\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{colortbl} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-func,pstricks-add} \usepackage{pst-eucl} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \def\e{\text{e}} \def\i{\text{i}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat ES}, pdftitle = {Baccalauréat ES - 2012}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Baccalauréat ES/L : l'intégrale 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES 2012~\decofourright \\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril à novembre 2012}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \hypertarget{Retour}{} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry 17 avril 2012} \dotfill \pageref{Pondichery}\\ \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord 31 mai 2012} \dotfill \pageref{AmeriqueNord} \\ \hyperlink{Liban}{Liban mai 2012} \dotfill \pageref{Liban} \\ \hyperlink{Polynesie}{Polynésie 8 juin 2012} \dotfill \pageref{Polynesie} \\ \hyperlink{Centresetrangers}{Centres étrangers 13 juin 2012} \dotfill \pageref{Centresetrangers} \\ \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane 19 juin 2012} \dotfill \pageref{Antilles} \\ \hyperlink{Asie}{Asie 20 juin 2012} \dotfill \pageref{Asie} \\ \hyperlink{Metropole}{Métropole 21 juin 2012} \dotfill \pageref{Metropole} \\ \hyperlink{Antillessept}{Antilles-Guyane 13 septembre 2012} \dotfill \pageref{Antillessept} \\ \hyperlink{Metropolesept}{Métropole 13 septembre 2012} \dotfill \pageref{Metropolesept} \\ \hyperlink{Polynesiesept}{Polynésie 13 septembre 2012} \dotfill \pageref{Polynesiesept} \\ \hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud 14 novembre 2012} \dotfill \pageref{AmeriqueSud} \\ \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie 16 novembre 2012} \dotfill \pageref{Caledonienov} \\ \end{tabularx} \vspace{1cm}À la fin index des notions abordées \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small 17 avril 2012} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Pondichéry 17 avril 2012~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Il est constitué de quatre questions indépendantes. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses proposées est exacte. Recopier le numéro de chaque question et indiquer la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. \medskip \begin{enumerate} \item La courbe $\mathcal{C}_{g}$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[- 8~;~5]$. La droite (AB) tracée sur le graphique est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point A d'abscisse $- 2$. On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[- 8~;~5]$. \psset{unit=0.75cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-9,-4)(6,5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-9,-4)(6,5) \psdots(-8,1)(-4,3)(-2,0)(5,3) \uput[dl](-4,3){B}\uput[dl](-2,0){A}\uput[u](3.4,1.25){\blue $\mathcal{C}_{g}$} \uput[d](6,0){$x$}\uput[l](0,5){$y$} \psplot[linewidth=1pt]{-5.33}{0.66}{x 1.5 neg mul 3 sub} \psset{linewidth=1.25pt,linecolor=blue,dotscale=.75} \psbezier(-8,1)(-6.5,1)(-5.5,4)(-4,4) \psbezier(-4,4)(-3.1,4)(-3,1.5)(-2,0) \psbezier(-2,0)(-1,-1.5)(0,-2)(1,-2) \psbezier(1,-2)(3,-2)(3.7,3)(5,3) \psdots[dotscale=.8](-8,1)(5,3) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item $g'(-2) = - 1,5$ \item $g'(-2) = 0 $ \item $g'(-2) = - \dfrac{2}{3}$. \end{enumerate} \item On note $G$ une primitive sur l'intervalle $[- 8~;~5]$ de la fonction $g$ introduite à la question 1 ; \begin{enumerate} \item la fonction $G$ admet un minimum en $- 2$ \item la fonction $G$ est décroissante sur l'intervalle $[- 4~;~1]$ \item la fonction $G$ est croissante sur l'intervalle $[- 8~;~- 2]$. \end{enumerate} \item Soit $I = \displaystyle\int_{2}^7 \left(2x + 1 - \dfrac{1}{x}\right)\:\text{d}x$ ; \begin{enumerate} \item $I = 50 + \ln \left(\dfrac{2}{7} \right)$ \item $I = 48,7$ \item $I = 10 - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{2}$. \end{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : \[f(x)= \dfrac{6x-5}{3x^2 - 5x+ 7}\] On note $F$ la primitive de $f$ sur $\R$ telle que $F(1) = 1$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip Anna a créé un site web. Le tableau ci-dessous présente l'évolution du nombre hebdomadaire de visiteurs de ce site au cours des huit premières semaines suivant sa création. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.35cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang de la semaine $x_{i}$ & 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 \\ \hline Nombre de visiteurs $y_{i}$ &205 &252&327&349&412&423&441&472\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal, en prenant pour unités 1~cm pour une semaine sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 50~visiteurs sur l'axe des ordonnées. \item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points, et le placer dans le repère précédent (on arrondira l'ordonnée du point G à l'unité près). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour cette question, les calculs pourront être effectués à l'aide de la calculatrice ; aucun détail n'est exigé à leur propos. Déterminer l'équation $y = ax + b$ de la droite $(D)$ d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à l'entier le plus proche.\index{Moindres carrés} \item Tracer la droite $(D)$ dans le repère précédent. \item En utilisant l'ajustement affine précédent, estimer le nombre de visiteurs lors de la dixième semaine suivant la création du site. \end{enumerate} \item En remarquant que l'augmentation du nombre de visiteurs est plus faible sur les dernières semaines, on peut penser à faire un ajustement de type \og logarithmique \fg. Pour cela, On pose : $z = \ln (x)$. \begin{enumerate} \item On donne le tableau suivant : \medskip \hspace{-1cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|p{3.3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang de la semaine $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 \\ \hline $z_{i} = \ln \left(x_{i}\right)$& 0 &\small 0,693&&\small 1,386 &\small 1,609& &\small 1,946 &\small 2,079\\ \hline Nombre de visiteurs $y_{i}$& 205 &252 &327 &349 &412 &423 &441 &472\\ \hline \end{tabularx} \medskip Préciser les valeurs manquantes $z_{3}$ et $z_{6}$ en arrondissant les résultas obtenus à $10^{-3}$ près. \item On admet que l'équation de la droite $(d)$ d'ajustement affine de $y$ en $z$, obtenue par la méthode des moindres carrés, est : $y = 133z + 184$. En utilisant ce résultat, procéder à une nouvelle estimation du nombre de visiteurs lors de la dixième semaine (le résultat sera arrondi à l'unité). \item À l'aide de ce nouvel ajustement, déterminer le rang de la semaine au cours de laquelle le nombre prévisible de visiteurs dépassera $600$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip Les points de collecte d'un camion d'une société recyclant des \og déchets papier \fg, ainsi que les temps de trajet (en minutes) entre ces différents points, sont représentés par le graphe \no 1. Le dépôt est représenté par le sommet A et les autres sommets représentent les différents points de collecte. \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(10,8) \cnodeput(0.5,4){A}{A} \cnodeput(3,7.5){B}{B}\cnodeput(3,4){C}{C} \cnodeput(5,0.5){D}{D} \cnodeput(5,6){E}{E}\cnodeput(8,7.5){F}{F}\cnodeput(6,2.5){G}{G}\cnodeput(10,2.5){H}{H} \ncline{A}{B}\ncput*{3}\ncline{A}{C}\ncput*{7}\ncline{A}{D}\ncput*{11}\ncline{B}{C}\ncput*{3} \ncline{B}{D}\ncput*{7}\ncline{B}{E}\ncput*{11}\ncline{C}{D}\ncput*{4}\ncline{C}{E}\ncput*{3} \ncline{D}{E}\ncput*{9}\ncline{D}{G}\ncput*{2}\ncline{E}{F}\ncput*{8}\ncline{E}{G}\ncput*{10} \ncline{F}{G}\ncput*{4}\ncline{F}{H}\ncput*{7}\ncline{G}{H}\ncput*{12} \rput(5,0){Graphe \no 1} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Afin de rendre son plan plus lisible, le chauffeur du camion souhaite colorer les sommets du graphe représentant son réseau de manière à ce que deux sommets adjacents n'aient jamais la même couleur. Peut-il utiliser seulement trois couleurs ? Justifier. \item On appelle $M$ la matrice associée au graphe \no 1, $M$ étant construite en utilisant les sommets dans l'ordre alphabétique. On donne ci-dessous la matrice $M^4$ : \index{Matrices} \[M^4 = \begin{pmatrix}31 &34 &34 &38 &40 &13 &23 &9\\ 34 &47& 46& 50 &44& 22& 33 &10\\ 34& 46 &47& 50& 44& 22& 33 &10\\ 38& 50& 50& 62& 54& 28& 34& 16\\ 40& 44& 44& 54 &60& 24& 36& 20\\ 13 &22 &22 &28& 24 &21 &23 &11\\ 23 &33 &33 &34& 36 &23 &35 &13\\ 9 &10 &10 &16 &20 &11 &13 &11\\ \end{pmatrix}\] Combien y a-t-il de trajets possibles permettant d'aller du dépôt A au point de collecte H en quatre étapes? Justifier la réponse. \item Le conducteur doit se rendre du dépôt A au point de collecte H. Il cherche le chemin qui minimise le temps de trajet. Déterminer ce chemin en expliquant le procédé utilisé, et préciser le temps minimum de parcours obtenu. \index{Algorithme de Dijskra} \item Le point de collecte H est lui-même un lotissement résidentiel privé dont un plan est représenté à l'aide du graphe (non pondéré) ci-dessous. Les sommets sont les différents carrefours et les arêtes sont les voies de circulation. \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(8,5) \cnodeput(0.5,3){A}{1}\cnodeput(2,4.5){B}{2}\cnodeput(2,1.5){C}{3}\cnodeput(3.55,0){D}{4} \cnodeput(5,4.5){E}{5}\cnodeput(5,1.5){F}{6}\cnodeput(8,4.5){G}{7}\cnodeput(8,1.5){H}{8} \ncline{A}{B}\ncline{A}{C}\ncline{C}{B}\ncline{B}{E}\ncline{B}{F}\ncline{F}{E}\ncline{H}{E} \ncline{C}{F}\ncline{F}{H}\ncline{G}{E}\ncline{G}{H}\ncline{C}{D}\ncline{D}{F} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Justifier que ce graphe est connexe.\index{Graphe connexe} \item Le conducteur du camion doit passer le long de chaque voie afin de collecter les déchets individuels de chaque habitation. Il entre dans le lotissement par le sommet 8 : lui est-il possible de parcourir le lotissement en empruntant chaque voie une fois et une seule ? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Un fournisseur d'accès internet effectue une enquête de satisfaction sur un panel de \np{2000}~ clients, dont l'abonnement a plus de 12~mois d'ancienneté. Parmi eux : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 900 n'ont jamais subi de coupure prolongée de connexion. \item[$\bullet~$] 500 clients ont connu leur dernière coupure prolongée de connexion dans les 12 derniers mois. \item[$\bullet~$] les autres clients ont connu leur dernière coupure prolongée de connexion il y a plus d'un an. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} L'enquête révèle que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 95\,\% des clients n'ayant jamais subi de coupure prolongée se déclarent satisfaits du service fourni. \item[$\bullet~$] 50\,\% des clients ayant subi une coupure prolongée de connexion dans les douze derniers mois se déclarent satisfaits du service fourni. \item[$\bullet~$] 70\,\% des clients ayant subi une coupure prolongée de connexion il y a plus d'un an se déclarent satisfaits du service fourni. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit au hasard un client parmi ceux qui ont été interrogés. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{description} \item[ ] $J$ : \og le client n'a jamais subi de coupure prolongée de connexion \fg \item[ ] $R$ : \og la dernière coupure prolongée de connexion du client est survenue au cours des douze derniers mois\fg{} (elle est \og récente \fg) \item[ ] $A$ : \og la dernière coupure prolongée de connexion du client date d'il y a plus d'un an \fg{} (elle est \og ancienne \fg) \item[ ] $S$ : \og le client se déclare satisfait \fg \item[ ] $\overline{S}$ désigne l'évènement contraire de $S$. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités des évènements $J, R$ et $A$.\index{Probabilités} \item Construire un arbre pondéré décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.\index{Arbre pondéré} \end{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de la probabilité que le client soit satisfait et n'ait jamais subi de coupure prolongée de connexion. \item Démontrer que la probabilité que le client choisi se déclare satisfait est égale à \np{0,7625}. \item Le client choisi se déclare satisfait du service fourni. Quelle est la probabilité qu'il ait subi une coupure prolongée de connexion au cours des douze derniers mois (on donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième) ? \item On choisit au hasard trois clients parmi ceux du panel interrogé durant l'enquête. On admet que ce panel est suffisamment important pour assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise. Déterminer la probabilité qu'exactement un des clients choisis se déclare non satisfait du service fourni (on donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième).\index{Loi binomiale@Loi binômiale} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{Partie A } \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par: \[f(x) = \left(-4x^2 + 5\right)\text{e}^{-x} + 3\]\index{Fonction exponentielle} On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[$, on a : \[f'(x) = \left(4x^2 - 8x - 5\right)\text{e}^{-x}.\]\index{Dérivée} \item Étudier le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $x \geqslant 0$, on a $f(x) = - \dfrac{4x^2}{\text{e}^x} + \dfrac{5}{\text{e}^x} + 3$. \item En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ (on pourra utiliser le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x^2}{\text{e}^x}= 0$). \item Interpréter graphiquement cette limite. \end{enumerate} \item À l'aide des questions 1 et 2, dresser le tableau de variation de la fonction $f$. \item Justifier que l'équation $f(x) = 3$ admet une unique solution $x_{0}$ dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Donner une valeur approchée de $x_{0}$ à $10^{- 2}$ près. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Une entreprise produit de la peinture qu'elle vend ensuite. Toute la production est vendue. Le coût moyen unitaire de cette production peut être modélisé par la fonction $f$ de la partie A : pour $x$ hectolitres de peinture fabriqués (avec $x \in [0,5~;~8]$), le nombre $f(x)$ désigne le coût moyen unitaire de production par hectolitre de peinture, exprimé en centaines d'euros (on rappelle qu'un hectolitre est égal à 100~litres). Dans la suite de l'exercice, on utilise ce modèle. On pourra utiliser les résultats de la partie A. Chaque réponse sera justifiée. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le coût moyen unitaire de production en euros, arrondi à l'euro près, pour une production de 500~litres de peinture. \item \begin{enumerate} \item Combien de litres de peinture l'entreprise doit-elle produire pour minimiser le coût moyen unitaire de production ? Quel est alors ce coût, arrondi à l'euro près ? \item Le prix de vente d'un hectolitre de peinture est fixé à 100 euros. À l'aide de la question précédente, déterminer si l'entreprise peut réaliser des bénéfices. \end{enumerate} \medskip \emph{Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. \medskip \item Le prix de vente d'un hectolitre de peinture est fixé à $300$~euros. On appelle seuil de rentabilité la quantité à partir de laquelle la production est rentable, c'est-à-dire qu'elle permet à l'entreprise de réaliser un bénéfice. Quel est le seuil de rentabilité pour cette entreprise ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord mai 2012 \hypertarget{AmeriqueNord}{} \label{AmeriqueNord} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{31 mai 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \cfoot{\thepage} \begin{center}{\Large\textbf{{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord 31 mai 2012~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill } \emph{Commun à tous les candidats} \bigskip Le tableau donne l'évolution de la population du Nigeria, en millions d'habitants. \begin{table}[!h] \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}m{1.7cm}|*{10}{>{\small\centering \arraybackslash}X|}} \hline &1960 &1965 &1970 &1975 &1980 &1985 &1990 &1995 &2000 &2005 \\\hline Rang ($x_i$)&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 & 9 & 10 \\\hline Population en millions $\left(y_i\right)$ & 45,148 & 50,414 & 56,467 & 63,948 & 74,523 & 85,151 & 97,338 & 110,449 & 124,842 & 140,879 \\\hline \end{tabularx} \end{table} \medskip \textbf{Partie 1} \medskip \begin{enumerate} \item Dans un premier temps, on décide de faire un ajustement affine. On note $(d)$ la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Déterminer en utilisant la calculatrice, une équation de $(d)$. On arrondira les coefficients au millième.\index{Moindres carrés} \item À l'aide de cet ajustement, faire une estimation de la population du Nigeria en 2010. On arrondira la réponse au millier d'habitants. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip \emph{Dans cette partie, toutes les valeurs seront arrondies au millième}. \begin{enumerate} \item En 2010 on a noté une population de 154,729 millions d'habitant au Nigeria. On décide alors de faire un ajustement exponentiel. Reproduire et compléter le tableau. \begin{table}[!h] \centering \setlength{\tabcolsep}{1.5em} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.7cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang ($x_i$) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\hline $z_i = y_i$ & & & & & & & & & & \\\hline \end{tabularx} \end{table} \item Déterminer l'équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.\index{Moindres carrés} \item En déduire une expression de la population du Nigeria $y$ en millions d'habitants en fonction du rang de l'année $x$ sous la forme $y = k\e^{mx}$. \item Utiliser cet ajustement pour estimer la population du Nigeria en 2010. \item D'après l'Institut National d'Études Démographiques (INÉD) la population du Nigeria devrait dépasser $430$ millions d'habitants en 2050. Que peut-on penser de cette estimation ? \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill } \emph{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip Un restaurateur propose trois formules à midi. \begin{description} \item[Formule $A$ :] Plat du jour/Dessert/Café \item[Formule $B$ :] Entrée/Plat du jour/Dessert/Café \item[Formule $C$ :] Entrée/Plat du jour/Fromage/Dessert/Café \end{description} Lorsqu'un client se présente au restaurant pour le repas de midi, il doit choisir une des trois formules proposées et commander ou non du vin. Le restaurateur a constaté qu'un client sur cinq choisit la formule $A$, tandis qu'un client sur deux choisit la formule $B$. On sait aussi que : \begin{itemize} \item Parmi les clients qui choisissent la formule $A$, une personne sur quatre commande du vin. \item Parmi les clients qui choisissent la formule $B$, deux personnes sur cinq commandent du vin. \item Parmi les clients qui choisissent la formule $C$, deux personnes sur trois commandent du vin. \end{itemize} Un client se présente au restaurant pour le repas du midi. On considère les évènements suivants : \begin{description} \item[A :] \og Le client choisit la formule $A$\fg \item[B :] \og Le client choisit la formule $B$\fg \item[C :] \og Le client choisit la formule $C$\fg \item[V :] \og Le client commande du vin \fg \end{description} Si $A$ et $B$ désignent deux évènements d'une même expérience aléatoire, alors on notera $\bar{A}$ l'évènement contraire de $A$, $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$, et $p_A(B)$ la probabilité de l'évènement $B$ sachant que $A$ est réalisé. \begin{enumerate} \item Calculer $p(C)$. \item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités donné par la figure \ref{fig_BacESAmeriqueNord_2012a}.\index{Arbre pondéré} \begin{figure}[!h] \centering \begin{pspicture}(0,-3)(0,3) \pstree[treemode=R,treesep=0.75,treefit=loose]{\Tdot}% {% \pstree[treesep=0.75]{\TCircle{$A$}}{\TCircle{$V$}\TCircle{$\bar{V}$}} \pstree[treesep=0.75]{\TCircle{$B$}}{\TCircle{$V$} \TCircle{$\bar{V}$}} \pstree[treesep=0.75]{\TCircle{$C$}}{\TCircle{$V$} \TCircle{$\bar{V}$}} }% \end{pspicture} \caption{}\label{fig_BacESAmeriqueNord_2012a} \end{figure} \item Montrer que $p(V) = 0,45$. \item Le client commande du vin. Calculer la probabilité qu'il ait choisi la formule $A$. \item La formule $A$ coûte $8$ euros, la formule $B$ coûte $12$ euros et la formule $C$ coûte $15$ euros. Le vin est en supplément et coûte $3$ euros. On note $D$ la dépense en euro d'un client venant manger le midi au restaurant. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $D$. \item Calculer la dépense moyenne par client en euro. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill } \emph{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{Partie 1} \medskip On donne la figure \ref{fig_BacESAmeriqueNord_2012b}, dans un repère \Oij, la courbe représentative de $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2\,;\,4]$. On nomme $A$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $-1$ et $B$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $0$. \begin{itemize} \item La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[-2\,;\,-1]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[-1\,;\,4]$. \item La tangente à $\mathcal{C}$ au point $A$ est horizontale. \item La droite $\mathcal{T}$ est la tangente à $\mathcal{C}$ et a pour équation $y = - x + 2$. \end{itemize} \medskip \begin{figure}[!h] \centering \begin{pspicture}(-4,-2)(8,8) \psset% {% xunit=2,% yunit=2,% algebraic=true,% }% \psclip% {\psframe[linestyle=none](-2,-1)(4,4)}% {% % \pscustom % Aire sous une courbe % [% % fillstyle=solid,% % fillcolor=SandyBrown,% % ]% % {% % \psplot[plotpoints=250]{}{}{}% % \psline(,)(,) % }% \psplot[plotpoints=2500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{4}{(x+2)*EXP(-x)}% \psplot[plotpoints=2]{-2}{4}{-x+2}% \psplot[plotpoints=2,arrows=<->]{-1.5}{-0.5}{2.718}% \pstGeonode[PosAngle=90](-1,2.718){A} \pstGeonode[PosAngle=45](0,2){B} \uput{0.1}[90](3,0.25){\blue $\mathcal{C}$} \uput{0.1}[45](2.5,-0.5){$\mathcal{T}$} }% \endpsclip% \psaxes% [linewidth=1pt,% ysubticks=4,% xsubticks=4,% labelsep=-0.5cm,% xlabelPos=axis,% ylabelPos=axis,% subticksize=1,% xticksize=-1 4,% yticksize=-2 4,% tickcolor=lightgray,% ]% (0,0)(-2,-1)(4.,4.)[$x$,90][$y$,0] \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \end{pspicture} \caption{}\label{fig_BacESAmeriqueNord_2012b} \end{figure} \emph{Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée.}\index{Lectures graphiques} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner la valeur de $f'(-1)$. \item Déterminer le signe de $f'(2)$. \item Interpréter graphiquement $f'(0)$, puis donner sa valeur. \end{enumerate} \item Encadrer, avec deux entiers consécutifs, l'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)\:\text{d}x$ exprimée en unités d'aire. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip La fonction de la \textbf{partie A} a pour expression $f(x) = (x + 2)\e^{-x}$.\index{Fonction exponentielle} \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de l'ordonnée du point $A$ de la courbe $\mathcal{C}$. \item Justifier par le calcul le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2\,;\,4]$. \item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[-2\,;\,4]$ par $F = (- x - 3)\text{e}^{-x}$ est une primitive de $f$.\index{Primitive} \item \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $\int_{-1}^{0} f(x) \:\text{d}x$.\index{Intégrale} \item Vérifier la cohérence de ce résultat avec celui de la question 2. de la partie A. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Exercice 3} \emph{Commun à tous les candidats} \emph{\textbf{Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes}} \begin{enumerate} \item On donne la figure dans un repère orthonormé, la courbe $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3\,;\,2]$. La courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses au point $A$ d'abscisse $- 2$ et au point $B$ d'abscisse $1$. \begin{figure}[!h] \centering \begin{pspicture}(-4,-3)(3,5) \psset% {% xunit=1,% yunit=1,% algebraic=true,% }% \psaxes% [linewidth=1pt,% Dx=1,% Dy=1,% ysubticks=2,% xsubticks=2,% labelsep=-0.5cm,% xlabelPos=axis,% ylabelPos=axis,% subticksize=1,% xticksize=-3 5,% yticksize=-4 3,% tickcolor=lightgray,% ]% (0,0)(-4,-3)(3.25,5.25) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psclip% {\psframe[linestyle=none](-3,-3)(3,4)}% {% % \pscustom % Aire sous une courbe % [% % fillstyle=solid,% % fillcolor=SandyBrown,% % ]% % {% % \psplot[plotpoints=250]{}{}{}% % \psline(,)(,) % }% \uput[u](2.9,0){$x$} \psplot[plotpoints=2500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{2}{(x+2)*(x-1)}% \pstGeonode[PosAngle=145](-2,0){A} \pstGeonode[PosAngle=45](1,0){B} }% \endpsclip% \uput[r](0,4.9){$y$} \end{pspicture} \end{figure} Parmi les trois courbes proposées dans le tableau, déterminer la seule qui représente une primitive de $f$ sur l'intervalle $[-3\,;\,2]$. Justifier la réponse.\index{Lectures graphiques} \begin{table}[!h] \centering \begin{tabular}{|*{3}{c|}} \hline a & b & c \\\hline % Le sujet proposé des courbes de tailles hauteurs différentes. % Uniformisation des trois hauteurs % pour que cela tienne sur la page les unités sont divisée par 2. % Première courbe \begin{pspicture}(-2,-1.5)(1.75,4.5) \psset% {% xunit=0.5,% yunit=0.5,% algebraic=true,% }% \psaxes% [% Dx=2,% Dy=2,% ysubticks=4,% xsubticks=4,% labelsep=-0.25cm,% xlabelPos=axis,% ylabelPos=axis,% subticksize=1,% xticksize=-3 8,% yticksize=-4 3,% tickcolor=black,% subtickcolor=lightgray,% labelFontSize=\scriptstyle]% {->}(0,0)(-4,-3)(3.4,8)[$x$,-90][$y$,180] \psclip% {\psframe[linestyle=none](-4,-3)(2,8)}% {% % \pscustom % Aire sous une courbe % [% % fillstyle=solid,% % fillcolor=SandyBrown,% % ]% % {% % \psplot[plotpoints=250]{}{}{}% % \psline(,)(,) % }% \psplot[plotpoints=2500,linewidth=1.25pt]{-3}{2}{x^3/3+x^2/2-2*x}% }% \endpsclip% \end{pspicture} & % Deuxième courbe \begin{pspicture}(-2,-1.5)(1.75,4.5) \psset% {% xunit=0.5,% yunit=0.5,% algebraic=true,% }% \psaxes% [% Dx=2,% Dy=2,% ysubticks=4,% xsubticks=4,% labelsep=-0.25cm,% xlabelPos=axis,% ylabelPos=axis,% subticksize=1,% xticksize=-3 8,% yticksize=-4 3,% tickcolor=black,% subtickcolor=lightgray,% labelFontSize=\scriptstyle]% {->}(0,0)(-4,-3)(3.4,8)[$x$,-90][$y$,180] \psclip% {\psframe[linestyle=none](-4,-3)(3,8)}% {% % \pscustom % Aire sous une courbe % [% % fillstyle=solid,% % fillcolor=SandyBrown,% % ]% % {% % \psplot[plotpoints=250]{}{}{}% % \psline(,)(,) % }% % \psset{linewidth=1.25pt} \psbezier(-3,-3)(-2.5,-0.5)(-2.25,-0.5)(-2,-0.5) \psbezier(-2,-0.5)(-1.75,-0.5)(-1.5,-1)(-1,-1) \psbezier(-1,-1)(-0.5,-1)(-0.25,-0.5)(0,0) \psbezier(0,0)(0.5,1)(1,2)(2,7) % cette courbe est proche mais pas n'est pas assez proche de l'originale %\psplot[plotpoints=250]{-3}{2}{1.2*(x^3/3+1.5*x^2+2*x)}% } \endpsclip% \end{pspicture} & % troisième courbe \begin{pspicture}(-2,-1.5)(2,4.5) \psset% {% xunit=0.5,% yunit=0.5,% algebraic=true,% }% \psaxes% [% Dx=2,% Dy=2,% ysubticks=4,% xsubticks=4,% labelsep=-0.25cm,% xlabelPos=axis,% ylabelPos=axis,% subticksize=1,% xticksize=-3 8,% yticksize=-4 3,% tickcolor=black,% subtickcolor=lightgray,% labelFontSize=\scriptstyle]% {->}(0,0)(-4,-3)(3.4,8)[$x$,-90][$y$,180] \psclip% {\psframe[linestyle=none](-4,-3)(2,8)}% {% % \pscustom % Aire sous une courbe % [% % fillstyle=solid,% % fillcolor=SandyBrown,% % ]% % {% % \psplot[plotpoints=250]{}{}{}% % \psline(,)(,) % }% \psplot[plotpoints=2500,linewidth=1.25pt]{-3}{2}{sqrt(x+3)-1.6}% } \endpsclip% \end{pspicture} \\ \hline \end{tabular} \end{table} \item On admet que l'équation $x\e^{2x-1} = 2$ n'a qu'un seule solution $\alpha$ dans $\R$. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte}. Une entreprise produit des tentes. Le coût marginal, en milliers d'euros, pour la production de $x$ centaines de tentes, avec $0 \leqslant x \leqslant 20$ est donné par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0\,;\,20]$ par $f(x) = \dfrac{2}{x+1}$. On note $C$ la fonction qui représente le coût total exprimé en milliers d'euros pour une production de $x$ centaines de tentes, avec $0 \leqslant x \leqslant 20$. Sachant que les coûts fixes sont de \np{5000} euros, déterminer le coût total en milliers d'euros, pour une production de $x$ centaines de tentes, avec $0 \leqslant x \leqslant 20$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill } \emph{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip Un club de sport propose à ses adhérents deux types d'abonnements : l'abonnement de type $A$ qui donne accès à toutes les installations sportives et l'abonnement de type $B$ qui, en plus de toutes les installations sportives, donne accès au saune, au hammam et au jacuzzi. Chaque adhérent doit choisir un des deux abonnements. La première année, en 2010, $80$\,\% des adhérents ont choisi l'abonnement de type $A$. On considère ensuite que $30$\,\% des adhérents ayant un abonnement de type $A$ changent d'abonnement pour l'année suivante, tandis que $10$\,\% des adhérents ayant un abonnement de type $B$ changent d'abonnement pour l'année suivante. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $0$. On note $a_n$ la proportion des adhérents ayant un abonnement de type $A$ l'année $2010+n$. On note $b_n$ la proportion des adhérents ayant un abonnement de type $B$ l'année $2010+n$. Enfin on note enfin $P_n = \left(a_n \quad b_n\right)$ la matrice traduisant l'état probabiliste de l'année $2010+n$.\index{Matrices} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer $P_0$. \item Représenter la situation par un graphe probabiliste.\index{Graphe probabiliste} \item Écrire la matrice de transition $M$ associée à cette situation. \item Déterminer la matrice $P_2$. En déduire la probabilité pour qu'en 2012 un adhérent choisisse l'abonnement de type $A$. \item Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $0$, $a_{n+1} = 0,6a_n+0,1$.\index{Suite} \item Pour toute entier $n$ supérieur ou égal à $0$, on pose $u_n=4a_n-1$. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $0,6$. Préciser son premier terme.\index{Suite géométrique} \item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $0$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. En déduire $a_n$ en fonction de $n$. \item Calculer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ puis interpréter concrètement ce résultat. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord mai 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Liban juin 2012 \hypertarget{Liban}{} \label{Liban} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{29 mai 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Liban 29 mai 2012~\decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Pour chaque question, indiquer par \textbf{a.}, \textbf{b.}, \textbf{c.} l'unique bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.} \medskip On considère la représentation graphique ci-dessous d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5~;~5]$ telle que : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $f$ s'annule en $0,5$. \item[$\bullet~~$] La courbe représentative de $f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $-2$ et une tangente horizontale au point d'abscisse $2$. \end{itemize} \begin{center} \psset{unit=.5cm} \begin{pspicture}(-11,-7)(11,3) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \newrgbcolor{prune}{.6 0 .48} \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \def\f{(-x^2+8*x-4)/(x^2+4)} \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-11,-7)(11,3) \psset{unit=1cm} \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-5.5,-3.5)(5.5,1.5) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){\footnotesize{0}} \uput[dl](5.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,1.5){\footnotesize{$y$}} \psplot[algebraic=true,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-5}{5}{\f} \psline[linecolor=prune,linewidth=1pt]{<->}(1.1,1)(2.9,1) \psline[linecolor=prune,linewidth=1pt]{<->}(-2.9,-3)(-1.1,-3) \psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu,dotscale=.8](-5,-2.379)(-2,-3)(2,1)(5,.379) \end{pspicture} \end{center} On notera $f'$ la la fonction dérivée de $f$.\index{Lectures graphiques} \begin{enumerate} \item Sur $[-5~;~5]$, l'équation $f'(x) = 0$ admet exactement : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} \textbf{a.~~}\quad 0 solution & \textbf{b.~~}\quad 1 solution & \textbf{c.~~}\quad 2 solutions \\ \end{tabularx} \medskip \item Sur $[-5~;~5]$, l'inéquation $f'(x)\geqslant 0$ admet pour ensemble de solutions : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} \textbf{a.~~}\quad $[-2~;~2]$ & \textbf{b.~~}\quad $[0~;~5]$ & \textbf{c.~~}\quad $[0,5~;~5]$ \\ \end{tabularx} \medskip \item La fonction $g$ telle que $g(x) = \ln\left(f(x)\right)$ est définie sur : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} \textbf{a.~~}\quad $[-2~;~2]$ & \textbf{b.~~}\quad $]0~;~1]$ & \textbf{c.~~}\quad $]0,5~;~5]$ \\ \end{tabularx} \medskip \item On note $S=\displaystyle\int_1^{3}{f(x) \: \mathrm {d} x}$ alors : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} \textbf{a.~~}\quad $0 < S < 1$ & \textbf{b.~~}\quad $1 < S < 2$ & \textbf{c.~~}\quad $2 < S < 3$ \\ \end{tabularx} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{1\up{re} partie : Étude d'une fonction} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = x \mathrm {e}^x - \mathrm {e}^x -8$.\index{Fonction exponentielle} \medskip \begin{enumerate} \item En écrivant que $f(x) = \mathrm {e}^x (x-1) -8$, déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. \item Montrer que $f'(x) = x \mathrm {e}^x $ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.\index{Dérivée} \item Dresser le tableau de variations complet de de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur $[0~;~+\infty[$ une unique solution $a$. \item Montrer que $2,040 < a < 2,041$. \item En utilisant les questions précédentes, déduire le signe de $f(x)$ en fonction des valeurs de $x$ sur $[0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x)= x \mathrm {e}^x - 2\mathrm {e}^x -8x$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.\index{Primitive} \item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_3^{5}{f(x) \: \mathrm {d} x}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{2\up{e} partie : Application à une situation économique} \bigskip Une entreprise fabrique $x$ milliers d'objets avec $x$ appartenant à $[0~;~5]$. La fonction $f$ de la 1\up{re} partie modélise les bénéfices ou les pertes de l'entreprise en centaine d'euros. Pour une quantité $x$ donnée, si $f(x)$ est positif, l'entreprise réalise un bénéfice, et si $f(x)$ est négatif, l'entreprise subit une perte. \medskip En utilisant les résultats de la 1\up{re} partie, répondre aux questions suivantes en justifiant : \medskip \begin{enumerate} \item À partir de combien d'objets produits, l'entreprise commence-t-elle à réaliser des bénéfices ? \item L'entreprise pense produire régulièrement entre $3$ et $5$ milliers d'objets. Déterminer la valeur moyenne du bénéfice sur $[3~;~5]$ (On donnera le résultat arrondi à l'euro près).\index{Valeur moyenne} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Dans un salon de coiffure pour femmes, le coloriste propose aux clientes qui viennent pour une coupe deux prestations supplémentaires : \begin{itemize} \item une coloration naturelle à base de plantes qu'il appelle \og couleur-soin \fg, \item des mèches blondes pour donner du relief à la chevelure, qu'il appelle \og effet coup de soleil \fg. \end{itemize} \medskip Ce coloriste a fait le bilan suivant sur ces prestations : \begin{itemize} \item 40\,\% des clientes demandent une \og couleur-soin \fg. \item parmi celles qui n'en veulent pas, 30\,\% des clientes demandent un \og effet coup de soleil \fg. \item de plus, 24\,\% des clientes demandent les deux à la fois. \end{itemize} \medskip On considère une de ces clientes. On notera $C$ l'évènement \og \emph{la cliente souhaite une "couleur-soin"}\fg. On notera $M$ l'évènement \og \emph{la cliente souhaite un "effet coup de soleil"}\fg. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de $M$ sachant $C$ notée $P_C\left(M\right)$. \item Construire un arbre pondéré qui illustre la situation.\index{Arbre pondéré} \item Calculer la probabilité que la cliente ne souhaite ni une \og couleur-soin \fg, ni un \og effet coup de soleil \fg. \item Montrer que la probabilité de l'évènement $M$ est égale à 0,42.\index{Probabilités} \item Les évènements $C$ et $M$ sont-ils indépendants ? \item Une \og couleur-soin \fg{} coûte 35~euros et un \og effet coup de soleil \fg{} coûte 40~euros. \begin{enumerate} \item Recopier puis compléter sans justifier le tableau suivant donnant la loi de probabilité du gain en euros du coloriste par client : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline $x_{i}$ &75 &40 &35 &0 \\ \hline $p_{i}$ &0,24 & & &0,42\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Donner l'espérance E de cette loi. \item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. Combien le coloriste doit-il facturer la réalisation d'un \og effet coup de soleil \fg{} pour que l'espérance de gain par client augmente de 15\,\% ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip En pédiatrie (médecine des enfants), des études statistiques sur des enfants de moins de 36 mois ont permis de tracer les deux courbes fournies en annexe. Pour un âge $x$ donné en mois, la courbe inférieure $C_1$ donne le périmètre crânien minimal en centimètres, et la courbe supérieure $C_2$ donne le périmètre crânien maximal en centimètres. Ces deux courbes sont souvent utilisées pour observer le développement des enfants. \bigskip \textbf{A. Lectures graphiques} \medskip À l'aide du graphique fourni en annexe, répondre aux deux questions suivantes en laissant les traits de construction apparents :\index{Lectures graphiques} \begin{enumerate} \item Un enfant a un périmètre crânien égal à 41 cm. Déterminer l'âge minimum et l'âge maximum que peut avoir cet enfant. \item Un enfant a un âge compris entre 15 et 21 mois. Déterminer le périmètre crânien minimum et le périmètre crânien maximum que peut avoir cet enfant. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Étude d'un modèle} \medskip Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près. Le pédiatre ne disposant pas de données d'individus de plus de 36 mois sur son lieu d'étude, il considère les valeurs moyennes des deux courbes précédentes. Il obtient les mesures suivantes : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Âge $x$ (en mois) & 0 & 12 & 24 & 36 \\ \hline Périmètre crânien $y$ (en cm) & 36 & 46 & 48 & 50 \\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item On considère $z=\ln \left( 54 - y \right)$. Recopier puis compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Âge $x$ en mois & 0 &12 &24 &36 \\ \hline $z$ & & & & \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en fonction de $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés.\index{Moindres carrés} \item En déduire que $y = 54 - \mathrm{e}^{ax+b}$ avec $a\approx -0,04$ et $b\approx 2,76$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Utilisation du modèle précédent} \medskip Dans cette partie, on utilisera le modèle établi dans la question \textbf{2. b.} de la partie \textbf{B}. \begin{enumerate} \item Un enfant a un périmètre crânien de 53 cm. Déterminer par le calcul une approximation de l'âge en mois de cet enfant. \item Les scientifiques estiment que la structure osseuse crânienne se rigidifie dès l'âge de 15 ans, le périmètre crânien cesse alors de croître. Déterminer par le calcul une approximation du périmètre crânien correspondant. Arrondir au centimètre près. \end{enumerate} \begin{center} %\psset{unit=0.93cm} \psset{xunit=.3cm,yunit=0.18cm} \begin{pspicture}(-2,-5)(36,37) \rput(18,35){\textbf{\emph{Annexe à remettre avec la copie}}} \rput(18,-5){\footnotesize \emph{Courbes obtenues à partir de l'étude séquentielle française de la croissance CIE-INSERM (M. Sempé)}} \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \newrgbcolor{prune}{.6 0 .48} \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \def\fa{4.77*ln(x+.5)+6.65} \def\fb{3.08*ln(x)+11.45} \def\g{3.8*ln(x+.5)+3.4} %\psaxes [linewidth=.1pt, xticksize=0 30, yticksize=0 36, tickwidth=0.1pt, tickcolor=darkgray ,labels=none ](0,0)(36,30) \psaxes [labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=0 30, yticksize=0 36,tickwidth=0.1pt,Dx=3,Oy=30,Dy=5]{->}(0,0)(36,30) \uput[l](0.3,30){\footnotesize{60}} \uput[ur](-2,31){\footnotesize{\emph{Périmètre crânien $y$ (en cm)}}} \uput[d](36,.5){\footnotesize{36}} \uput[dl](36,-1){\footnotesize{\emph{âge $x$ (en mois)}}} \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{16}{\fa} \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{16}{36}{\fb} \uput[r](36,22.5){\footnotesize{\bleu $C_2$}} \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{0}{36}{\g} \uput[r](36,17){\footnotesize{\prune $C_1$}} \uput[l](36,24.5){\footnotesize{\bleu\emph{Périmètre crânien maximum}}} \uput[l](36,14.5){\footnotesize{\prune\emph{Périmètre crânien minimum}}} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près. \medskip Cet exercice consiste à étudier la propagation d'une information d'une personne à l'autre, thème souvent abordé en sciences sociales. Cette information se transmet avec un risque d'erreur, c'est-à-dire avec une probabilité de propagation de l'information contraire. \medskip Dans cet exercice, on considère l'information suivante, notée E : \og Paul a réussi son examen \fg. \bigskip \textbf{Partie A : Propagation symétrique (de type \og neutre \fg{})} \medskip Dans cette partie, on suppose que, pour une information reçue $\left(\text{E ou}\: \overline{\text{E}}\right)$, la probabilité de communiquer cette information à l'identique vaut $0,9$ et la probabilité de relayer l'information contraire vaut $0,1$. \medskip On note $p_n$ la probabilité de recevoir l'information E au bout de $n$ étapes ($n$ étant le nombre de personnes ayant transmis l'information) et on note $q_n$ la probabilité de recevoir l'information $\overline{\mathrm{E}}$ au bout de $n$ étapes. \medskip On suppose que Paul a réussi son examen, on pose $p_0=1$ et $q_0=0$. \medskip \begin{enumerate} \item Recopier puis compléter le graphe probabiliste relatif à la propagation de l'information suivant :\index{Graphe probabiliste} \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 4} \begin{pspicture}(5,2) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu} \cnodeput(0.5,1){E}{\small{\textsf{\bleu{E}}}}\cnodeput(4.5,1){F}{\small{\textsf{\bleu{$\overline{\mathrm{E}}$}}}} \rput{90}{\nccircle{->}{E}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{F}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{E}{F} \ncarc[arcangle=40]{->}{F}{E} \end{pspicture} \end{center} \item Préciser la matrice de transition M telle que $ \begin{pmatrix} p_{n+1} & q_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_{n} & q_{n} \\ \end{pmatrix} \mathrm{M}$.\index{Matrices} \item À l'aide de la calculatrice, trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que $p_n < 0,8$. \item Déterminer par le calcul, l'état stable. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Propagation asymétrique (de type \og rumeur \fg)} \medskip Dans cette partie, on suppose toujours que la probabilité de transmission correcte de l'information E est égale à 0,9. Toutefois, il circule la fausse rumeur $\overline{\mathrm{E}}$. Dans ces conditions, on suppose que si l'information reçue est $\overline{\mathrm{E}}$, la probabilité de transmettre cette information $\overline{\mathrm{E}}$ est égale à 1. \medskip On suppose de nouveau que $p_0 = 1$ et $q_0 = 0$. \medskip \begin{enumerate} \item Représenter cette situation par un graphe probabiliste.\index{Graphe probabiliste} \item Préciser la matrice de transition N telle que $ \begin{pmatrix} p_{n+1} & q_{n+1} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_{n} & q_{n} \\ \end{pmatrix} \mathrm{N}$.\index{Matrices} \item Montrer que $p_{n+1} = 0,9p_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(p_n\right)$ ? \item Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$. \item Trouver par le calcul, le plus petit entier naturel $n$ tel que $p_n < 0,5$. \item Déterminer la limite de $\left(p_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ puis interpréter le résultat obtenu. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Liban mai 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Polynésie 8 juin 2012 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie 8 juin 2012~\decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, \textbf{une seule des trois réponses proposées est exacte}. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point}. \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty [$ par : \[f(x) = 2x -x \ln x.\] \begin{enumerate} \item $f(3 \text{e} )$ est égal à : \begin{enumerate} \item $6\text{e} -3\text{e} \ln 3$ \item $3\text{e} \left( 1 - \ln 3 \right)$ \item $3 \text{e} ^2 \ln\left(3 \text{e} \right)$ \end{enumerate} \item L'ensemble des solutions de l'équation $f(x) = 0 $ est : \begin{enumerate} \item $S = \left\{0~;~\text{e}^2 \right\}$ \item $S = \left\{\text{e}^2 \right\}$ \item $S = \left\{ \ln 2\right\}$ \end{enumerate} \item La limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est égale à : \begin{enumerate} \item $+\infty$ \item 2 \item $-\infty$ \end{enumerate} \item Une primitive de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty [$ est la fonction $F$ définie sur $]0~;~+\infty [$ par : \begin{enumerate} \item $F(x) = 1 - \ln x$ \item $F(x) = \dfrac{5}{4} x^2 - \dfrac{1}{2} x^2 \ln x$ \item $F(x) = x^2 - x^2 \ln x$ \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip L'Etat du Wyoming, aux Etats-Unis, accueille chaque année près de 3,5 millions de touristes, notamment venus visiter les parcs nationaux de Yellowstone et de Grand Teton. 92\,\% de ces touristes visitent le parc de Yellowstone ; parmi ceux-là, 60\,\% visitent aussi le parc du Grand Teton. Enfin, 6\% des touristes se rendant au Wyoming ne visitent aucun des deux parcs. \medskip On interroge au hasard un touriste s'étant rendu au Wyoming ; on suppose que tous ces touristes ont la même probabilité d'être interrogés. On note $Y$ l'évènement : \og le touriste a visité le parc de Yellowstone \fg{} ; $\overline{Y}$ désigne l'évènement contraire de $Y$. On note $G$ l'évènement : \og le touriste a visité le parc du Grand Teton \fg{} ; $\overline{G}$ désigne l'évènement contraire de $G$. \smallskip On note $p(A)$ la probabilité d'un évènement $A$ et, si $B$ est un évènement de probabilité non nulle, $p_B(A)$ la probabilité d'un évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé. \smallskip \emph{Si nécessaire, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près}. \begin{enumerate} \item Que vaut $p\left( \overline{Y} \cap \overline{G} \right)$ la probabilité de l'évènement \og $\overline{Y}$ et $\overline{G}$ \fg{} ? \item Construire un arbre pondéré décrivant la situation étudiée, en y indiquant les probabilités données par l'énoncé qui correspondent à certaines de ses branches. \item Calculer $p_{\overline{Y}}\left(\overline{G} \right)$. Interpréter ce résultat par une phrase. \item Montrer que $p(G)= 0,572$. \item Un touriste a visité le parc du Grand Teton. Calculer la probabilité qu'il ait aussi visité le parc de Yellowstone (le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près). \item Le billet d'entrée pour le parc de Yellowstone est de 10 dollars, celui pour le parc du Grand Teton est de 7 dollars. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de la somme, en dollars, dépensée pour la visite des parcs de Yellowstone et du Grand Teton par un touriste se rendant au Wyoming. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Somme en dollars & 0 & & & 17\\ \hline Probabilité & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Calculer l'espérance de cette loi et interpréter le résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Jonathan est un sportif adepte du semi-marathon (course à pied de 21,1 km). Depuis le 1\up{er} janvier 2012, il a décidé de courir un semi-marathon par mois. Afin d'améliorer sa préparation, il décide d'enchaîner les courses pédestres de 10 km dans différentes villes. \medskip \textsf {\textbf{\textsc{partie a}}} \medskip Le graphe pondéré ci-dessous représente les villes A, B, C, D, E, F, H organisant des courses de 10 km et la ville G est celle organisant le prochain semi-marathon auquel Jonathan est inscrit. Le poids de chaque arête représente le temps, en minutes, nécessaire pour relier une ville à une autre grâce aux transports en commun. \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(0,0)(11,8.3) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \newrgbcolor{prune}{.6 0 .48} \newcommand{\Pg}[1]{\small{\textsf{\prune{#1}}}}% poids des arêtes \newcommand{\Sg}[1]{\small{\textsf{\bleu{#1}}}}% Sommet du graphe \psset{dotstyle=*,dotscale=1.2,linecolor=bleu} \dotnode(4,8){A} \dotnode(0,2.5){B} \dotnode(3.5,0){C} \dotnode(6,1.5){D} \dotnode(5.2,6){E} \dotnode(9,7.5){F} \dotnode(11,5.5){H} \dotnode(11,3){G} \uput[u](4,8){\Sg{A}} \uput[l](0,2.5){\Sg{B}} \uput[d](3.5,0){\Sg{C}} \uput[d](6,1.5){\Sg{D}} \uput[u](5.2,6){\Sg{E}} \uput[u](9,7.5){\Sg{F}} \uput[r](11,3){\Sg{G}} \uput[r](11,5.53){\Sg{H}} \psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu,shortput=nab} \ncline{A}{B}_{\Pg{60}} \ncline{A}{C}^{\Pg{70}} \ncline{A}{E}^{\Pg{20}} \ncline{A}{F}^{\Pg{45}} \ncline{B}{C}_{\Pg{10}} \ncline{B}{E}_{\Pg{20}} \ncline{C}{D}_{\Pg{15}} \ncline{D}{E}_{\Pg{60}} \ncline{D}{G}_{\Pg{20}} \ncline{E}{F}^{\Pg{40}} \ncline{E}{H}_{\Pg{50}} \ncline{F}{H}^{\Pg{35}} \ncline{G}{H}_{\Pg{20}} \end{pspicture} \end{center} Jonathan vient de courir dans la ville A et souhaite se rendre dans la ville G pour repérer le parcours de son prochain semi-marathon. Déterminer à l'aide d'un algorithme le chemin permettant de relier le plus rapidement la ville A à la ville G et donner la durée de ce parcours en minutes. \bigskip \textsf {\textbf{\textsc{partie b}}} \medskip Grâce à son entraînement et à son expérience, Jonathan sait que : \begin{itemize} \item S'il a terminé la course lors de son précédent semi-marathon, il terminera le prochain semi-marathon avec une probabilité de 0,62 ; \item S'il a abandonné lors de son précédent semi-marathon, il terminera le prochain semi-marathon avec une probabilité de 0,8. \end{itemize} Jonathan a terminé son semi-marathon de janvier 2012. Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix} r_{n} & t_{n} \\ \end{pmatrix}$ traduisant l'état probabiliste du $n$-ième mois écoulé depuis janvier 2012, où $r_n$ désigne la probabilité que Jonathan abandonne au semi-marathon du $n$-ième mois et $t_n$ la probabilité que Jonathan termine le semi-marathon du $n$-ième mois. L'état probabiliste initial, correspondant à janvier 2012, est donc donné par : $P_0= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets sont notés R et T (R lorsque Jonathan abandonne, T lorsqu'il termine le semi-marathon). \item En déduire la matrice de transition en considérant les sommets dans l'ordre alphabétique. \item Calculer l'état probabiliste $P_2$. En déduire la probabilité que Jonathan ait abandonné lors du semi-marathon couru en mars 2012. \item Soit $P$ la matrice ligne $\begin{pmatrix} x & y \\ \end{pmatrix}$ donnant l'état stable. \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs de $x$ et de $y$ arrondies à $10^{-3}$ près. \item Interpréter les résultats obtenus. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \begin{center} \emph{\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}} \end{center} \textsf {\textbf{\textsc{Partie a}}} \medskip Le tableau ci-dessous donne les quantités de super sans plomb livrées et vendues en France de 2001 à 2009 (les quantités sont exprimées en millions de tonnes). \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.7cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009 \\ \hline Rang de l'année $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline Quantité (millions de tonnes) $y_i$ & 11,6 & 11,4 & 11,2 & 10,9 & 10,7 & 10,2 & 9,8 & 9,1 & 8,7 \\ \hline \multicolumn{10}{r}{\emph{Source : INSEE}} \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter dans le plan muni d'un repère orthogonal le nuage de points $M_i \left(x_i~;~y_i\right)$, avec $1 \leqslant i \leqslant 9$, associé à cette série statistique. On prendra pour unités graphiques : \begin{itemize} \item sur l'axe des abscisses : 1 centimètre pour une année, \item sur l'axe des ordonnées : 2 centimètres pour un million de tonnes, en commençant la graduation à 7 millions de tonnes. \end{itemize} \item Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage. Placer ce point sur le graphique. \item \begin{enumerate} \item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (aucune justification n'est demandée). Les coefficients de l'équation de la droite seront arrondis à $10^{-2}$ près. \item Tracer la droite d'ajustement obtenue. \end{enumerate} \item En supposant que cet ajustement reste valable jusqu'en 2012, déterminer une estimation des quantités de Super Sans Plomb livrées et vendues pour l'année 2012. \end{enumerate} \bigskip \textsf {\textbf{\textsc{Partie b}}} \medskip Le tableau ci-dessous donne les quantités de gazole livrées et vendues en France de 2001 à 2010 (les quantités sont exprimées en millions de tonnes). \medskip {\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.6cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007&2008 &2009 &2010 \\ \hline Rang de l'année $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline Quantité (millions de tonnes) $y_i$ &28,6 &29,4 &30,1 &30,8 &31,1 &31,9 &32,8 &33 &33,1 &33,4 \\ \hline \multicolumn{11}{r}{\emph{Source : INSEE}} \end{tabularx} } \medskip Le nuage de points $M_i \left(x_i~;~y_i\right)$ avec $i$ variant entre 1 et 10 est représenté ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(11,7) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=5,subgridcolor=gray,subgridwidth=0.1pt, gridlabels=0](0,0)(11,7) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Oy=27]{-}(0,0)(11,7) \rput(5.5,-0.6){\footnotesize{\textbf{Rang de l'année}}} \rput{90}(-0.8,3.5){\footnotesize{\textbf{Quantité en millions de tonnes}}} \savedata{\nuage}[ (1,1.6) (2,2.4) (3, 3.1) (4, 3.8) (5,4.1) (6, 4.9) (7,5.8) (8,6) (9,6.1) (10,6.4) ] \dataplot[dotstyle=*,linecolor=bleu,plotstyle=dots]{\nuage} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item L'allure de ce nuage de points permet d'envisager un ajustement logarithmique. On pose, pour tout $i$ compris entre 1 et 10 : $z_i = \e ^{\frac{y_i}{10}}$ Calculer les valeurs de $z_3$ et $z_{10}$ (on arrondira à $10^{-2}$ près). \medskip { \begin{tabularx}{1\linewidth}{|m{1.2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline $z_i = \e ^{\frac{y_i}{10}}$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & 17,46 & 18,92 & & 21,76 & 22,42 & 24,29 & 26,58 & 27,11 & 27,39 & \\ \hline \end{tabularx} } \medskip \item On admet qu'une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés, est : $z = 1,25x + 16,56$. En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = k \ln (cx + d)$ où $k$, $c$, $d$ désignent trois réels à déterminer. \item En utilisant ce modèle, déterminer à partir de quelle année la consommation de gazole devrait dépasser 35 millions de tonnes. \end{enumerate} \pagebreak \textbf{Exercice 4 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textsf {\textbf{\textsc{Partie a}}} \medskip Soit $d$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~4]$ par : $d(x) = \dfrac{3x+0,3}{\text{e}^x}-1,3$. On note $d'$ la fonction dérivée de la fonction $d$ sur l'intervalle $[0~;~4]$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~4]$, $d'(x)=\dfrac{-3x + 2,7}{\text{e}^x}$ \item Étudier, pour $x$ variant dans l'intervalle $[0~;~4]$, le signe de $d'(x)$, puis dresser le tableau de variations complet de la fonction $d$ sur l'intervalle $[0~;~4]$. (on donnera dans ce tableau des valeurs arrondies à $10^{-2}$ près). \item En déduire le signe de la fonction $d$ sur l'intervalle $[0~;~4]$. \end{enumerate} \bigskip \textsf {\textbf{\textsc{Partie b}}} \medskip Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $[0~;~4]$ par \[f(x) = \dfrac{3x+3,3}{\text{e}^x} \quad \text{et}\quad g(x) = - 1,3x + 5,97.\] On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont décroissantes sur $[0~;~4]$ ; la fonction $f$ est représentée ci-dessous par la courbe $C_f$ et la fonction $g$ par le segment de droite $D$. \begin{center} \psset{xunit=2cm, yunit=1cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5,7) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \newrgbcolor{prune}{.6 0 .48} \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \def\f{(3*x+3.3)/(EXP(x))} \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(5,7) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(0,0)(5,7) \psaxes[linewidth=1.5pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[d](0.5,0){\footnotesize{$\vect{\imath}$}} \uput[l](0,0.5){\footnotesize{$\vect{\jmath}$}} \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{4}{\f} \psline[linecolor=prune,linewidth=1.25pt](0,5.97)(4,.77) \uput[u](1.4,2){\footnotesize{\bleu{$C_f$}}} \uput[u](1.5,4){\footnotesize{\prune{$D$}}} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Soit $h$ la fonction définie sur $[0~;~4]$ par : $h(x) = g(x) - f(x)$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x \in [0~;~4]$, $h'(x)= d(x)$ ($d$ désigne la fonction étudiée dans la partie A). \item En déduire le tableau de variations de la fonction $h$ sur $[0~;~4]$. \item Montrer que l'équation $h(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~4]$. En donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près. \end{enumerate} \item Calculer l'intégrale :$\displaystyle\int_1^{4}{g(x) \: \mathrm {d} x}$ \end{enumerate} \medskip \textsf {\textbf{\textsc{Partie c}}} \medskip \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \emph{Les résultats de la partie} B \emph{pourront être utilisés pour répondre aux questions suivantes.} \medskip Une entreprise prévoit de fabriquer et de commercialiser mensuellement entre 1 et 4 tonnes d'un produit cosmétique (toute la production est vendue). Pour $x$ tonnes de produit fabriquées mensuellement (avec $x \in [0~;~4]$ ), on admet que $f(x)$ désigne le coût de production par tonne (en centaines de milliers d'euros), et $g(x)$ le prix de vente par tonne (en centaines de milliers d'euros). \begin{enumerate} \item L'entreprise décide de produire 1 tonne par mois. Déterminer, en arrondissant à l'euro près, le coût de production de la tonne produite, son prix de vente, et le bénéfice mensuel ainsi réalisé. \item Déterminer, en euros, le prix de vente moyen par tonne pour une production comprise entre $1$ et $4$ tonnes. \item L'entreprise souhaite réaliser un bénéfice par tonne d'au moins \np{100000}~euros. Quelles quantités doit-elle produire pour satisfaire cette contrainte ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2012 \hypertarget{Centresetrangers}{} \label{Centresetrangers} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{juin 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers 13 juin 2012~\decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte.\\ Pour chaque question, indiquer par \textbf{a.}, \textbf{b.}, \textbf{c.} l'unique bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.} \medskip On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\left[-\dfrac{5}{2}~;~6 \right]$. La courbe $C_f$ tracée ci-dessous, représente la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé. Le point $A$ a pour coordonnées $(-2;0)$, le point $B$ a pour coordonnées $(0;4)$, le point $C$ a pour coordonnées $\left(1~;~\dfrac{7}{2} \right)$, le point $D$ a pour coordonnées $(5;0)$ et le point $E$ a pour coordonnées $(6~;~0)$. On précise que la droite $(CE)$ est tangente à la courbe $C_f$ au point $C$ et que la courbe $C_f$ admet au point $B$ une tangente horizontale. \begin{center} \psset{unit=.45cm} \begin{pspicture}(-7,-7)(14,10) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \newrgbcolor{prune}{.6 0 .48} \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \def\f{.4*(x+2)*(5-x)*(35/48)^x} \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-7)(14,10) \psset{unit=.9cm} \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none](0,0)(-3.5,-3.5)(7,5) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){\footnotesize{0}} \uput[d](1,0){\footnotesize{1}} \uput[l](0,1){\footnotesize{1}} \uput[dl](7,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}} \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.5}{6}{\f} \psline[linecolor=prune,linewidth=1pt]{<->}(-1,4)(1,4) \psline[linecolor=prune,linewidth=1pt](-1,4.9)(7,-.7) \psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu,dotscale=.8](-2.5,-3.3)(6,-.48) \uput[ur](-3,-2){\footnotesize{\bleu{$C_f$}}} %pb de décalage vertical avec les points + %\psdots[dotstyle=B+, linecolor=bleu,linewidth=2pt,dotscale=.8](-2,0)(0,4)(1,3.5)(5,0)(6,0) \psline[linecolor=bleu,linewidth=1.pt](1,3.35)(1,3.65) \psline[linecolor=bleu,linewidth=1.pt](.85,3.5)(1.15,3.5) \uput[ul](-2,0){\footnotesize{\bleu{$A$}}} \uput[ul](0,4){\footnotesize{\bleu{$B$}}} \uput[ur](1,3.5){\footnotesize{\bleu{$C$}}} \uput[ur](5,0){\footnotesize{\bleu{$D$}}} \uput[ur](6,0){\footnotesize{\prune{$E$}}} \end{pspicture} \end{center} On note $g$ et $h$ les fonctions définies respectivement par $g(x)=\ln \left[ f(x) \right]$ et \mbox{$h(x) = \e^{f(x)}$}. \begin{enumerate} \item La fonction $g$ est définie sur l'intervalle :\index{Lectures graphiques} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} \textbf{a.}\quad $\left] -2~;~5 \right[$ & \textbf{b.}\quad $\left[ -2~;~5 \right]$ & \textbf{c.}\quad $\left[ -\dfrac{5}{2}~;~6 \right]$ \\ \end{tabularx} \item Le nombre $g(1)$ est égal à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} \textbf{a.}\quad $\dfrac{\ln 7}{\ln 2}$ & \textbf{b.}\quad $\ln 7 - \ln 2$ & \textbf{c.}\quad $\dfrac{7}{2}$ \\ \end{tabularx} \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, le nombre $f'(1)$ est égal à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} \textbf{a.}\quad 3,5 & \textbf{b.}\quad $-\dfrac{10}{7}$ & \textbf{c.}\quad $-0,7$ \\ \end{tabularx} \item On note $h'$ la fonction dérivée de $h$, le nombre $h'(0)$ est égal à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} \textbf{a.}\quad $\e^0$ & \textbf{b.}\quad 0 & \textbf{c.}\quad $\e^4$ \\ \end{tabularx} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Le tableau suivant donne la proportion de bacheliers ayant obtenu une mention au baccalauréat, série ES, entre 2002 et 2009. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009 \\ \hline Rang de l'année $x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \hline Proportion $y_i$ en \% & 25,5 & 28,6 & 30 & 33,1 & 36,8 & 41 & 41,1 & 44,1 \\ \hline \multicolumn{9}{r}{\footnotesize{\emph{Source : ministère de l'\'Education nationale et ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche}}} \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution de la proportion de bacheliers ayant obtenu une mention au baccalauréat ES entre 2002 et 2009. On exprimera le résultat sous forme d'un pourcentage arrondi à l'unité. \item Dans cette question, on envisage un ajustement affine et on admet qu'une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés, est $y = 2,73x + 25,47$ (les coefficients étant arrondis à $0,01$ près).:\index{Moindres carrés} En supposant que ce modèle reste valable pour les années suivantes : \begin{enumerate} \item Estimer la proportion de bacheliers susceptibles d'obtenir une mention au baccalauréat ES en 2012. \item Estimer l'année à partir de laquelle la proportion de bacheliers susceptibles d'obtenir une mention au baccalauréat ES dépassera 60\,\%. \end{enumerate} \item Dans cette question, on envisage un ajustement exponentiel et on pose $z=\ln y$. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \hline $z_i = \ln y_i$ & & & & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item \`A l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 0,01 près. \item En déduire que $y = A \times B^x$ où $A$ et $B$ sont deux réels à déterminer. On arrondira à $0,01$ près. \item En supposant que ce modèle reste valable pour les années suivantes, calculer la proportion, arrondie à 0,1\,\%, de bacheliers susceptibles d'obtenir une mention au baccalauréat ES en 2012. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip Un sondage a été effectué auprès des anciens élèves d'un lycée quelques années après l'obtention de leur baccalauréat. Ce sondage révèle que 55\,\% d'entre eux poursuivent leurs études à la faculté, 10\,\% ont intégré une école d'ingénieur et le pourcentage restant est sur le marché du travail (en activité ou en recherche d'emploi). \medskip Ce sondage révèle aussi que : \begin{itemize} \item 45\,\% des anciens élèves qui poursuivent leurs études à la faculté ont fait le choix de vivre en colocation. \item 30\,\% des anciens élèves qui ont intégré une école d'ingénieur ont fait le choix de vivre en colocation. \item 15\,\% des anciens élèves sur le marché du travail ont fait le choix de vivre en colocation. \end{itemize} \medskip On interroge au hasard un ancien élève du lycée et on note : \begin{itemize} \item[] $F$ l'évènement : \og l'ancien élève poursuit ses études à la faculté \fg{} ; \item[] $I$ l'évènement : \og l'ancien élève a intégré une école d'ingénieur \fg{} ; \item[] $T$ l'évènement : \og l'ancien élève est sur le marché du travail \fg{} ; \item[] $C$ l'évènement : \og l'ancien élève vit en colocation \fg. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré décrivant la situation. \item \begin{enumerate} \item Exprimer à l'aide d'une phrase l'évènement $F \cap C$ puis calculer la valeur exacte de sa probabilité.:\index{Probabilités} \item Montrer que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $0,33$. \end{enumerate} \item Un ancien élève vit en colocation. Calculer la probabilité qu'il poursuive ses études à la faculté. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Le responsable du sondage affirme : \og Plus de la moitié des élèves n'ayant pas fait le choix de la colocation poursuivent des études \fg{}. Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier. \item On interroge au hasard trois anciens élèves. On suppose que le nombre d'anciens élèves est suffisamment important pour considérer que ce choix est fait de manière indépendante.:\index{Loi binomiale} Calculer la probabilité pour qu'au moins un des anciens élèves vive en colocation. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip Au rugby, réussir une transformation consiste à faire passer le ballon entre deux poteaux verticaux et au dessus de la barre horizontale reliant ces deux poteaux. \medskip Basile est un joueur de rugby, il envisage de devenir professionnel. Ses différentes expériences en championnat conduisent aux résultats suivants : \begin{itemize} \item Lors d'un match, la probabilité que Basile réussisse la première transformation est égale à $0,5$. \item Si Basile réussit une transformation, la probabilité qu'il réussisse la transformation suivante est égale à $0,8$. \item Si Basile ne réussit pas une transformation, la probabilité qu'il réussisse la transformation suivante est égale à $0,6$. \end{itemize} \medskip Basile se prépare pour son match de sélection en tant que professionnel. On considère que lors du match, $n$ transformations sont tentées avec $n$ entier naturel supérieur ou égal à 1. On note T l'état : \og Basile réussit sa transformation \fg. \medskip Pour $n \geqslant 1$, on note : \begin{itemize} \item $p_n$ la probabilité que Basile réussisse la $n$-ième transformation. \item $q_n$ la probabilité que Basile ne réussisse pas la $n$-ième transformation. \item $P_n=\begin{pmatrix} p_{n} & q_{n} \\ \end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste lors de la n-ième transformation.:\index{Matrices} \end{itemize} On a $P_1=\begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 \\ \end{pmatrix}$. \medskip \textbf{\textsc{Partie a}} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets T et $\overline{\mathrm{T}}$.:\index{Graphe probabiliste} \item Donner la matrice de transition M de ce graphe probabiliste. \item Déterminer l'état probabiliste $P_2$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Partie b}} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En utilisant l'égalité $ P_{n+1} = P_{n} \mathrm{M}$, montrer que $p_{n+1} = 0,8 p_n + 0,6 q_n$.:\index{Suite} \item En déduire que pour tout entier $n \geqslant 1$, $p_{n+1} = 0,2 p_n + 0,6$. \end{enumerate} \item Soit la suite $\left( u_n \right)$ définie pour tout $n \geqslant 1$ par $u_n = p_n - 0,75$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left( u_n \right)$ est une suite géométrique de raison 0,2.:\index{Suite géométrique} \item En déduire que la suite $\left(p_n \right)$ converge et donner sa limite. \item Interpréter le résultat précédent. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{\textsc{Partie A}} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (ax + b) \text{e}^{-x}$ où $a$ et $b$ sont deux réels. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=(a - b - ax)\text{e}^{-x}$ \item On donne $f(0)=1$ et $f'(0)=3$. En déduire $a$ et $b$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Partie B}} \medskip Dans cette partie, on admettra que $a=4$ et $b=1$. Donc pour tout réel $x$, $f(x) = (4x + 1)\text{e}^{-x}$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ (On pourra utiliser le fait que pour tout réel $x$, $f(x)=\dfrac{4x}{\text{e}^{x}}+\dfrac{1}{\text{e}^{x}}$). \item Étudier les variations de $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{partie C}} \medskip Une entreprise produit $x$ centaines d'objets chaque semaine. Le coût de production, exprimé en milliers d'euros, est défini sur l'intervalle $[0~;~5]$ par la fonction $f$ étudiée dans la partie B. \medskip \begin{enumerate} \item Quel est le coût de production maximal hebdomadaire ? On arrondira le résultat à l'euro près. \item Démontrer que la fonction $F$ définie sur $[0;5]$ par $F(x) = (-4x-5) \text{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur ce même intervalle.:\index{Primitive} \item \begin{enumerate} \item Calculer $\dfrac{1}{5} \displaystyle\int_0^{5}{f(x) \; \mathrm{d} x}$. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.:\index{Intégrale} \item Quelle interprétation peut-on faire du résultat précédent pour l'entreprise ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers 13 juin 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane 19 juin 2012 \hypertarget{Antilles}{} \label{Antilles} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{juin 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane 19 juin 2012~\decofourright\\}} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip On donne le prix moyen en euros d'un litre de gasoil en France, entre 1998 et 2007 : \medskip {\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année & 1998 & 1999 & 2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 \\ \hline Rang $x_i$ de l'année & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline Prix moyen $y_i$ du litre de gasoil (en euros )& 0,77 & 0,81 & 0,73 & 0,79 & 0,8 & 0,85 & 0,99 & 1,06 & 1,1 & 1,11 \\ \hline \multicolumn{11}{r}{\footnotesize{Source : \emph{Annuaire Statistique de la France}}} \end{tabularx} } \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le pourcentage d'évolution, arrondi à 0,1\,\% près, du prix moyen d'un litre de gasoil en euros entre 1998 et 2007. \item \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $M_i \left(x_i~;~y_i\right)$, avec $i$ compris entre 0 et 9, associé à cette série statistique, dans le plan rapporté à un repère orthogonal. On choisira les unités graphiques suivantes : 1 cm pour 1 année sur l'axe des abscisses. 1 cm pour 10 centimes d'euros sur l'axe des ordonnées. \item Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de cette série et le placer dans le repère précédent. \end{enumerate} \item On modélise l'évolution du prix moyen d'un litre de gasoil en euros à l'aide d'un ajustement affine, obtenu par la méthode des moindres carrés. Donner l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ ainsi obtenue, en arrondissant les coefficients au millième. Tracer cette droite dans le repère défini à la question 2. \item Avec ce modèle, calculer l'estimation du prix moyen d'un litre de gasoil en euros en 2010. Arrondir le résultat au centime d'euros. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} En supposant que le modèle reste valable durablement, à partir de quelle année le prix moyen du litre de gasoil aura-t-il augmenté de 30\,\% par rapport au prix moyen de l'année 2007 ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un restaurant propose une formule \og entrée + plat \fg{} pour laquelle chaque client choisit entre trois entrées (numérotées 1, 2 et 3) puis entre deux plats (numérotés 1 et 2). Chaque client qui choisit cette formule prend une entrée et un plat. \medskip On a constaté que : 30\% des clients choisissent l'entrée \no 1, 24\,\% choisissent l'entrée \no 2 et les autres clients choisissent l'entrée \no 3. Par ailleurs, le plat \no 1 est choisi par : 72\,\% des clients ayant opté pour l'entrée \no 1, 58\,\% des clients ayant opté pour l'entrée \no 2 et 29\,\% des clients ayant opté pour l'entrée \no 3. \medskip On choisit au hasard un client du restaurant ayant opté pour la formule \og entrée + plat \fg{}. On note $E_1$ l'évènement : \og Le client choisi l'entrée \no 1 \fg{}, $E_2$ l'évènement : \og Le client choisi l'entrée \no 2 \fg{} et $E_3$ l'évènement : \og Le client choisi l'entrée \no 3 \fg{}. On note enfin $P_1$ l'évènement : \og Le client choisi le plat \no 1 \fg{} et $P_2$ l'évènement : \og Le client choisi le plat \no 2 \fg{}. \begin{enumerate} \item Traduire la situation étudiée à l'aide d'un arbre pondéré, en indiquant sur cet arbre les probabilités données dans l'énoncé. \item Quelle est la probabilité que le client choisisse l'entrée \no 3 et le plat \no 1 (on donnera la valeur exacte de cette probabilité) ? \item Montrer que la probabilité de l'évènement $P_1$ est égale à \np{0,4886}. \item Quelle est la probabilité qu'un client ait choisi l'entrée \no 1 sachant qu'il a pris le plat \no 1 (on arrondira le résultat à $10^{-4}$ près) ? \item On choisit trois clients au hasard parmi ceux ayant opté pour la formule ; on suppose le nombre de clients suffisamment grand pour assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise. Dans cette question, on arrondira les résultats au millième. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité qu'exactement deux de ces clients aient pris le plat \no 1. \item Déterminer la probabilité qu'au moins un client ait pris le plat \no 1. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip Dans une grande entreprise, tous les agents commerciaux ont une voiture de fonction, qu'ils doivent choisir entre deux marques A et B. Le parc de véhicules (en location) est renouvelé tous les ans. \smallskip On suppose que le nombre d'agents commerciaux de l'entreprise ne varie pas, et que les deux marques A et B restent les seules possibilités pour les voitures de fonction proposées dans l'entreprise. \smallskip On a constaté que, chaque année: \begin{itemize} \item 5\,\% des agents commerciaux utilisant un véhicule de marque A changent l'année suivante pour B; \item 15\,\% des agents commerciaux utilisant un véhicule de marque B changent l'année suivantes pour A; \item les autres agents poursuivent l'année suivante avec un véhicule de même marque. \end{itemize} On appelle $a_n$ la probabilité qu'un agent commercial choisi au hasard utilise un véhicule de marque A au début de l'année $2010+n$, et $b_n$ la probabilité qu'il utilise un véhicule de marque B au début de cette même année. \smallskip On note $P_n= \begin{pmatrix} a_n&b_n \end{pmatrix} $ la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année $2010+n$. \smallskip En 2010, la moitié des agents commerciaux possédaient un véhicule de marque A; ainsi: $P_0=\begin{pmatrix} \np{0,5} & \np{0,5} \end{pmatrix} $. \begin{enumerate} \item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$, et donner la matrice de transition $M$ (on considèrera les sommets du graphe dans l'ordre alphabétique). \item Justifier que $P_1= \begin{pmatrix}\np{0,55}&\np{0,45}\end{pmatrix}$ et donner une interprétation concrète des coefficients de cette matrice. \item Déterminer l'état probabiliste stable du système et interpréter les résultats obtenus. \item \begin{enumerate} \item Que vaut, pour tout entier naturel $n$, la somme $a_n + b_n$~? \item On sait, pour tout entier naturel $n$, que $P_{n+1} = P_n\times M$; démontrer, pour tout entier naturel $n$, que $a_{n+1}=\np{0,8}a_n+\np{0,15}$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose: $u_n= a_n - \np{0,75}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométriques de raison \np{0,8} dont on précisera le premier terme. \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis démontrer que pour tout entier naturel $n$, \[ a_n=-\np{0,25}\times\np{0,8}^n+\np{0,75}. \] \item Déterminer la limite de la suite $(a_n)$. Quel résultat retrouve-t-on ainsi~? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip On donne la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2~;~2 ]$, et sa tangente en son point $A$ d'abscisse 1 ; cette tangente passe par le point de coordonnées $(0~;~ -2)$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[-2~;~2 ]$. \begin{center} \psset{xunit=2cm, yunit =1cm} \begin{pspicture*}(-2.5,-4)(2.5,4) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \newrgbcolor{prune}{.6 0 .48} \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \def\f{x*(x^2-4)} \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-4)(3,4) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1pt,ticksize=-2pt 2pt, labels =x](0,0)(-3,-4)(3,4) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt, labels =x]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){\footnotesize{0}} \uput[l](0,1){\footnotesize{1}} \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2}{2}{\f} \psline[linecolor=prune,linewidth=1pt](-2.25,.25)(1.75,-3.75) \psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu](-2,0)(2,0) \psdots[dotstyle=x, linecolor=bleu,linewidth=2pt](1,-3) \uput[dl](1,-3){\footnotesize{\bleu{$A$}}} \end{pspicture*} \end{center} Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est exacte ; préciser laquelle sur la copie. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. \medskip \begin{enumerate} \item Le nombre dérivé noté $f'(1)$ est égal à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} \textbf{a)}\quad 1 & \textbf{b)}\quad $- \dfrac{1}{3}$ & \textbf{c)}\quad $-1$ & \textbf{d)}\quad 3 \\ \end{tabularx} \item La fonction $u$ telle que $u(x) = \ln \left[ f(x) \right]$ est définie sur : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} \textbf{a)}\quad $[-2~;~0]$ & \textbf{b)}\quad $]-2~;~0[$ & \textbf{c)}\quad $]0~;~2[$ & \textbf{d)}\quad $[0~;~2]$ \\ \end{tabularx} \item On considère $F$ une primitive de $f$ sur l'intervalle $[-2 ; 2]$. La fonction $F$ est décroissante sur : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} \textbf{a)}\quad $[-2~;~0]$ & \textbf{b)}\quad $[-2~;~2]$ & \textbf{c)}\quad $[0~;~2]$ & \textbf{d)}\quad $[-1~;~1]$ \\ \end{tabularx} \item Soit $I= \displaystyle\int_{-1}^{0}{f(x) \; \mathrm {d} x}$. On a : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} \textbf{a)}\quad $I < 0 $ & \textbf{b)}\quad $0 \leqslant I \leqslant 1$ & \textbf{c)}\quad $1 < I < 3$ & \textbf{d)}\quad $I \geqslant 3$ \\ \end{tabularx} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip On a représenté ci-dessous la courbe $C$ d'une fonction $g$ définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty [$ ainsi que la tangente $T$ à cette courbe en son point de coordonnées $(0~;~7)$. On admet que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe $C$ au voisinage de $+\infty$. On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. \begin{center} \psset{unit =.38cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(31,20) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \newrgbcolor{prune}{.6 0 .48} \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \def\f{14/(EXP(0.7*x)+1)} \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(31,21) \psset{xunit=1.2cm, yunit=.8cm } \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1pt,ticksize=-2pt 2pt](0,0)(0,0)(10,10) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){\footnotesize{0}} \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{10.333}{\f} \psline[linecolor=prune,linewidth=1pt](-.32,7.784)(3.06,-.497) \uput[ur](3.5,1.2) {\footnotesize{\bleu{$C$}}} \uput[ur](3.06,-.497) {\footnotesize{\prune{$T$}}} \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Partie a}} \medskip \begin{enumerate} \item Préciser la valeur du réel $g(0)$. \item On admet que la tangente $T$ passe par le point de coordonnées $(4~;~- 2,8)$. Justifier que la valeur exacte de $g'(0)$ est $- 2,45$. \item Préciser la valeur de la limite de la fonction $g$ en $+\infty$. \item On admet que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par : \[g(x) =\frac{a}{\text{e}^{bx} + 1}\] où $a$ et $b$ sont des nombres réels. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[$, on a $g'(x) =\dfrac{-ab\e^{bx}}{\left(\text{e}^{bx} + 1\right)^2}$. \item En utilisant les résultats des questions 1 et 2, déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Partie b}} \medskip On considère un objet manufacturé dont le prix unitaire est $x$, en centaines d'euros. D'après une étude de marché, l'offre $f(x)$ et la demande $g(x)$ pour cet objet, en centaines d'unités, sont définies pour tout $x$ positif ou nul par : \[f(x)=\text{e}^{0,7x}-1\ \text{ et }\ g(x) =\frac{14}{\text{e}^{0,7x}+1}\] \begin{enumerate} \item Si le prix de vente unitaire de l'objet est 300\:\euro, combien d'objets (à l'unité près) les consommateurs sont-ils prêts à acheter. \item Calculer le prix de vente unitaire de l'objet, arrondi à l'euro près, pour que la demande soit de 350 objets. \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'unique solution de l'équation $f(x) = g(x)$, et donner une valeur approchée au centième de cette solution. On appelle \og prix d'équilibre \fg{} le prix permettant l'égalité entre l'offre et la demande. Quel est le prix d'équilibre, arrondi à l'euro près \item Au prix d'équilibre, quelle est la valeur commune de l'offre et de la demande, arrondie à l'unité près ? Quel est le chiffre d'affaire généré par les ventes au prix d'équilibre ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 2012 \newpage %%%%%%%%%%%% Asie juin 2012 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{juin 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie 20 juin 2012~\decofourright}}\end{center} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\ Une bonne réponse rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point.} \textbf{Indiquer sur la copie le numéro} de la question et \textbf{la réponse choisie} correspondante.\index{Q. C. M.} \medskip \begin{enumerate} \item Le prix d'un article a augmenté de 20 \% puis a baissé de 20 \%. Ce prix : \index{Pourcentage} \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{@{\textbullet~~ \:}>{}X}} a baissé de 2 \% & a augmenté de 4 \% & n'a pas bougé & a baissé de 4 \% \\ \end{tabularx} \medskip \item La fonction dérivée de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x)= x^2 \left(\ln x + 3 \right)$ est la fonction $f'$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :\index{Dérivée} \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{@{\textbullet~~ \:}>{\small}X}} $f'(x)= 2x \ln x +7$ & $f'(x)= 2x \ln x +5x$ & $f'(x)= x \left( 2\ln x +7\right)$ & $f'(x)= 2x \times \dfrac{1}{x}$ \\ \end{tabularx} \medskip \item L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln x -1 \leqslant 0$ est : \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{@{\textbullet~~ \:}X}} $]- \infty~;~1]$ & $]- \infty~;~\e]$ & $]0~;~\e ]$ & $]0~;~+ \infty [$ \\ \end{tabularx} \medskip \item On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty [$. La fonction $F$ est une de ses primitives sur cet intervalle et la courbe représentative de la fonction $F$ est tracée dans le repère ci-dessous : \medskip \begin{center} \psset{xunit=2cm, yunit =.75cm} \begin{pspicture}(0,-3)(4,9) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \newrgbcolor{prune}{.6 0 .48} \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} %\def\f{((2*ln(3)-1)*x^2-(4*ln(3)-5)*x)*.5-3} \def\f{1.5*(x-2)*(2*ln(3))^(x/3)} \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,-3)(4,9) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(0,-3)(4,9) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{4}{\f} \uput[l](3.6,6.5){\footnotesize{\bleu{$C_F$}}} \end{pspicture} \end{center} \medskip L'intégrale $ \displaystyle\int_{2}^{3}{f(x) \; \mathrm {d} x}$ est égale à :\index{Intégrale} \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{@{\textbullet~~ \:}X}} $\dfrac{ \ln 3}{3}$ & $\ln 3$ & $- \ln 3$ & $3 \ln 3$ \\ \end{tabularx} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip \emph{Le ministère de l'\'Ecologie, du Développement durable, des Transports et du Logement précise les enjeux d'une parité homme-femme (égalité de leur représentation) :} \og Viser une amélioration de la parité homme-femme [\ldots] peut être vu comme une manière d'aider la société à évoluer en mobilisant toutes les compétences \fg. Le tableau suivant présente la part des femmes dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public de 1998 à 2008, à l'exception de 2007 : \medskip {\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année & 1998 & 1999 & 2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 \\ \hline Rang de l'année $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11\\ \hline Part des femmes $y_i$ en \% & 23,2 & 23,4 & 24,2 & 24,9 & 24,7 & 24,9 & 25,4 & 25,4 & 26 & & 27,2 \\ \hline \multicolumn{12}{r}{\footnotesize{\emph{Sources : ministère de l'Intérieur - DGAFP - Insee - Juillet 2010}}} \end{tabularx} } \medskip Ce même tableau est donné en annexe et est complété par les indices des parts des femmes dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public, en prenant 1998 comme année de référence. On a aussi, en annexe, représenté le nuage de points $M_i \left(x_i~;~y_i \right)$, avec $1 \leqslant i \leqslant 11$ associé à la série statistique. On se propose d'étudier l'évolution de la part des femmes dans les emplois de cadre. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Calcul d'indices et de pourcentages} : \begin{enumerate} \item Vérifier que la part des femmes dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public en 2007 est, arrondi au dixième, égale à 26,7\,\%.\index{Pourcentage} \item Calculer l'indice correspondant à l'année 2000. On précisera les calculs sur la copie. \item Calculer le pourcentage d'augmentation de la part des femmes entre 2005 et 2006. Si l'évolution amorcée entre 2005 et 2006 s'était poursuivie au même rythme, quelle aurait été la part des femmes, en pourcentage, dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public en 2008 ? \end{enumerate} \item \textbf{Ajustement affine} \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ pour l'ensemble des onze points du nuage. \emph{Les coefficients seront arrondis au centième}.\index{Moindres carrés} \item Tracer cette droite sur le graphique donné en annexe \textbf{à rendre avec la copie}. \end{enumerate} \item \textbf{Modélisation} : On admet que cet ajustement affine permet de faire des prévisions au moins jusqu'en 2013. \begin{enumerate} \item Estimer la part des femmes, en pourcentage, dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public en 2012. \item Chloé affirme : \og La parité homme-femme dans ce type d'emploi à responsabilité sera atteinte à partir de 2071 \fg. Confirmer par un calcul l'affirmation de Chloé. Son affirmation est-elle pertinente ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip Une association organise un rallye sportif en VTT : six zones de regroupement sont déterminées et sont reliées par des chemins. Ce parcours est modélisé par le graphe ci-dessous, où les sommets de A à F représentent les zones de regroupement, et les arêtes les chemins. Les arêtes sont pondérées par les distances, exprimées en kilomètres, nécessaires pour parcourir ces chemins. Les candidats sont positionnés initialement sur la zone A et doivent, après avoir parcouru tous les chemins, revenir à la zone initiale. Chaque fois qu'un candidat emprunte pour la première fois un chemin il doit déposer, à un endroit précis, un jeton personnalisé, attestant son passage. \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,0)(11,6.5) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \newrgbcolor{prune}{.6 0 .48} \newcommand{\Pg}[1]{\small{\textsf{\prune{#1}}}}% poids des arêtes \newcommand{\Sg}[1]{\small{\textsf{\bleu{#1}}}}% Sommet du graphe \cnodeput(2.7,4){A}{\Sg{A}} \cnodeput(0,4){B}{\Sg{B}} \cnodeput(8.5,2){C}{\Sg{C}} \cnodeput(11,0){D}{\Sg{D}} \cnodeput(6,6.5){E}{\Sg{E}} \cnodeput(3.5,0){F}{\Sg{F}} \psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu,shortput=nab} \ncline{A}{B}_{\Pg{2}} \ncline{A}{C}^{\Pg{6}} \ncline{A}{E}^{\Pg{4}} \ncline{A}{F}^{\Pg{6}} \ncline{B}{F}^{\Pg{10}} \ncline{C}{D}^{\Pg{2}} \ncline{C}{E}^{\Pg{4}} \ncline{C}{F}^{\Pg{2}} \ncline{D}{F}^{\Pg{6}} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Quel nombre minimal de jetons est-il nécessaire de donner à chaque candidat ? \item Un candidat souhaite faire le parcours, en empruntant tous les chemins une fois et une seule. Est-ce possible ? Justifier la réponse. \item Soit $M$ la matrice associée au graphe G (on ordonne les sommets dans l'ordre alphabétique). \begin{enumerate} \item Écrire la matrice $M$. \item On donne les matrices $M^2 = \begin{pmatrix} 4&1&2&2&1&2\\ 1&2&2&1&1&1\\ 2&2&4&1&1&2\\ 2&1&1&2&1&1\\ 1&1&1&1&2&2\\ 2&1&2&1&2&4\\ \end{pmatrix}$ et $M^3 = \begin{pmatrix}6&6&9&4&6&9\\ 6&2&4&3&3&6 \\ 9&4&6&6&6&9\\ 4&3&6&2&3&6\\ 6&3&6&3&2&4\\ 9&6&9&6&4&6\\ \end{pmatrix}$ Un candidat est actuellement au point de rendez-vous D et on lui signale qu'il a oublié son dossard au point B. Devant le récupérer, il souhaite emprunter au maximum trois chemins. Combien a-t-il de possibilités ? \item Donner, le trajet correspondant à la distance la plus courte lui permettant d'aller récupérer son dossard.\index{Algorithme de Dijskra} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip L'opérateur téléphonique Boomtel propose à ses abonnés deux types d'accès internet à haut débit : \begin{itemize} \item un accès internet sur ligne fixe ; \item un accès 3G sur téléphone portable. \end{itemize} Aujourd'hui, l'entreprise fait les constats suivants sur les accès internet à haut débit de ses abonnés : \begin{itemize} \item 58\,\% des abonnés ont un accès internet sur ligne fixe. Parmi ceux-là, 24\,\% ont également un accès 3G sur téléphone portable ; \item parmi les abonnés qui n'ont pas d'accès internet sur ligne fixe, 13 \% ont un accès 3G sur téléphone portable. \end{itemize} \smallskip \emph{Rappels de notation: Soient $A$ et $B$ deux évènements,} \begin{itemize} \item \emph{la probabilité de l'évènement $A$ est notée $p(A)$ ;}\index{Probabilités} \item \emph{si $p(B) \ne 0$, $p_B (A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé ;} \item \emph{l'évènement contraire de l'évènement $A$ est noté $\overline{A}$.} \end{itemize} \smallskip Pour une enquête de satisfaction, la fiche d'un abonné est prélevée au hasard. Dans cet exercice on note : \begin{itemize} \item $F$ l'évènement : \og la fiche est celle d'un abonné qui a un accès internet sur ligne fixe \fg{} ; \item $G$ l'évènement : \og la fiche est celle d'un abonné qui a un accès 3G sur téléphone portable \fg{}. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant les données de l'énoncé, préciser les valeurs de $p(F)$, de $p_F(G)$ et de $p_{\overline{F}}(G)$.\index{Probabilités} \item Construire un arbre de probabilité traduisant la situation.\index{Arbre pondéré} \item Calculer $p\left(F \cap \overline{G} \right)$. Interpréter ce résultat. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que la probabilité que la fiche prélevée soit celle d'un abonné qui n'a pas d'accès 3G sur téléphone portable est de \np{0,8062}. \item Peut-on affirmer qu'au moins 25\,\% des abonnés ont un accès 3G sur téléphone portable ? \end{enumerate} \item On prélève successivement les fiches de trois abonnés. On admet que le nombre de fiches est suffisamment grand pour qu'on puisse assimiler le tirage à un tirage avec remise. Calculer la probabilité qu'exactement une des fiches tirées soit celle d'un abonné qui n'a pas d'accès 3G sur téléphone portable.\index{Loi binomiale} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip On s'intéresse à une entreprise de détergents industriels. Elle produit chaque jour une quantité $q$ en tonnes comprise entre 0 et 20. On rappelle que : \begin{itemize} \item Le coût marginal $C_m(q)$ est la variation du coût obtenue par la production et la vente d'une tonne supplémentaire de détergent sachant qu'on en a déjà vendu une quantité de $q$ tonnes.\index{Coût marginal} \item Le bénéfice marginal $B_m(q)$ est la différence entre le prix unitaire et le coût marginal $C_m(q)$. \end{itemize} \medskip \textbf{Partie A : Aspect graphique} \medskip Dans le repère suivant, on donne : \begin{itemize} \item la courbe représentative $\Gamma_m$ de la fonction $C_m$ correspondant au coût marginal en milliers d'euros ; \item la courbe représentative $D$ de la fonction $U$ correspondant au prix de vente unitaire en milliers d'euros ; \item Le point $A\left(a ; C_m(a) \right)$, sommet de la courbe $\Gamma_m$. \end{itemize} \begin{center} { \psset{xunit =.55cm, yunit=.55cm} \begin{pspicture}(-2,-1)(20,11.5) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \newrgbcolor{prune}{.6 0 .48} \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \def\f{.5*x+(4-x)*EXP(1-.25*x)} \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(20,11) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(0,0)(20,11.5) \uput[dl](0,0){\footnotesize{0}} \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{20}{\f} \psline[linecolor=prune,linewidth=1.25pt](0,7)(20,7) \uput[ul](19,9) {\bleu{$\Gamma_m$}} \uput[ul](19,7) {\prune{$D$}} \psline[linecolor=prune,linewidth=.75pt, linestyle=dashed](5.25969,0)(5.25969,1.71047) (0,1.71047) \psdot[linecolor=prune](5.25969,1.71047) \uput[ur](5.25969,1.71047){\prune{$A$}} \uput[l](0,1.71047) {\prune{$C_m(a)$}} \uput[d](5.25969,0) {\prune{$a$}} \end{pspicture} } \end{center} Répondre aux questions suivantes sans justifier : \index{Lectures graphiques} \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement $C_m(4)$. \item Déterminer graphiquement $B_m(4)$. Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'entreprise. \item Pour quelle(s) quantité(s), en tonnes, le bénéfice marginal est-il nul ? (\emph{les valeurs seront données à la demi-tonne près}). \item En déduire un encadrement de la quantité à produire, en tonnes, pour obtenir un bénéfice marginal positif. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : Aspect algébrique} \medskip Dans cette partie, le coût marginal est donné par \[C_m(q) = 0,5 q + (4 - q) \e^{(1-0,25q)}\] pour $q$ appartenant à l'intervalle $[0~;~20]$ et le prix de vente unitaire est donné par $U(q)=7$ pour $q$ appartenant à l'intervalle $[0~;~20]$. On admet que la fonction $C_m$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~20]$. Le tableau de variation de la fonction $C_m$ est donné ci-dessous. On admet que le nombre réel $a$ est compris entre 5 et 6. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(12,3.6) \psset{linewidth=.5pt} \psframe(12,3.6) \psline(2,0)(2,3.6) \psline(0,2.8)(12,2.8)\psline(0,2)(12,2) \rput(1,3.2){$q$}\rput(2.75,3.2){0} \rput(7,3.2){$a$} \rput(11.25,3.2){20} \rput(1,2.4){$C_m'(q)$} \rput(4.75,2.4){$-$} \pnode(7,2.8){m1}\pnode(7,2){m2} \ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(9.25,2.4){$+$} \rput(1,1){$C_m(q)$} \rput(2.75,1.7){\rnode{A}{$C_m(0)$}} \rput(7,.3){\rnode{B}{$C_m(a)$}} \rput(11.25,1.7){\rnode{C}{{$C_m(20)$}}} \psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt} \ncline{A}{B} \ncline{B}{C} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que l'équation $C_m(q) = 7$ admet une unique solution $q_0$ dans l'intervalle $[10;20]$. \item À l'aide de votre calculatrice, donner un arrondi de $q_0$ au dixième. \item Donner, en justifiant, la valeur de $B_m\left(q_0\right)$. Ce résultat est-il cohérent avec la question 3 de la partie A ? \end{enumerate} \item Vérifier que la fonction $C$, définie sur l'intervalle $[0 ;20]$ par : \[C(q)=10 +0,25 q^2 +4q \e^{[1-0,25 q)}\] est une primitive de la fonction $C_m$. Cette fonction $C$ est la fonction coût total.\index{Primitive}\index{Primitive} \item Déterminer le bénéfice total obtenu pour la fabrication et la vente de 15,3 tonnes de détergent. \end{enumerate} \newpage %\newenvironment{changemargin}[2]{\begin{list}{}{% %\setlength{\topsep}{0pt}% %\setlength{\leftmargin}{0pt}% %\setlength{\rightmargin}{0pt}% %\setlength{\listparindent}{\parindent}% %\setlength{\itemindent}{\parindent}% %\setlength{\parsep}{0pt plus 1pt}% %\addtolength{\leftmargin}{#1}% %\addtolength{\rightmargin}{#2}% %}\item }{\end{list}} %\begin{changemargin}{-1cm}{-1cm} \begin{center} {\Large \textsc{\textbf{annexe de l'exercice 2 à rendre avec la copie}}} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \end{center} \vspace{2cm} \textsc{\textbf{tableau :}} \medskip Ce tableau présente la part des femmes dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public ainsi que les indices de ces parts en prenant 1998 comme année de référence. \medskip \begin{footnotesize} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.4cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année & 1998 & 1999 & 2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 \\ \hline Rang $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11\\ \hline Part $y_i$ en \% \rule[-2ex]{0pt}{5ex} & 23,2 & 23,4 & 24,2 & 24,9 & 24,7 & 24,9 & 25,4 & 25,4 & 26 & & 27,2 \\ \hline Indice des parts arrondi à l'unité & 100 & 101 & & 107 & 106 & 107 & 109 & 109 & 112 & 115 & 117 \\ \hline \multicolumn{12}{r}{\footnotesize{\emph{Sources : ministère de l'Intérieur - DGAFP - Insee - Juillet 2010}}} \end{tabularx} \end{footnotesize} \vspace{4cm} \textsc{\textbf{nuage de points :}} \bigskip \begin{center} \psset{xunit=0.8cm, yunit=0.8cm} \begin{pspicture}(-.5,-1)(15,11) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0, gridlabels=0](0,0)(15,10) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Oy=20]{-}(0,0)(15,10) \savedata{\nuage}[(1,3.2) (2,3.4) (3, 4.2) (4, 4.9) (5,4.7) (6, 4.9) (7,5.4) (8,5.4) (9,6) (10,6.7) (11,7.2) ] \dataplot[dotstyle=*,linecolor=bleu,plotstyle=dots]{\nuage} \end{pspicture} \end{center} \medskip %\end{changemargin} %%%%%%%%%%%%% fin Asie juin 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Métropole juin 202 \hypertarget{Metropole}{} \label{Metropole} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small 22 juin 2012} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole 22 juin 2012~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Sur le site http://www.agencebio.org, on a extrait des informations concernant l'agriculture en France métropolitaine. \medskip \textbf{Document 1} \medskip En 2008, la surface agricole utilisée (SAU) était de \np{27537688}~hectares dont \np{583799} hectares en mode de production biologique. \medskip \textbf{Document 2} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \small Année &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline \small Rang de l'année : $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline \small Surface en mode de production biologique (en hectares)& \np{419750} &\np{517965} &\np{550990} &\np{534037} &\np{550488} &\np{552824} &\np{557133} &\np{583799}\\ \hline \small Part (en \,\%) de la surface en mode de production biologique dans la SAU : $y_{i}$&1,4 &1,75 &1,87 &1,93 &1,99 &2 &2,02 &2,12\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item D'après le document 2, la part de la surface en mode de production biologique dans la SAU est de 2,12\,\% en 2008. En utilisant le document 1, justifier par un calcul cette information. \item Calculer le pourcentage d'évolution de la surface en mode de production biologique entre 2007 et 2008. Ce pourcentage sera arrondi à $0,01$\,\%.:\index{Pourcentage} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On a représenté, sur l'annexe, partie B, à rendre avec la copie, le nuage de points représentant la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $10^{-2}$.:\index{Moindres carrés} \item Tracer cette droite dans le repère fourni sur l'annexe, partie B. \item À l'occasion d'un TPE, un groupe d'élèves a trouvé sur une autre page du site qu'en 2009 et en 2010, les parts de la surface en mode de production biologique dans la SAU sont respectivement 2,46\,\% et 3,09\,\%. L'ajustement affine précédent est-il adapté à ces nouvelles données ? \end{enumerate} \textbf{Partie C} \medskip Pour la suite de ce TPE, les élèves ont modélisé à l'aide d'un logiciel l'évolution de la part de surface en mode de production biologique dans la SAU sur la période de 2001 à 2012 par la fonction f définie sur l'intervalle [1~;~12] par \[f(x) = \np{0,0096}x^3 - \np{0,1448}x^2 + \np{0,7132}x + \np{0,813}.\] Cet ajustement est représenté sur l'annexe, partie C. \medskip \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Le Grenelle de l'environnement s'est fixé comme objectif d'avoir 6\,\% de la SAU en mode de production biologique en 2012. Selon ce modèle, peut-on espérer que cet objectif soit atteint ? \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \bigskip La Fédération e-commerce et Vente à Distance (FEVAD) a effectué en octobre 2010 une enquête auprès de 719 acheteurs à distance âgés de 18 ans et plus. Sur le questionnaire proposé, ces personnes ont été interrogées sur le nombre de familles de produits (vêtements, informatique, loisirs, \ldots) achetés à distance au cours des 12 derniers mois. L'étude statistique a permis d'obtenir les informations suivantes : \medskip % \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|m{6cm}|}\hline %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(-2.75,-2.75)(2.75,2.75) %\pscircle(0,0){2.5} %\rput(1.25;180){\begin{minipage}{1.75cm}\footnotesize acheteurs de 5 familles de produits ou plus\end{minipage}} %\rput(1.25;-45){\begin{minipage}{1.75cm}\footnotesize acheteurs de 3 à 4 familles de produits\end{minipage}} %\rput(1.25;45){\begin{minipage}{1.75cm}\footnotesize acheteurs de 1 à 2 familles de produits\end{minipage}} %\rput(2.85;45){25\,\%} \rput(2.85;-45){31\,\%} \rput(2.85;160){44\,\%} %\pswedge[fillstyle=vlines,hatchsep=15pt](0,0){2.5}{0}{90} %\pswedge[fillstyle=crosshatch,hatchsep=15pt](0,0){2.5}{90}{248.4} %\end{pspicture}&\begin{pspicture}(0,0)(6,1) %\uput[r](0.25,4){Parmi les acheteurs de 1 à 2 familles } %\uput[r](0.25,3){de produits, 45\,\% sont retraités.} %\uput[r](0.25,2){Parmi les acheteurs de 3 à 4 familles} %\uput[r](0.25,1){ de produits, 25\,\% sont retraités.} % \end{pspicture}\\ \hline %\end{tabularx} \renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %pour centrer verticalement les cellules d'un tableau tabularx à mettre dans le préambule \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|>{\raggedright \arraybackslash}X|}\hline \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-3.25,-2.75)(2.75,2.75) \psset{linewidth=1pt,hatchwidth=.25pt,hatchsep=.34cm,hatchangle=45,hatchcolor=darkgray} \pscircle(0,0){2.5} \pswedge[fillstyle=vlines]{2.5}{0}{90} \pswedge[fillstyle=crosshatch]{2.5}{90}{248.4} \SpecialCoor \rput(3;45){25\,\%} \rput(3;-55.8){31\,\%} \rput(3;169.2){44\,\%} \rput(1.5;45){\parbox{1.5cm}{\textsf{\footnotesize{acheteurs de 1 à 2 familles de produits}}}} \rput(1.5;-55.8){\parbox{1.5cm}{\textsf{\footnotesize{acheteurs de 3 à 4 familles de produits}}}} \rput(1.3;170){\parbox{1.5cm}{\textsf{\footnotesize{acheteurs de 5 familles de produits ou plus}}}} \end{pspicture} & Parmi les acheteurs de 1 à 2 familles de produits, 45~\% sont retraités. \bigskip Parmi les acheteurs de 3 à 4 familles de produits, 25~\% sont retraités. \\ \hline \end{tabularx} \medskip Le responsable des ventes tire un questionnaire au hasard, chacun ayant la même probabilité d'être tiré. On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $A$ l'évènement : \og Le questionnaire tiré est celui d'un acheteur de 1 à 2 familles de produits. \fg \item[$\bullet~$] $B$ l'évènement : \og Le questionnaire tiré est celui d'un acheteur de 3 à 4 familles de produits. \fg \item[$\bullet~$] $C$ l'évènement : \og Le questionnaire tiré est celui d'un acheteur de 5 familles de produits ou plus. \fg \item[$\bullet~$] $R$ l'évènement : \og Le questionnaire tiré est celui d'un retraité. \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre. \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $p(A \cap R)$.:\index{Probabilités} \item Déterminer la probabilité de l'évènement: \og Le questionnaire tiré est celui d'un retraité acheteur de 3 à 4 familles de produits.\fg \item On sait de plus que 21,7\,\% des acheteurs interrogés sont des retraités. Vérifier que $p(C \cap R) = 0,027$. \end{enumerate} \item Le responsable des ventes décide de lancer une campagne publicitaire dès lors que le pourcentage de retraités parmi les acheteurs de 5 familles de produits ou plus est inférieur à 8\,\%. Quelle décision prendra-t-il ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité } \bigskip Une région se divise en deux zones : une zone A à proximité d'une grande agglomération, une zone B à proximité de la mer. Chaque année, 20\,\% des habitants de la zone A partent habiter dans la zone B pour avoir un meilleur cadre de vie, et 5\,\% des habitants de la zone B partent habiter dans la zone A pour se rapprocher de leur lieu de travail. On sait de plus qu'en 2010, 40\,\% de la population habitait en zone A. On suppose que le nombre total d'habitants de la région reste constant au cours du temps. Pour tout entier naturel $n$, l'état probabiliste correspondant à l'année $2010 + n$ est défini par la matrice ligne $P_{n} = \left(a_{n}\quad b_{n}\right)$, où $a_{n}$ et $b_{n}$ désignent respectivement les proportions d'habitants des zones A et~B. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la matrice ligne $P_{0}$ de l'état initial.:\index{Matrices} \item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. \item \begin{enumerate} \item Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets. \item Donner la répartition de la population en 2012. \end{enumerate} \item Dans la question suivante, on considère la matrice ligne $P = (a\quad b)$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels tels que $a + b = 1$. \begin{enumerate} \item Déterminer $a$ et $b$ pour que $P = PM$. \item Les infrastructures de la zone B permettent d'accueillir au maximum 75\,\% de la population. Lors d'un conseil municipal, le maire affirme qu'il va falloir prévoir de nouvelles infrastructures. A-t-il raison ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). \emph{Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\ Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}:\index{Q. C. M.} \medskip On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal, la courbe représentative $C$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle ]0~;~6]. Le point A(1~;~4) appartient à la courbe $C$. La tangente en A à la courbe $C$ est parallèle à l'axe des abscisses. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. \medskip \begin{center} \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.6cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-1.1)(6.5,9.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(6.5,9.5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(6.5,9.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](1,4){A}\uput[u](5.5,8){\blue $C$} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{6}{x 2 add 1 x div add} \psline[linewidth=1pt,arrowsize=2.pt 2]{<->}(0.25,4)(1.75,4) \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item Le nombre dérivé de la fonction $f$ en 1 est égal à ::\index{Lectures graphiques} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 4&\textbf{b.~~} 0 &\textbf{c.~~} $-2$ &\textbf{d.~~} 1\\ \end{tabularx} \medskip \item Sur l'intervalle ]0~;~6], l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$ admet comme ensemble de solutions : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} ]0~;~1]&\textbf{b.~~} ]0~;~ 6]&\textbf{c.~~} [1~;~6]&\textbf{d.~~} [4~;~9]\\ \end{tabularx} \medskip \item On pose $I = \displaystyle\int_{3}^5 f(x)\:\text{d}x$. On peut affirmer que : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $12 < I < 13$ &\textbf{b.~~} $0 < I < 2$ &\textbf{c.~~} $5 < I < 8$ &\textbf{d.~~} $- 2 < I < 0$ \\ \end{tabularx} \medskip :\index{Intégrale} \item On appelle $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~6]$. L'expression de $F$ peut être ::\index{Primitive} \medskip \renewcommand\arraystretch{1.8} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 1$ &\textbf{b.~~} $F(x) = 2+ \dfrac{1}{x}$ \\ \textbf{c.~~} $F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 2x + \ln x$ &\textbf{d.~~} $F(x) = 2x + \ln x$\\ \end{tabularx} \medskip \renewcommand\arraystretch{1} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Le bénéfice en milliers d'euros que réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique et vend $x$ centaines d'objets (pour $x$ compris entre 0 et 6) est donné par \[f(x) = (200x - 300)\text{e}^{-x-1} + 10\]:\index{Fonction exponentielle} Alix a affiché sur l'écran de sa calculatrice la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~6]$. \medskip %\begin{center} %\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm} %\begin{pspicture}(0,-5)(6,16) %\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=50](0,0)(0,-5)(6,16) %\psplot[plotpoints=50,linewidth=1.8pt]{1}{2}{200 x mul 300 sub 2.71828 x 1 add exp div 10 add} %\psplot[plotpoints=50,linewidth=1.8pt]{3}{6}{200 x mul 300 sub 2.71828 x 1 add exp div 10 add} %\multido{\n=0+1}{7}{\psline(\n,0)(\n,0.8)} %\multido{\n=-5+1}{22}{\psline(0,\n)(0.1,\n,)} %\end{pspicture} %\end{center} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-.5,-1.4)(7.7,3.2) \psframe[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray](-.45,-1.35)(7.65,3.15) \psframe[linewidth=8pt,framearc=.1,linecolor=lightgray](-.4,-1.3)(7.6,3.1) \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.18cm} \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=0 2pt,labels=none]{-}(0,0)(0,-5)(6,15) \psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt]{0.965}{2}{200 x mul 300 sub 2.71828 x 1 add exp div 10 add} \psplot[plotpoints=300,linewidth=1.5pt]{3.246}{6}{200 x mul 300 sub 2.71828 x 1 add exp div 10 add} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{Partie A : objectif \og réaliser un bénéfice maximal \fg} \medskip L'écran ne permet pas à Alix de déterminer le bénéfice maximal. Il décide donc d'étudier la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~6]$. On admet que cette fonction est dérivable sur l'intervalle $[0~;~6]$. On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. \medskip \begin{enumerate} \item Établir que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~6]$, \[f'(x) = (500 - 200x)\text{e}^{-x-1}\]:\index{Dérivée} \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~6]$. \item En déduire le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à l'euro). \item Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettant de visualiser le maximum de la fonction $f$. \end{enumerate} \textbf{Partie B : objectif \og ne pas vendre à perte \fg} \medskip \begin{enumerate} \item Au vu du graphique obtenu par Alix, à partir de combien d'objets l'entreprise ne vend-elle pas à perte ? \item Démontrer que sur l'intervalle $[1~;~2]$ l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$. \item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. \item Préciser le nombre d'objets à partir duquel l'entreprise ne vend pas à perte. \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\LARGE Annexe à rendre avec la copie} \begin{flushleft} \textbf{PARTIE B} \end{flushleft} \psset{xunit=1cm,yunit=1.25cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(10.5,4.4) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,4.4)} \multido{\n=0.0+0.2}{23}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(10.5,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(10.5,4.4) \psdots[dotscale=1.25](1,1.4)(2,1.75)(3,1.87)(4,1.93)(5,1.99)(6,2)(7,2.02)(8,2.12) \end{pspicture} \vspace{2cm} \begin{flushleft} \textbf{PARTIE C} \end{flushleft} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(13,7) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(13,7) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(13,7) \psdots[dotscale=1.15](1,1.4)(2,1.75)(3,1.87)(4,1.93)(5,1.99)(6,2)(7,2.02)(8,2.12)(9,2.46)(10,3.09) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{12}{x 3 exp 0.0096 mul x 0.7132 mul add x dup mul 0.1448 mul sub 0.813 add} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole juin 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2012 \hypertarget{Antillessept}{} \label{Antillessept} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small 14 septembre 2012} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane 14 septembre 2012~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). Pour chaque question, une seule proposition exacte. Indiquer sur la copie le numéro de chaque question, et recopier la réponse choisie ; aucune justification n'est demandée. \emph{Barème: une bonne réponse rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = 2 - \text{e}^{2x - \ln (3)}\] et soit $C$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal. \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $f$: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{}X}} \textbf{a.~~} est croissante sur $\R$ & \textbf{b.~~} est décroissante sur $\R$ & \textbf{c.~~} n'est pas monotone sur $\R$ \\ \end{tabularx} \medskip \item Le réel $f(1)$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $5 - \text{e}^{2}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{6 - \text{e}^{2}}{3}$ &\textbf{c.~~} $- 0,46$ & \textbf{d.~~} $\dfrac{\ln (3)}{2}$\\ \end{tabularx} \medskip \item La limite de $f$ en $+ \infty$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $+ \infty$ & \textbf{b.~~} $- \infty$ & \textbf{c.~~} $2$ & \textbf{d.~~} $0$\\ \end{tabularx} \medskip \item La tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $\ln (3)$ a pour équation: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $y = - 3x + 3 \ln (3) - 1$&\textbf{b.~~} $y = -3x - 1$ \\ \textbf{c.~~} $y = - 6x + 6\ln (3) - 1$&\textbf{d.~~} $y = - x + \ln (3) - 3$.\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \bigskip L'entreprise E produit un modèle de lave-vaisselle. La production de ce lave-vaisselle est répartie sur trois sites industriels A, B, C, qui sont d'importances inégales. \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Le site $A$ assure 60\,\% de la production. \item[$\bullet~~$] Le site $B$ assure 30\,\% de la production. \item[$\bullet~~$] Le site $C$ assure le reste de la production. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Après plusieurs années de commercialisation, on note que 37\,\% des lave-vaisselles en provenance du site $A$ connaissent une panne avant $5$ ans d'utilisation ; 25\,\% des lave-vaisselles provenant du site $B$ connaissent une panne avant 5 ans d'utilisation, et 12\,\% de ceux provenant du site $C$ connaissent une panne avant 5 ans d'utilisation. On choisit au hasard un lave-vaisselle produit par l'entreprise E. \medskip Dans la suite on désigne par $A$, (respectivement par $B, C$) l'évènement \og le lave-vaisselle choisi est issu du site de production $A$ (respectivement $B, C$) \fg. On désigne par $S$, l'évènement \og le lave-vaisselle tombe en panne avant 5 ans \fg ; $\overline{S}$ désigne l'évènement contraire de $S$. \emph{Dans cet exercice les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Préciser les valeurs des probabilités $p(A)$ et $p(B)$. \item On note $p_{A}(S)$ (respectivement $p_{B}(S),\: p_{C}(S)$) la probabilité de l'évènement $S$ sachant que l'évènement $A$ (respectivement $B,\: C$) est réalisé ; calculer $p_{A}(S), p_{B}(S)$ et $p_{C}(S)$. \item Construire un arbre illustrant la situation, en indiquant sur les branches adéquates les probabilités données dans l'énoncé. \end{enumerate} \item Quelle est la probabilité que le lave-vaisselle provienne du site $A$ et connaisse une panne avant $5$ ans ? \item Démontrer que la probabilité de l'évènement $S$ est $0,309$. \item Le lave-vaisselle est tombé en panne avant $5$ ans d'utilisation ; quelle est la probabilité qu'il provienne du site $B$ ? \item \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} L'entreprise E assure le service après-vente : si le lave-vaisselle tombe en panne avant 5 ans d'utilisation, elle finance la réparation, dont le prix est estimé à $110$~euros par appareil réparé. Déterminer, pour l'entreprise, le coût moyen par lave-vaisselle de ces réparations. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité } \bigskip Les employés d'une grande zone commerciale ont le choix entre deux types de restaurants: un \og self \fg{} ou un restaurant \og traditionnel\fg{} avec service à la place. On admet que tous les employés mangent chaque jour dans l'un des deux restaurants. On a constaté que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] si un employé mange au \og self\fg{} un jour donné, alors le lendemain il y mange également avec une probabilité de $0,8$ ; \item[$\bullet~~$] si un employé mange dans le restaurant \og traditionnel\fg{} un jour donné, alors le lendemain il change pour le \og self\fg{} avec une probabilité de $0,4$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit au hasard un employé de la zone commerciale. Si $n$ est un entier naturel non nul, on appelle $s_{n}$ la probabilité que l'employé choisi mange au \og self \fg le $n$-ième jour, et par $t_{n} = 1 - s_{n}$ la probabilité qu'il mange au restaurant \og traditionnel \fg{} le $n$-ième jour. Pour l'état initial, on admet que $s_{1} = t_{1} = 0,5$, c'est-à-dire que le premier jour, les probabilités de choix du \og self \fg{} ou du restaurant \og traditionnel \fg{} sont égales. Dans la suite, pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $P_{n}$ la matrice $P_{n} = \left(s_{n} \quad t_{n}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste. \item Justifier l'égalité matricielle $P_{n+1} = P_{n} \times M$ où $M$ désigne la matrice $\begin{pmatrix}0,8&0,2\\ 0,4&0,6\end{pmatrix}$ et $n$ un entier naturel non nul. \item Déterminer la probabilité que l'employé tiré au sort mange au \og self \fg{} le deuxième jour. \item Déterminer l'état probabiliste stable et l'interpréter. \item Démontrer que pour tout entier nature $n$ non nul, on a : $s_{n+1} = \dfrac{2}{5}s_{n} + \dfrac{2}{5}$. \item Dans la suite, pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose : $u_{n} = s_{n} - \dfrac{2}{3}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et de premier terme $u_{1} =- \dfrac{1}{6}$. \item Déterminer l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$, où $n$ est un entier naturel non nul. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $s_{n} = - \dfrac{1}{6}\times \left(\dfrac{2}{5} \right)^{n-1} + \dfrac{2}{3}$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(s_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ et interpréter ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Afin de mesurer l'évolution de l'utilisation du vélo, une communauté urbaine organise le comptage régulier des vélos en plusieurs points de l'agglomération. Le tableau ci-dessous indique le nombre moyen, sur un mois, de vélos comptés par jour. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline Mois &Mars 2005 &Juin 2005 &Décembre 2005 &Juin 2006 & Décembre 2006 &Juin 2007\\ \end{tabularx} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang du mois : $x_{i}$ &0 &3 &9 &15 &21 &27\\ \hline Nombre moyen de vélos comptés par jour (en milliers) : $y_{i}$ &3,9&4,4 &5,1 &6,4 &7,1 &7,6\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal. On prendra pour unités graphiques : en abscisse, 1~centimètre pour représenter 3~mois et en ordonnées, 1~centimètre pour représenter 1~millier. \item Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ et le placer sur la représentation graphique. \item Déterminer, en utilisant la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients obtenus à $10^{-2}$ près. Tracer la droite d'ajustement sur la représentation graphique. \item À l'aide de l'ajustement réalisé, déterminer une estimation du nombre moyen de vélos que l'on pouvait prévoir par jour au mois de décembre 2007 (on arrondira le résultat à $10^{-1}$). \item On sait qu'en décembre 2007, le nombre moyen de vélos observés a été de $\np{7600}$. Déterminer, en pourcentage, l'erreur commise dans l'estimation précédente. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~18] par : \[f(x) = 4\ln (3x + 1) - x + 3\] Le graphique de l'annexe donne la représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$. \medskip \begin{enumerate} \item On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ sur [0,5~;~18]. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~18], on a : \[f^{\prime}(x)= \dfrac{- 3x + 11}{3x+ 1}.\] \item Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur [0,5~;~18]. \item Vérifier que l'équation $f(x) = 6$ admet une unique solution dans [0,5~;~18], que l'on note $\alpha$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près par défaut. \item On note $F$ la fonction définie sur l'intervalle [0,5~;~18] par : \[F(x) = \dfrac{4}{3}(3x + 1)\ln (3x + 1) - \dfrac{x^2}{2} - x.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur [0,5~;~18]. \item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_{1}^8 f(x)\:\text{d}x$ et donner une valeur approchée de cette intégrale à $10^{-1}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip On admet que le bénéfice réalisé par une entreprise lorsqu'elle fabrique $x$ centaines de pièces est égal à $f(x)$, en milliers d'euros, pour une production comprise entre $50$ pièces et $\np{1800}$ pièces. En utilisant les résultats précédents et en justifiant, répondre aux questions suivantes. \medskip \begin{enumerate} \item Pour quelle quantité de pièces produites, arrondie à l'unité, l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice, arrondi à la dizaine d'euros ? \item Pour quelles quantités de pièces produites, l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice supérieur ou égal à $\np{6000}$~euros ? \item Déterminer la valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre $100$ et $800$~pièces. On donnera une valeur approchée de ce bénéfice à 100~euros près. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\Large ANNEXE} \vspace{2cm} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(-0.5,-1)(19,11) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,griddots=10](0,0)(19,11) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(19,11) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(19,11) \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{18}{x 3 mul 1 add ln 4 mul x sub 3 add} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane septembre 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole septembre 2012 \hypertarget{Metropolesept}{} \label{Metropolesept} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small 14 septembre 2012} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole 14 septembre 2012~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions suivantes) une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point.} \textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.} \medskip La fonction $f$ est définie sur l'ensemble des nombres réels par \[f(x) = \text{e}^x - x + 1.\]:\index{Fonction exponentielle} On admet qu'elle est dérivable sur l'ensemble des nombres réels. On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal. \medskip \begin{enumerate}\index{Lectures graphiques} \item L'image de $\ln 2$ par la fonction $f$ est : \begin{description} \item[$\bullet~~$] $\dfrac{1}{2} + \ln 2$ \item[$\bullet~~$] $- 1 + \ln 2$ \item[$\bullet~~$] $3 - \ln 2$ \item[$\bullet~~$] $1 - 2\ln 2$ \end{description} \item Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse 1 est : \begin{description} \item[$\bullet~~$] $\text{e} - 1$ \item[$\bullet~~$] e \item[$\bullet~~$] $1- \text{e}$ \item[$\bullet~~$]$0$ \end{description} \item La limite de la fonction $f$ en $- \infty$ est : \begin{description} \item[$\bullet~~$] $- \infty$ \item[$\bullet~~$] $0$ \item[$\bullet~~$] $+ \infty$ \item[$\bullet~~$] $1$ \end{description} \item Une primitive sur l'ensemble des nombres réels de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur l'ensemble des nombres réels par :\index{Primitive} \begin{description} \item[$\bullet~~$] $F (x) = \text{e}^x -1$ \item[$\bullet~~$] $F (x) = \text{e}^x - \dfrac{1}{2}x^2 + x$ \item[$\bullet~~$] $F (x) = \text{e}^{2x} - \dfrac{1}{2}x^2 + x$ \item[$\bullet~~$] $F (x) = \dfrac{1}{2} \text{e}^{2x} - 1$ \end{description} \item L'inéquation $f (x) \leqslant 1$ admet sur l'ensemble des nombres réels : \begin{description} \item[$\bullet~~$] Aucune solution \item[$\bullet~~$] Une solution \item[$\bullet~~$] Deux solutions \item[$\bullet~~$] Une infinité de solutions \end{description} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \bigskip Le tableau ci-dessous donne la structure du parc automobile français (véhicules particuliers et véhicules utilitaires) au premier janvier de chaque année, entre 2001 et 2009, en millions de véhicules. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.7cm}|*{9}{@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}|}}\hline Année &2001 &2002& 2003& 2004&2005 & 2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline\hline Rang $x_{i}$ & 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline Nombre de voitures $y_{i}$ &\small 33,813 &\small 34,597 &\small 35,144 &\small 35,628 &\small 36,039 &\small 36,298 &\small 36,661 &\small 37,033 &\small 37,212\\ \hline \multicolumn{10}{r}{\footnotesize \emph{Source: CCFA (statistiques de la construction automobile) juin 2010}}\\ \end{tabularx} \medskip Le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ pour $i$ entier variant de $1$ à $9$, est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal. \medskip \begin{center} \psset{xunit=0.9cm,yunit=1.8cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(12,5) \multido{\n=0.0+0.5}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,5)} \multido{\n=0.00+0.25}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=33,Dy=0.5,comma=true](0,0)(12,5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=33,Dy=0.5,labels=none]{->}(0,0)(12,5) \psdots(1,0.813)(2,1.597)(3,2.144)(4,2.628)(5,3.039)(6,3.298)(7,3.661)(8,4.033) (9,4.212) \end{pspicture} \end{center} \textbf{Partie A : un premier ajustement} L'allure du nuage permet d'envisager un ajustement affine. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $D$ d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à $10^{-3}$).:\index{Moindres carrés} \item Tracer sur l'annexe à rendre avec la copie, la droite $D$ d'ajustement affine. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : un deuxième ajustement} \medskip La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~13] par : \[f(x) = - 0,03x^2 + 0,712x + 33,222.\] On suppose que $f$ modélise sur l'intervalle [1~;~13] l'évolution du nombre de véhicules du parc automobile exprimé en millions. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~13]. \item Tracer sur l'annexe à rendre avec la copie, dans le même repère, la courbe $C$ représentative de la fonction $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : comparaison des deux ajustements} \medskip Le premier janvier 2010, le nombre de véhicules du parc automobile était de $37,438$ ~millions. Lequel de ces deux ajustements donne l'estimation la plus proche de la réalité ? \vspace{0,5cm} \begin{center} \textbf{\large Annexe de l'exercice 2 à rendre avec la copie} \vspace{1.5cm} \psset{xunit=0.85cm,yunit=1.7cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(14,5) \multido{\n=0.0+0.5}{28}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,5)} \multido{\n=0.00+0.25}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(13.5,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=33,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(13.5,5) \psdots(1,0.813)(2,1.597)(3,2.144)(4,2.628)(5,3.039)(6,3.298)(7,3.661)(8,4.033) (9,4.212) \end{pspicture} \end{center} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip Pour jouer sur internet à un certain jeu la souscription d'un abonnement annuel est obligatoire. À partir d'un sondage, on prévoit que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item 80\:\% des abonnés renouvellent chaque année leur abonnement, \item le nombre de nouveaux abonnés sera de \np{20000} tous les ans. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Au premier janvier 2012, on comptait \np{50000}~abonnés à ce jeu en ligne. Selon ce modèle, justifier qu'au premier janvier 2013 le nombre d'abonnés sera égal à \np{60000}. \item \begin{enumerate} \item Justifier que le nombre d'abonnés au premier janvier de l'année $2012 + n$ est modélisé par la suite $\left(a_{n}\right)$ définie par: \[\left\{\begin{array}{l c l} a_{0}& =&\phantom{0,8 a_{n} + ~} \np{50000}\\ a_{n+1} &=& 0,8 a_{n} + \np{20000} \quad \text{pour tout entier naturel } n \end{array}\right.\] \item Calculer $a_{2}$ et $a_{3}$. \item Sur le graphique situé en annexe, à rendre avec la copie, on a représenté dans le plan muni d'un repère orthonormal les droites $D$ d'équation $y = x$ et $\Delta$ d'équation $y = 0,8 x + \np{20000}$. Sur l'axe des abscisses, représenter $a_{0}$ puis construire $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ en utilisant les représentations graphiques des deux droites précédentes. Laisser apparents les traits de construction. \item En s'appuyant sur une observation graphique, émettre une conjecture sur la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$. \end{enumerate} \item On admet que pour tout nombre entier naturel $n,\: a_{n} = \np{100000} - \np{50000} \times 0,8^n$. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$. \item \emph{Toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} En utilisant ce modèle, donner une estimation de l'année à partir de laquelle, au premier janvier, le nombre d'abonnés à ce jeu sera supérieur à \np{95000}. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe de l'exercice 2 (spécialité) à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \psset{unit=0.125cm} \begin{pspicture}(-8,-2)(80,80) \psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=20,Oy=20,Dx=10,Dy=10,xlabelFactor={\,000},ylabelFactor={\,000}](0,0)(80,80) \multido{\n=0+5}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,80)} \multido{\n=0+5}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(80,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10,labels=none]{->}(0,0)(80,80) \psline[linewidth=1.25pt](80,80) \psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,16)(80,80) \uput[dr](10,10){$D$}\uput[ul](10,25){\blue $\Delta$} \end{pspicture} \end{center} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Le service qualité d'une entreprise textile contrôle systématiquement la texture et la couleur des tissus qu'elle produit. Pour être déclaré de \og qualité supérieure \fg{} un tissu doit subir avec succès les deux contrôles : le premier sur la texture, le second sur la couleur. À cette fin, le service qualité effectue une étude statistique sur la production d'un mois. Cette étude a montré que : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 90\,\% des tissus passent le contrôle sur la texture avec succès. \item[$\bullet~~$] Parmi ceux qui ne passent pas avec succès ce premier contrôle, 40\,\% ont passé le deuxième contrôle sur la couleur avec succès. \item[$\bullet~~$] 80\,\% des tissus sortant de cette entreprise sont déclarés de \og qualité supérieure \fg. \end{itemize} Une machine de contrôle de qualité prélève au hasard un échantillon d'un des tissus produits par cette entreprise pendant le mois d'étude. On considère les évènements suivants : $\bullet~~$ $T$ : \og l'échantillon de tissu prélevé passe avec succès le premier contrôle sur la texture \fg, $\bullet~~$ $C$ : \og l'échantillon de tissu prélevé passe avec succès le deuxième contrôle sur la couleur\fg, $\bullet~~$ $S$ : \og l'échantillon de tissu prélevé est déclaré de qualité supérieure\fg. Ainsi $S = T \cap C$. \medskip \emph{Rappels de notation : Soient $A$ et $B$ deux évènements\\ $\bullet~~$ la probabilité de l'évènement A est notée $p(A)$ ;\\ $\bullet~~$ si $p(B) \neq 0, \: p_{B}(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé ;\\ $\bullet~~$ l'évènement contraire de l'évènement $A$ est noté $\overline{A}$.} \begin{enumerate} \item À l'aide de l'énoncé, construire un arbre de probabilité décrivant la situation. Il sera complété au cours de la résolution de l'exercice. :\index{Arbre pondéré} \item Démontrer que $p_{T}(C) = \dfrac{8}{9}$. :\index{Probabilités} \item Interpréter l'évènement $\overline{T} \cap \overline{C}$, puis calculer la probabilité de cet évènement. \item Démontrer que la probabilité de l'évènement: \og l'échantillon de tissu prélevé ne passe pas avec succès le contrôle sur la couleur \fg{} est égale à $0,16$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Une coopérative fabrique une huile précieuse qu'elle commercialise au prix de \mbox{100~euros} le litre. Sa capacité maximale de production journalière est de 10 litres. Le coût de production journalier pour la fabrication de cette huile précieuse est modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par : \[C(x) = 300 \ln (x + 1)\]\index{Fonction logarithme} où $x$ désigne la quantité d'huile produite exprimée en litres et $C(x)$ son coût de production journalier exprimé en euros. La recette journalière de cette coopérative est modélisée par la fonction $R$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par: \[R(x) = 100x.\] où $x$ désigne la quantité d'huile exprimée en litre, produite et vendue, et $R(x)$ sa recette journalière exprimée en euros. On suppose que toute la production d'un jour est vendue le même jour. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $C$ sur l'intervalle [0~;~10]. \item Construire, sur une feuille de papier millimétré à rendre avec la copie, $\Gamma$ et $\Gamma'$ les représentations graphiques respectives des fonctions $C$ et $R$ dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques : $\bullet~~$1 cm pour un litre sur l'axe des abscisses, $\bullet~~$1 cm pour 100~euros sur l'axe des ordonnées. \item La fonction $B$ est définie sur l'intervalle [0~;~10] par $B(x) = R(x) - C(x)$. Elle est dérivable sur l'intervalle [0~;~10], et on note $B'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Établir que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~10], \[B'(x) = \dfrac{100x - 200}{x + 1}.\] \item Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~10]. \item Démontrer que l'équation $B(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [2~;~10]. Donner une valeur approchée du nombre réel $\alpha$ à $10^{-1}$ près. \item En déduire l'étude du signe de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~10]. \end{enumerate} \item Lorsque $B(x)$ est positif, l'entreprise réalise un bénéfice. Lorsque $B(x)$ est négatif, l'entreprise est en déficit. \begin{enumerate} \item Déterminer la quantité journalière minimale d'huile, au décilitre près, à produire et à vendre pour que la coopérative réalise un bénéfice journalier positif. \item Préciser, à l'euro près, le bénéfice journalier maximal que peut réaliser cette coopérative. \item À l'aide du graphique tracé à la question 2, interpréter les résultats des questions 4 a et 4 b. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 2012 \hypertarget{Polynesiesept}{} \label{Polynesiesept} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{13 septembre 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie 13 septembre 2012~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Le tableau ci-dessous représente l'évolution de l'indice du PIB de la Chine de 1985 à 2005, base 100 en 1985 \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{8}{@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}|}}\hline année &1985 &1988 &1991 &1994 &1997 &2000 &2003 &2005\\ \hline Rang de l'année : $x_{i},\:1 \leqslant i \leqslant 8$ &0 &3 &6 &9 &12 &15 &18 &20\\ \hline Indice du PIB : $y_{i},\:1 \leqslant i \leqslant 8$& 100 &131,29& 172,38& 226,32& 297,15& 390,13& 512,22& 614,16\\ \hline \multicolumn{9}{r}{\footnotesize \emph{Source : Banque Mondiale}}\\ \end{tabularx} \medskip On veut étudier l'évolution de l'indice du PIB $y$ en fonction du rang de l'année $x$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ ($1 \leqslant i \leqslant 8$) associé à cette série dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[] sur l'axe des abscisses : 1~cm pour 1 année; \item[] sur l'axe des ordonnées : 1~cm pour $50$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Un ajustement affine semble t-il approprié ? \end{enumerate} \item Pour $1 \leqslant i \leqslant 8$, on pose $z_{i} = \ln y_{i}$. Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de $z_{i}$ seront arrondies au centième). \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang de l'année : $x_{i}, \:1 \leqslant i \leqslant 8$ &0 &3 &6 &9 &12 &15 &18 &20\\ \hline $z_{i} = \ln y_{i},\:1 \leqslant i \leqslant 8$&&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). Aucune justification n'est demandée. :\index{Moindres carrés} \item En déduire une estimation de l'indice du PIB de la Chine en 2012 d'après cet ajustement. \item Dans le cas général donner un ajustement exponentiel de $y$ en fonction de $x$, sous la forme $y = a\text{e}^{bx}$, les coefficients $a$ et $b$ étant arrondis au centième. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip \emph{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes} \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip Le tableau ci-dessous donne la récolte de bois en France en 2005 en milliers de m$^3$ suivant que l'on a affaire à des feuillus ou des conifères destinés au bois d'{\oe}uvre ou au bois d'industrie. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Feuillus &Conifères &Total\\ \hline Bois d'{\oe}uvre &\np{6076} &\np{14803} &\np{20879}\\ \hline Bois d'industrie &\np{5413} &\np{6805} &\np{12218}\\ \hline Total &\np{11489} &\np{21608} &\np{33097}\\ \hline \multicolumn{4}{r}{\footnotesize\emph{Source : Ministère de l'Agriculture et de la Pêche - SCEES 2005}} \end{tabularx} \end{center} \emph{Dans cette partie, les pourcentages seront arrondis à} 1\,\%. \medskip À l'aide du tableau ci-dessus : \begin{enumerate} \item Déterminer le pourcentage de feuillus dans la récolte totale. \item Déterminer, parmi les conifères, le pourcentage de bois destiné à l'industrie. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip Chez un grossiste, les quatre catégories \og feuillu - bois d'{\oe}uvre \fg, \og feuillu - bois d'industrie \fg, \og conifère - bois d'{\oe}uvre \fg{} et \og conifère - bois d'industrie \fg{} sont réparties chacune dans différents lots de même volume. On sait par ailleurs que : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \renewcommand \labelitemi{$\bullet$} \item 70\,\% des lots sont du bois de conifère ; \item Parmi les lots de feuillus, 45\,\% sont destinés à l'industrie ; \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Le grossiste prélève au hasard un lot (on suppose que tous les lots ont la même chance d'être choisis). On considère les évènements : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[]$F$ : \og le lot est constitué de feuillus \fg, \item[]$C$ : \og le lot est constitué de conifères \fg, \item[]$I$ : \og le lot est destiné à l'industrie \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Traduire toutes les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré (on ne demande aucune explication).:\index{Arbre pondéré} \end{enumerate} La probabilité qu'un lot pris au hasard soit destiné au bois d'{\oe}uvre est de $0,585$. \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item Déterminer la probabilité de l'évènement $I \cap C$. Interpréter ce résultat. :\index{Probabilités} \item Le lot pris au hasard est destiné à l'industrie. Quelle est la probabilité qu'il soit constitué de conifères ? \item Quatre lots sont prélevés au hasard. Vue la grande quantité de lots présents chez le grossiste, on peut assimiler ce prélèvement à une succession de quatre tirages identiques et indépendants. Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins un lot constitué de bois d'{\oe}uvre. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip Le centre commercial Commerce Plus est implanté dans une ville. La première semaine, 80\,\% des habitants de la ville viennent faire leurs achats dans ce centre commercial, puis on constate dans les semaines suivantes que : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \renewcommand \labelitemi{$\bullet$} \item la probabilité qu'un habitant étant venu faire des achats dans le centre commercial y retourne la semaine suivante est égale à $0,55$ ; \item la probabilité qu'un habitant n'étant pas venu faire des achats dans le centre commercial y aille la semaine suivante est égale à $0,6$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On cherche à étudier l'évolution de la répartition des visites des habitants dans le centre commercial sur plusieurs semaines. \medskip \begin{enumerate} \item On note A l'état : \og l'habitant vient faire ses courses au centre commercial \fg. On note B l'état: \og l'habitant ne vient pas faire ses courses au centre commercial \fg. \begin{enumerate} \item Représenter la situation ci-dessus par un graphe probabiliste. \item On note M la matrice de transition de ce graphe. Vérifier que $\mathrm{M}= \begin{pmatrix}0,55& 0,45\\0,6&0,4\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \item On appelle $P_{n} = \left(a_{n}\quad b_{n}\right)$ la matrice traduisant la répartition des habitants selon leur venue au centre commercial au cours de la $n$-ième semaine : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \renewcommand \labelitemi{$\bullet$} \item $a_{n}$ représente la proportion d'habitants qui vient faire ses courses au centre commercial au cours de la $n$-ième semaine, \item $b_{n}$ représente la proportion d'habitants qui ne vient pas faire ses courses au centre commercial au cours de la $n$-ième semaine. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Ainsi, on a $P_{1} = (0,8\quad 0,2)$. :\index{Matrices} \begin{enumerate} \item Calculer $P_{2}$ et $P_{3}$. \item Donner une interprétation de $P_{3}$ en termes de répartition des habitants. \end{enumerate} \item Soit $P = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste stable. \begin{enumerate} \item Déterminer $x$ et $y$. On donnera les valeurs exactes, puis les résultats arrondis au centième. \item Interpréter ces résultats. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Une entreprise fabrique un produit chimique. Elle peut en produire $x$ mètres cube chaque jour ; on suppose que $x$ appartient à l'intervalle [1~;~6]. Le coût total de production $C_{T}$, exprimé en milliers d'euros, est fonction de la quantité produite $x$ : \[C_{T}(x) = \dfrac{x^2}{2} + 4\ln x + 5,6\quad \text{pour} x \in [1~;~6].\]:\index{Fonction logarithme} \begin{enumerate} \item Vérifier que la fonction $C_{T}$ est strictement croissante sur l'intervalle [1~;~6]. \item On note $C_{M}(x)$ le coût moyen de production en milliers d'euros du mètre cube pour une production journalière de $x$ mètres cube, avec $x \in [1~;~6]$. On rappelle que $C_{M}(x) = \dfrac{C_{T}(x)}{x}$. \begin{enumerate} \item Écrire l'expression de $C_{M}(x)$ en fonction de $x$. \item On admet que la fonction $C_{M}$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~6] et on appelle $C'_{M}$ sa fonction dérivée. Calculer $C'_{M}(x)$, et vérifier que $C'_{M}(x) = \dfrac{x^2 - 3,2 - 8\ln x}{2x^2}$ pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~6].:\index{Dérivée} \end{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~6] par $f(x) = x^2 - 3,2 - 8\ln x$. \begin{enumerate} \item On admet que $f$ est dérivable sur [1~;~6]. Étudier les variations de $f$ sur [1~;~6]. \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$ dans [2~;~6] ; déterminer une valeur approchée par excès à $10^{-1}$ près de $\alpha$. \item En déduire le signe de $f(x)$ sur [1~;~6] (on ne demande pas de justification). \end{enumerate} \item On prendra pour $\alpha$ la valeur approchée trouvée à la question 3. b. \begin{enumerate} \item En utilisant les résultats de la question 3., étudier le sens de variation de la fonction $C_{M}$ sur [1~;~6]. Construire son tableau de variation (les valeurs dans le tableau seront arrondies au dixième). \item Quel est le coût moyen minimal de production du mètre cube de produit ? \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Comment faut-il choisir le prix de vente du mètre cube de produit pour que l'entreprise puisse faire des bénéfices quelle que soit la production choisie dans l'intervalle donné ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'ensemble des réels $\R$. On note $f'$ sa fonction dérivée sur $\R$. On appelle $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative, représentée en ANNEXE 1 dans un repère orthonormé. On appelle $(T)$ la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point A de coordonnées $(0~;~- 1)$. On admet que la fonction $f$ admet un maximum en $x = 3$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Cette partie est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). Chaque question admet une seule réponse exacte. Pour chacune des questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Il n'est pas demandé de justification.:\index{Q. C. M.} \emph{Dans cette première partie, une réponse exacte rapporte $0,5$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie est ramenée à zéro.} \medskip \textbf{Question 1 :} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$&$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$&$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$\\ \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 2 :} sur l'intervalle $[ - 1~;~7]$ $f'(x)$ vérifie : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} $f'(x) > 0$ sur $]1~;~7]$ & $f'(x) < 0$ sur $[- 1~;~0]$ & $f'(x) < 0$ sur $]3~;~7]$\\ \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 3 :} l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} $y = - 1$ & $y = x + 1$ & $y = 1,5x - 1$\\ \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 4 :} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} $\displaystyle\int_{2}^4 f(x)\:\text{d}x = f(4) - f(2)$&$0,5 \leqslant \displaystyle\int_{2}^4 f(x)\:\text{d}x \leqslant 1,5$&$\displaystyle\int_{2}^4 f(x)\:\text{d}x$ n'existe pas.\\ \end{tabularx} \medskip \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur l'ensemble des réels $\R$, telle que \[g(x) = (- 2x - 2) \times \text{e}^{- 0,5x}\]:\index{Fonction exponentielle} On note $g'$ sa fonction dérivée sur $\R$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $\R$, $g'(x) = (x - 1) \times \text{e}^{- 0,5x}$.:\index{Dérivée} \item Étudier le signe de $g'$ sur $\R$ et en déduire les variations de $g$ sur $\R$. \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$. (On utilisera le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{- 0,5x} = 0$). \item Construire la courbe représentative de $g$, notée $\mathcal{C}_g$, dans le repère fourni en ANNEXE 1 (sur lequel est construite $\mathcal{C}_f$). \item Donner graphiquement un encadrement par deux entiers consécutifs des coordonnées de $I$, point d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. \item On admet maintenant que $g' = f$. Déterminer par le calcul les coordonnées exactes du point $I$. \item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur [0~;~1] ; on donnera d'abord sa valeur exacte puis sa valeur approchée à $10^{-2}$ près.:\index{Valeur moyenne} \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\Large{\textbf{ANNEXE 1}}} \bigskip \textbf{À rendre avec la copie} \begin{flushleft} \textbf{Exercice 4} \end{flushleft} \vspace{0.5cm} \psset{unit=1.6cm} \rput{-90}(0,-4.75){ \begin{pspicture*}(-2.1,-4)(8.5,3.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgridwidth=0.15pt] \psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2,-3.99)(8.5,3.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1) \uput[dr](0,0){O}\uput[u](2.5,2.8){$T$} \uput[u](6,0.3){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \uput[d](8.4,0){$x$}\uput[r](0,3.4){$y$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.25}{8.5}{x 1 sub 2.71828 0.5 x mul exp div} \psplot{-2}{3}{1.5 x mul 1 sub} \end{pspicture*}} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2012 \hypertarget{AmeriqueSud}{} \label{AmeriqueSud} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small 14 novembre 2012} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Sud 14 novembre 2012~\decofourright} \end{center} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip QCM \emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses proposées est exacte. Le candidat portera sur sa copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse inexacte ou l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.} \medskip \textbf{Les parties A et B sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé \Oij, la courbe représentative $(C)$ d'une fonction définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$. On sait que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item la courbe $(C)$ passe par les points O(0~;~0) et A$\left(2~;~\dfrac{8}{\text{e}}\right)$, \item la tangente à $(C)$ en O est la droite (T) qui passe par le point de coordonnées (1~;~4), \item la tangente à $(C)$ en A est parallèle à l'axe des abscisses, \item l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $(C)$ en $+ \infty$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \psset{unit=0.94cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-1,-1)(12,7) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(12,7) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(12,7) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){0} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{4 x mul 2.71828 x 2 div exp div} \psline[linewidth=1.5pt]{<->}(1,2.943)(3,2.943) \psline[linewidth=1.5pt](0,0)(1.75,7) \uput[u](2,2.943){A}\uput[r](1.8,6.5){(T)}\uput[u](10.5,0.3){\blue $(C)$} \end{pspicture} \end{center} \index{Lectures graphiques} \begin{enumerate} \item La limite de $f$ en $+ \infty$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} $0$& \textbf{b.~~} $- \infty$& \textbf{c.~~} $+ \infty$ \\ \end{tabularx} \medskip \item Le nombre $f'(0)$ vaut : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} $- 1 $& \textbf{b.~~} $0$ & \textbf{c.~~}$4$ \\ \end{tabularx} \medskip \item L'inéquation $f'(x) \geqslant 0$ a pour ensemble de solutions : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} $[0~;~+ \infty[$& \textbf{b.~~} [0~;~2]& \textbf{c.~~} [0~;~2[ \\ \end{tabularx} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\R$, par $g(x) = x\text{e}^{- 2x}$. La dérivée de la fonction $g$ est ::\index{Dérivée} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} $g'(x) = - 2\text{e}^{- 2x}$& \textbf{b.~~} $g'(x)=(1 - 2x)\text{e}^{- 2x}$& \textbf{c.~~} $g'(x)=\text{e}^{- 2x}$ \\ \end{tabularx} \medskip \item La valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{- 2x}\:\text{d}x$ est : : \index{Intégrale} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} $\dfrac{1}{2}\left(1 - \text{e}^{- 2} \right)$& \textbf{b.~~} $\text{e}^{- 2} - 1$& \textbf{c.~~} $- \dfrac{1}{2}\left(1 + \text{e}^{- 2} \right)$ \\ \end{tabularx} \medskip \item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~3] par $h(x) = \dfrac{1}{x}$. La valeur moyenne de la fonction $h$ sur [1~;~3] est : :\index{Valeur moyenne} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} $\ln 3$& \textbf{b.~~} $\dfrac{2}{3}$& \textbf{c.~~} $\ln \left(\sqrt{3}\right)$ \\ \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le tableau ci-dessous donne le nombre de licenciés à la fédération française de badminton. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{10}{@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}|}}\hline Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline Rang $\left(x_{i}\right)$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline Nombre de licenciés $\left(y_{i}\right)$&\np{70589} &\np{79049} &\np{85712} &\np{91782} &\np{96706} &\np{108762} &\np{114725} &\np{115643} &\np{124894} &\np{134886}\\ \hline \multicolumn{11}{r}{\footnotesize\emph{Sources: Fédération Française de Badminton}}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le pourcentage d'augmentation, arrondi à l'unité, du nombre de licenciés entre les années 2000 et 2009.:\index{Pourcentage} \item Construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan (P) muni du repère orthogonal \Oij, défini de la façon suivante : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item Sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on prendra 2~cm comme unité. \item Sur l'axe des ordonnées, on placera \np{70000} à l'origine et on prendra 1~cm pour \np{5000}~licenciés. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients à l'unité. :\index{Moindres carrés} \item En utilisant cet ajustement, calculer le nombre de licenciés que l'on peut prévoir en 2012. \end{enumerate} \item On décide d'utiliser comme ajustement la courbe d'équation $y = k\text{e}^{px}$. On suppose que cette courbe passe par les points $M(0~;~\np{70589})$ et $N(9~;~\np{134886})$. Déterminer les réels $k$ et $p$ (on arrondira $p$ au millième). \item On utilise comme ajustement dans cette question, la courbe d'équation $y = \np{70589} \text{e}^{0,072x}$. Utiliser cet ajustement pour estimer le nombre de licenciés en 2012 que l'on donnera arrondi à l'unité. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \bigskip Pierre pratique la course à pied plusieurs fois par semaine. Il a trois parcours différents, notés A, B et C et deux types de séances d'entraînement : Endurance, notée E et Vitesse, notée V. Chaque fois que Pierre va courir, il choisit un parcours (A, B ou C), puis un type d'entraînement (E ou V). \medskip Si $A$ et $B$ désignent deux évènements d'une même expérience aléatoire, alors on notera $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A,\: p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$, et $p_{A}(B)$ la probabilité de l'évènement $B$ sachant que $A$ est réalisé, avec $p(A) \neq 0$. \medskip Pierre va courir aujourd'hui. On considère les évènements suivants : $A$ : \og Pierre choisit le parcours A \fg $B$ : \og Pierre choisit le parcours B \fg $C$ : \og Pierre choisit le parcours C \fg $E$ : \og Pierre fait une séance d'endurance \fg $V$ : \og Pierre fait une séance de vitesse \fg On sait que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item Pierre choisit le parcours A dans 30\,\% des cas et le parcours B dans 20\,\% des cas; \item si Pierre choisit le parcours A, alors il fait une séance d'endurance dans 40\,\% des cas ; \item si Pierre choisit le parcours B, alors il fait une séance d'endurance dans 80\,\% des cas. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Faire un arbre de probabilité décrivant la situation ci-dessus. \item \begin{enumerate} \item Donner la valeur de $p_{A}(E)$.:\index{Probabilités} \item Calculer $p_{B}(V)$. \end{enumerate} \item Déterminer la probabilité que Pierre choisisse le parcours C. \item Déterminer la probabilité que Pierre choisisse le parcours A et une séance de vitesse. \item On sait que $p(E) = 0,7$. Montrer que: $p(E \cap C) = 0,42$. \item On sait que Pierre a choisi le parcours C. Quelle est la probabilité qu'il fasse une séance d'endurance ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidat ayant suivi l'enseignement de spécialité } \bigskip Un employé se rend à son travail en bus et, soit il n'est pas en retard, c'est-à-dire qu'il est à l'heure ou en avance, soit il est en retard. Le 1\up{er} jour, la probabilité que cet employé arrive en retard est de $0,2$. \medskip Pour les jours suivants : \medskip S'il est en retard un jour donné, alors la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de $0,05$. Si l'employé n'est pas en retard un jour donné, alors la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de $0,2$. \medskip Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note \setlength\parindent{6mm} \begin{description} \item[ ] $R_{n}$ l'évènement \og l'employé est en retard à son travail le $n$-ième jour \fg. \item[ ] $H_{n}$ l'évènement \og l'employé n'est pas en retard à son travail le $n$-ième jour \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip On note également, pour tout entier naturel $n$ non nul : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $r_{n}$ la probabilité que l'employé soit en retard le $n$-ième jour, \item[$\bullet~~$] $h_{n}$ la probabilité que l'employé ne soit pas en retard le $n$-ième jour, \item[$\bullet~~$] $P_{n} = \left(r_{n}\quad h_{n}\right)$ la matrice qui traduit l'état probabiliste au $n$-ième jour. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm}:\index{Matrices} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'état initial $P_{1}$. \item \begin{enumerate} \item Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.:\index{Graphe probabiliste} \item Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe. \end{enumerate} \item Quelle est la probabilité que cet employé soit en retard le 3\up{e} jour. On donnera le résultat avec une valeur arrondie au centième. \item Soit $P = (x\quad y)$ l'état probabiliste stable. \begin{enumerate} \item Montrer que $x$ et $y$ vérifient la relation $y = 0,95x + 0,8y$. \item Déterminer l'état stable du système en arrondissant les valeurs au millième. Interpréter ces résultats. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats } \bigskip On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~10] par \[f(x) = 10 \ln (x + 1) - x.\] \medskip \textbf{Partie A} \medskip On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10]. \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(10,3) \psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5)\psline(2,0)(2,3) \uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.15,2.5){$0$} \uput[u](6,2.5){$9$} \uput[u](9.85,2.5){$10$} \uput[u](1,1.9){$f'(x)$}\uput[u](4,2){$+$} \uput[u](6,2){$0$}\uput[u](8,2){$-$} \rput(1,1){$f(x)$} \uput[u](2.15,0){$0$}\uput[d](6,2){$f(9)$}\uput[u](9.6,0){$f(10)$} \psline{->}(2.5,0.5)(5.5,1.5) \psline{->}(6.5,1.5)(9.3,0.5) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \index{Lectures graphiques}% \item Justifier le sens de variation de $f$ sur l'intervalle [0~;~10]. \item Donner les valeurs de $f(9)$ et de $f(10)$ arrondies au centième. \item Montrer que l'équation $f(x) = 10$ admet dans l'intervalle [0~;~9] une unique solution $\alpha$. Déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. \item On considère la fonction $F$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~10] par : \[F(x) = (10x + 10) \times \ln (x + 1) - 10 x - \dfrac{x^2}{2}.\] :\index{Fonction logarithme} Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10]. \end{enumerate}:\index{Primitive} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Une entreprise fabrique des puces pour des téléphones portables. Le coût marginal pour une production de $x$ centaines de puces $(0 \leqslant x \leqslant 10)$ est donné en centaines d'euros par : \[f(x) = 10 \ln (x + 1) - x.\]:\index{Fonction logarithme} \begin{enumerate} \item En utilisant la \textbf{partie A}, déterminer le nombre de puces que l'entreprise doit fabriquer pour que le coût marginal soit maximum. \item Pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~10], on note $C(x)$ le coût total de production, en centaines d'euros, de $x$ centaines de puces. On assimile le coût marginal à la dérivée du coût total, c'est-à-dire que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~10], $C'(x) = f(x)$. Les coûts fixes s'élèvent à \np{1500}~euros, c'est-à-dire que $C(0) = 15$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~10], \[C( x) = (10x + 10) \times \ln (x + 1 ) - 10x - \dfrac{x^2}{2} + 15.\] \item Étudier le sens de variation de la fonction $C$ sur l'intervalle [0~;~10]. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2012 \hypertarget{Caledonienov}{} \label{Caledonienov} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small 19 novembre 2012} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2012~\decofourright} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Un article paru en 2008 dans le journal \emph{Les Échos} indiquait les coûts (en milliards d'euros) des derniers Jeux Olympiques depuis 1984. Ces données sont résumées dans le tableau suivant : \medskip \begin{footnotesize} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Lieu &Los Angeles&Séoul &Barcelone &Atlanta &Sydney &Athènes& Pékin\\ \hline Année &1984 &1988 &1992 &1996 &2000 &2004 &2008\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline Coût $y_{i}$&0,45 &0,96 &1,67 &2,75 &4,5 &11,6 &26,3 \\ \hline \end{tabularx} \end{footnotesize} \medskip \begin{enumerate} \item On a tracé ci-dessous le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{1}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. Expliquer pourquoi un ajustement affine ne semble pas justifié. \begin{center} \psset{xunit=1.25cm,yunit=0.3cm} \begin{pspicture}(-0.4,-2)(7,28) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(7,28) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(7,28) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2](0,0)(0,0)(7,28) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](0,0.45)(1,0.96)(2,1.67)(3,2.75)(4,4.5)(5,11.6)(6,26.3) \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \item Une première modélisation : ajustement exponentiel Pour $0 \leqslant i \leqslant~ 6$, on pose $z_{i} = \ln y_{i}$. \begin{enumerate} \item Recopier le tableau ci-dessous et le compléter avec les valeurs $z_{i}$, arrondies au centième. \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang de l'année $x_{i}$ & 0 &1 & 2 &3 &4 &5 &6\\ \hline $z_{i} = \ln y_{i}$ & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item A l'aide de la calculatrice, et en utilisant les données du tableau ci-dessus, donner une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, sous la forme $z = ax + b$ (les coefficients seront arrondis au millième).:\index{Moindres carrés} \item En déduire une approximation des coûts $y$, en milliards, sous la forme $y = A\text{e}^{Bx}$ où les coefficients $A$ et $B$ seront arrondis au centième. \item On suppose que cette modélisation reste acceptable jusqu'en 2012. Quelle estimation des coûts peut-on alors faire pour les Jeux Olympiques de Londres de 2012 (le résultat sera arrondi au milliard). \end{enumerate} \item Une deuxième modélisation: \begin{enumerate} \item Trouver le pourcentage d'augmentation des coûts entre 1984 et 1988.:\index{Pourcentage} \item Justifier qu'entre 1984 et 2008 le pourcentage moyen d'augmentation par olympiade (période de 4 ans), arrondi à l'unité, est de 97\,\%. \item Si cette évolution des coûts continue suivant la même progression, donner une estimation des coûts pour les Jeux Olympiques de Londres en 2012 (le résultat sera arrondi au milliard). \end{enumerate} \item Un journal anglais a déclaré que les coûts des Jeux Olympiques de Londres approcheraient les 45~milliards d'euros. Laquelle des deux modélisations semble la plus cohérente avec cette affirmation ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \bigskip Une enquête a été réalisée auprès de français s'étant rendus à Londres pour des raisons touristiques. Cette enquête révèle que, pour se rendre dans la capitale anglaise, 30\,\% de ces touristes ont utilisé l'avion, 50\,\% ont utilisé le train passant par le tunnel sous la Manche et les autres touristes ont traversé la Manche par bateau. Sur l'ensemble de tous les touristes interrogés, 40\,\% sont restés en Angleterre plus d'une semaine. Parmi les touristes interrogés ayant utilisé l'avion, 20\,\% sont restés en Angleterre plus d'une semaine et parmi ceux qui ont choisi le train, 60\,\% sont restés en Angleterre plus d'une semaine. On interroge au hasard un touriste ayant répondu à l'enquête. On suppose que chaque touriste avait la même probabilité d'être choisi. On note : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement \og Le touriste interrogé a voyagé en avion \fg. \item[$\bullet~~$] $T$ l'évènement \og Le touriste interrogé a voyagé en train \fg. \item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement \og Le touriste interrogé a voyagé en bateau \fg. \item[$\bullet~~$] $S$ l'évènement \og Le touriste interrogé est resté en Angleterre plus d'une semaine \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que le touriste interrogé ait voyagé en bateau pour se rendre en Angleterre.\index{Probabilités} \item \begin{enumerate} \item Exprimer à l'aide d'une phrase l'évènement $A \cap S$. \item Déterminer les probabilités $p(A \cap S)$ et $p(T \cap S)$. (On pourra utiliser un arbre pondéré).\index{Arbre pondéré} \end{enumerate} \item Montrer que $P(B \cap S) = 0,04$. \item Déterminer la probabilité que le touriste interrogé ait voyagé en bateau sachant qu'il est resté plus d'une semaine en Angleterre. \item On interroge au hasard 3 touristes ayant répondu à l'enquête de façon indépendante. On suppose que le nombre de personnes ayant répondu à l'enquête est suffisamment grand pour assimiler l'interrogation au hasard à un tirage avec remise.:\index{Loi binomiale} Déterminer la probabilité que parmi ces trois touristes se trouve un seul touriste étant resté en Angleterre plus d'une semaine. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip Afin d'être performant lors d'une grande compétition, Christophe, champion d'athlétisme spécialiste du sprint, s'entraine chaque jour de l'année et réalise quotidiennement une course à pleine vitesse sur 100 mètres en tentant de courir en moins de 10 secondes. On constate que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] S'il réalise moins de 10~secondes sur 100~mètres un jour, la probabilité qu'il réalise moins de 10~secondes sur 100~mètres le lendemain est égale à $0,75$. \item[$\bullet~~$] S'il ne réalise pas moins de 10~secondes sur 100~mètres un jour, la probabilité qu'il réalise moins de 10~secondes sur 100~mètres le lendemain est égale à $0,5$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Le premier jour de l'année, Christophe n'a pas réussi à réaliser moins de 10 secondes sur sa course à pleine vitesse. Soit $n$ un entier naturel non nul. On note : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $a_{n}$, la probabilité que Christophe réalise moins de 10~secondes le $n$-ième jour. \item[$\bullet~~$] $b_{n}$, la probabilité que Christophe ne réalise pas moins de 10 secondes le $n$-ième jour. \item[$\bullet~~$] $P_{n} = \left(a_{n \quad } b_{n}\right)$, la matrice ligne traduisant l'état probabiliste le $n$-ième jour. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Écrire la matrice ligne $P_{1}$ de l'état probabiliste initial.\index{Matrices} \item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l'état \og Christophe réalise moins de 10 secondes au $100$ mètres \fg, B représentant l'état \og Christophe ne réalise pas moins de 10 secondes au $100$ mètres\fg). \item Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en considérant les états dans l'ordre alphabétique. \item Déterminer la matrice ligne $P_{3}$. Comment peut-on interpréter ce résultat pour Christophe ? \item Soit $P = (a \quad b)$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste stable. \begin{enumerate} \item Justifier que $a$ et $b$ vérifient le système $\left\{\begin{array}{l c l}0,25 a - 0,5 b &=&0\\ \phantom{0,25}a + \phantom{0,5}b &=& 1 \end{array}\right.$. \item Lors d'une interview à un journaliste sportif, Christophe déclare : \og Au vu de tous les entrainements effectués pour me préparer à ce grand évènement je suis confiant et je pense avoir deux chances sur trois de pouvoir réaliser moins de 10~secondes sur 100~mètres lors de la compétition \fg. Cette affirmation vous paraît-elle justifiée ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $[3~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{x}{x+ 5 \ln x}\]\index{Fonction logarithme} \begin{enumerate} \item On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$. Montrer que la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est égale à $1$. \item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $[3~;~+ \infty[$ on a $f'(x) = \dfrac{5(\ln x - 1)}{(x + 5\ln x)^2}$. \index{Dérivée} \item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $[3~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur cet intervalle. \item Montrer que sur l'intervalle [3~;~50] l'équation $f(x) = 0,5$ possède une unique solution $\alpha$ puis, à l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à l'entier supérieur par excès de $\alpha$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'organisation chargée de vendre les billets pour assister aux différentes épreuves d'un grand évènement sportif a mis en vente ces billets environ deux ans avant le début officiel des épreuves. Une étude, portant sur la progression des ventes de ces billets, à partir du troisième jour de mise en vente, a permis de modéliser l'évolution des ventes des billets selon la fonction $f$ étudiée dans la partie A. La proportion des ventes effectuées par rapport à l'ensemble des billets) $x$ jours après le début de la mise en vente, est donnée par la valeur $f(x)$, arrondie au millième, pour tout $x$ entier de l'intervalle $[3~;~700]$. Ainsi la valeur approchée de $f(3)$, arrondie au millième, est $0,353$ ; cela signifie que trois jours après le début de la mise en vente des billets, 35,3\,\% des billets étaient déjà vendus. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant la partie A, déterminer le nombre de jours nécessaires à la vente de 50\,\% de l'ensemble des billets. \item On considère l'algorithme suivant (la fonction $f$ est celle qui est définie dans la partie A).\index{Algorithme} \vspace{0,3cm}\begin{tabular}{|l l} Initialisation :& Affecter à $X$ la valeur 3.\\ &Affecter à Y la valeur f(X).\\ ~&\\ Saisie :& Afficher \og Entrer un nombre $P$ compris entre 0 et 1 \fg.\\ & Lire $P$.\\ ~&\\ Traitement : & Tant que $Y < P$\\ &\hspace{0,75cm}- Affecter à $X$ la valeur $X + 1$.\\ &\hspace{0,75cm}- Affecter à $Y$ la valeur $f(X)$.\\ &Fin du Tant que\\ ~&\\ Sortie :& Afficher $X$.\\ \end{tabular} \medskip \begin{enumerate} \item Si l'utilisateur de cet algorithme choisit $0,9$ comme valeur de $P$, la valeur de sortie de l'algorithme est $249$. Que signifie ce résultat pour les organisateurs ? \item Si l'utilisateur de cet algorithme choisit $0,5$ comme valeur de $P$, quelle valeur de $X$ apparaîtra à la sortie de l'algorithme ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de chaque question et indiquer la réponse choisie. \medskip \emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Aucune justification n'est attendue.} \medskip On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : \[f(x) = x\text{e}^x.\]\index{Fonction exponentielle} \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Pour tout réel $x$ on a : \medskip\index{Dérivée} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} $f'(x) = \text{e}^x$ &\textbf{b.~~} $f'(x) = (x - 1)\text{e}^x$ &\textbf{c.~~} $f'(x) = (x + 1)\text{e}^x$ \end{tabularx} \medskip \item Le nombre de solutions réelles de l'équation $f(x) = 2x$ est \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} $0$& \textbf{b.~~} $1$& \textbf{c.~~} $2$ \end{tabularx} \medskip \item La valeur exacte de $f(- \ln 2)$ est \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~}$2\ln 2$&\textbf{b.~~} $- \dfrac{\ln 2}{2}$& \textbf{c.~~} $- 0,346$ \end{tabularx} \medskip \item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique d'une primitive de la fonction $f$.\index{Lectures graphiques} \index{Primitive} Laquelle ? \end{enumerate} \medskip \begin{tabular}{*{3}{c}} \psset{xunit=0.65cm,yunit=0.95cm} \begin{pspicture}(-4,-3)(2,4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5,gridwidth=0.75pt] \psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-4,-3)(2,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{0.62}{x 1 add 2.71828 x exp mul neg} \rput(-1,-3.5){\textbf{a.}}\uput[dr](0,0){O} \end{pspicture}& \psset{xunit=0.65cm,yunit=0.95cm} \begin{pspicture}(-4,-3)(2,4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5,gridwidth=0.75pt] \psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-4,-3)(2,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{1.716}{x 1 sub 2.71828 x exp mul} \rput(-1,-3.5){\textbf{b.}}\uput[dr](0,0){O} \end{pspicture}& \psset{xunit=0.65cm,yunit=0.95cm} \begin{pspicture}(-4,-3)(2,4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5,gridwidth=0.75pt] \psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-4,-3)(2,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{1.135}{x dup mul 2.71828 x exp mul} \rput(-1,-3.5){\textbf{c.}}\uput[dr](0,0){O} \end{pspicture} \end{tabular} %%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2012 \printindex \end{document}