%%%%%%% ATTENTION doit être compilé en pdflatex %%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[10pt]{article} % ou class "amsart" (avec \Small défini, ms 1ère page ss en-tête ni pied) \pagestyle{empty} % pas d'en-tête ni pied de page (par défaut pied de page avec n° de page) \usepackage[utf8]{inputenc} % Mac ; option [utf8] pour PC \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{geometry} % or \usepackage[a4paper]{geometry} \geometry{a4paper} % or \geometry{landscape} \usepackage{lmodern} \usepackage[french]{babel} \usepackage{textcomp} % symbole euro \usepackage[gen]{eurosym} % symbole euro ; option [official] possible, mais moins bien que [gen] \usepackage{pstricks,pst-all} \usepackage{graphicx} % inclusion de graphics (option [dvips] possible) \usepackage{mathrsfs} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} % or \usepackage{amssymb,latexsym} \usepackage{tdsfrmath} \usepackage{epstopdf} \DeclareGraphicsRule{.tif}{png}{.png}{`convert #1 `dirname #1`/`basename #1 .tif`.png} % \usepackage{picins} % insertion de figures dans le texte \usepackage[rflt]{floatflt} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage{ulem} % soulignement, texte barré, ... \usepackage{lastpage} %\usepackage[parfill]{parskip} % Activate to begin paragraphs with an empty line rather than an indent % \newcommand{\Small}{\footnotesize} % définition de la taille footnotesize (pour class "article") \newcommand{\ud}{\ensuremath{\mathrm{d}}} % définition de l'élément différentiel \newcommand{\tvec}{\ensuremath{\overrightarrow}} % définition du vecteur par deux points \newcommand{\x}{\ensuremath{\times}} % définition du signe de multiplication \newcommand{\ec}{\ensuremath{\mathrm{e}^}} % notation exponentielle complexe \newcommand{\ic}{\ensuremath{\mathrm{i}}} % racine de l'opposé de l'unité \SpecialCoor % % Mise en page perso A4 : % \setlength{\hoffset}{0 cm} % marge de gauche = 1 pouce (2.54cm) + \hoffset (=0 par défaut) \setlength{\voffset}{-1 cm} % marge haute = 1 pouce (2.54cm) + \voffset (=0 par défaut) \setlength{\oddsidemargin}{0 pt} \setlength{\evensidemargin}{0 pt} \setlength{\topmargin}{0 pt} \setlength{\headheight}{0.7 cm} \setlength{\headsep}{0.254 cm} \setlength{\marginparsep}{0 pt} \setlength{\marginparwidth}{0 pt} \setlength{\footskip}{0.6 cm} \setlength{\textwidth}{15.9 cm} \setlength{\textheight}{25.4 cm} % % \setlength{\parindent}{-0.3cm} % indentation % \begin{document} % {\large \textbf{Albert Einstein passe le bac}\\ \emph{Sa jeunesse}\\ \\ C'est près d'Ulm qu'Albert Einstein voit le jour le 14 mars 1879 dans une famille d'industriels (compagnie des eaux et du gaz, puis électricité près de Munich). À trois ans il ne parle pas encore et on craint qu'il soit arriéré. C'est un caractériel : colères noires et violence. Son caractère pacifiste prend rapidement le dessus. Sa scolarité reste imperméable à l'apprentissage par c\oe{}ur et il s'éprend vite des mathématiques attiré par la démonstration à travers la nécessité de démontrer : preuve et logique. Il a quinze ans lorsque sa famille doit s'installer en Italie suite à la faillite de l'entreprise familiale. Albert ne peut quitter le territoire allemand avant d'avoir effectuer son service national. Commence alors le «~cauchemar du lycée~» où il est interne et déprime. Son professeur de mathématiques atteste de son bon niveau, ce qui lui permet de quitter l'Allemagne. Il échoue au concours à l'École Polytechnique de Zürich. Les enseignants, impressionnés par ses capacités, lui propose de suivre les cours en auditeur libre. Il passe son baccalauréat et intègre ensuite l'école sur titre. \emph{Le baccalauréat} \bigskip Aux deux épreuves de mathématiques, il obtient 6, la note maximale. Physique : 5 - 6 ; Chimie, sciences naturelles : 5.5 ; Allemand : 5 ; Français : 3 - 4 \medskip \emph{Épreuve de géométrie} \medskip Durée : 4 heures \medskip (pour Albert Einstein l'épreuve s'est déroulée le 19 septembre 1896, de 7~h à 11~h) \medskip \emph{Rappelons qu'à cette époque, faute de calculatrice électronique, les candidats ne disposaient que d'une table de logarithme pour effectuer les calculs demandés.}\\ \medskip \textbf{Premier exercice} : \medskip Un triangle inscrit dans un cercle de rayon $r=10$, a ses hauteurs proportionnelles à 2, 3 et 4. Calculer les angles et un côté. \bigskip \textbf{Second exercice} : \medskip On donne un cercle de rayon $r$ dont le centre se trouve à l'origine $O$ d'un repère orthonormal. On considère les cordes de ce cercle perpendiculaires à l'axe des $x$. Les cercles ayant ces cordes comme diamètres, sont tangents à l'ellipse de demi-axe $r\sqrt{2}$ et $r$ aussi longtemps que la distance $p$ de leur centre à $O$ ne dépasse pas une certaine valeur maximale. Démontrer cette proposition et déterminer la valeur maximale de $p$. \medskip \emph{Épreuve d'algèbre} \medskip Durée : 2 heures (pour Albert Einstein l'épreuve s'est déroulée le 21 septembre 1896, de 9~h 30 à 11~h 30) \medskip \textbf{Exercice} : \medskip Dans un triangle on connaît les distances $l$, $m$, $n$ du centre du cercle inscrit aux sommets ; déterminer le rayon $\rho$ du cercle inscrit lorsque $l=1$, $m=\dfrac{1}{2}$, $n=\dfrac{1}{3}$. } \newpage \emph{Solutions d'Albert Einstein} : \medskip \textbf{Premier exercice de géométrie} : \medskip \emph{Rappel de l'énoncé :} \medskip Un triangle inscrit dans un cercle de rayon $r=10$, a ses hauteurs proportionnelles à 2, 3 et 4. Calculer les angles et un côté. \medskip \emph{Solution d'Albert Einstein} : \medskip Comme les côtés d'un triangle sont inversement proportionnels aux hauteurs relatives, on a : \[a=\dfrac{1}{h_{a}}k=\dfrac{1}{2}k~;~b=\dfrac{1}{h_{b}}k=\dfrac{1}{3}k~:~c=\dfrac{1}{h_{c}}k=\dfrac{1}{4}k.\] Comme la détermination des angles ne dépend que du rapport des côtés, nous pouvons tirer la résolution la plus pratique de la similitude avec les $\Delta$ de côtés 6, 4 et 3. $$\cos\alpha=\dfrac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}=\dfrac{-36+16+9}{24}\qquad \cos\alpha=-\dfrac{11}{24}\qquad \sin(\alpha-90^{\text{o}})=0,4583$$ $\log\sin(\alpha-90^{\text{o}})=9,66115-10$ \qquad $\alpha-90^{\text{o}}=27^{\text{o}}~16'~22''$ {\Small \itshape (Note : Einstein n'a pas mis la valeur de $\alpha$ ; le correcteur a ajouté «~$\alpha=117^{\text{o}}~16'~22''$~»)} $$\cos\beta=\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2ac}=\dfrac{29}{36}=0,8055\qquad \log\cos\beta=9,9061-10\qquad\beta=36^{\text{o}}~20'$$ $$\cos\gamma=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\dfrac{43}{48}\qquad \log\cos\gamma=9,95226-10\qquad\gamma=26^{\text{o}}~23'$$ Calcul du côté $a$\\ Comme $\alpha$ est obtus, on a : $a=2rsin(180^{\text{o}}-\alpha)$\\ $\log{}a=\log\sin(64^{\text{o}}~43'~38'')$\\ $\phantom{\log{}a}=1,30103+9,94884-10=1,24987$ {\Small \itshape (Note : le correcteur a marqué «~Erreur dans la transcription, résultat exact. Il fallait en effet écrire 62\textsuperscript{o} 43' 38''~»)} $a=17,77$\\[1.27cm] \vspace{0,5cm} \textbf{Second exercice de géométrie} : \medskip \emph{Rappel de l'énoncé :} \medskip On donne un cercle de rayon $r$ dont le centre se trouve à l'origine $O$ d'un repère orthonormal. On considère les cordes de ce cercle perpendiculaires à l'axe des $x$. Les cercles ayant ces cordes comme diamètres, sont tangents à l'ellipse de demi-axe $r\sqrt{2}$ et $r$ aussi longtemps que la distance $p$ de leur centre à $O$ ne dépasse pas une certaine valeur maximale. Démontrer cette proposition et déterminer la valeur maximale de $p$. \medskip \emph{Solution d'Albert Einstein} : \medskip Si nous désignons la distance du centre d'un tel cercle à l'origine par $p$, alors son rayon $=\sqrt{r^2-p^2}$. Son équation est : \[\begin{array}{c} (x-p)^2+y^2=r^2-p^2\\ x^2-2px+p^2+y^2=r^2-p^2\\ x^2-2px+y^2=r^2-2p^2\end{array}\] Nous cherchons alors l'équation de l'enveloppe, c'est-à-dire l'intersection de deux tels cercles dont les $p$ diffèrent d'une valeur infiniment petite. Pour le point d'intersection, l'accroissement de $x$ et $y$ qui découle de l'accroissement infiniment petit $\ud(p)$ doit entraîner une équation identique à 0. Donc : $$\begin{array}{rrcl} & x^2-2px+p^2+y^2-r^2+p^2 & = & 0\\ & x^2-2px+p^2+y^2-r^2+p^2+(-2x+4p)\ud{}p & = & 0\\ \cline{2-4} \text{en soustrayant :} & 4p-2x & = & 0 \end{array}$$ Et en remplaçant dans la première équation : \[\begin{array}{r} x^2-2px+p^2+y^2-r^2+p^2=0\\ x^2-2px+p^2+y^2-r^2+\dfrac{1}{2}x^2=0\\ \dfrac{1}{2}x^2+y^2=r^2 \end{array}\] Pour $x=0$, $y=\pm{}r$ et pour $y=0$, $x=\pm{}r\sqrt{2}$. Nous devons maintenant encore examiner la condition pour laquelle un cercle du système est tangent à l'ellipse $\dfrac{1}{2}x^2+y^2=r^2$\\ \\ \begin{pspicture}(0,0)(15.9,0) \psframe[linewidth=0,linecolor=white,fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt,hatchsep=20pt,hatchangle=60,hatchcolor=black](0,-2.34)(15.9,0.3) \end{pspicture}\\ \begin{minipage}{15.9cm} Comme dans les deux figures (cercle du système et ellipse) la plus grande valeur de $x$ correspond à l'ordonnée 0 et que le centre de tous les cercles se trouve à l'intérieur de l'ellipse nous n'avons besoin que de vérifier si, pour $y=0$, l'un des deux points du cercle est situé en dehors de l'ellipse. Comme la totalité de la figure à vérifier est symétrique par rapport à l'axe des $y$, nous n'avons à considérer que l'un des côtés (positif). \end{minipage}\\[1.27cm] % Il faut comparer directement les deux équations du cercle et de l'ellipse, et identifier les $x$ et les $y$ des deux équations\\ Ellipse $\dfrac{1}{2}x^2+y^2=r^2$\\ Cercle $x^2-2px+y^2-r^2+2p^2=0$\\ \noindent \begin{pspicture}(0,0)(15.9,0) \psframe[linewidth=0,linecolor=white,fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt,hatchsep=20pt,hatchangle=60,hatchcolor=black](0,-2.84)(15.9,0.3) \end{pspicture}\\ \begin{minipage}{15.9cm} En éliminant $y$ :\\ $$\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{2}x^2-2px+r^2-\dfrac{1}{2}x^2-r^2+2p^2 & = & 0\\ x^2-4px+4p^2 & = & -4p^2+4p^2 \end{array}$$ L'expression $\sqrt{-4p^2+4p^2}$ \end{minipage}\\ \\ $$x=2p$$ {\Small \itshape (Note : on ne connaît pas les raisons pour lesquelles ce qui précède est barré, bien que la dernière relation soit utilisée dans la suite ; l'examinateur a simplement commenté par le mot «~exact~».)}\\ remplacé dans I $$\begin{array}{c} 2p^2+y^2=r^2\\ y=\pm\sqrt{r^2-2p^2} \end{array}$$ Pour que la racine soit réelle, il faut $r^2<2p^2$\\ {\Small \itshape (Note : l'inégalité est fausse sans que le correcteur ne le signale, mais les inégalités suivantes sont correctes.)}\\ $$p\sqrt{2}