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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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pdfsubject = {Terminale ES},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale ES}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small septembre  2016}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
{\Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES (spécialité) Antilles--Guyane~\decofourright\\[5pt] septembre 2016}}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{EXERCICE 1 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs  réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}\index{Q. C. M.}

\medskip

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f (x) = x\text{e}^x$ ; la fonction $f$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} concave sur $] - \infty~;~ 0]$ &\textbf{b.~~} convexe sur $]- \infty~;~0]$\\
\textbf{c.~~} concave sur $[0~;~ +\infty]$ &\textbf{d.~~} convexe sur $[0~;~+\infty[$
\end{tabularx}\index{fonction convexe}
\item On considère l'équation d'inconnue $x$ : 

\[(3x + 1)\text{e}^{5x} = 0.\]

Cette équation admet sur $\R$ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{a.~~} 0 solution &\textbf{b.~~} 1 solution &\textbf{c.~~} 2 solutions &\textbf{d.~~} plus de 3 solutions
\end{tabularx}
\item On a constaté que, sur 10 ans, le prix d'une certaine denrée a augmenté de 8\,\% par an.

On peut affirmer que, sur 10 ans, le prix de cette denrée a augmenté, à l'unité près, de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{a.~~}80\,\%&\textbf{b.~~} 116\,\% &\textbf{c.~~} 216\,\%&\textbf{d.~~}43\,\%
\end{tabularx}\index{taux}

\item ~

\parbox{0.6\linewidth}{La courbe $\mathcal{C}_g$ ci-contre représente une fonction $g$
définie et dérivable sur [0~;~3].

On note $g'$ sa fonction dérivée ; on a :\index{dérivée}

\textbf{a.~~} $g'(2) = - 1$

\textbf{b.~~} $g'(2) = - 5$

\textbf{c.~~} $g'(2) = \dfrac{4}{3}$

\textbf{d.~~} $g'(2) = 2$} \hfill 
\parbox{0.39\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.5,-0.5)(4,2.5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{ x  1.5 add x dup mul 0.5 mul  sub}
\uput[ul](0.75,1.9){$\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture}}

\item Soit la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = \text{e}^{3x+2}$.

Une primitive $H$ de $h$ peut être définie sur $\R$ par :\index{primitive}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~}$H(x) = 3\text{e}^{3x+2}$ &\textbf{b.~~} $H(x) = \frac{1}{3}\text{e}^{3x+2}$\\
\textbf{c.~~}$H(x) = (3x + 2)\text{e}^{3x+2}$ &\textbf{d.~~}$H(x) = \text{e}^{3x+2}$
\end{tabularx}
\item~

\parbox[t]{0.58\linewidth}{Pour la loi normale représentée ci-contre on a
$P(9 < X < 12) \approx 0,82$ (à $10^{-2}$ près).\index{loi normale}

Les paramètres de la loi $X$ sont :

\textbf{a.~~} $\mu = 10$ et $\sigma = 2$

\textbf{b.~~} $\mu = 11$ et $\sigma = 2$

\textbf{c.~~} $\mu = 10$ et $\sigma = 1$

\textbf{d.~~} $\mu = 11$ et $\sigma = 3$}\hfill \parbox[t]{0.38\linewidth}{
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm, yunit=5cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin{5.5}   \def\xmax{14.5}
\def\ymin {-0.2} \def\ymax {0.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psline(5.5,0)(14.5,0)
\multido{\n=6+1}{9}{\uput[d](\n,0){\footnotesize \n}}
\def\m{10}% moyenne 
\def\s{1}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}

\def\inf{9} \def\sup{12}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f}
%\uput{12pt}[d](\sup,0){\footnotesize \blue \sup}
%\uput{12pt}[d](\inf,0){\footnotesize \blue \inf}
\multido{\n=10+10}{15}
{
%\uput[d](\n,0){\footnotesize \n}
\psline(\n,0.0005)(\n,-0.0005)
}
\psline(\m,0.0007)(\m,-0.0007)
\end{pspicture*}
\end{center}}\hyperlink{Index}{*}

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans une salle de sport, trois activités sont proposées: Pilates (P), Step (S) et Zumba (Z).

D'une semaine sur l'autre les abonnés peuvent changer d'activité.

Au 1\up{er} septembre 2015, il y a 10\,\% des abonnés inscrits en Pilates, 85\,\% en Step et 5\,\% en Zumba.

D'après l'analyse des données des années précédentes, le gérant prévoit que, d'une semaine sur l'autre :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Si l'abonné était en Pilates, la semaine suivante il conserve Pilates dans 30\,\% des cas, sinon
il choisit Step dans 10\,\% des cas et Zumba dans 60\,\% des cas.
\item[$\bullet~~$] Si l'abonné était en Step, la semaine suivante il conserve Step dans 30\,\% des cas, sinon il choisit Pilates dans 50\,\% des cas et Zumba dans 20\,\% des cas.
\item[$\bullet~~$] Si l'abonné était en Zumba, la semaine suivante il conserve Zumba dans 20\,\% des cas, sinon il choisit Pilates dans 20\,\% des cas et Step dans 60\,\% des cas.
\end{itemize}

\medskip

On considère qu'il n'y a pas de nouveaux abonnés et pas de départ tout au long de l'année.
Soit $E_n = \begin{pmatrix}p_n& s_n& z_n\end{pmatrix}$, la matrice ligne décrivant l'état probabiliste de la répartition parmi les trois activités P, S et T, $n$ semaines après le 1\up{er} septembre 2015.\index{matrice}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, sans justification, la matrice $E_0$.
\item Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets P, S et Z.\index{graphe}
\item On donne $M$ la matrice carrée $3 \times 3$ de transition respectant l'ordre P, S et Z.

\[M = \begin{pmatrix}0,3&0,1&0,6\\
0,5 &0,3& 0,2\\
0,2 &0,6& 0,2\end{pmatrix}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Préciser la signification du coefficient $0,5$ dans la matrice $M$.
		\item Calculer $E_1$.
		\item Déterminez la répartition prévisible dans chaque activité au bout de trois semaines.
	\end{enumerate}
\item Peut-on affirmer, à $10^{-2}$ près, qu'au bout de 6 semaines environ 1/3 des abonnés se
répartissent dans chaque activité.
\item Au 1\up{er} septembre 2015 on compte 120 abonnés dans cette salle de sport. Combien peut-on prévoir d'abonnés dans chaque activité, 8 semaines après cette date ?
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Conjecturer la valeur exacte des coefficients de la matrice ligne $E$ correspondant à l'état probabiliste stable.\index{etat stable@état stable}
		\item Vérifier cette conjecture.
	\end{enumerate}\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur [ 0~;~ 1] par $f(x) = 2x$.

On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi de probabilité dont la fonction de densité est $f$.

Cette fonction de densité est représentée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.2)(1.5,2.2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(1.5,2.2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(1.5,2.2)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](1,2)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,1)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,2)
\pspolygon[fillstyle=hlines](0.5,0)(0.5,1)(1,2)(1,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur, en unité d'aire, de la surface hachurée ? Préciser la démarche utilisée.\index{aire et intégrale}
		\item Interpréter ce résultat en terme de probabilité.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité $P(0 \leqslant X \leqslant 0,75)$.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une association confectionne et porte, chaque jour, à domicile des repas à des personnes dépendantes.

En 2015, $600$ personnes étaient abonnées à ce service.

Pour étudier son développement, cette association a fait une enquête selon laquelle l'évolution peut être modélisée de la façon suivante :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Chaque année, 5\,\% des abonnements ne sont pas renouvelés .
\item[$\bullet~~$] Chaque année, on compte $80$ nouveaux abonnements à ce service.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour suivre l'évolution du nombre d'abonnés, un gestionnaire réalise l'algorithme suivant :\index{probabilités}

\begin{center}\index{algorithme}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables :} &$n$ et $U$ sont des nombres\\
\textbf{Traitement :}& Affecter à $U$ la valeur 600\\
			&Affecter à n la valeur 0\\
			&Tant que $U < 800$ faire\\
			&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
$U$ prend la valeur $U - U \times 0,05 + 80$\\
$n$ prend la valeur $n + 1$\\
\end{tabular}\\
			&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie  :} 	&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées à l'unité).
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l |X|X|m{2cm}|}\hline
valeur de $U$ &600 && \ldots\\ \hline
valeur de $n$ &0&&\ldots\\ \hline
test $U < 800$&vrai&&\ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Déterminer la valeur affichée en fin d'exécution de l'algorithme.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item Cette évolution peut s'étudier à l'aide d'une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ est le nombre d'abonnés pendant l'année $2015 + n$.
	
On a ainsi, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 0,95 u_n + 80$ et $u_0 = 600$.\index{suite}
	\begin{enumerate}
		\item Donner $u_1$ et $u_2$ (arrondir les valeurs à l'unité).
		\item On introduit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - \np{1600}$.
		
Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
		
Préciser la raison et le premier terme de cette suite.
		\item En déduire que l'on a, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = \np{1600} - \np{1000} \times 0,95^n$.
	\end{enumerate}
\item La taille des locaux ne permet pas de servir plus de \np{1000} repas.
	
Si cette évolution se poursuit au même rythme, l'association devra-t-elle envisager un jour
des travaux d'agrandissement ?
\end{enumerate}
\end{document}