index{fonction exponentielle} \textbf{Partie A : Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction dérivée $f'$, de la fonction $f$, définie pour tout $x$ de l'intervalle [3~;~13], a pour expression :\index{dérivée} \[f'(x) = 2\left(- 1 + \text{e}^{-2x+10}\right).\] \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'intervalle [3~;~13] l'inéquation: $f'(x) \geqslant 0$. \item En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [3~;~13] et dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle. Les valeurs du tableau seront, si besoin, arrondies à $10^{-3}$. \item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_3^{13} f(x)\:\text{d}x$.\index{intégrale} On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Application} \medskip Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 300 et \np{1300}. On suppose que toute la production est commercialisée. Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de $x$ centaines de toboggans est modélisé sur l'intervalle [3~;~13] par la fonction $f$. En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes : \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de toboggans que l'usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner ce bénéfice, arrondi à l'euro. \item Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 300 et \np{1300} toboggans. Arrondir le résultat à l'euro.\index{valeur moyenne} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Rentabilité} \medskip Pour être rentable, l'usine doit avoir un bénéfice positif. Déterminer le nombre minimum et le nombre maximum de toboggans que l'usine doit fabriquer en un mois pour qu'elle soit rentable. Justifier la réponse.\hyperlink{Index}{*} %%%%%%%%%%%% fin Liban 31 mai 2016 \newpage %%%%%%%%%%%% Amérique du Nord 1\up{er} juin 2016 \hypertarget{AmeriqueNord}{} \label{AmeriqueNord} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small 1\up{er} juin 2016} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures } \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES Amérique du Nord ~\decofourright\\[5pt]1\up{er} juin 2016}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à  tous les candidats} \medskip Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip À une sortie d'autoroute, la gare de péage comporte trois voies. Une étude statistique a montré que : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]28\,\% des automobilistes empruntent la voie de gauche, réservée aux abonnés; un automobiliste empruntant cette voie franchit toujours le péage en moins de 10 secondes; \item[$\bullet~~$]52\,\% des automobilistes empruntent la voie du centre, réservée au paiement par carte bancaire ; parmi ces derniers, 75\,\% franchissent le péage en moins de 10 secondes ; \item[$\bullet~~$]les autres automobilistes empruntent la voie de droite en utilisant un autre moyen de paiement (pièces ou billets). \end{itemize}\index{probabilités} \medskip On choisit un automobiliste au hasard et on considère les évènements suivants : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$G$ : \og l'automobiliste emprunte la voie de gauche \fg{} ; \item[$\bullet~~$]$C$ : \og l'automobiliste emprunte la voie du centre \fg{} ; \item[$\bullet~~$]$D$ : \og l'automobiliste emprunte la voie de droite \fg{} ; \item[$\bullet~~$]$T$ : \og l'automobiliste franchit le péage en moins de 10 secondes \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $\overline{T}$ l'évènement contraire de l'évènement $T$. \medskip \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.\index{arbre de probabilités} Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l'exercice. \item Calculer la probabilité $p(C \cap T)$. \item L'étude a aussi montré que 70\,\% des automobilistes passent le péage en moins de 10~secondes. \begin{enumerate} \item Justifier que $p (D \cap T) = 0,03$. \item Calculer la probabilité qu'un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Quelques kilomètres avant la sortie de l'autoroute, un radar automatique enregistre la vitesse de chaque automobiliste. On considère la variable aléatoire $V$ qui, à chaque automobiliste, associe sa vitesse exprimée en km.h$^{-1}$. On admet que $V$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 120$ et d'écart-type $\sigma = 7,5$.\index{loi normale} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité $p(120 < V < 130)$. On arrondira le résultat au millième. \item Une contravention est envoyée à l'automobiliste lorsque sa vitesse est supérieure ou égale à 138 km.h$^{-1}$. Déterminer la probabilité qu'un automobiliste soit sanctionné. On arrondira le résultat au millième.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \newpage \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série~L} \medskip Une société propose un service d'abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mobile. Le 1\up{er} janvier 2016, on compte \np{4000} abonnés. À partir de cette date, les dirigeants de la société ont constaté que d'un mois sur l'autre, 8\,\% des anciens joueurs se désabonnent mais que, par ailleurs, \np{8000} nouvelles personnes s'abonnent.\index{suite} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le nombre d'abonnés à la date du 1\up{er} février 2016. Pour la suite de l'exercice, on modélise cette situation par une suite numérique $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de milliers d'abonnés au bout de $n$ mois après le 1\up{er} janvier 2016. La suite $\left(u_n\right)$ est donc définie par : \[u_0 = 4\quad \text{et, pour tout entier naturel } \:n,\: u_{n+1} = 0,92 u_n + 8.\] \item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline \textbf{Variables}\\ $N$ est un nombre entier naturel\\ $U$ est un nombre réel\\ \textbf{Traitement}\\ $U$ prend la valeur 4\\ $N$ prend la valeur 0\\ Tant que $U < 40$\\ \hspace{0,5cm}$U$ prend la valeur $0,92 \times U + 8$\\ \hspace{0,5cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ Fin Tant que\\ \textbf{Sortie}\\ Afficher $N$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les valeurs de $U$ seront arrondies au dixième. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Valeur de $U$& 4&\ldots&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}\\ \hline Valeur de $N$& 0&\ldots&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}\\ \hline Condition $U < 40$& vraie&\ldots&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 100$.\index{suite} \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,92$ et calculer son premier terme $v_0$.\index{suite géométrique} \item Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 100 - 96 \times 0,92^n$. \end{enumerate} \item En résolvant une inéquation, déterminer la date (année et mois) à partir de laquelle le nombre d'abonnés devient supérieur à \np{70000}.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un groupe de presse édite un magazine qu'il propose en abonnement. Jusqu'en 2010, ce magazine était proposé uniquement sous forme papier. Depuis 2011, les abonnés du magazine ont le choix entre la version numérique et la version papier. Une étude a montré que, chaque année, certains abonnés changent d'avis: 10\,\% des abonnés à la version papier passent à la version numérique et 6\,\% des abonnés à la version numérique passent à la version papier. On admet que le nombre global d'abonnés reste constant dans le temps. Pour tout nombre entier naturel $n$, on note : \setlength\parindent{8mm} \begin{description} \item[ ]$a_n$ la probabilité qu'un abonné pris au hasard ait choisi la version papier l'année $2010 + n$ ; \item[ ]$b_n$ la probabilité qu'un abonné pris au hasard ait choisi la version numérique l'année $2010 + n$ ; \item[ ]$P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année $2010 + n$. \end{description} \setlength\parindent{0mm}\index{probabilités} \smallskip On a donc $a_0 = 1,\: b_0 = 0$ et $P_0 = \begin{pmatrix}1& 0\end{pmatrix}$.\index{matrice} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B où le sommet A représente l'état \og abonné à la version papier\fg{} et B l'état \og abonné à la version numérique \fg. \item Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre A, B des sommets.\index{matrice de transition} \item Montrer que $P_1 = \begin{pmatrix}0,9& 0,1\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = 0,9a_n + 0,06 b_n$ et $b_{n+1} = 0,1 a_n + 0,94 b_n$. Le directeur du groupe de presse souhaite visualiser l'évolution des deux types d'abonnements. Pour cela, on lui propose les deux algorithmes suivants :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{1cm}|X|} \multicolumn{1}{l}{\textbf{Algorithme 1}}&\multicolumn{1}{l}{}&\multicolumn{1}{l}{\textbf{Algorithme 2}}\\\cline{1-1}\cline{3-3} Entrée&&Entrée\\ Saisir $n$&&Saisir $n$\\ Traitement&&Traitement\\ $a$ prend la valeur 1&&$a$ prend la valeur 1\\ $b$ prend la valeur $0$&&$b$ prend la valeur 0 \\ Pour $i$ allant de $1$ à $n$&&Pour $i$ allant de $1$ à $n$\\ \hspace{0,4cm}$a$ prend la valeur $0,9 \times a + 0,06 \times b$&&\hspace{0,4cm} $c$ prend la valeur $a$\\ \hspace{0,4cm}$b$ prend la valeur $0,1 \times a + 0,94 \times b$&&\hspace{0,4cm}$a$ prend la valeur $0,9 \times a + 0,06 \times b$\\ \hspace{0,4cm}Afficher $a$ et $b$&&\hspace{0,4cm}$b$ prend la valeur $0,1 \times c + 0,94 \times b$\\ Fin Pour&&\hspace{0,4cm}Afficher $a$ et $b$\\ &&Fin Pour\\ \cline{1-1}\cline{3-3} \end{tabularx} \end{center} Sachant qu'un seul des algorithmes proposés permet de répondre au souhait du directeur, préciser lequel en justifiant la réponse. \item \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = 0,84 a_n + 0,06$. \item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = a_n - 0,375$. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,84 et calculer $u_0$.\index{suite géométrique} \item Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a $a_n = 0,375 + 0,625 \times 0,84^n$. \end{enumerate} \item En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle la proportion d'abonnés à la version papier du magazine devient inférieure à 50\,\%. \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \textbf{Commun à  tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\ Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}\index{Q. C. M.} \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un nombre réel dans l'intervalle [10~;~50]. La probabilité que ce nombre appartienne à l'intervalle [15~;~20] est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~}$\dfrac{5}{50}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{1}{8}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{1}{40}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{1}{5}$ \end{tabularx} \medskip \item Le prix d'un produit est passé de 200~\euro{} à 100~\euro. Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d'environ : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~}50\,\% &\textbf{b.~~} 25\,\% &\textbf{c.~~} 29\,\% &\textbf{d.~~} 71\,\% \end{tabularx} \medskip \item On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle [0~;~18]. \begin{center} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm,comma=true} \begin{pspicture}(-2,-40)(20,50) \multido{\n=0+2}{11}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-40)(\n,50)} \multido{\n=-40+10}{10}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(20,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(-1.99,-40)(20,50) %\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,-33)(2,0)(4,20)(6,30)(8,32)(10,31)(12,27)(14,26)(16,28.5)(18,38) \psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{18}{x 2 sub x dup mul 31 x mul sub 274 add mul 5 mul 83 div} \uput[u](17,33){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} On peut affirmer que : \begin{enumerate} \item Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~18] sont négatives sur l'intervalle [0 ; 2]. \item Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~18] sont négatives sur l'intervalle [8~;~12]. \item Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~18] sont croissantes sur l'intervalle [0~;~2]. \item Toutes les primitives de la fonction $f$sur l'intervalle [0~;~18] sont croissantes sur l'intervalle [8~;~12].\index{primitive} \end{enumerate} \item Lors d'un sondage, 53,5\,\% des personnes interrogées ont déclaré qu'elles voteront pour le candidat A aux prochaines élections. L'intervalle de confiance au seuil de 95\,\% donné par l'institut de sondage est [51\,\%~;~56\,\%]. Le nombre de personnes qui ont été interrogées est alors:\index{intervalle de confiance} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 40&\textbf{b.~~} 400&\textbf{c.~~} \np{1600}&\textbf{d.~~} \np{6400} \end{tabularx} \medskip\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 6 points} \textbf{Commun à  tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A : Étude d'une fonction} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~1,5] par \[f(x) = 9x^2(1 - 2\ln x) + 10.\] La courbe représentative de $f$ est donnée ci-dessous: \begin{center} \psset{xunit=5cm,yunit=0.2cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.15,-3)(1.8,25) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(1.8,25) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{1.5}{1 x ln 2 mul sub x dup mul mul 9 mul 10 add} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f'(x) = - 36 x \ln x$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~1,5].\index{dérivée} \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle ]0~;~1,5]. \item Déduire de la question précédente les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~1,5]. \end{enumerate} \item On admet que $f''(x) = - 36 \ln x - 36$ où $f''$ désigne la dérivée seconde de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~1,5]. Montrer que la courbe représentative de la fonction $f$ admet un point d'inflexion dont l'abscisse est $\text{e}^{ -1}$.\index{point d'inflexion} \item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle ]0~;~1,5] par \[F(x) = 10 x + 5x^3 - 6x^3\ln x.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur ]0~;~1,5].\index{primitive} \item Calculer $\displaystyle\int_1^{1,5} f(x)\:\text{d}x$. On donnera le résultat arrondi au centième. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Application économique} \medskip \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Une société est cotée en bourse depuis un an et demi. Le prix de l'action depuis un an et demi est modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie A, où $x$ représente le nombre d'années écoulées depuis l'introduction en bourse et $f(x)$ représente le prix de l'action, exprimé en euros. Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse. \smallskip \textbf{Proposition 1 :} \og Sur la période des six derniers mois, l'action a perdu plus d'un quart de sa valeur. \fg \smallskip \textbf{Proposition 2 :} \og Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l'action a été inférieure à 17~\euro. \fg\hyperlink{Index}{*} %%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord 1\up{er} juin 2016 \newpage %%%%%%%%%%%% Centres étrangers 8 juin 2016 \hypertarget{etrangers}{} \label{etrangers} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{8 juin 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers 8 juin 2016~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n 'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point, Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}\index{Q. C. M.} \medskip \textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante} \medskip Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par \[f(x) = 5 - x + 2 \ln x.\] On a représenté ci-dessous la courbe représentative $C$ de la fonction $f$, ainsi que T, la tangente à la courbe $C$ au point A d'abscisse 4. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-1.2)(10.5,6.2) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10] \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-1)(10.5,6.2) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{10.5}{5 x sub x ln 2 mul add} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0.01}{10.5}{5.77259 x 0.5 mul sub} \psdots(4,3.77259)\uput[ur](4,3.77259){A}\uput[ur](0.5,5.6){T}\uput[r](0.2,1.5){\blue $C$} \uput[u](10.2,0){$x$} \uput[l](0,6.1){$y$} \end{pspicture*} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, on a :\index{dérivée} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $f'(x) = - 1 + 2x$&\textbf{b.~~} $f'(x) = - 2\ln x + (5 - x)\dfrac{2}{x}$\\ \textbf{c.~~} $f'(x) = \dfrac{-x + 2}{x}$&\textbf{d.~~}$f'(x) = 4 + \dfrac{2}{x}$. \end{tabularx} \medskip \item Sur l'intervalle ]0~;~10], l'équation $f'(x) = 0$ admet : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} Aucune solution &\textbf{b.~~} Une seule solution &\textbf{c.~~} Deux solutions &\textbf{d.~~} Plus de deux solutions \end{tabularx} \medskip \item Une équation de T est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $y = \dfrac{1}{2}x + 5,7$ &\textbf{b.~~} $ y = 5,7x - \dfrac{1}{2}$\\ \textbf{c.~~} $y = - \dfrac{1}{2}x + 1 + 2 \ln 4$& \textbf{d.~~} $y= - \dfrac{1}{2}x + 3 + 2 \ln 4$ \end{tabularx} \medskip \item La valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_1^3 f(x)\:\text{d}x$ appartient à l'intervalle :\index{intégrale} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} [1~;~3]& \textbf{b.~~} [4~;~5] &\textbf{c.~~} [8~;~9]& \textbf{d.~~} [10~;~15] \end{tabularx} \medskip\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un fabricant produit des pneus de deux catégories, la catégorie \og pneu neige \fg{} et la catégorie \og pneu classique \fg. Sur chacun d'eux, on effectue des tests de qualité pour améliorer la sécurité. On dispose des informations suivantes sur le stock de production : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item le stock contient 40\,\% de pneus neige ; \item parmi les pneus neige, 92\,\% ont réussi les tests de qualité ; \item parmi les pneus classiques, 96\,\% ont réussi les tests de qualité. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} Un client choisit un pneu au hasard dans le stock de production. On note : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item $N$ l'évènement : \og Le pneu choisi est un pneu neige \fg{} ; \item $C$ l'évènement : \og Le pneu choisi est un pneu classique \fg{} ; \item $Q$ l'évènement : \og Le pneu choisi a réussi les tests de qualité \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm}\index{probabilités} \medskip \textbf{Rappel des notations :} Si $A$ et $B$ sont deux évènements, $p(A)$ désigne la probabilité que l'évènement $A$ se réalise et $p_B(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé. On notera aussi $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$. \smallskip Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante. \smallskip \emph{Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Illustrer la situation à l'aide d'un arbre pondéré.\index{arbre de probabilités} \item Calculer la probabilité de l'évènement $N \cap Q$ et interpréter ce résultat par une phrase. \item Montrer que $p(Q) = 0,944$. \item Sachant que le pneu choisi a réussi les tests de qualité, quelle est la probabilité que ce pneu soit un pneu neige ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On appelle durée de vie d'un pneu la distance parcourue avant d'atteindre le témoin d'usure. On note $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque pneu classique sa durée de vie, exprimée en milliers de kilomètres. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 30$ et d'écart-type $\sigma = 8$.\index{loi normale} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'un pneu classique ait une durée de vie inférieure à 25 milliers de kilomètres ? \item Déterminer la valeur du nombre $d$ pour que, en probabilité, 20\,\% des pneus classiques aient une durée de vie supérieure à $d$ kilomètres. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Une enquête de satisfaction effectuée l'an dernier a révélé que 85\,\% des clients étaient satisfaits de la tenue de route des pneus du fabricant. Ce dernier souhaite vérifier si le niveau de satisfaction a été le même cette année. Pour cela, il décide d'interroger un échantillon de $900$~clients afin de conclure sur l'hypothèse d'un niveau de satisfaction maintenu. Parmi les $900$ clients interrogés, $735$ sont satisfaits de la tenue de route. Quelle va être la conclusion du directeur avec un niveau de confiance $0,95$ ? Détailler les calculs, la démarche et l'argumentation.\index{intervalle de confiance}\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L} \medskip Un site internet propose à ses abonnés des films à télécharger. Lors de son ouverture, 500 films sont proposés et chaque mois, le nombre de films proposés aux abonnés augmente de 6\,\%. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On modélise le nombre de films proposés par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ où $n$ désigne le nombre de mois depuis l'ouverture du site. On a donc $u_0 = 500$.\index{suite géométrique} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ et $u_2$ et donner le résultat arrondi à l'unité. \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on souhaite déterminer à partir de combien de mois le site aura doublé le nombre de films proposés par rapport au nombre de films proposés à l'ouverture. \medskip \begin{enumerate} \item On veut déterminer cette valeur à l'aide d'un algorithme.\index{algorithme} Recopier et compléter les lignes L3, L5 et L7 pour que l'algorithme donne le résultat attendu. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{l l X} L1 :& \textbf{Initialisation}&Affecter à $U$ la valeur 500\\ L2 :& &Affecter à $N$ la valeur $0$\\ L3 :& \textbf{Traitement} &Tant que $U$ \ldots \ldots\\ L4 :& &\hspace{0,5cm}Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\ L5 :& &\hspace{0,5cm}Affecter à $U$ la valeur \ldots \ldots\\ L6 :& &Fin Tant que\\ L7 :&\textbf{Sortie} &Afficher \ldots \ldots\\ \end{tabularx} \end{center} \item On veut maintenant utiliser une méthode algébrique Calculer le nombre de mois recherché. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip En raison d'une offre de bienvenue, le nombre d'abonnés au lancement est \np{15000}. Sur la base des premiers mois, on estime que le nombre des clients abonnés au site évolue suivant la règle suivante : chaque mois, 10\,\% des clients se désabonnent et \np{2500} nouveaux abonnés sont enregistrés. On note $v_n$ l'estimation du nombre d'abonnés $n$ mois après l'ouverture, on a ainsi $v_0 = \np{15000}$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1} = 0,9 \times v_n + \np{2500}$. \item On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = v_n - \np{25000}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $0,9$ et préciser son premier terme.\index{suite géométrique} \item En déduire que, pour tout entier $n, \: v_n = \np{25000} - \np{10000} \times 0,9^n$. \item Peut-on prévoir, à l'aide de ce modèle, une stabilisation du nombre d'abonnés sur le long terme ? Justifier la réponse. \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \parbox{0.5\linewidth}{Une compagnie aérienne utilise huit aéroports que l'on nomme A, B, C, D, E, F, G et H. Entre certains de ces aéroports, la compagnie propose des vols dans les deux sens. Cette situation est représentée par le graphe $\Gamma$ ci-contre, dans lequel :\index{graphe} \setlength\parindent{8mm} \begin{enumerate} \item[$\bullet~~$] les sommets représentent les aéroports, \item[$\bullet~~$] les arêtes représentent les liaisons assurées dans les deux sens par la compagnie. \end{enumerate} }\hfill \parbox{0.47\linewidth}{ \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,6) \cnodeput(0.4,3.6){A}{A}\cnodeput(2,4){B}{B} \cnodeput(4.5,3.5){C}{C}\cnodeput(3.4,2){D}{D} \cnodeput(1,1){E}{E}\cnodeput(6,4.6){F}{F} \cnodeput(6,2.6){G}{G}\cnodeput(4.8,0.6){H}{H} \ncline{A}{B}\ncline{A}{D}\ncline{A}{E} \ncline{B}{C}\ncline{D}{B}\ncline{B}{F} \ncline{C}{D}\ncline{C}{G}\ncline{D}{E} \ncline{F}{G}\ncline{G}{H}\ncline{E}{H} \end{pspicture} } \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer, en justifiant, si le graphe $\Gamma$ est complet. \item Déterminer, en justifiant, si le graphe $\Gamma$ est connexe. \end{enumerate} \item Déterminer, en justifiant, si le graphe $\Gamma$ admet une chaîne eulérienne. Si oui, donner une telle chaîne.\index{chaîne eulérienne} \item Donner la matrice d'adjacence $M$ du graphe $\Gamma$ en respectant l'ordre alphabétique des sommets du graphe.\index{matrice} \item Pour la suite de l'exercice, on donne les matrices suivantes : \[M^2= \begin{pmatrix} 3 &1 &2 &2 &1 &1 &0 &1\\ 1 &4 &1 &2 &2 &0 &2 &0\\ 2 &1 &3 &1 &1 &2 &0 &1\\ 2 &2 &1 &4 &1 &1 &1 &1\\ 1 &2 &1 &1 &3 &0 &1 &0\\ 1 &0 &2 &1 &0 &2 &0 &1\\ 0 &2 &0 &1 &1 &0 &3 &0\\ 1 &0 &1 &1 &0 &1 &0 &2\end{pmatrix} \:\:\text{et}\:\: M^3 = \begin{pmatrix} 4 &8 &3 &7 &6 &1 &4 &1\\ 8 &4 &8 &8 &3 &6 &1 &4\\ 3 &8 &2 &7 &4 &1 &6 &1\\ 7 &8 &7 &6 &7 &3 &3 &2\\ 6 &3 &4 &7 &2 &3 &1 &4\\ 1 &6 &1 &3 &3 &0 &5 &0\\ 4 &1 &6 &3 &1 &5 &0 &4\\ 1 &4 &1 &2 &4 &0 &4 &0\end{pmatrix}\] Un voyageur souhaite aller de l'aéroport B à l'aéroport H. \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre minimal de vols qu'il doit prendre, Justifier les réponses à l'aide des matrices données ci-dessus. \item Donner tous les trajets possibles empruntant trois vols successifs. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \parbox{0.48\linewidth}{Les arêtes sont maintenant pondérées par le coût de chaque vol, exprimé en euros. Un voyageur partant de l'aéroport A doit se rendre à l'aéroport G.\index{algorithme de Dijkstra} En utilisant l'algorithme de Dijkstra, déterminer le trajet le moins cher.}\hfill \parbox{0.48\linewidth}{ \psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(7,6) \cnodeput(0.4,3.6){A}{A}\cnodeput(2,4){B}{B} \cnodeput(4.5,3.5){C}{C}\cnodeput(3.4,2){D}{D} \cnodeput(1,1){E}{E}\cnodeput(6,4.6){F}{F} \cnodeput(6,2.6){G}{G}\cnodeput(4.8,0.6){H}{H} \ncline{A}{B}\ncput*[nrot=:U]{40}\ncline{A}{D}\ncput*[nrot=:U]{100}\ncline{A}{E}\ncput*[nrot=:U]{45} \ncline{B}{C}\ncput*[nrot=:U]{110}\ncline{B}{D}\ncput*[nrot=:U]{50}\ncline{B}{F}\ncput*[nrot=:U]{120} \ncline{D}{C}\ncput*[nrot=:U]{60}\ncline{C}{G}\ncput*[nrot=:U]{50}\ncline{E}{D}\ncput*[nrot=:U]{40} \ncline{F}{G}\ncput*[nrot=:U]{55}\ncline{H}{G}\ncput*[nrot=:U]{80}\ncline{E}{H}\ncput*[nrot=:U]{90} \end{pspicture}}\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~8] par \[f(x) = \dfrac{0,4}{20\text{e}^{- x} + 1} + 0,4.\]\index{fonction exponentielle} \smallskip \begin{enumerate} \item Montrer que $f'(x) = \dfrac{8\text{e}^{- x}}{\left(20\text{e}^{- x} + 1 \right)^2}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.\index{dérivée} \item Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|X|}\hline 1 & $f'(x) : = 8* \text{e }\hat{\:} (- x) / (20*\text{e }\hat{\:} (- x)+1)^2$ \\ %1 & $f'(x) : 8*\text{e}\verb?^? (- x)/(20*\text{e}\verb?^? (- x)+1)^2$\\ &$\to f'(x) :\dfrac{8 \cdot \text{e}^{- x}}{400\left(\text{e}^{- x}\right)^2 + 40\text{e}^{- x} + 1}$ \\ \hline 2 & $g(x) : =$ Dérivée $[f'(x)]$\\ & $\to g(x) : = \dfrac{160\left(\text{e}^{- x}\right)^2 -8\text{e}^{- x} }{8000 \left(\text{e}^{- x}\right)^3+1200\left(\text{e}^{- x}\right)^2+60\text{e}^{- x}+1}$ \\ \hline 3 & Factoriser $[g(x)]$\\ & $\to 8\text{e}^{- x} \cdot \dfrac{20\text{e}^{- x} - 1}{\left(20\text{e}^{- x} + 1\right)^3}$ \\ \hline \end{tabularx} \end{center} En s'appuyant sur ces résultats, déterminer l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.\index{fonction convexe} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans une région montagneuse, une entreprise étudie un projet de route reliant les villages A et B situés à deux altitudes différentes. La fonction $f$, définie dans la partie A, modélise le profil de ce projet routier. La variable $x$ représente la distance horizontale, en kilomètres, depuis le village A et $f(x)$ représente l'altitude associée, en kilomètres. \smallskip La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=4cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(8.2,1.05) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] {\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{8}{0.4 20 2.71828 x exp div 1 add div 0.4 add} \psline(8,0)(0,0)} \multido{\n=0+1}{9}{\psline[linestyle=dashed](\n,0)(\n,1)} \multido{\n=0.0+0.2}{6}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(8,\n)} \psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.2](0,0)(0,0)(8.2,1.05) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{8}{0.4 20 2.71828 x exp div 1 add div 0.4 add} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0.419)(8,0.797) \uput[ur](0,0.419){A}\uput[ur](8,0.797){B}\uput[u](5.5,0.78){$\mathcal{C}_f$} \uput[u](8.1,0){$x$}\uput[r](0,1.05){$f(x)$} \end{pspicture} \end{center} Dans cet exercice, le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en un point $M$ est appelé \og pente en M \fg. On précise aussi qu'une pente en $M$ de 5\,\% correspond à un coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ en $M$ égal à $0,05$. Il est décidé que le projet sera accepté à condition qu'en aucun point de $\mathcal{C}_f$ la pente ne dépasse 12\,\%. \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.} \medskip \textbf{Proposition 1} L'altitude du village B est 0,6~km. \textbf{Proposition 2} L 'écart d'altitude entre les villages A et B est $378$ mètres, valeur arrondie au mètre. \textbf{Proposition 3} La pente en A vaut environ 1,8\,\%. \textbf{Proposition 4} Le projet de route ne sera pas accepté.\hyperlink{Index}{*} %%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers 8 juin 2016 \newpage %%%%%%%%%%%% Polynésie 10 juin 2016 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{10 juin 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie 10 juin 2016~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Les parties A et B sont indépendantes} \medskip On s'intéresse à l'ensemble des demandes de prêts immobiliers auprès de trois grandes banques. Une étude montre que 42\,\% des demandes de prêts sont déposées auprès de la banque Karl, 35\,\% des demandes de prêts sont déposées auprès de la banque Lofa, alors que cette proportion est de 23\,\% pour la banque Miro. Par ailleurs : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet$~~] 76\,\% des demandes de prêts déposées auprès de la banque Karl sont acceptées ; \item[$\bullet$~~] 65\,\% des demandes de prêts déposées auprès de la banque Lofa sont acceptées ; \item[$\bullet$~~] 82\,\% des demandes de prêts déposées auprès de la banque Miro sont acceptées. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \smallskip On choisit au hasard une demande de prêt immobilier parmi celles déposées auprès des trois banques. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet$~~] $K$ : \og la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Karl \fg{} ; \item[$\bullet$~~] $L$ : \og la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Lofa \fg{} ; \item[$\bullet$~~] $M$ : \og la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Miro \fg{} ; \item[$\bullet$~~] $A$ : \og la demande de prêt est acceptée \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On rappelle que pour tout évènement $E$, on note $P(E)$ sa probabilité et on désigne par $\overline{E}$ son évènement contraire.\index{probabilités} \medskip \emph{Dans tout l'exercice on donnera, si nécessaire, des valeurs approchées au millième des résultats.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré illustrant la situation.\index{arbre de probabilités} \item Calculer la probabilité que la demande de prêt soit déposée auprès de la banque Karl et soit acceptée. \item Montrer que $P(A) \approx 0,735$. \item La demande de prêt est acceptée. Calculer la probabilité qu'elle ait été déposée à la banque Miro. \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on s'intéresse à la durée moyenne d'un prêt immobilier. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque prêt immobilier, associe sa durée, en années. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 20$ et d'écart-type $\sigma = 7$.\index{loi normale} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que la durée d'un prêt soit comprise entre 13 et 27 ans. \item Déterminer une valeur approchée à $0,01$ près du nombre réel $a$ tel que $P(X > a) = 0,1$. Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une entreprise s'intéresse au nombre d'écrans 3D qu'elle a vendus depuis 2010 : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2010 &2011 &2012\\ \hline Nombre d'écrans 3D vendus& 0&\np{5000} &\np{11000}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Le nombre d'écrans 3D vendus par l'entreprise l'année $(2010 + n)$ est modélisé par une suite $\left(u_n\right)$, arithmético-géométrique, de premier terme $u_0 = 0$.\index{suite} On rappelle qu'une suite arithmético-géométrique vérifie, pour tout entier naturel $n$, une relation de récurrence de la forme $u_{n+1} = a \times u_n + b$ où $a$ et $b$ sont deux réels. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En supposant que $u_1 = \np{5000}$, déterminer la valeur de $b$. \item En supposant de plus que $u_2 = \np{11000}$, montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : \[u_{n+1} = 1,2 \times u_n + \np{5000}.\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $u_3$ et $u_4$. \item En 2013 et 2014, l'entreprise a vendu respectivement \np{18000} et \np{27000} écrans 3D. La modélisation semble-t-elle pertinente ? \end{enumerate} \textbf{Dans toute la suite, on fait l'hypothèse que le modèle est une bonne estimation du nombre d'écrans 3D que l'entreprise va vendre jusqu'en 2022.} \smallskip \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[v_n = u_n + \np{25000}.\]\index{suite} \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,2$.\index{suite géométrique} Préciser la valeur de son premier terme $v_0$. \item Montrer que pour tout entier naturel $n,\: u_n = \np{25000} \times 1,2^n - \np{25000}$. \end{enumerate} \item On souhaite connaître la première année pour laquelle le nombre de ventes d'écrans 3D dépassera \np{180000} unités. \begin{enumerate} \item Prouver que résoudre l'inéquation $u_n > \np{180000}$ revient à résoudre l'inéquation $1,2^n > 8,2$. \item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il détermine et affiche le plus petit entier naturel $n$, solution de l'inéquation $1,2^n > 8,2$.\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline \textbf{Variables :} & $N$ est un entier naturel\\ &$W$ est un nombre réel\\ \textbf{Initialisation :} &$N$ prend la valeur 0\\ &$W$ prend la valeur \ldots\ldots\\ \textbf{Traitement :} &Tant que \ldots\ldots\\ &\hspace{0,5cm} \begin{tabular}{|l} $W$ prend la valeur $W \times 1,2$\\ \ldots\ldots \end{tabular}\\ &Fin du Tant que\\ \textbf{Sortie :} &Afficher \ldots\\\hline \end{tabularx} \end{center} \item Déterminer cet entier naturel $n$. \item À partir de 2023, l'entreprise prévoit une baisse de 15\,\% par an du nombre de ses ventes d'écrans 3D. Combien d'écrans 3D peut-elle prévoir de vendre en 2025 ? \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip \emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\ Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.\\ Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}\index{Vrai--Faux} \medskip \textbf{Les questions 1 et 2 sont indépendantes} \medskip On rappelle que $\R$ désigne l'ensemble des nombres réels. \medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = x \ln x - x + 1.\] \textbf{Affirmation A :} La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle ]0~;~1[. \textbf{Affirmation B :} La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.\index{fonction convexe} \textbf{Affirmation C :} Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[,\: f(x) \leqslant 50$. \item On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ d'une fonction $g$ définie sur $\R$. On admet que $g$ est dérivable sur $\R$ et on rappelle que $g$' désigne la fonction dérivée de la fonction $g$. On a tracé en pointillé la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point A de cette courbe, d'abscisse 1 et d'ordonnée 2. Cette tangente coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 2. \begin{center} \psset{xunit=2.5cm} \begin{pspicture*}(-1.5,-2.1)(3.1,8.1) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,dash=3pt 2pt,gridwidth=0.4pt](-2,-2)(3,8) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-1.99)(3,8) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-1.99)(3,8) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1) \psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1.08,8)(-.9,2.5)(-.6,1.8)(0,2.7)(.3,3.15)(.45,3.1)(1,2)(1.5,1)(1.5,1.7)(3,2.9) \psplot[plotpoints=2,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{-1.25}{3}{4 x 2 mul sub} \psdots(1,2)\uput[ur](1,2){A}\uput[u](2.8,2.8){\blue $\mathcal{C}_g$} \uput[dl](2.8,-1.5){$T$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} \textbf{Affirmation D :} $g'(1) = -2$. \textbf{Affirmation E :} $\displaystyle\int_0^1 g(x)\:\text{d}x < 3$.\index{intégrale} \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip \emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} \medskip \textbf{Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes} \medskip \begin{enumerate} \item On donne le graphe probabiliste suivant :\index{graphe} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-1)(6,1) \Rnode{A}{$A$}\hskip 4cm\Rnode{B}{$B$} \psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3} %\pnode(1,1.25){$A$} \pnode(7,1.25){$B$} \ncarc{->}{A}{B}\Aput{0,6} \ncarc{->}{B}{A}\Aput{0,3} \nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{0,4} \nccircle[angleA=-90]{->}{B}{0.4cm}\Bput{0,7} \end{pspicture} \end{center} \textbf{Affirmation A :} L'état stable associé à ce graphe est $\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.\index{etat stable@état stable} \item On donne le graphe pondéré $G$ suivant : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,3) %\psgrid \pspolygon(0.5,1.5)(2,2.5)(5.5,2.5)(7,1.5)(5.5,0.5)(2,0.5)%ABCDEF \uput[l](0.5,1.5){$A$} \uput[ul](2,2.5){$B$} \uput[ur](5.5,2.5){$C$} \uput[r](7,1.5){$D$} \uput[dr](5.5,0.5){$E$} \uput[dl](2,0.5){$F$} \psline(5.5,2.5)(2,0.5)(2,2.5)(5.5,0.5)%CFBE \rput(1.2,2.2){2}\rput(3.75,2.7){3} \rput(6.4,2.1){1}\rput(6.4,0.8){1} \rput(3.75,0.3){4}\rput(1.2,0.8){1}\rput(1.85,1.5){2}\rput(3,1.3){4}\rput(4.4,1.3){2} \end{pspicture} \end{center} \textbf{Affirmation B :} Il existe une chaîne passant une et une seule fois par toutes les arêtes de ce graphe.\index{chaîne} \textbf{Affirmation C :} La plus courte chaîne entre les sommets $A$ et $D$ est une chaîne de poids 5. \item On considère la matrice\index{matrice} \[M = \begin{pmatrix} 0 &1 &0 &1\\ 1 &0 &1 &1\\0 &1 &0 &0\\1 &1&0&0\end{pmatrix}.\] On suppose que $M$ est la matrice d'adjacence d'un graphe à quatre sommets $A, B, C, D$ dans cet ordre. \textbf{Affirmation D :} Il existe exactement 3 chaînes de longueur 4 reliant le sommet $B$ au sommet $D$. \item On considère les matrices $A = \begin{pmatrix}a&0\\0&a \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}- 1&0\\0&a\end{pmatrix}$. \textbf{Affirmation E :} Il existe un nombre réel $a$ pour lequel $B$ est l'inverse de $A$. \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un publicitaire envisage la pose d'un panneau rectangulaire sous une partie de rampe de skateboard. Le profil de cette rampe est modélisé par la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par : \[f(x) = 4\text{e}^{-0,4x}.\]\index{fonction exponentielle} Cette courbe $\mathcal{C}_{f}$ est tracée ci-dessous dans un repère d'origine O : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.75,-1.)(10.5,5.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(10.5,5.5) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1) \psline(-1.5,4)(0,4) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{10}{4 2.71828 0.4 x mul exp div} \uput[r](0,5.4){$y$ (en mètres)} \uput[u](9.5,0.1){$x$ (en mètres)} \uput[u](6,0.4){$\mathcal{C}_{f}$} \psframe[fillstyle=hlines](1.25,2.426) \uput[ul](0,0){A}\uput[ur](0,2.426){D}\uput[ur](1.25,2.426){C}\uput[ur](1.25,0){B} \end{pspicture} \end{center} Le rectangle ABCD représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes : le point A est situé à l'origine du repère, le point B est sur l'axe des abscisses, le point D est sur l'axe des ordonnées et le point C est sur la courbe $\mathcal{C}_{f}$. \medskip \begin{enumerate} \item On suppose dans cette question que le point B a pour abscisse $x = 2$. Montrer qu'une valeur approchée de l'aire du panneau publicitaire est $3,6$~m$^2$. \item Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l'énoncé, quelles sont les dimensions de celui dont l'aire est la plus grande possible ? On donnera les dimensions d'un tel panneau au centimètre près. \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} %%%%%%%%%%%% fin Polynésie 10 juin 2016 \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole La Réunion 22 juin 2016 \hypertarget{Metropolejuin}{} \label{Metropolejuin} \lfoot{\small{Métropole -- La Réunion}} \rfoot{\small{2 juin 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole -- La Réunion~\decofourright\\[4pt]22 juin 2016}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. \\ Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué. \\ Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}\index{Q. C. M.} \medskip \begin{enumerate} \item Un organisme de formation désire estimer la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l'année 2013. Pour cela, il interroge un échantillon représentatif de 300 stagiaires. On constate que 225 sont satisfaits. Alors, un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l'année 2013 est : \index{intervalle de confiance} \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \textbf{a.}~~[0,713~;~0,771] & \textbf{b.}~~[0,692~;~0,808]\\ \textbf{c.}~~[0,754~;~0,813] & \textbf{d.}~~[0,701~;~0,799] \end{tabularx} \item En suivant la loi uniforme, on choisit un nombre au hasard dans l'intervalle [4\,;\,11]. La probabilité que ce nombre soit inférieur à 10 est :\index{loi uniforme} \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX} \textbf{a.}~~$\dfrac{6}{11}$ & \textbf{b.}~~$\dfrac{10}{7}$ & \textbf{c.}~~$\dfrac{10}{11}$ & \textbf{d.}~~$\dfrac{6}{7}$ \end{tabularx} \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (x+1)\e^{-2x + 3}$. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et sa fonction dérivée $f'$ est donnée par:\index{dérivée} \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \textbf{a.}~~$f'(x)=-2\e^{-2x+3}$ & \textbf{b.}~~$f'(x) = \e^{-2x+3}$\\ \textbf{c.}~~$f'(x)=(-2x+3)\e^{-2x+3}$ & \textbf{d.}~~$f'(x) = (-2x-1)\e^{-2x+3}$ \end{tabularx} \item \ \\[-20pt] \begin{minipage}{0.7\linewidth} On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ telle que sa fonction dérivée $f'$ soit aussi dérivable sur $\R$. La courbe ci-contre représente la fonction $f''$. \index{fonction convexe} \vspace{2cm} On peut alors affirmer que : \begin{tabularx}{\linewidth}{X} \textbf{a.}~~$f$ est convexe sur $[-2~;~2]$.\\ \textbf{b.}~~$f$ est concave sur $[-2~;~2]$.\\ \textbf{c.}~~La courbe représentative de $f$ sur $[-2~;~2]$ admet un point d'inflexion.\\ \textbf{d.}~~$f'$ est croissante sur $[-2~;~2]$. \end{tabularx}\index{point d'inflexion} \vspace{3cm}\null \end{minipage} \begin{minipage}{0.3\linewidth} \begin{flushright} \psset{unit=0.6cm,labelFontSize=\scriptstyle} \def\xmin {-2.1} \def\xmax {2.1} \def\ymin {-9.2} \def\ymax {7.2} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=1, griddots=7, gridlabels=0, gridcolor=black] \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1) \def\f{x 3 exp 1 sub}% définition de la fonction \psplot[plotpoints=2000]{-2}{2}{\f}% f \end{pspicture*} \end{flushright} \end{minipage}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L} \bigskip Un loueur de voitures dispose au 1\ier{} mars 2015 d'un total de \np{10000} voitures pour l'Europe. Afin d'entretenir son parc, il décide de revendre, au 1\ier{} mars de chaque année, 25\,\% de son parc automobile et d'acheter \np{3000} voitures neuves. \smallskip On modélise le nombre de voitures de l'agence à l'aide d'une suite: Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1\ier{} mars de l'année $2015+n$.\index{suite} On a donc $u_0=\np{10000}$. %\end{document} \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,75 u_n+\np{3000}$. \item Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par \hfill$v_n=u_n-\np{12000}$.\hfill{} \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser son premier terme.\index{suite géométrique} \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$. \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\np{12000} - \np{2000} \times 0,75^n$. \item En vous appuyant sur les réponses données aux deux questions précédentes, que pouvez-vous conjecturer sur le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur au bout d'un grand nombre d'années ? \end{enumerate} \item On admet dans cette question que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. On aimerait déterminer l'année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins \np{11950} voitures. \begin{enumerate} \item Recopier l'algorithme suivant et compléter les pointillés afin qu'il permette de répondre au problème posé.\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabular}{|l @{\hspace*{0.5cm}}l|} \hline Initialisation & U prend la valeur \np{10000}\\ & N prend la valeur 0\\ Traitement & Tant que \dots\\ & \hspace*{0.3cm} N prend la valeur \dots \hspace*{1cm}\ \\ & \hspace*{0.3cm} U prend la valeur \dots\\ & Fin Tant que\\ Sortie & Afficher \dots\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année recherchée. \item Retrouver ce résultat en résolvant l'inéquation $\np{12000} - \np{2000}\times 0,75^n \geqslant \np{11950}$.\hfill{} \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Afin de se préparer à courir des marathons, Hugo aimerait effectuer quotidiennement un footing à compter du 1\up{er} janvier 2014. On admet que : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Si Hugo court un jour donné, la probabilité qu'il ne coure pas le lendemain est de 0,2 ; \item[$\bullet~~$] s'il ne court pas un jour donné, la probabilité qu'il ne coure pas le lendemain est de 0,4. \end{itemize} \medskip On note $C$ l'état \og Hugo court \fg{} et $R$ l'état \og Hugo ne court pas \fg. Pour tout entier naturel $n$, on note : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $c_n$ la probabilité de l'évènement \og Hugo court le $(n + 1)$-ième jour \fg{} ; \item[$\bullet~~$] $r_n$ la probabilité de l'évènement \og Hugo ne court pas le $(n + 1)$-ième jour\fg{} ; \item[$\bullet~~$] $P_n$ la matrice $\begin{pmatrix}c_n& r_n\end{pmatrix}$ correspondant à l'état probabiliste le $(n + 1)$-ième jour. \end{itemize} \smallskip Le 1\up{er} janvier 2014, motivé, le jeune homme court. On a donc : $P_0 = \begin{pmatrix}c_0& r_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1& 0\end{pmatrix}$.\index{matrice} \medskip \begin{enumerate} \item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets $C$ et $R$. \item Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.\index{matrice de transition} \item On donne $M^6 = \begin{pmatrix}\np{0,750016}& \np{0,249984} \\\np{0,749952} &\np{0,250048}\end{pmatrix}$· Quel calcul matriciel permet de déterminer la probabilité $c_6$ qu'Hugo coure le 7\up{e} jour ? Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $c_6$. \item \begin{enumerate} \item Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $c_{n+1} = 0,2c_n + 0,6$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n = c_n - 0,75$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,2$. Préciser le premier terme.\index{suite géométrique} \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$. \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$,\: $c_n = 0,75 + 0,25\times 0,2^n$. \item Que peut-on conjecturer concernant la probabilité qu'Hugo coure le 29 décembre 2014 ? \item Conjecturer alors l'état stable de ce graphe.\index{etat stable@état stable} Comment valider votre conjecture ? \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Un téléphone portable contient en mémoire \np{3200} chansons archivées par catégories : rock, techno, rap, reggae \dots{} dont certaines sont interprétées en français. Parmi toutes les chansons enregistrées, 960 sont classées dans la catégorie rock. \smallskip Une des fonctionnalités du téléphone permet d'écouter de la musique en mode \og lecture aléatoire\fg{}: les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équiprobable parmi l'ensemble du répertoire. Au cours de son footing hebdomadaire, le propriétaire du téléphone écoute une chanson grâce à ce mode de lecture. On note: ~~\textbullet~~$R$ l'évènement: \og la chanson écoutée est une chanson de la catégorie rock\fg{}; ~~\textbullet~~$F$ l'évènement: \og la chanson écoutée est interprétée en français\fg. \emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes.} \medskip \textbf{\textsc{Partie A}} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $p(R)$, la probabilité de l'évènement $R$.\index{probabilités} \item 35\,\% des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français; traduire cette donnée en utilisant les évènements $R$ et $F$. \item Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu'elle soit interprétée en français. \item Parmi toutes les chansons enregistrées 38,5\,\% sont interprétées en français. Montrer que $p\left(F \cap \overline R\right) = 0,28$. \item En déduire $p_{\overline R}(F)$ et exprimer par une phrase ce que signifie ce résultat. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Partie B}} \hspace{1cm} \emph{Les résultats de cette partie seront arrondis au millième.} \medskip Le propriétaire du téléphone écoute régulièrement de la musique à l'aide de son téléphone portable. On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque écoute de musique, associe la durée (en minutes) correspondante; on admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu=30$ et d'écart-type $\sigma=10$. \index{loi normale} Le propriétaire écoute de la musique. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que la durée de cette écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes ? \item Quelle est la probabilité que cette écoute dure plus d'une heure ? \hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip La courbe (C) ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0,5~;~6]$. Les points A\,(1~;~3) et B d'abscisse $1,5$ sont sur la courbe (C). Les tangentes à la courbe (C) aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point B est horizontale. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. \begin{center} \psset{xunit=1cm, yunit=1cm} \def\xmin {-0.5} \def\xmax {6.2} \def\ymin {-2.2} \def\ymax {5.2} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin} \psgrid[subgriddiv=1, griddots=7, gridlabels=0, gridcolor=black] \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-0.1,\ymin)(\xmax,\ymax) \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(0,0)(\xmax,\ymax) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1) \def\f{3 x ln mul 2 x mul sub 5 add}% définition de la fonction \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{6}{\f}% f \psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{0}{3}{x 2 add}% Tangente en A \psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{0.2}{2.8}{3.2164}% Tangente en B \psdots(1,3)(1.5,3.2164) \uput[dr](1,3){A} \uput[ur](1.5,3.2164){B} \uput[dl](5.5,-1){\blue (C)} \end{pspicture*} \end{center} \emph{Les parties \rm A et \rm B sont indépendantes.} \medskip \textsc{\textbf{Partie A} : Étude graphique}\index{lecture graphique} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer $f'(1,5)$. \item La tangente à la courbe (C) passant par A passe par le point de coordonnées (0\,;\,2). Déterminer une équation de cette tangente. \item Donner un encadrement de l'aire, en unités d'aire et à l'unité près, du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.\index{aire} \item Déterminer la convexité de la fonction $f$ sur [0,5\,;\,6]. Argumenter la réponse.\index{fonction convexe} \end{enumerate} \textsc{\textbf{Partie B} :Étude analytique} \medskip On admet que la fonction $f$ est définie sur [0,5~;~6] par \[f(x) = - 2x + 5 + 3\ln (x). \]\index{fonction logarithme népérien} \smallskip \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x$ de [0,5~;~6], calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{-2x+3}{x}$.\index{dérivée} \item Étudier le signe de $f'$ sur [0,5~;~6] puis dresser le tableau de variation de $f$ sur [0,5~;~6]. \item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement une solution $\alpha$ sur [0,5\,;\,6]. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. \item En déduire le tableau de signe de $f$ sur [0,5~;~6]. \item On considère la fonction $F$ définie sur [0,5~;~6] par $F(x)= - x^2 +2x +3x \ln(x)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur [0,5~;~6].\index{primitive} \item En déduire l'aire exacte, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième. \index{aire et intégrale} \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Métropole La Réunion 22 juin 2016 \newpage %%%%%%%%%%%% Asie 22 juin 2016 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{23 juin 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES -- Asie~\decofourright\\[5pt]23 juin 2016}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentative $\mathcal C_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[- 1\,;\,5]$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. La courbe $\mathcal C_f$ passe par le point $A\,(0\,;\,1)$ et par le point $B$ d'abscisse 1. La tangente $T_0$ à la courbe au point $A$ passe par le point $C\,(2\,;\,3)$ et la tangente $T_1$ au point $B$ est parallèle à l'axe des abscisses. \begin{center} \psset{unit=1.8cm,comma=true} \def\xmin {-1.2} \def\xmax {5.2} \def\ymin {-0.3} \def\ymax {3.2} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin}(-2,-1)(6,4) \psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0,griddots=20, gridcolor=gray,] \psaxes[ticksize=-2pt 2pt,Dy=0.5](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1) \def\f{x x 2 add mul 1 add 2.7183 -1 x mul exp mul}% définition de la fonction \psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1}{5}{\f}% f \psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{\xmin}{\xmax}{x 1 add}% Tangente en A \psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{\xmin}{\xmax}{1.47}% Tangente en B \psdot(0,1) \uput[dr](0,1){$A$} \psdot(1,1.47) \uput[ur](1,1.47){$B$} \psdot(2,3) \uput[ul](2,3){$C$} \uput[dr](1.5,2.5){$T_0$} \uput[u](4.5,1.5){$T_1$} \uput[ur](4.5,0.336){\blue $\mathcal C_f$} \end{pspicture*} \end{center} \subsubsection*{\textsc{Partie A}} \emph{Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des question, une seule des réponses proposées est correcte.\\ Une bonne réponse rapporte 0,75 point.\\ Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.\\ Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}\index{Q. C. M.} \medskip \begin{enumerate} \item La valeur exacte de $f'(1)$ est: \textbf{a.}~~0 \textbf{b.}~~1 \textbf{c.}~~1,6 \textbf{d.}~~autre réponse \item La valeur exacte de $f'(0)$ est: \textbf{a.}~~0 \textbf{b.}~~1 \textbf{c.}~~1,6 \textbf{d.}~~autre réponse \item La valeur exacte de $f(1)$ est: \textbf{a.}~~0 \textbf{b.}~~1 \textbf{c.}~~1,6 \textbf{d.}~~autre réponse \item Un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x) \:\text{d} x$ par des entiers naturels successifs est:\index{aire} \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \textbf{a.}~~$3 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \:\text{d} x \leqslant 4$ & \textbf{b.}~~$2 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \:\text{d} x \leqslant 3$\\[8pt] \textbf{c.}~~$1 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \:\text{d} x \leqslant 2$ &\textbf{d.}~~autre réponse \end{tabularx} \end{enumerate} \subsubsection*{\textsc{Partie B}} \medskip \begin{enumerate} \item On admet que la fonction $F$ définie sur $[- 1\,;\,5]$ par $F(x)= - (x^2+4x+5)\e^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$.\index{primitive} \begin{enumerate} \item En déduire l'expression de $f(x)$ sur $[ -1\,;\,5]$. \item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine du plan limité par la courbe $\mathcal C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$. \end{enumerate} \item Montrer que sur l'intervalle $[1\,;\,5]$, l'équation $f(x)=1$ admet au moins une solution.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.} \textbf{Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir au millième.} \medskip Une entreprise produit en grande série des clés USB pour l'industrie informatique. \subsubsection*{\textsc{Partie A}} On prélève au hasard 100 clés dans la production de la journée pour vérification. La production est assez grande pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 clés. On admet que la probabilité qu'une clé USB prélevée au hasard dans la production d'une journée soit défectueuse est égale à $0,015$. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de clés défectueuses de ce prélèvement. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.\index{loi binomiale} \item Calculer les probabilités $p(X=0)$ et $p(X=1)$. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux clés soient défectueuses. \end{enumerate} \subsubsection*{\textsc{Partie B}} Une clé est dite conforme pour la lecture lorsque sa vitesse de lecture, exprimée en Mo/s, appartient à l'intervalle $[98\,;\,103]$. Une clé est dite conforme pour l'écriture lorsque sa vitesse d'écriture exprimée en Mo/s appartient à l'intervalle $[28\,;\,33]$. \medskip \begin{enumerate} \item On note $R$ la variable aléatoire qui, à chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe sa vitesse de lecture. On suppose que la variable aléatoire $R$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 100$ et d'écart-type $\sigma = 1$.\index{loi normale} Calcule la probabilité qu'une clé soit conforme pour la lecture. \item On note $W$ la variable aléatoire qui, chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe sa vitesse d"écriture On suppose que la variable aléatoire $W$ suit une loi normale. Le graphique ci-après représente la densité de probabilité de la variable aléatoire $W$. \begin{center} \psset{xunit=0.9cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true} \def\xmin {25.5} \def\xmax {34.5} \def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.5} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax) \def\m{30}% moyenne \def\s{1}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \def\inf{28} \def\sup{32} \pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray] { \psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \psplot{\sup}{\inf}{0} \closepath % indispensable ! } \psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f} \psline(\xmin,0)(\xmax,0) \psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax) \multido{\i=26+1}{9} { \uput[d](\i,0){\small \i} \psline(\i,0)(\i,-0.01) } \end{pspicture*} \end{center} L'unité d'aire est choisie de façon à ce que l'aire sous la courbe soit égale à un et l'aire grisée est environ égale à $0,95$ unité d'aire. La droite d'équation $x=30$ est un axe de symétrie de la courbe. Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $W$. Justifier. \end{enumerate} \subsubsection*{\textsc{Partie C}} Dans cette partie, on considère une grande quantité de clés devant être livrées à un éditeur de logiciels. On considère un échantillon de 100 clés prélevées au hasard dans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On constate que 94 clés sont sans défaut. \smallskip Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%, de la proportion des clés USB qui sont sans défaut.\index{intervalle de confiance}\hyperlink{Index}{*} \bigskip \subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Élèves de ES n'ayant pas suivi la spécialité mathématiques, et élèves de L} \medskip Le 1\ier{} septembre 2015, un ensemble scolaire compte \np{3000} élèves. \begin{list}{\textbullet}{Une étude statistique interne a montré que chaque 1\ier{} septembre:} \item 10\,\% de l'effectif quitte l'établissement; \item 250 nouveaux élèves s'inscrivent. \end{list} On cherche à modéliser cette situation par une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre d'élèves le 1\ier{} septembre de l'année $2015+n$.\index{suite} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier qu'on peut modéliser la situation avec la suite $(u_n)$ telle que $u_0=\np{3000}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,9\,u_n+250$. \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=u_n-\np{2500}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,9. Préciser $v_0$.\index{suite géométrique} \item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n=500\times 0,9^n + \np{2500}$. \end{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n = -50\times 0,9^n$. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$. \item La capacité optimale d'accueil est de \np{2800} élèves. Ainsi, au 1\ier{} septembre 2015, l'ensemble scolaire compte un sureffectif de 200 élèves. Écrire un algorithme permettant de déterminer à partir de quelle année, le contexte restant le même, l'ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif.\index{algorithme}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Élèves de ES ayant suivi la spécialité mathématiques} \medskip \subsubsection*{\textsc{Partie A}} On considère le graphe $\mathcal G$ ci-dessous\index{graphe} \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,-3)(11,3) %%% ligne du milieu \cnodeput(0,0){A}{$A$} \cnodeput(2.5,0){C}{$C$} \cnodeput(5,0){F}{$F$} \cnodeput(7.5,0){I}{$I$} \cnodeput(10,0){K}{$K$} %%% ligne du bas \cnodeput(2.5,-2.5){B}{$B$} \cnodeput(5,-2.5){E}{$E$} \cnodeput(7.5,-2.5){H}{$H$} %%% ligne du haut \cnodeput(2.5,2.5){D}{$D$} \cnodeput(5,2.5){G}{$G$} \cnodeput(7.5,2.5){J}{$J$} %%% arêtes \ncline{A}{B} \ncline{A}{C} \ncline{A}{D} \ncline{C}{E} \ncline{C}{F} \ncline{C}{G} \ncline{F}{H} \ncline{F}{I} \ncline{F}{J} \ncline{B}{E} \ncline{B}{F} \ncline{D}{F} \ncline{D}{G} \ncline{E}{I} \ncline{E}{H} \ncline{H}{K} \ncline{I}{K} \ncline{J}{K} \ncline{G}{J} \end{pspicture} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item En justifiant la réponse, dire si ce graphe admet une chaîne eulérienne.\index{chaîne eulérienne} Si oui, donner une telle chaîne. \item On considère la matrice $M$ ci-après ($a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres réels).\index{matrice} \[M= \left(\begin{array}{*{11}{c}} 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & a & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & b & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & d & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \] \begin{enumerate} \item Déterminer les réels $a$, $b$, $c$ et $d$ pour que la matrice $M$ représente la matrice d'adjacence associée au graphe $\mathcal G$, les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique. \item On donne \[ M^3= \left( \begin{array}{ccccccccccc} 0 & 8 & 10 & 8 & 0 & 0 & 0 & 5 & 5 & 5 & 0 \\ 8 & 0 & 0 & 0 & 10 & 13 & 6 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 10 & 0 & 0 & 0 & 11 & 16 & 9 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 8 & 0 & 0 & 0 & 7 & 12 & 8 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 11 & 7 & 0 & 0 & 0 & 10 & 10 & 7 & 0 \\ 0 & 13 & 16 & 12 & 0 & 0 & 0 & 13 & 13 & 12 & 0 \\ 0 & 6 & 9 & 8 & 0 & 0 & 0 & 5 & 5 & 7 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 10 & 13 & 5 & 0 & 0 & 0 & 8 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 10 & 13 & 5 & 0 & 0 & 0 & 8 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 7 & 12 & 7 & 0 & 0 & 0 & 7 \\ 0 & 5 & 6 & 4 & 0 & 0 & 0 & 8 & 8 & 7 & 0 \end{array} \right) \] Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant $A$ à $J$. Préciser ces chemins. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsubsection*{\textsc{Partie B}} On oriente et on pondère le graphe $\mathcal G$ ci-dessus pour qu'il représente un réseau d'irrigation. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm,arrowscale=1.5} \begin{pspicture}(-1,-3)(11,3) %%% ligne du milieu \cnodeput(0,0){A}{$A$} \cnodeput(2.5,0){C}{$C$} \cnodeput(5,0){F}{$F$} \cnodeput(7.5,0){I}{$I$} \cnodeput(10,0){K}{$K$} %%% ligne du bas \cnodeput(2.5,-2.5){B}{$B$} \cnodeput(5,-2.5){E}{$E$} \cnodeput(7.5,-2.5){H}{$H$} %%% ligne du haut \cnodeput(2.5,2.5){D}{$D$} \cnodeput(5,2.5){G}{$G$} \cnodeput(7.5,2.5){J}{$J$} %%% arêtes \ncline{->}{A}{B} \ncput*{2} \ncline{->}{A}{C} \ncput*{5} \ncline{->}{A}{D} \ncput*{3} \ncline{->}{C}{E} \ncput*[npos=0.75]{3} \ncline{->}{C}{F} \ncput*{2} \ncline{->}{C}{G} \ncput*[npos=0.75]{5} \ncline{->}{F}{H} \ncput*[npos=0.75]{3} \ncline{->}{F}{I} \ncput*{4} \ncline{->}{F}{J} \ncput*{5} \ncline{->}{B}{E} \ncput*{6} \ncline{->}{B}{F} \ncput*[npos=0.75]{2} \ncline{->}{D}{F} \ncput*[npos=0.75]{4} \ncline{->}{D}{G} \ncput*{5} \ncline{->}{E}{I} \ncput*[npos=0.75]{2} \ncline{->}{E}{H} \ncput*{1} \ncline{->}{H}{K} \ncput*{2} \ncline{->}{I}{K} \ncput*{3} \ncline{->}{J}{K} \ncput*{3} \ncline{->}{G}{J} \ncput*{5} \end{pspicture} \end{center} \begin{list}{\textbullet}{} \item Le sommet $A$ correspond au départ d'eau, le sommet $K$ au bassin d'infiltration et les autres sommets représentent les stations de régulation. \item Les arêtes représentent les canaux d'irrigation et les flèches, le sens du ruissellement. \item La pondération donne, en km, les distances entre les différentes stations du réseau. \end{list} Déterminer un chemin de longueur minimale entre le départ d'eau en $A$ et le bassin d'infiltration en $K$ et donner sa longueur.\hyperlink{Index}{*} \bigskip \subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{list}{\textbullet}{D'après une enquête menée auprès d'une population, on a constaté que:} \item 60\,\% de la population sont des femmes; \item 56\,\% des femmes travaillent à temps partiel; \item 36\,\% de la population travaillent à temps partiel. \end{list} On interroge une personne dans la population. Elle affirme qu'elle travaille à temps partiel. Quelle est la probabilité que cette personne soit un homme ?\hyperlink{Index}{*} %%%%%%%%%%%% fin Asie 22 juin 2016 \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane 23 juin 2016 \hypertarget{Antillesjuin}{} \label{Antillesjuin} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small 22 juin 2016} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES--L Antilles--Guyane~\decofourright\\[4pt] juin 2016}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{EXERCICE 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.} \textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}\index{Q. C. M.} \medskip \begin{enumerate} \item On donne le tableau de variation d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[ - 1~;~3]$ :\index{lecture graphique} \smallskip \parbox{0.44\linewidth}{Dans l'intervalle $[ - 1~;~3]$, l’équation $f(x) = 0$ admet : \textbf{a.~~} exactement 3 solutions \textbf{b.~~} exactement 2 solutions \textbf{c.~~} exactement 1 solution \textbf{d.~~} pas de solution}\hfill \parbox{0.54\linewidth}{ \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,2.5) \psframe(6,2.5)\psline(0,2)(6,2) \psline(1.5,0)(1.5,2) \uput[u](0.75,1.9){$x$} \uput[u](1.7,1.9){$~- 1$} \uput[u](3,1.9){$1$} \uput[u](4.5,1.9){$2$} \uput[u](5.85,1.9){$3$} \uput[u](1.7,0){$~- 2$} \uput[d](3,2){2}\uput[u](4.5,0){$- 1$}\uput[d](5.6,2){$- 0,5$} \psline{->}(2,0.5)(2.5,1.5) \psline{->}(3.5,1.5)(4,0.5)\psline{->}(5,0.5)(5.5,1.5) \rput(0.75,1.25){variations} \rput(0.75,0.75){de $f$} \end{pspicture}} \medskip \item L'équation $\ln (2x) = 2$ admet une unique solution $x_0$ sur $\R$. On a : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~}$x_0 = 0$&\textbf{b.~~}$x_0 = \dfrac{\text{e}^2}{2}$& \textbf{c.~~}$x_0 = \dfrac{\ln 2}{2}$ &\textbf{d.~~}$x_0 = \np{3,6945}$ \end{tabularx} \medskip \item La suite $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 400$ et de raison $\dfrac{1}{2}$.\index{suite géométrique} La somme $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{10}$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $2\times \left(1 - 0,5^{10}\right)$ &\textbf{b.~~} $2\times \left(1 - 0,5^{11}\right)$ \\[5pt] \textbf{c.~~} $800\times\left(1 - 0,5^{10}\right)$&\textbf{d.~~}$800 \times \left(1 - 0.5^{11}\right)$ \end{tabularx} \medskip \item On considère l'algorithme ci-dessous :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|lX|}\hline \textbf{Variables :} &$n$ est un nombre entier naturel \\ &$U$ est un nombre réel\\ \textbf{Traitement :}&Affecter à $n$ la valeur $0$ \\ &Affecter à $U$ la valeur 50\\ &Tant que $U < 120$ faire\\ &\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l} $U$ prend la valeur $1,2\times U$\\ $n$ prend la valeur $n+1$ \end{tabular}\\ &Fin Tant que \\ \textbf{Sortie :} &Afficher $n$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} En fin d'exécution, cet algorithme affiche la valeur : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 4 &\textbf{b.~~} $124,416$ &\textbf{c.~~} 5 &\textbf{d.~~} 96 \end{tabularx} \medskip \item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 2 + 3 \ln(x)$. La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$ a pour équation : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $y = \dfrac{3}{x}$ &\textbf{b.~~} $y = 3x - 1$ &\textbf{c.~~} $y = 3x$ &\textbf{d.~~} $y = 3x + 2$ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \newpage \textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L.} \medskip \emph{\textbf{Les parties \rm A, \rm B et \rm C sont indépendantes.}} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une agence de location de voitures dispose de trois types de véhicules : berline, utilitaire ou luxe, et propose, au moment de la location, une option d'assurance sans franchise. Une étude statistique a permis d'établir que : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 30\,\% des clients ont loué une berline et 10\,\% ont loué un véhicule de luxe. \item[$\bullet~~$]40\,\% des clients qui ont loué une berline ont choisi l'option d'assurance sans franchise. \item[$\bullet~~$] 9\,\% des clients ont loué un véhicule de luxe et ont choisi l'option d'assurance sans franchise. \item[$\bullet~~$] 21\,\% des clients ont loué un véhicule utilitaire et ont choisi l'option d'assurance sans franchise. \end{itemize} On prélève au hasard la fiche d'un client et on considère les évènements suivants :\index{probabilités} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $B$ : le client a loué une berline. \item[$\bullet~~$] $L$ : le client a loué un véhicule de luxe. \item[$\bullet~~$] $U$ : le client a loué un véhicule utilitaire. \item[$\bullet~~$] $A$ : le client a choisi l'option d'assurance sans franchise. \end{itemize} \medskip \parbox{0.55\linewidth}{\begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-contre avec les données de l'énoncé.\index{arbre de probabilités} \item Quelle est la probabilité que le client ait loué une berline et ait choisi l'option d'assurance sans franchise ? \item Calculer la probabilité qu'un client ait choisi l'option d'assurance sans franchise. \item Calculer $P_L(A)$, la probabilité que le client ait souscrit une assurance sans franchise sachant qu'il a loué une voiture de luxe. \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.44\linewidth}{ \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\ncput*{\fbox{\rule[-3pt]{0pt}{10pt}\ldots}}} {\TR{$A$}\ncput*{\fbox{\rule[-3pt]{0pt}{10pt}\ldots}} \TR{$\overline{A}$}} \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$L$}\ncput*{\fbox{\rule[-3pt]{0pt}{10pt}\ldots}}} {\TR{$A$}~{\fbox{\rule[-3pt]{0pt}{10pt}\ldots}} \TR{$\overline{A}$}} \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$U$}} {\TR{$A$}~{\fbox{\rule[-3pt]{0pt}{10pt}\ldots}} \TR{$\overline{A}$}} } } \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le temps d'attente au guichet de l'agence de location, exprimé en minutes, peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [1~; ~20].\index{loi uniforme} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité d'attendre plus de douze minutes ? \item Préciser le temps d'attente moyen. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Cette agence de location propose l'option retour du véhicule dans une autre agence. Une étude statistique a établi que le nombre mensuel de véhicules rendus dans une autre agence peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 220$ et d'écart-type $\sigma = 30$.\index{loi normale} Si pour un mois donné, le nombre de véhicules rendus dans une autre agence dépasse $250$~véhicules, l'agence doit prévoir un rapatriement des véhicules. À l'aide de la calculatrice, déterminer, à $0,01$ près, la probabilité que l'agence doive prévoir un rapatriement de véhicules.\hyperlink{Index}{*} \newpage \textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \parbox{0.46\linewidth} {Des touristes sont logés dans un hôtel H. Un guide souhaite faire visiter la région à ces touristes en empruntant les routes signalées comme d'intérêt touristique par l'office du tourisme. Les tronçons de route qu'il souhaite emprunter sont représentés sur le graphe ci-contre. Le long de chaque arête figure la distance en kilomètres des différents tronçons.} \hfill \parbox{0.48\linewidth}{ \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5.5,5) %\psgrid \psdots(0.5,3.5)(2.5,0.75)(2.75,4.5)(3,1.5)(4,4)(4.25,0.5)(5,1)%BGHCDEF \uput[l](0.5,3.5){B} \uput[dl](2.5,0.75){G} \uput[u](2.75,4.5){H} \uput[l](3,1.5){C} \uput[r](4,4){D} \uput[d](4.25,0.5){E} \uput[r](5,1){F} \pspolygon(0.5,3.5)(2.5,0.75)(3,1.5)(2.75,4.5)%BGCH \psline(2.75,4.5)(4,4)(5,1)(3,1.5)(4,4)%HDFCD \psline(3,1.5)(5,1)(4.25,0.5)(2.5,0.75)(5,1)%CFEGF \rput(1.5,4.25){12}\rput(3.4,4.45){9}\rput(4.8,2.5){21} \rput(4.7,0.4){3} \rput(3.4,0.3){9} \rput(1.2,2){13}\rput(2.6,3){20} \rput(3.7,2.75){8}\rput(2.5,1.2){7}\rput(3.4,1.1){5}\rput(4,1.45){11} \end{pspicture} } \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Le guide peut-il emprunter tous les tronçons de route en passant une et une seule fois sur chacun d'eux, en partant de l'hôtel et en y revenant ? Justifier la réponse. \item Le guide peut-il emprunter tous les tronçons de route en passant une et une seule fois sur chacun d'eux, en partant de l'hôtel mais sans forcément y revenir ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \item Un musée est situé en E. Déterminer le plus court chemin menant de l'hôtel H au musée E. Justifier la réponse.\index{algorithme de Dijkstra} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'office de tourisme évalue chaque année les hôtels de sa région et répertorie les meilleurs sur son site internet. On admet que dans cette région, la création ou la disparition d'hôtels est négligeable. On constate que, chaque année : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 10\,\% des hôtels répertoriés ne seront plus répertoriés l'année suivante ; \item[$\bullet~~$] 20\,\% des hôtels non répertoriés sur le site seront répertoriés l'année suivante. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Réaliser un graphe décrivant cette situation (on notera $R$ l'évènement \og l'hôtel est répertorié \fg{} et $\overline{R}$ son évènement contraire).\index{graphe} \item Écrire la matrice de transition de ce graphe.\index{matrice de transition} \item En 2015, 30\,\% des hôtels de la région étaient répertoriés. Quel pourcentage d'hôtels sera répertorié en 2016 ? en 2017 ? \item Quel pourcentage d'hôtel serait répertorié à long terme ? \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,25cm} \textbf{EXERCICE 3 \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La courbe ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~6]. ABCD est un rectangle, le point D a pour coordonnées (2~;~0) et le point C a pour coordonnées (4~;~0). \begin{center} \psset{unit=1.5cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-1,-1.2)(6.2,3.1) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{4}{10 x mul 5 sub 2.71828 x exp div} \psline(4,0)(2,0)} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=.3pt](0,-2)(7,4) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-1.2)(6.2,3.1) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0.,0)(6.2,3.1) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{10 x mul 5 sub 2.71828 x exp div} \psdots(2,0)(4,0)(2,1.15)(4,1.15) \pspolygon(2,0)(4,0)(4,1.15)(2,1.15)%DCBA \uput[ur](4,0){C} \uput[ur](4,1.15){B} \uput[ul](2,1.15){A} \uput[ul](2,0){D} \end{pspicture*} \end{center} \textbf{Partie A} Dans cette partie A, les réponses seront données à partir d'une lecture graphique. \medskip \begin{enumerate}\index{lecture graphique} \item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) > 0$. \item Avec la précision permise par le graphique, donner une valeur approchée du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~6]. \item Quel semble être le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [2~;~6] ? Justifier. \item Pour quelle(s) raison(s) peut-on penser que la courbe admet un point d'inflexion ?\index{point d'inflexion} \item Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de $\displaystyle\int_1^4 f(x)\:\text{d}x$.\index{aire} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La fonction $f$ est la fonction définie sur l'intervalle [0~;~6] par \[f(x) = (10 x - 5)\text{e}^{- x}.\]\index{fonction exponentielle} Un logiciel de calcul formel a donné les résultats suivants (on ne demande pas de les justifier) : \[f'(x) = (- 10x + 15)\e^{-x} \quad \text{et} \quad f''(x) = (10x - 25)\e^{-x}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Dresser le tableau de variation de $f$ en précisant la valeur de l'extremum et les valeurs aux bornes de l'ensemble de définition. \item Étudier la convexité de $f$ sur l'intervalle [0~;~6].\index{fonction convexe} \item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~6] par $F(x) = (- 10 x - 5)\text{e}^{- x}$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [0~;~6].\index{primitive} \item En déduire la valeur exacte puis une valeur approchée au centième de $\displaystyle\int_2^4 f(x)\:\text{d}x$.\index{aire et intégrale} \item On souhaiterait que l'aire du rectangle ABCD soit égale à l'aire du domaine grisé sur la figure. Déterminer, à $0,01$ près, la hauteur AD de ce rectangle. \end{enumerate} \newpage \textbf{EXERCICE 4 \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Afin de lutter contre la pollution de l'air, un département a contraint dès l'année 2013 certaines entreprises à diminuer chaque année la quantité de produits polluants qu'elles rejettent dans l'air. Ces entreprises ont rejeté $410$~tonnes de ces polluants en 2013 et $332$~tonnes en 2015. On considère que le taux de diminution annuel de la masse de polluants rejetés est constant. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que l'on peut considérer que l'évolution d'une année sur l'autre correspond à une diminution de 10\,\%. \item En admettant que ce taux de 10\,\% reste constant pour les années à venir, déterminer à partir de quelle année la quantité de polluants rejetés par ces entreprises ne dépassera plus le seuil de $180$~tonnes fixé par le conseil départemental. \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} %%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane 23 juin 2016 \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole La Réunion 11 septembre 2016 \hypertarget{Metrosep}{} \label{Metrosep} \lfoot{\small{Métropole -- La Réunion}} \rfoot{\small{14 septembre 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole -- La Réunion~\decofourright\\[5pt]14 septembre 2016}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir au millième. À partir d'une étude statistique dans une chaîne de restaurants, on a modélisé le comportement des clients par : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 60\,\% des clients sont des hommes ; \item[$\bullet~~$] 80\,\% des hommes mangent un dessert alors que seulement 45\,\% des femmes en mangent un. \end{itemize} On interroge au hasard un client de cette chaîne. On note : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $H$ l'évènement \og le client interrogé est un homme \fg{}; \item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement \og le client interrogé a mangé un dessert \fg. \end{itemize} On note également : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $\overline{A}$ l'évènement contraire d'un évènement $A$ ; \item[$\bullet~~$] $p(A)$ la probabilité d'un évènement $A$. \end{itemize}\index{probabilités} \medskip \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter la situation par un arbre pondéré.\index{arbre de probabilités} \item Calculer la probabilité que le client interrogé soit un homme et ait mangé un dessert. \item Montrer que $p(D) = 0,66$. \item Le client interrogé affirme avoir pris un dessert. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ? \end{enumerate} \medskip \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}} \medskip Le directeur de cette chaîne souhaite savoir si ses clients actuels sont satisfaits des menus proposés dans ses restaurants. Une enquête de satisfaction est réalisée sur un échantillon de 300 clients et 204 se déclarent satisfaits des menus proposés. \medskip \begin{enumerate} \item Donner un intervalle de confiance au niveau de 95\,\% de la proportion de clients satisfaits.\index{intervalle de confiance} \item Le directeur souhaite cependant avoir une estimation plus précise et donc veut un intervalle de confiance au niveau de 95\,\% d'amplitude 0,06. Déterminer le nombre de personnes à interroger pour obtenir un tel intervalle. \hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \pagebreak \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point. Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Les parties de cet exercice sont indépendantes.\index{Q. C. M.} \medskip \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 90 et d'écart-type 6. Une valeur arrondie au millième de $p\left( X\geqslant 100\right)$ est :\index{loi normale} \begin{enumerate} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} \item 0,500 & \item 0,452 & \item 0,048 & \item 0,952 \end{tabularx} \end{enumerate} \item Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type 10. Une valeur arrondie au millième de $p\left( \mu-20 \leqslant Y\leqslant \mu +20 \right)$ est : \begin{enumerate} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} \item 0,68 & \item 0,5 & \item 0,8 & \item 0,95 \end{tabularx} \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}} \medskip Pour les deux questions suivantes, on considère une fonction $f$ deux fois dérivable sur $[-5~;3]$. On donne ci-dessous le tableau de variation de $f'$. \begin{center} \psset{unit=.85cm} \begin{pspicture}(14,3.5) \psset{linewidth=.75pt} \psframe(14,3.5) \psline(0,2.5)(14,2.5) \psline(3,0)(3,3.5) \rput(1.5,3){$x$} \rput(3.5,3){$- 5$} \rput(8.5,3){$-1$} \rput(11,3){$1$} \rput(13.5,3){$3$} \rput(1.5,1.25){Variation de $f'$} \rput(3.5,2){\rnode{A}{$-0,5$}} \rput(8.5,.5){\rnode{B}{$-3$}} \rput(13.5,2){\rnode{C}{$4$}} \psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt} \ncline{A}{B} \ncline{B}{C} \ncput*{0} \end{pspicture} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item La fonction $f$ est : \begin{enumerate} \item croissante sur $[- 5~;~3]$ \item décroissante sur $[- 5~;~1]$ \item décroissante sur $[- 5~;~3]$ \item croissante sur $[-1~;~3]$ \end{enumerate} \item La fonction $f$ est :\index{fonction convexe} \begin{enumerate} \item convexe sur $[- 5~;~-1]$ \item concave sur $[- 5~;~-1]$ \item concave sur $[- 5~;~1]$ \item convexe sur $[- 5~;~3]$ \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \pagebreak \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L} \bigskip Le 31 décembre 2015 une forêt comportait \np{1500} arbres. Les exploitants de cette forêt prévoient que chaque année, 5\,\% des arbres seront coupés et 50 arbres seront plantés. On modélise le nombre d'arbres de cette forêt par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est le nombre d'arbres au 31 décembre de l'année $(2015+n)$.\index{suite} Ainsi $u_0 = \np{1500}$. \medskip \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ et $u_2$. \item Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=0,95\times u_n +50$. \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par \mbox{$v_n=u_n - \np{1000}$}. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. En préciser la raison et le premier terme.\index{suite géométrique} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n= \np{1000} + 500\times 0,95^n$. \item En déduire le nombre d'arbres prévisibles dans cette forêt le 31 décembre 2030. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}} \medskip Les arbres coupés dans cette forêt sont utilisés pour le chauffage. Le prix d'un stère de bois (unité de volume mesurant le bois) augmente chaque année de 3\,\%.\index{taux} Au bout de combien d'années le prix d'un stère de bois aura-t-il doublé ? \pagebreak \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un parc de loisirs décide d'ouvrir une nouvelle attraction pour les jeunes enfants : un parcours pédestre où chaque enfant doit recueillir, sur différents lieux, des indices pour résoudre une énigme. Le parcours est représenté par le graphe ci-dessous. Les sommets représentent des lieux où sont placés les indices ; les arêtes représentent des chemins pédestres qui les relient.\index{graphe} \begin{center} \psset{unit=.8cm} \begin{pspicture}(14,8) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt} \begin{footnotesize} \rput(2,5){\cnode*{2pt}{A}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu A}}}}\rput(6,6){\cnode*{2pt}{B}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu B}}}}\rput(10,5){\cnode*{2pt}{C}{\uput[r](0,0){\sf{\bleu C}}}} \rput(5,3){\cnode*{2pt}{D}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu D}}}} \rput(0,1){\cnode*{2pt}{E}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu E}}}} \rput(11,8){\cnode*{2pt}{F}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu F}}}} \rput(14,4){\cnode*{2pt}{G}{\uput[r](0,0){\sf{\bleu G}}}} \rput(12,0){\cnode*{2pt}{H}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu H}}}} \ncline{A}{E} \ncline{E}{D} \ncline{D}{A}\ncline{A}{B} \ncline{B}{D} \ncline{D}{C} \ncline{C}{B} \ncline{B}{F} \ncline{F}{C} \ncline{C}{H} \ncline{H}{G} \ncline{G}{F} \end{footnotesize} \end{pspicture} \end{center} \medskip \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}} \medskip \begin{enumerate} \item Un enfant pourra-t-il parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois et une seule ? Si oui, indiquer un circuit possible et sinon expliquer pourquoi. \item On note $M$ la matrice d'adjacence associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l'ordre alphabétique).\index{matrice} On donne la matrice $M^4= \begin{pmatrix} 20 & 18 & 20 & 21 & 11 & 13 & 5 & 5\\ 18 & 32 & 25 & 25 & 17 & 16 & 10 & 10\\ 20 & 25 & 31 & 19 & 13 & 13 & 14 & 5\\ 21 & 25 & 19 & 31 & 13 & 21 & 4 & 12\\ 11 & 17 & 13 & 13 & 11 & 6 & 4 & 3 \\ 13 & 16 & 13 & 21 & 6 & 20 & 3 & 13\\ 5 & 10 & 14 & 4 & 4 & 3 & 9 & 1\\ 5 & 10 & 5 & 12 & 3 & 13 & 1 & 10 \end{pmatrix}$. Déterminer le nombre de parcours allant de E à H en 4 chemins pédestres. Les citer tous. \end{enumerate} \medskip \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}} \medskip Afin d'améliorer la qualité de ses services, une étude statistique a relevé la durée moyenne d'attente en minutes à la billetterie du parc en fonction de l'heure. Ce relevé a eu lieu chaque heure de 9 h à 16 h. On obtient le relevé suivant : \begin{center} \psset{unit=.6cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(19,12) \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,0)(19,12) \psset{xunit=.6cm,yunit=.3cm} \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(19,24) \uput[dl](19,0){$x$} \uput[dl](0,24){$y$} \uput[dl](0,0){\footnotesize{0}} \psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu](9,9)(10,14)(11,20)(12,22)(13,21)(14,20)(15,12)(16,2) \end{pspicture} \end{center} Ainsi, à 10 h, il y avait 14 minutes d'attente à la billetterie. On souhaite modéliser cette durée d'attente par une fonction qui à l'heure associe la durée d'attente en minutes. Ainsi, il sera possible d'avoir une estimation de la durée d'attente. On choisit de modéliser cette situation à l'aide de la fonction $f$ définie par \[f(x) = ax^2 + bx + c\] avec $a$, $b$, $c$ des réels et $a$ non nul telle que les trois points $(9~;~9)$, $(11~;~20)$ et $(16~;~2)$ appartiennent à la représentation graphique de $f$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les trois réels $a$, $b$ et $c$. \item En utilisant ce modèle, déterminer sur quelle(s) plage(s) horaire(s) l'attente peut être inférieure à dix minutes.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \pagebreak \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip On définit une fonction $g$ sur l'intervalle $[0,5~;~5]$ par \[g(x) = 5x - 3x\ln x.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Montrer que pour $x$ appartenant à $[0,5~;~5]$, $g'(x) = 2 - 3\ln x$.\index{dérivée} \item Étudier le signe de $g'(x)$ et en déduire le sens de variation de $g$ sur $[0,5 ; 5]$. \item En déduire pour quelle valeur $x_0$, arrondie au centième, la fonction $g$ atteint un maximum. \item Montrer que l'équation $g(x)=4$ admet deux solutions sur $[0,5 ; 5]$ que l'on note $\alpha_1$ et $\alpha_2$. En donner un encadrement d'amplitude 0,01. \item Résoudre $g(x)\geqslant 4$. \item Montrer que la fonction $G$ définie sur $[0,5~;~5]$ par \[G(x) = -\dfrac{3}{2}x^2\ln x + \dfrac{13}{4}x^2\] est une primitive de $g$ sur $[0,5~;~5]$.\index{primitive} \item Calculer alors la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0,5~;~5]$. On donnera la valeur arrondie au millième.\index{valeur moyenne} \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} %%%%%%%%%%%% fin Métropole La Réunion 11 septembre 2016 \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2016 \hypertarget{Antillessep}{} \label{Antillessep} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small septembre 2016} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES (spécialité) Antilles--Guyane~\decofourright\\[5pt] septembre 2016}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{EXERCICE 1 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}\index{Q. C. M.} \medskip \emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f (x) = x\text{e}^x$ ; la fonction $f$ est :\index{fonction exponentielle} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{a.~~} concave sur $] - \infty~;~ 0]$ &\textbf{b.~~} convexe sur $]- \infty~;~0]$\\ \textbf{c.~~} concave sur $[0~;~ +\infty]$ &\textbf{d.~~} convexe sur $[0~;~+\infty[$ \end{tabularx}\index{fonction convexe} \item On considère l'équation d'inconnue $x$ : \[(3x + 1)\text{e}^{5x} = 0.\]\index{fonction exponentielle} Cette équation admet sur $\R$ : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X} \textbf{a.~~} 0 solution &\textbf{b.~~} 1 solution &\textbf{c.~~} 2 solutions &\textbf{d.~~} plus de 3 solutions \end{tabularx} \item On a constaté que, sur 10 ans, le prix d'une certaine denrée a augmenté de 8\,\% par an. On peut affirmer que, sur 10 ans, le prix de cette denrée a augmenté, à l'unité près, de : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X} \textbf{a.~~}80\,\%&\textbf{b.~~} 116\,\% &\textbf{c.~~} 216\,\%&\textbf{d.~~}43\,\% \end{tabularx}\index{taux} \item ~ \parbox{0.6\linewidth}{La courbe $\mathcal{C}_g$ ci-contre représente une fonction $g$ définie et dérivable sur [0~;~3]. On note $g'$ sa fonction dérivée ; on a :\index{dérivée} \textbf{a.~~} $g'(2) = - 1$ \textbf{b.~~} $g'(2) = - 5$ \textbf{c.~~} $g'(2) = \dfrac{4}{3}$ \textbf{d.~~} $g'(2) = 2$} \hfill \parbox{0.39\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,2.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.5,-0.5)(4,2.5) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{ x 1.5 add x dup mul 0.5 mul sub} \uput[ul](0.75,1.9){$\mathcal{C}_g$} \end{pspicture}} \item Soit la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = \text{e}^{3x+2}$.\index{fonction exponentielle} Une primitive $H$ de $h$ peut être définie sur $\R$ par :\index{primitive} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{a.~~}$H(x) = 3\text{e}^{3x+2}$ &\textbf{b.~~} $H(x) = \frac{1}{3}\text{e}^{3x+2}$\\ \textbf{c.~~}$H(x) = (3x + 2)\text{e}^{3x+2}$ &\textbf{d.~~}$H(x) = \text{e}^{3x+2}$ \end{tabularx} \item~ \parbox[t]{0.58\linewidth}{Pour la loi normale représentée ci-contre on a $P(9 < X < 12) \approx 0,82$ (à $10^{-2}$ près).\index{loi normale} Les paramètres de la loi $X$ sont : \textbf{a.~~} $\mu = 10$ et $\sigma = 2$ \textbf{b.~~} $\mu = 11$ et $\sigma = 2$ \textbf{c.~~} $\mu = 10$ et $\sigma = 1$ \textbf{d.~~} $\mu = 11$ et $\sigma = 3$}\hfill \parbox[t]{0.38\linewidth}{ \begin{center} \psset{xunit=0.5cm, yunit=5cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true} \def\xmin{5.5} \def\xmax{14.5} \def\ymin {-0.2} \def\ymax {0.5} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psline(5.5,0)(14.5,0) \multido{\n=6+1}{9}{\uput[d](\n,0){\footnotesize \n}} \def\m{10}% moyenne \def\s{1}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \def\inf{9} \def\sup{12} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20] { \psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0) \closepath % indispensable ! } \psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f} %\uput{12pt}[d](\sup,0){\footnotesize \blue \sup} %\uput{12pt}[d](\inf,0){\footnotesize \blue \inf} \multido{\n=10+10}{15} { %\uput[d](\n,0){\footnotesize \n} \psline(\n,0.0005)(\n,-0.0005) } \psline(\m,0.0007)(\m,-0.0007) \end{pspicture*} \end{center}}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans une salle de sport, trois activités sont proposées: Pilates (P), Step (S) et Zumba (Z). D'une semaine sur l'autre les abonnés peuvent changer d'activité. Au 1\up{er} septembre 2015, il y a 10\,\% des abonnés inscrits en Pilates, 85\,\% en Step et 5\,\% en Zumba. D'après l'analyse des données des années précédentes, le gérant prévoit que, d'une semaine sur l'autre : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Si l'abonné était en Pilates, la semaine suivante il conserve Pilates dans 30\,\% des cas, sinon il choisit Step dans 10\,\% des cas et Zumba dans 60\,\% des cas. \item[$\bullet~~$] Si l'abonné était en Step, la semaine suivante il conserve Step dans 30\,\% des cas, sinon il choisit Pilates dans 50\,\% des cas et Zumba dans 20\,\% des cas. \item[$\bullet~~$] Si l'abonné était en Zumba, la semaine suivante il conserve Zumba dans 20\,\% des cas, sinon il choisit Pilates dans 20\,\% des cas et Step dans 60\,\% des cas. \end{itemize} \medskip On considère qu'il n'y a pas de nouveaux abonnés et pas de départ tout au long de l'année. Soit $E_n = \begin{pmatrix}p_n& s_n& z_n\end{pmatrix}$, la matrice ligne décrivant l'état probabiliste de la répartition parmi les trois activités P, S et T, $n$ semaines après le 1\up{er} septembre 2015.\index{matrice} \medskip \begin{enumerate} \item Donner, sans justification, la matrice $E_0$. \item Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets P, S et Z.\index{graphe} \item On donne $M$ la matrice carrée $3 \times 3$ de transition respectant l'ordre P, S et Z. \[M = \begin{pmatrix}0,3&0,1&0,6\\ 0,5 &0,3& 0,2\\ 0,2 &0,6& 0,2\end{pmatrix}.\] \begin{enumerate} \item Préciser la signification du coefficient $0,5$ dans la matrice $M$. \item Calculer $E_1$. \item Déterminez la répartition prévisible dans chaque activité au bout de trois semaines. \end{enumerate} \item Peut-on affirmer, à $10^{-2}$ près, qu'au bout de 6 semaines environ 1/3 des abonnés se répartissent dans chaque activité. \item Au 1\up{er} septembre 2015 on compte 120 abonnés dans cette salle de sport. Combien peut-on prévoir d'abonnés dans chaque activité, 8 semaines après cette date ? \item \begin{enumerate} \item Conjecturer la valeur exacte des coefficients de la matrice ligne $E$ correspondant à l'état probabiliste stable.\index{etat stable@état stable} \item Vérifier cette conjecture. \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{EXERCICE 3 \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La fonction $f$ est définie sur [ 0~;~ 1] par $f(x) = 2x$. On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi de probabilité dont la fonction de densité est $f$. Cette fonction de densité est représentée ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=2cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.25,-0.2)(1.5,2.2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(1.5,2.2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(1.5,2.2) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1) \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](1,2) \psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,1) \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,2) \pspolygon[fillstyle=hlines](0.5,0)(0.5,1)(1,2)(1,0) \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la valeur, en unité d'aire, de la surface hachurée ? Préciser la démarche utilisée.\index{aire et intégrale} \item Interpréter ce résultat en terme de probabilité. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité $P(0 \leqslant X \leqslant 0,75)$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{EXERCICE 4 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une association confectionne et porte, chaque jour, à domicile des repas à des personnes dépendantes. En 2015, $600$ personnes étaient abonnées à ce service. Pour étudier son développement, cette association a fait une enquête selon laquelle l'évolution peut être modélisée de la façon suivante : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Chaque année, 5\,\% des abonnements ne sont pas renouvelés . \item[$\bullet~~$] Chaque année, on compte $80$ nouveaux abonnements à ce service. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Pour suivre l'évolution du nombre d'abonnés, un gestionnaire réalise l'algorithme suivant :\index{probabilités} \begin{center}\index{algorithme} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l X|}\hline \textbf{Variables :} &$n$ et $U$ sont des nombres\\ \textbf{Traitement :}& Affecter à $U$ la valeur 600\\ &Affecter à n la valeur 0\\ &Tant que $U < 800$ faire\\ &\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l} $U$ prend la valeur $U - U \times 0,05 + 80$\\ $n$ prend la valeur $n + 1$\\ \end{tabular}\\ &Fin Tant que\\ \textbf{Sortie :} &Afficher $n$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées à l'unité). \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l |X|X|m{2cm}|}\hline valeur de $U$ &600 && \ldots\\ \hline valeur de $n$ &0&&\ldots\\ \hline test $U < 800$&vrai&&\ldots\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Déterminer la valeur affichée en fin d'exécution de l'algorithme. \item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \item Cette évolution peut s'étudier à l'aide d'une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ est le nombre d'abonnés pendant l'année $2015 + n$. On a ainsi, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 0,95 u_n + 80$ et $u_0 = 600$.\index{suite} \begin{enumerate} \item Donner $u_1$ et $u_2$ (arrondir les valeurs à l'unité). \item On introduit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - \np{1600}$. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.\index{suite géométrique} Préciser la raison et le premier terme de cette suite. \item En déduire que l'on a, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = \np{1600} - \np{1000} \times 0,95^n$. \end{enumerate} \item La taille des locaux ne permet pas de servir plus de \np{1000} repas. Si cette évolution se poursuit au même rythme, l'association devra-t-elle envisager un jour des travaux d'agrandissement ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane septembre 2016 \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole La Réunion 14 septembre 2016 \hypertarget{Metropolesep}{} \label{Metropolesep} \lfoot{\small{Métropole -- La Réunion}} \rfoot{\small{14 septembre 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole -- La Réunion~\decofourright\\[5pt]14 septembre 2016}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir au millième. À partir d'une étude statistique dans une chaîne de restaurants, on a modélisé le comportement des clients par : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 60\,\% des clients sont des hommes ; \item[$\bullet~~$] 80\,\% des hommes mangent un dessert alors que seulement 45\,\% des femmes en mangent un. \end{itemize} On interroge au hasard un client de cette chaîne. On note : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $H$ l'évènement \og le client interrogé est un homme \fg{}; \item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement \og le client interrogé a mangé un dessert \fg. \end{itemize} On note également : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $\overline{A}$ l'évènement contraire d'un évènement $A$ ; \item[$\bullet~~$] $p(A)$ la probabilité d'un évènement $A$. \end{itemize}\index{probabilités} \medskip \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter la situation par un arbre pondéré. \index{arbre de probabilités} \item Calculer la probabilité que le client interrogé soit un homme et ait mangé un dessert. \item Montrer que $p(D) = 0,66$. \item Le client interrogé affirme avoir pris un dessert. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ? \end{enumerate} \medskip \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}} \medskip Le directeur de cette chaîne souhaite savoir si ses clients actuels sont satisfaits des menus proposés dans ses restaurants. Une enquête de satisfaction est réalisée sur un échantillon de 300 clients et 204 se déclarent satisfaits des menus proposés. \medskip \begin{enumerate} \item Donner un intervalle de confiance au niveau de 95\,\% de la proportion de clients satisfaits.\index{intervalle de confiance} \item Le directeur souhaite cependant avoir une estimation plus précise et donc veut un intervalle de confiance au niveau de 95\,\% d'amplitude 0,06. Déterminer le nombre de personnes à interroger pour obtenir un tel intervalle.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point. Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Les parties de cet exercice sont indépendantes.\index{Q. C. M.} \medskip \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 90 et d'écart-type 6. Une valeur arrondie au millième de $p\left( X\geqslant 100\right)$ est :\index{loi normale} \begin{enumerate} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} \item 0,500 & \item 0,452 & \item 0,048 & \item 0,952 \end{tabularx} \end{enumerate} \item Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type 10. Une valeur arrondie au millième de $p\left( \mu-20 \leqslant Y\leqslant \mu +20 \right)$ est : \begin{enumerate} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} \item 0,68 & \item 0,5 & \item 0,8 & \item 0,95 \end{tabularx} \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}} \medskip Pour les deux questions suivantes, on considère une fonction $f$ deux fois dérivable sur $[-5 ;3]$. On donne ci-dessous le tableau de variation de $f'$. \begin{center} \psset{unit=.85cm} \begin{pspicture}(14,3.5) \psset{linewidth=.75pt} \psframe(14,3.5) \psline(0,2.5)(14,2.5) \psline(3,0)(3,3.5) \rput(1.5,3){$x$} \rput(3.5,3){$- 5$} \rput(8.5,3){$-1$} \rput(11,3){$1$} \rput(13.5,3){$3$} \rput(1.5,1.25){Variation de $f'$} \rput(3.5,2){\rnode{A}{$-0,5$}} \rput(8.5,.5){\rnode{B}{$-3$}} \rput(13.5,2){\rnode{C}{$4$}} \psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt} \ncline{A}{B} \ncline{B}{C} \ncput*{0} \end{pspicture} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item La fonction $f$ est : \begin{enumerate} \item croissante sur $[- 5~;~3]$ \item décroissante sur $[- 5~;~1]$ \item décroissante sur $[- 5~;~3]$ \item croissante sur $[-1~;~3]$ \end{enumerate} \item La fonction $f$ est :\index{fonction convexe} \begin{enumerate} \item convexe sur $[- 5~;~-1]$ \item concave sur $[- 5~;~-1]$ \item concave sur $[- 5~;~1]$ \item convexe sur $[- 5~;~3]$ \end{enumerate} \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \pagebreak \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L} \bigskip Le 31 décembre 2015 une forêt comportait \np{1500} arbres. Les exploitants de cette forêt prévoient que chaque année, 5\,\% des arbres seront coupés et 50 arbres seront plantés. On modélise le nombre d'arbres de cette forêt par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est le nombre d'arbres au 31 décembre de l'année $(2015+n)$.\index{suite} Ainsi $u_0 = \np{1500}$. \medskip \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ et $u_2$. \item Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,95\times u_n +50$. \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par \mbox{$v_n=u_n - \np{1000}$}. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. En préciser la raison et le premier terme.\index{suite géométrique} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n= \np{1000} + 500\times 0,95^n$. \item En déduire le nombre d'arbres prévisibles dans cette forêt le 31 décembre 2030. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}} \medskip Les arbres coupés dans cette forêt sont utilisés pour le chauffage. Le prix d'un stère de bois (unité de volume mesurant le bois) augmente chaque année de 3\,\%. Au bout de combien d'années le prix d'un stère de bois aura-t-il doublé ? \hyperlink{Index}{*} \pagebreak \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un parc de loisirs décide d'ouvrir une nouvelle attraction pour les jeunes enfants : un parcours pédestre où chaque enfant doit recueillir, sur différents lieux, des indices pour résoudre une énigme. Le parcours est représenté par le graphe ci-dessous. Les sommets représentent des lieux où sont placés les indices ; les arêtes représentent des chemins pédestres qui les relient.\index{graphe} \begin{center} \psset{unit=.8cm} \begin{pspicture}(14,8) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt} \begin{footnotesize} \rput(2,5){\cnode*{2pt}{A}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu A}}}} \rput(6,6){\cnode*{2pt}{B}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu B}}}} \rput(10,5){\cnode*{2pt}{C}{\uput[r](0,0){\sf{\bleu C}}}} \rput(5,3){\cnode*{2pt}{D}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu D}}}} \rput(0,1){\cnode*{2pt}{E}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu E}}}} \rput(11,8){\cnode*{2pt}{F}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu F}}}} \rput(14,4){\cnode*{2pt}{G}{\uput[r](0,0){\sf{\bleu G}}}} \rput(12,0){\cnode*{2pt}{H}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu H}}}} \ncline{A}{E} \ncline{E}{D} \ncline{D}{A}\ncline{A}{B} \ncline{B}{D} \ncline{D}{C} \ncline{C}{B} \ncline{B}{F} \ncline{F}{C} \ncline{C}{H} \ncline{H}{G} \ncline{G}{F} \end{footnotesize} \end{pspicture} \end{center} \medskip \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}} \medskip \begin{enumerate} \item Un enfant pourra-t-il parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois et une seule ? Si oui, indiquer un circuit possible et sinon expliquer pourquoi. \item On note $M$ la matrice d'adjacence associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l'ordre alphabétique). On donne la matrice $M^4= \begin{pmatrix} 20 & 18 & 20 & 21 & 11 & 13 & 5 & 5\\ 18 & 32 & 25 & 25 & 17 & 16 & 10 & 10\\ 20 & 25 & 31 & 19 & 13 & 13 & 14 & 5\\ 21 & 25 & 19 & 31 & 13 & 21 & 4 & 12\\ 11 & 17 & 13 & 13 & 11 & 6 & 4 & 3 \\ 13 & 16 & 13 & 21 & 6 & 20 & 3 & 13\\ 5 & 10 & 14 & 4 & 4 & 3 & 9 & 1\\ 5 & 10 & 5 & 12 & 3 & 13 & 1 & 10 \end{pmatrix}$. Déterminer le nombre de parcours allant de E à H en 4 chemins pédestres. Les citer tous. \end{enumerate} \medskip \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}} \medskip Afin d'améliorer la qualité de ses services, une étude statistique a relevé la durée moyenne d'attente en minutes à la billetterie du parc en fonction de l'heure. Ce relevé a eu lieu chaque heure de 9 h à 16 h. On obtient le relevé suivant : \begin{center} \psset{unit=.6cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(19,12) \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,0)(19,12) \psset{xunit=.6cm,yunit=.3cm} \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(19,24) \uput[dl](19,0){$x$} \uput[dl](0,24){$y$} \uput[dl](0,0){\footnotesize{0}} \psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu](9,9)(10,14)(11,20)(12,22)(13,21)(14,20)(15,12)(16,2) \end{pspicture} \end{center} Ainsi, à 10 h, il y avait 14 minutes d'attente à la billetterie. On souhaite modéliser cette durée d'attente par une fonction qui à l'heure associe la durée d'attente en minutes. Ainsi, il sera possible d'avoir une estimation de la durée d'attente. On choisit de modéliser cette situation à l'aide de la fonction $f$ définie par \[f(x) = ax^2 + bx + c\] avec $a$, $b$, $c$ des réels et $a$ non nul telle que les trois points $(9~;~9)$, $(11~;~20)$ et $(16~;~2)$ appartiennent à la représentation graphique de $f$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les trois réels $a$, $b$ et $c$. \item En utilisant ce modèle, déterminer sur quelle(s) plage(s) horaire(s) l'attente peut être inférieure à dix minutes.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \pagebreak \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip On définit une fonction $g$ sur l'intervalle $[0,5~;~5]$ par \[g(x) = 5x - 3x\ln x.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Montrer que pour $x$ appartenant à $[0,5~;~5]$, $g'(x) = 2 - 3\ln x$.\index{fonction logarithme népérien} \item Étudier le signe de $g'(x)$ et en déduire le sens de variation de $g$ sur $[0,5~;~5]$. \item En déduire pour quelle valeur $x_0$, arrondie au centième, la fonction $g$ atteint un maximum. \item Montrer que l'équation $g(x) = 4$ admet deux solutions sur $[0,5~;~5]$ que l'on note $\alpha_1$ et $\alpha_2$. En donner un encadrement d'amplitude 0,01. \item Résoudre $g(x)\geqslant 4$. \item Montrer que la fonction $G$ définie sur $[0,5~;~5]$ par \[G(x) = - \dfrac{3}{2}x^2\ln x + \dfrac{13}{4}x^2\] est une primitive de $g$ sur $[0,5~;~5]$.\index{primitive} \item Calculer alors la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0,5~;~5]$. On donnera la valeur arrondie au millième.\index{valeur moyenne} \hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Métropole La Réunion septembre 2016 \newpage %%%%%%%%%%%% Nouvelle Calédonie 16 novembre 2016 \hypertarget{Caledonienov}{} \label{Caledonienov} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}} \rfoot{\small 16 novembre 2016} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie~\decofourright \\[5pt]16 novembre 2016} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\index{Q. C. M.} Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \medskip \begin{enumerate} \item On considère $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = (2x + 3)\text{e}^{-x}.\]\index{fonction exponentielle} \medskip \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline \textbf{a.~~} $f'(x) = 2\text{e}^{-x}$ &\textbf{b.~~} $f'(x) = - 2\text{e}^{- x}$\\ \hline \textbf{c.~~} $f'(x) = (2x + 5)\text{e}^{-x}$ &\textbf{d.~~} $f'(x) = (- 2x - 1 )\text{e}^{-x}$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On considère le nombre $I = \displaystyle\int_0^1 \left(2\text{e}^{2x} + 3\right)\:\text{d}x$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline \textbf{a.~~}$I = \text{e}^2 + 3$&\textbf{b.~~}$I = \text{e}^2 + 2$\\ \hline \textbf{c.~~} $I = 2\text{e}^2 + 3$&\textbf{d.~~} $I = 2\text{e}^2 - 2$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On considère $g$ la fonction définie sur $\R$ par: \[g(x) = 5\text{e}^x + 3.\]\index{fonction exponentielle} La tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse $0$ passe par le point : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline \textbf{a.~~}A$(1~;~5\text{e} + 3)$&\textbf{b.~~}B$(-1~;~5)$\\ \hline \textbf{c.~~}C(1~;~13)& \textbf{d.~~}D(0~;~ 3)\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On considère $h$ la fonction définie sur $\R$ par : \[h(x) = x^3 - 6x + 3.\] \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline \textbf{a.~~} $h$ est strictement croissante sur $\R$&\textbf{b.~~} $h$ est concave sur $[0~;~+ \infty[$\\ \hline \textbf{c.~~} $h$ est concave sur $\R$& \textbf{d.~~} $h$ est convexe sur $[0~;~+ \infty[$\\\hline \end{tabularx}\index{fonction convexe} \medskip\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par : \index{suite} \[u_0 = 350 \quad \text{et, pour tout entier naturel }\: n,\: u_{n+1} = 0,5u_n + 100.\] \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ et $u_2$. \item On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: $w_n = u_n - 200$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.\index{suite géométrique} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, \[u_n = 200 + 150\times 0,5^n.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Une commune propose aux enfants d'adhérer à une association sportive. Au premier septembre 2015 le nombre d'enfants inscrits dans cette association est $500$ dont $350$ filles. Les statistiques relatives aux années précédentes nous amènent, pour l'évolution du nombre d'adhérents lors des prochaines années à la modélisation suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Chaque année, la moitié des filles inscrites l'année précédente ne renouvellent pas leur inscription ; par ailleurs l'association accueille chaque année $100$ nouvelles filles. \item D'une année à l'autre, le nombre de garçons inscrits à l'association augmente de 10\,\%. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item On représente l'évolution du nombre de filles inscrites dans ce club par une suite $\left(F_n\right)$ où $F_n$ désigne le nombre de filles adhérentes à l'association en l'année $2015 + n$. On a donc $F_0 = 350$. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $F_{n+1}$ en fonction de $F_n$. \item On représente l'évolution du nombre de garçons inscrits dans ce club par une suite $\left(G_n\right)$, où $G_n$ désigne le nombre de garçons adhérents à l'association l'année $2015 + n$. \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $G_n$ en fonction de $n$. \item À partir de quelle année le club comptera-t-il plus de $300$ garçons ? \end{enumerate} \item On souhaite savoir à partir de quelle année le nombre de garçons, dans cette association, va dépasser celui des filles. On propose l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline \textbf{Initialisation}\\ Affecter à $n$ la valeur 0\\ Affecter à $G$ la valeur 150\\ Affecter à $F$ la valeur 350\\ \textbf{Traitement}\\ \\ Tant que $G \leqslant F$\\ \hspace{5mm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ \hspace{5mm}$G$ prend la valeur $1,1G$\\ \hspace{5mm}$F$ prend la valeur $0,5F + 100$\\ Fin tant que\\ \\ \textbf{Sortie} Afficher le nombre $n$\\ \hline \end{tabular}\index{algorithme} \end{center} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l'unité. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Valeur de $n$ &0 &1 &\ldots &\\ \hline Valeur de $G$ &150 &\ldots &\ldots &\\ \hline Valeur de $F$ &350 & & &\\ \hline Condition $G \leqslant F$ &vrai &\ldots & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item En déduire l'affichage obtenu, puis répondre au problème posé. \end{enumerate} \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Pierre prend des cours de natation ; il effectue plusieurs plongeons. Lorsque Pierre réussit un plongeon, il prend confiance en lui et la probabilité qu'il réussisse le plongeon suivant est de 0,7. Par contre, lorsqu'il ne réussit pas un plongeon, la probabilité qu'il réussisse le plongeon suivant est égale à 0,2.\index{probabilités} On suppose que Pierre a réussi son premier plongeon. L'état \og plongeon réussi \fg{} est noté $R$. L'état \og plongeon non réussi \fg{} est noté $\overline{R}$. Pour tout entier naturel $n > 1$, la probabilité que Pierre réussisse son $n$-ième plongeon est notée $a_n$, tandis que la probabilité que Pierre ne réussisse pas son $n$-ième plongeon est notée $b_n$. La matrice ligne $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n \end{pmatrix}$ donne l'état probabiliste du système lors du $n$-ième plongeon.\index{matrice} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $R$ et $\overline{R}$.\index{graphe probabiliste} \item Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe, les sommets $R$ et $\overline{R}$ étant classés dans cet ordre.\index{matrice de transition} \item Justifier que $P_1 = \begin{pmatrix}1& 0 \end{pmatrix}$. \item Avec la calculatrice, déterminer la probabilité que Pierre réussisse son quatrième plongeon. \item Montrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\: a_{n+1} = 0,5a_n + 0,2$. \item Lorsque la probabilité que Pierre réussisse son plongeon devient inférieure ou égale à $0,41$, le maître-nageur demande à Pierre de faire une pause. On cherche alors à déterminer au bout de combien d'essais Pierre arrête sa série de plongeons. On cherche donc à déterminer le plus petit entier naturel $n \geqslant 1$ tel que $a_n \leqslant 0,41$. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il permette de répondre à la question posée.\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline \textbf{Initialisation}\\ Affecter à $N$ la valeur $1$\\ $A$ prend la valeur $1$\\ \\ \textbf{Traitement}\\ Tant que \ldots \ldots\ldots\\ \hspace{0.5cm}$N$ prend la valeur \ldots \ldots.\\ \hspace{0.5cm}$A$ prend la valeur \ldots \ldots.\\ Fin Tant que\\ \\ \textbf{Sortie}\\ Afficher \ldots \ldots \ldots\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par \[u_n = a_n - 0,4.\]\index{suite} \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.\index{suite géométrique} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\: a_n = 0,6 \times 0,5^{n-1} + 0,4$. \item Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n \leqslant 0,41$. \item Au bout de combien d'essais Pierre arrête-t-il sa série de plongeons ? \end{enumerate} \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les trois parties A, B et C sont indépendantes. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une enquête révèle que dans un lycée, 67\,\% des élèves jouent régulièrement aux jeux vidéo. On sait de plus que 57\,\% des élèves du lycée sont des filles et que, parmi elles, 49\,\% jouent régulièrement aux jeux vidéo. On choisit au hasard un élève du lycée. On note : $J$ l'évènement: \og l'élève joue régulièrement aux jeux vidéo \fg, et $F$ l'évènement : \og l'élève est une fille \fg.\index{probabilités} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier l'arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la probabilité correspondante.\index{arbre de probabilités} \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$F$}\taput{\ldots}} { \TR{$J$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{J}$}\tbput{\ldots} } \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{F}$}\tbput{\ldots}} { \TR{$J$} \TR{$\overline{J}$} } } \end{center} \item Calculer la probabilité que l'élève soit une fille qui joue régulièrement aux jeux vidéo. \item Montrer que la probabilité que l'élève soit un garçon qui joue régulièrement aux jeux vidéo est égale à \np{0,3907}. \item Calculer la probabilité que l'élève joue régulièrement aux jeux vidéo sachant que c'est un garçon. Arrondir au dix-millième. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Zoé, grande amatrice de jeux vidéo, souhaite s'offrir une tablette numérique pour son anniversaire. Elle pense commander sur un site web marchand une tablette de marque Alpha. Elle s'inquiète quant à l'autonomie de sa tablette en mode veille. On admet que l'on peut modéliser la durée d'autonomie de chaque tablette de marque Alpha en mode veille par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 120$ et d'écart-type $\sigma = 10$.\index{loi normale} La durée $X$ est exprimée en heures. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que la tablette numérique ait en mode veille une autonomie strictement inférieure à 5 jours. \item Déterminer $p(96 \leqslant X \leqslant 144)$. Arrondir le résultat au millième. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Le service des ventes de la société Alpha affirme que 91\,\% des utilisateurs de cette tablette sont satisfaits de leur achat. Le gestionnaire du site marchand organise une enquête afin de vérifier cette affirmation. Il interroge au hasard $150$~clients ayant acheté cette tablette; parmi eux, $130$ se déclarent satisfaits de leur acquisition. Peut-on valider l'affirmation du service des ventes de la société ? Justifier.\index{intervalle de confiance}\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées de façon indépendante} \medskip La fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0,5~;~10] par : \[f(x) = ax + 2 + b \ln (x)\] où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé: \begin{itemize} \item la courbe représentative $\Gamma$ de la fonction $f$ ; \item la droite $d$ tangente à la courbe $\Gamma$ au point A de coordonnées (1~;~1) ; \item la droite $d'$ tangente à la courbe $\Gamma$ au point B d'abscisse 3. \end{itemize} \begin{center} \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-3,-2)(13,5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=4,gridwidth=0.3pt] \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2)(13,5) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1) \psline(-3,2.29584)(13,2.29584) \psplot{-0.5}{3}{x 2 mul 1 sub} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.4}{10}{x ln 3 mul x sub 2 add} \uput[u](7.5,0.5){\blue $\Gamma$} \uput[ul](2.7,4.5){$d$}\uput[u](9.5,2.29584){$d'$} \uput[ul](1,1){A} \uput[ur](3,2.29584){B}\uput[dr](0,-1){E} \psdots(1,1)(3,2.29584)(0,-1) \end{pspicture} \end{center} On sait de plus que : \begin{itemize} \item la tangente au point A passe par le point E de coordonnées $(0~;~-1)$. \item la tangente au point B est parallèle à l'axe des abscisses. \end{itemize} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Donner par lecture graphique la valeur de $f'(1)$, puis celle de $f'(3)$.\index{lecture graphique} \item Calculer $f'(x)$. \item En déduire les valeurs des nombres $a$ et $b$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0,5~;~10] par : \[f(x) = - x + 2 + 3\ln (x).\] \smallskip \begin{enumerate} \item Montrer que pour $x$ dans [0,5~;~10], \[f'(x) = \dfrac{- x + 3}{x}.\] \item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point A d'abscisse~1. \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0,5~;~10], puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle. \item Montrer que sur l'intervalle [0,5~;~3] l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution. Donner une valeur approchée de cette solution arrondie au centième. \item Un logiciel de calcul formel nous donne le résultat suivant : \begin{center} \renewcommand\arraystretch{2.2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|Xr|}\hline 1 &\emph{intégrer} $[3\ln (x) - x + 2]$& \\ \hline &&$3x\ln (x) - x -\dfrac{x^2}{2}$\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand\arraystretch{1} \end{center} Calculer, en unités d'aire, l'aire $S$ du domaine délimité par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 8$.\index{aire} On donnera la valeur exacte de $S$ puis sa valeur arrondie au centième. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Tom observe que sur le dessin précédent, la courbe représentative de $f$ est située en dessous des deux tangentes aux points A et 8. Il affirme : \og La courbe représentative de $f$ sur l'intervalle [0,5~;~10] est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. \fg Démontrer que l'affirmation de Tom est exacte.\hyperlink{Index}{*} %%%%%%%%%%%% fin Nouvelle Calédonie 16 novembre 2016 \newpage %%%%%%%%%%%% Amérique du Sud 24 novembre 2016 \hypertarget{AmeriSud}{} \label{AmeriSud} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small 24 novembre 2016} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES/L Amérique du Sud~\decofourright\\[5pt] 24 novembre 2016} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\ Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\ Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}\index{Q. C. M.} \medskip \begin{enumerate} \item La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~6]. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(7,6) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8,gridwidth=0.6pt](0,0)(7,6) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(7,6) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=2500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{6}{x 3 mul x ln x mul 1.53 mul sub} %\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(1,3)(2,3.85)(2.5,4)(3,3.94)(4,3.5)(5,2.63)(6,1.5) \uput[d](6.8,0){$x$}\uput[l](0,5.8){$y$} \psdots(0,0)(6,1.5731) \uput[u](5.5,2.1){\blue $\mathcal{C}_f$} \end{pspicture} \end{center} On pose $\text{I} = \displaystyle\int_2^4 f(x)\:\text{d}x$. Un encadrement de I est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $0 \leqslant \text{I} \leqslant 2$& \textbf{b.~~} $2 \leqslant \text{I} \leqslant 4$&\textbf{c.~~} $4 \leqslant \text{I} \leqslant 6$&\textbf{d.~~} $6 \leqslant \text{I} \leqslant 8$ \end{tabularx} \medskip \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = 2\text{e}^x - 3x^2$. La courbe représentative de $g$ admet un point d'inflexion qui a pour abscisse :\index{point d'inflexion} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 1&\textbf{b.~~} 0&\textbf{c.~~} $\ln 3$&\textbf{d.~~}$\ln 2$ \end{tabularx} \medskip \item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10~;~0,6)$.\index{loi binomiale} La probabilité qui admet pour valeur approchée $0,012$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~}$p(X= 2)$&\textbf{b.~~} $p(X \geqslant 2)$&\textbf{c.~~} $p(X \leqslant 2)$&\textbf{d.~~} $p(X < 2)$ \end{tabularx} \medskip \item Une société de vente en ligne de chaussures souhaite connaître la proportion d'articles présentant un défaut de coloris. Pour cela, on prélève au hasard dans le stock $400$ paires de chaussures. On constate que $24$ paires présentent ce défaut. L'intervalle de confiance, au seuil de confiance de 95\,\%, de la proportion $p$ de paires de chaussures présentant un défaut de coloris est :\index{intervalle de confiance} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~}[0,89~;~0,99]& \textbf{b.~~} [0,01~;~0,11]& \textbf{c.~~} [0,05~;~0,07]& \textbf{d.~~} [0,92~;~0,96] \end{tabularx} \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle [1~;~45] par \[g(x) = - 20x + 5x \ln(x) + 30.\] \smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $g'$ la fonction dérivée de $g$. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à [1~;~45], on a $g'(x) = - 15 + 5 \ln(x)$. \item Montrer que l'inéquation $- 15 + 5 \ln(x) \geqslant 0$ est équivalente à $x \geqslant \text{e}^3$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ (les valeurs seront arrondies au centième si besoin). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~45]. \item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$. \item En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$ dans l'intervalle [1~;~45]. \end{enumerate} \item On considère la fonction $G$ définie sur l'intervalle [1~;~45] par \[G(x) = - 11,25x^2 + 2,5x^2\ln (x) + 30x.\] Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~45].\index{primitive} \item \begin{enumerate} \item Calculer une valeur approchée au dixième de l'intégrale $\displaystyle\int_{10}^{45} g(x)\:\text{d}x$.\index{intégrale} \item Déduire de la question précédente la valeur moyenne de $g$ sur l'intervalle [10~;~45]. Arrondir le résultat à l'unité.\index{valeur moyenne} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Un ballon sonde, lâché à une altitude de 1 km, relève en continu la température atmosphérique jusqu'à 45~km d'altitude. On admet que la fonction $g$ définie dans la partie A modélise la température de l'air, exprimée en degrés Celsius, en fonction de l'altitude $x$ du ballon sonde, exprimée en km. \smallskip À l'aide des résultats de la partie A, répondre aux questions suivantes. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'altitude à partir de laquelle la température devient inférieure à $0$ degré Celsius. \item Déterminer la température minimale relevée par la sonde. \item On appelle stratosphère la couche atmosphérique se situant entre 10~km et 45~km d'altitude. Déterminer la température moyenne de la stratosphère. Le résultat sera arrondi au degré. \end{enumerate}\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L} \medskip Le gérant d'un hôtel situé dans la ville de Lyon étudie la fréquentation de son établissement afin de prévoir au mieux son budget pour les années futures. Le 5 décembre 1998, le site historique de Lyon a été inscrit au patrimoine mondial de l'UNESCO et l'hôtel a vu son nombre de clients augmenter significativement comme l'indique le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1997 &1998 &1999 &2000\\ \hline Nombre de clients & 950 &\np{1105}&\np{2103} &\np{2470}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Déterminer le pourcentage d'augmentation du nombre de clients entre 1997 et 2000. \smallskip Par ailleurs, depuis le 1\up{er} janvier 2000, une étude statistique a permis de mettre en évidence que, chaque année, l'hôtel compte \np{1200} nouveaux clients et que 70\,\% des clients de l'année précédente reviennent. On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre total de clients de l'hôtel durant l'année $2000 + n$.\index{suite} On a ainsi $u_0 = \np{2470}$ et, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 0,7u_n + \np{1200}$. \item Déterminer le nombre total de clients durant l'année 2001. \item Le gérant de l'hôtel souhaite déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de clients annuel dépassera \np{3900}. Indiquer, en justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l'année correspondante.\index{algorithme} \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X p{2mm}X p{2mm}X} Algorithme 1&&Algorithme 2&&Algorithme 3 \end{tabularx} \begin{tabularx}{0.32\linewidth}{|X|}\hline \footnotesize $U$ prend la valeur \np{2470}\\ \footnotesize $N$ prend la valeur 0\\ \footnotesize Tant que $U < \np{3900}$\\ \hspace{0.3cm}\footnotesize $U$ prend la valeur \\ \hspace{0.3cm}\footnotesize $0,7\times U + \np{1200}$\\ \hspace{0.3cm}\footnotesize $N$ prend la valeur $N + 1$\\ \footnotesize Fin tant que\\ \footnotesize Afficher 2000 + $N$\\ \hline \end{tabularx}~~\begin{tabularx}{0.32\linewidth}{|X| }\hline \footnotesize $U$ prend la valeur \np{2470}\\ \footnotesize $N$ prend la valeur 0\\ \footnotesize Tant que $U > \np{3900}$\\ \hspace{0.3cm}\footnotesize $U$ prend la valeur \\ \hspace{0.3cm}\footnotesize $0,7\times U + \np{1200}$\\ \hspace{0.3cm}\footnotesize $N$ prend la valeur $N + 1$\\ \footnotesize Fin tant que\\ \footnotesize Afficher 2000 + $N$\\ \hline \end{tabularx}~~\begin{tabularx}{0.32\linewidth}{|X|}\hline \footnotesize $U$ prend la valeur \np{2470}\\ \footnotesize $N$ prend la valeur 0\\ \footnotesize Tant que $U < \np{3900}$\\ \hspace{0.3cm}\footnotesize $U$ prend la valeur \\ \hspace{0.3cm}\footnotesize $0,7\times U + \np{1200}$\\ \hspace{0.3cm}\footnotesize $N$ prend la valeur $N + 1$\\ \footnotesize Fin tant que\\ \footnotesize Afficher $U$\\ \hline \end{tabularx} %\end{center} \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - \np{4000}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,7$ et préciser le premier terme.\index{suite géométrique} \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$. \item Justifier que $u_n = \np{4000} - \np{1530} \times 0,7^n$ pour tout entier naturel $n$. \item Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de clients a dépassé \np{3900}. \end{enumerate} \item À long terme, déterminer le nombre de clients que le gérant de l'hôtel peut espérer avoir chaque année.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points} \textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées de façon indépendante.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un groupe de touristes a réservé toutes les chambres d'un hôtel-restaurant à Venise qui propose tous les soirs à ses pensionnaires le choix entre un menu gastronomique et un menu traditionnel. On considère, pour la modélisation, que chaque soir les clients choisissent un des deux menus et que le restaurant est réservé aux clients de l'hôtel. Une étude sur les habitudes des clients montre que, si un soir donné, un client choisit le menu gastronomique, il choisit également le menu gastronomique le soir suivant dans 60\,\% des cas. Si le client choisit le menu traditionnel un soir donné, il choisit également le menu traditionnel le soir suivant dans 70\,\% des cas. \smallskip Afin de mieux prévoir ses commandes pour la saison estivale, le gérant souhaite connaître la proportion de clients choisissant le menu gastronomique ou le menu traditionnel à partir du 1\up{er} juin 2015. Ce soir-là, 55\,\% des clients ont choisi le menu gastronomique. \smallskip On note $g_0$ la probabilité qu'un client ait choisi le menu gastronomique le soir du 1\up{er}~juin 2015 ; on a donc $g_0 = 0,55$. Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $g_n$ la probabilité qu'un client choisi au hasard prenne le menu gastronomique le $n$-ième soir après le 1\up{er} juin 2015. Ainsi, $g_1$ est la probabilité qu'un client ait choisi le menu gastronomique le soir du 2~juin 2015. De la même façon, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $t_n$ la probabilité qu'un client, choisi au hasard, prenne le menu traditionnel le $n$-ième soir après le 1\up{er} juin 2015.\index{suite} \index{probabilités} \smallskip On note $P_n$ la matrice $\left(g_n \quad t_n\right)$ correspondant à l'état probabiliste au $n$-ième soir.\index{matrice} \smallskip On note G l'état \og le client choisit le menu gastronomique \fg{} et T l'état \og le client choisit le menu traditionnel \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets G et T.\index{graphe probabiliste} \end{enumerate} Dans la suite de l'exercice, on admet que la matrice de transition $M$ de ce graphe, en considérant les sommets dans l'ordre alphabétique, est $M = \begin{pmatrix}0,6&0,4\\0,3&0,7\end{pmatrix}$.\index{matrice de transition} \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Donner la matrice $P_0$ correspondant à l'état initial. \item Calculer la probabilité qu'un client choisisse le menu gastronomique le 4 juin 2015. On arrondira le résultat au centième. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la matrice $P = (g \quad t)$ correspondant à l'état stable du graphe probabiliste.\index{etat stable@état stable} \item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'hôtel propose également à ses clients des balades en gondole sur les canaux de Venise. Le graphe ci-dessous représente les principaux canaux de Venise empruntés par le gondolier.\index{graphe} Chaque arête représente un canal et chaque sommet un lieu de la ville. Le poids de chaque arête représente la durée de parcours, exprimée en minutes, entre deux lieux de la ville en empruntant les canaux. \parbox{0.50\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.5,0)(6,6) \cnode*(0.3,4.8){0.1cm}{R}\uput[ul](0.3,4.8){R} \cnode*(3.3,5.4){0.1cm}{L}\uput[u](3.3,5.4){L}\ncline{R}{L}\ncput*{5} \cnode*(5,4.8){0.1cm}{C}\uput[ur](5,4.8){C}\ncline{L}{C}\ncput*{6} \cnode*(5.3,3.5){0.1cm}{P}\uput[r](5.3,3.5){P}\ncline{C}{P}\ncput*{3} \cnode*(3.3,4){0.1cm}{S}\uput[ul](3.3,4){S}\ncline{L}{S}\ncput*{4} \cnode*(3.5,2.4){0.1cm}{G}\uput[r](3.5,2.3){G}\ncline{C}{S}\ncput*{3} \cnode*(1.5,2){0.1cm}{U}\uput[dl](1.5,2){U}\ncline{P}{G}\ncput*{4} \cnode*(4,0.5){0.1cm}{M}\uput[r](4,0.5){M}\ncline{S}{G}\ncput*{2} \ncline{G}{M}\ncput*{6}\ncline{G}{U}\ncput*{5}\ncline{M}{U}\ncput*{10} \ncline{U}{R}\ncput*{7}\ncline{U}{S}\ncput*{4} \end{pspicture}}\hfill \parbox{0.46\linewidth}{ C : Ca'Pesaro G : Palazzo Grimani di San Luca L : Palazzo Labia M : Piazza San Marco P : Ponte Di Rialto R : Piazzale Roma S : Campo Di San Polo U : Universita Ca'Foscari} Le gondolier employé par l'hôtel inspecte régulièrement les canaux pour en vérifier la navigabilité. Il souhaite optimiser son trajet en inspectant une fois et une seule chaque canal. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier qu'un tel trajet est possible et indiquer quels sont les lieux possibles de départ et d'arrivée. \item Déterminer la durée pour effectuer ce trajet.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie A} \medskip L'entreprise Éclairage vend des ampoules à deux magasins de bricolage : Atelier et Bricolo. Cette entreprise propose trois types d'ampoules : les ampoules fluocompactes qui représentent 30\,\% du stock, les ampoules halogènes qui représentent 25\,\% du stock et les ampoules à LED qui représentent 45\,\% du stock.\index{probabilités} On sait que : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 65\,\% des ampoules fluocompactes sont achetées par le magasin Atelier ; \item[$\bullet~~$] 70\,\% des ampoules halogènes sont achetées par le magasin Bricolo ; \item[$\bullet~~$] 50\,\% des ampoules à LED sont achetées par le magasin Atelier. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \smallskip On prélève au hasard une ampoule provenant du stock de l'entreprise Éclairage. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{8mm} \begin{description} \item[ ]$F$ : \og l'ampoule est une ampoule fluocompacte \fg{} ; \item[ ]$H$ : \og l'ampoule est une ampoule halogène\fg{} ; \item[ ]$L$ : \og l'ampoule est une ampoule à LED\fg{} ; \item[ ]$A$ : \og l'ampoule est achetée par le magasin Atelier \fg{} ; \item[ ]$B$ : \og l'ampoule est achetée par le magasin Bricolo \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant : \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$F$~}} {\TR{$A$} \TR{$B$}} \pstree{\TR{$H$~}} {\TR{$A$} \TR{$B$}} \pstree{\TR{$L$~}} {\TR{$A$} \TR{$B$}} } \end{center} \item Calculer $p(F \cap A)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \item Calculer la probabilité qu'une ampoule soit achetée par le magasin Bricolo. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Une norme de qualité stipule qu'une marque peut commercialiser ses ampoules si leur durée de vie est supérieure à \np{20000}~heures avec une probabilité d'au moins $0,95$. \medskip \begin{enumerate} \item On note $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie, en heures, d'une ampoule de la marque ÉclaireBien. On admet que $X$ suit la loi normale dont la fonction de densité est tracée ci-après.\index{loi normale} L'aire grisée comprise entre la courbe et l'axe des abscisses est égale à $0,46$. \begin{center} \psset{xunit=0.00016cm, yunit=250cm, runit=1cm,arrowsize=3pt 3,algebraic=true} \def\xmin{5000} \def\xmax{75000} \def\ymin{-0.0047} \def\ymax{0.016} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \multido{\n=5000+5000}{15}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,0.01496)} \multido{\n=0.000000+0.002992}{6}{\psline[linestyle=dotted](5000,\n)(75000,\n)} \psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \def\m{40000}% moyenne \def\s{10000}% écart type \def\f{300/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \def\inf{20000} \def\sup{40000} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20] { \psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0) \closepath % indispensable ! } \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{\xmin}{\xmax}{\f} \multido{\n=10000+10000}{7} { \uput[d](\n,0){\footnotesize \np{\n}} \psline(\n,0.0005)(\n,-0.0005) } \psline(\m,0.0007)(\m,-0.0007) \multido{\n=5000+5000}{15}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,0.01496)} \multido{\n=0.000000+0.002992}{6}{\psline[linestyle=dotted](5000,\n)(75000,\n)} \rput(32500,0.0046){\bf 0,46} \end{pspicture*} \end{center} À l'aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes: \begin{enumerate} \item Donner l'espérance mathématique de $X$. \item Déterminer $p(\np{20000} < X < \np{60000})$. \item Déterminer si la marque ÉclaireBien pourra commercialiser ses ampoules. Justifier la réponse. \end{enumerate} \item On note $Y$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie, en heures, d'une ampoule de la marque BelleLampe. On admet que $Y$ suit la loi normale d'espérance \np{42000} et d'écart-type \np{15000}.\index{loi normale} \begin{enumerate} \item Justifier que la marque BelleLampe ne pourra pas commercialiser ses ampoules. \item Déterminer le nombre $a$, arrondi à l'unité, tel que $p(Y < a) = 0,05$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud 24 novembre 2016 \newpage %%%%%%%%%%%% Nouvelle Calédonie mars 2017 \hypertarget{Caledoniemars}{} \label{Caledoniemars} \lhead{\small Baccalauréat ES} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small mars 2017} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES (spécialité) Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[5pt]mars 2017} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.\\ Dans tout l'exercice, si nécessaire, les résultats seront arrondis au millième.} \medskip A l'occasion de la fête des Mères, un fleuriste décide de proposer à ses clients plusieurs types de bouquets spéciaux. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Chaque bouquet spécial fête des Mères est composé uniquement d'œillets, uniquement de tulipes ou uniquement de marguerites. Chaque bouquet est composé de fleurs d'une même couleur, soit blanches, soit jaunes. Ce fleuriste a choisi de préparer 60\,\% de ces bouquets spéciaux avec uniquement des tulipes, 28\,\% avec uniquement des œillets, les autres bouquets ne comportant que des marguerites. On sait d'autre part que : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item la moitié des bouquets confectionnés avec des tulipes sont de couleur jaune ; \item la proportion de bouquets de coloris jaune parmi les bouquets d'œillets est de un cinquième; \item parmi les bouquets de marguerites, on compte un quart de jaunes. \end{itemize} \smallskip Un client entre dans le magasin et achète au hasard un bouquet parmi les bouquets spéciaux \og Fête des Mères \fg. On note : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $T$ l'évènement : \og Je bouquet acheté est un bouquet de tulipes \fg{} ; \item[$\bullet~~$] $O$ l'évènement : \og le bouquet acheté est un bouquet d'œillets \fg{} ; \item[$\bullet~~$] $M$ l'évènement : \og le bouquet acheté est un bouquet de marguerites\fg{} ; \item[$\bullet~~$] $J$ l'évènement : \og les fleurs du bouquet acheté sont jaunes\fg{} ; \item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement : \og les fleurs du bouquet acheté sont blanches \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm}\index{probabilité} \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré représentant la situation.\index{arbre de probabilités} \item Calculer la probabilité que le client ait acheté un bouquet de tulipes blanches. \item Montrer que la probabilité de l'évènement $B$ notée $p(B)$ est égale à $0,614$. \item Sachant que les fleurs du bouquet acheté par ce client sont blanches, déterminer la probabilité que ce soit un bouquet d'œillets. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip L'un des fournisseurs du fleuriste est un jardinier spécialisé dans la production d'une espèce de rosiers nommée \og Arlequin \fg. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque rosier de cette espèce pris au hasard, cultivé chez ce jardinier, associe sa hauteur exprimée en centimètres. On admet, d'après les observations et mesures réalisées, que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 50$ et d'écart-type $\sigma = 3$.\index{loi normale} \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un rosier \og Arlequin \fg{} chez ce fournisseur. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que ce rosier mesure entre $47$ et $53$~centimètres. \item Déterminer la probabilité que ce rosier mesure plus de $56$~centimètres. \end{enumerate} \item Le fournisseur veut prévoir quelle sera la hauteur atteinte ou dépassée par 80\,\% de ses rosiers \og Arlequin \fg. Déterminer la hauteur cherchée (on l'arrondira au mm). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip En se basant sur les ventes réalisées l'année précédente, cc fleuriste suppose que 85\,\% de ses clients viendront ce jour-là acheter un des bouquets pour la fête des Mères. Quelques semaines avant de préparer ses commandes, il décide de vérifier son hypothèse en envoyant un questionnaire à $75$ de ses clients, ces derniers étant supposés représentatifs de l'ensemble de sa clientèle. Les réponses reçues montrent que, parmi les $75$ clients interrogés, $16$ déclarent qu'ils ne lui achèteront pas de bouquet pour la fête des Mères.\index{intervalle de confiance} Le fleuriste doit-il rejeter son hypothèse ? \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ Pour chaque question posée, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Recopier sur la copie le numéro de la question et indiquer la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}\index{Q. C. M.} \medskip On a représenté dans le repère orthogonal ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[-5~;~1]$. La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A$(-3~;~6)$ et passe par le point $(-5~;~-2)$. Le point A est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$ sur $[- 5~;~1]$. \begin{center} \psset{xunit=1.25cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-5.5,-3)(2.2,15) \multido{\n=-5+1}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-3)(\n,15)} \multido{\n=-3+1}{19}{\psline[linewidth=0.2pt](-5.5,\n)(2.2,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5.5,-3)(2.2,15) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{1}{9 x 3 exp 3 div sub x dup mul 3 mul sub 5 x mul sub} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{-1}{4 x mul 18 add} \uput[u](2.15,0){$x$}\uput[r](0,14.5){$y$} \psdots(-3,6)(-5,-2)(-5,0.667)(1,0.667) \uput[dr](-3,6){A} \uput[r](-5,-2){B}\uput[l](-1.2,13.5){\red $T$} \uput[r](0.8,2){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Alors : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} $f'(- 3) = 6$&\textbf{B.~~}$f'(- 3) = 4$&\textbf{C.~~} $f'(- 3) = \dfrac{1}{4}$& \textbf{D.~~} $f'(- 3) = \dfrac{1}{6}$ \end{tabularx} \medskip\index{lecture graphique} \item On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. Alors : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~}$f''(-3) = 6$&\textbf{B.~~}$f''(- 3) = 4$&\textbf{C.~~} $f''(-3) = 0$ &\textbf{D.~~} $f''(- 3) = \dfrac{1}{4}$ \end{tabularx} \medskip \item La fonction $f$ est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{A.~~} convexe sur $[- 5~;~- 3]$&\textbf{B.~~} convexe sur $[-5~;~-1]$\\ \textbf{C.~~} convexe sur $[- 3~;~1]$&\textbf{D.~~} concave sur $[-5~;~1]$ \end{tabularx} \medskip \item La fonction dérivée $f$ est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{A.~~} décroissante sur $[-3~;~-1]$&\textbf{B.~~} croissante sur $[-3~;~-1]$\\ \textbf{C.~~} croissante sur $[-1~;~1]$&\textbf{D.~~} croissante sur $[-5~;~-1]$ \end{tabularx} \medskip\index{fonction convexe} \item Toute primitive $F$ de la fonction $f$ est :\index{primitive} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{A.~~} décroissante sur $[-5~;~1]$&\textbf{B.~~} croissante sur $[-5~;~1]$\\ \textbf{C.~~} constante sur $[-5~;~1]$&\textbf{D.~~} décroissante sur $[-1~;~1]$ \end{tabularx} \medskip \item On note $I = \displaystyle\int_{-5}^{-4} f(x)\:\text{d}x$. Alors : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~}$-2 \leqslant I \leqslant 0$&\textbf{B.~~}$- 5 \leqslant I \leqslant - 4$& \textbf{C.~~}$0 < I \leqslant 2$&\textbf{D.~~} $2 < I< 4$ \end{tabularx} \medskip\index{aire et intégrale} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Les jeunes abonnés (c'est-à-dire de moins de 12 ans) inscrits à une médiathèque se voient proposer une formule d'emprunt mensuel unique : chaque mois, chacun de ces abonnés peut choisir d'emprunter exclusivement soit un livre, soit un film en DVD. On suppose d'une part que le nombre d'inscrits ne varie pas et d'autre part que tous les abonnés de moins de 12 ans respectent cette formule et réalisent un emprunt chaque mois. Les statistiques réalisées lors des mois précédents sur les choix d'emprunt des jeunes abonnés permettent au responsable de la médiathèque de constater que l'on peut modéliser ainsi la situation : d'un mois à l'antre, \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]89\,\% des jeunes abonnés ayant choisi d'emprunter un livre, optent encore pour un livre le mois suivant ; \item[$\bullet~~$]parmi les jeunes abonnés ayant emprunté un film, 14\,\% changent le mois suivant en décidant de choisir un livre. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Lors du lancement de cette formule d'emprunt, en janvier 2016, 80\,\% des abonnés de moins de 12 ans empruntent un livre. Chaque mois, on choisit au hasard un abonné de moins de 12 ans de cette médiathèque, et pour tout entier naturel $n$, on note :\index{probabilités} \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$a_n$ la probabilité que cet abonné emprunte un livre le $n$-ième mois après janvier 2016 ; \item[$\bullet~~$]$b_n$ la probabilité que cet abonné emprunte un film le $n$-ième mois après janvier 2016 ; \item[$\bullet~~$]$P_n = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste le $n$-ième mois après janvier 2016.\index{matrice} \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Ainsi $P_0 = \begin{pmatrix}a_0&b_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,8& 0,2\end{pmatrix}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, où :\index{graphe probabiliste} \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]A est l'état \og le jeune abonné choisit d'emprunter un livre \fg{} ; \item[$\bullet~~$]B est l'état \og le jeune abonné choisit d'emprunter un film \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Donner la matrice de transition M associée à ce graphe, en prenant les sommets A et B dans cet ordre.\index{matrice de transition} \item Déterminer la répartition des jeunes abonnés selon leur choix d'emprunt, en février 2016 et en mars 2016. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = 0,89a_n + 0,14b_n$. \item En déduire que pour tout entier naturel $n, \: a_{n+1} = 0,75a_n + 0,14$. \item Pour déterminer au bout de combien de mois le pourcentage de jeunes abonnés empruntant un livre deviendra pour la première fois strictement inférieur à 60\,\%, on décide de programmer un algorithme. Modifier l'algorithme ci-dessous pour qu'il permette d'afficher la réponse à cette question.\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{X} \emph{Initialisation}\\ \hspace{0.5cm}\begin{tabular}{l} $a$ prend la valeur 0,8\\ $n$ prend la valeur 1 \end{tabular}\\ \emph{Traitement}\\ \hspace{0.5cm}\begin{tabular}{l} Tant que $a \geqslant 0,6$\\ \hspace{1cm}$a$ prend la valeur $0,75 \times a + 0,14$\\ Fin Tant que \end{tabular}\\ \emph{Sortie}\\ \hspace{0.7cm}Afficher $n$ \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_n = a_n - 0,56$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $0,75$ et préciser son terme initial.\index{suite géométrique} \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$\: :\: $a_n = 0,24 \times 0,75^n + 0,56$. \item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $a_n < 0,6$ et interpréter le résultat dans le contexte. \item À long terme, que peut-on penser de la probabilité qu'un jeune abonné choisisse d'emprunter un livre ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La directrice d'une association sportive décide de proposer à ses adhérents une randonnée pédestre, longue de 12~km, sur des sentiers de montagne. Afin que les membres de son association puissent décider de participer ou non à cette randonnée en fonction de leur niveau et de leur condition physique, elle leur envoie le graphique ci-dessous avant de procéder aux inscriptions. Dans un repère orthogonal, cette courbe représente la fonction $f$ définie sur [0~;~12] donnant l'altitude du parcours en fonction du nombre de kilomètres effectués depuis le départ. Ainsi $x$ est la distance parcourue, en kilomètres, depuis le point de départ de la randonnée : $x \in [0~;~12]$ et $f(x)$ est l'altitude. en mètres, à laquelle se situe le chemin de randonnée au bout de $x$ km parcourus. \begin{center} \psset{xunit=0.75cm,yunit=0.01cm} \begin{pspicture}(-1,-50)(15,950) \multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,950)} \multido{\n=0+100}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(15,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(15,950) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{150 x mul 2.71828 x dup mul 0.02 mul exp div 300 add} \uput[u](14.7,0){$x$}\uput[r](0,935){$y$} \end{pspicture} \end{center} \textbf{Partie A} \medskip \emph{Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes} :\index{lecture graphique} \medskip \begin{enumerate} \item À quelle altitude se situent les randonneurs après avoir parcouru 2 kilomètres ? \item Dans la partie descendante de cette randonnée, l'organisatrice a prévu de faire une pause avec les participants, dans un refuge situé à 600~mètres d'altitude. Quelle distance auront-ils alors parcourue depuis le départ ? \item À la fin du chemin de randonnée, les randonneurs seront-ils revenus à leur point de départ ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \emph{Dans toute cette partie, les réponses devront être justifiées.} \emph{Aucune lecture graphique ne sera considérée comme une justification valable.} \medskip Une modélisation du parcours proposé permet d'affirmer que la fonction $f$ est définie sur [0~;~12] par : \[f(x) = 150x\text{e}^{-0,02x^2} + 300.\]\index{fonction exponentielle} \smallskip \begin{enumerate} \item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ et on admet que :\index{dérivée} \[\text{pour tout\:}x \in [0~;~12],\quad f'(x) = \left(150 - 6x^2\right)\text{e}^{-0,02x^2}\] Déterminer le signe de $f'(x)$ et le tableau de variation de $f$ sur [0~;~12]. \item Quelle sera, au mètre près, l'altitude maximale atteinte par les randonneurs ? Au bout de quelle distance parcourue depuis le départ? \item L'un des participants de cette randonnée affirme : \og Dans ce parcours, nous n'atteindrons qu'une seule fors une altitude de 350 m \fg. Démontrer que cette affirmation est vraie, et donner une valeur approchée, arrondie au mètre près, de la distance qu'auront parcourue les randonneurs depuis le départ pour parvenir à cette altitude. \item Soit $F$ la fonction définie sur [0~;~12] par : \[F(x) = 300x - \np{3750}\text{e}^{-0,02x^2}.\]\index{fonction exponentielle} Montrer que $F$ est une primitive de $f$.\index{primitive} \item Quelle est la valeur de l'altitude moyenne de la phase d'ascension de cette randonnée ? (Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée arrondie au mètre près). \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle Calédonie mars 2017 \begin{center} \rput[r](0pt,3pt){\psvectorian[color=black,height=1 cm]{9}}% \qquad\Large ~Fin~% \qquad\rput[l](0pt,3pt){\psvectorian[color=black,height=1 cm,mirror]{9}}% \end{center} \printindex \end{document}