\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Terminale S} \lfoot{\small{Concours entrée école de santé\\ Lyon--Bordeaux}} \rfoot{\small{13 avril 2018}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large {\textbf{\decofourleft~Entrée École de santé Bron 13 avril 2018~\decofourright}}} \medskip Durée: 1 heure 30 minutes \qquad Coefficient: 3 \end{center} \vspace{0,25cm} Avertissement : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] L'utilisation de calculatrice, règle de calcul, formulaire, papier millimétré, téléphone portable n'est pas autorisée. \item[$\bullet~~$] Les candidats traiteront les trois exercices. \item[$\bullet~~$] Les réponses des exercices \no 1 et \no 2 seront données sur une grille prévue à cet effet. \item[$\bullet~~$] L'exercice \no 3 sera traité sur une copie à part. \item[$\bullet~~$] Il ne sera pas fait usage d'encre rouge. \item[$\bullet~~$] La qualité de la présentation des copies et de l'orthographe sera prise en compte clans l'évaluation, \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \bigskip \textbf{EXERCICE 1 : \hfill 6 points} \medskip \emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations} \rm{A}, \rm{B}, \rm{C} \emph{ou} \rm{D} \emph{est exacte.\\ On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte en cochant la case sur la grille prévue à cet effet.\\ Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point.\\ Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.} \medskip \textbf{QCM 1} \medskip La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^x + \text{e}^{-x}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X} \textbf{A.~~} croissante sur $]- \infty~;~0[$ et décroissante sur $[0~;~+ \infty[$,\\ \textbf{B.~~} croissante sur $\R$,\\ \textbf{C.~~} décroissante sur $]-\infty~;~0[$ et croissante sur $[0~;~+\infty[$, \\ \textbf{D.~~} décroissante sur $]-\infty~;~-2[$ et croissante sur $[-2~;~+ \infty[$. \end{tabularx} \medskip \textbf{QCM 2} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 5\text{e}^{0,2x^2 + 0,5x}$. La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $0$ : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X} \textbf{A.~~} a pour équation $y = 2,5x + 5$ &\textbf{B.~~} a pour équation $y = 5x$\\ \textbf{C.~~} a pour équation $y = 5x + 10$ &\textbf{D.~~} est parallèle à l'axe des abscisses. \end{tabularx} \medskip \textbf{QCM 3} \medskip Les solutions de l'inéquation $\ln (- x + 5) < \ln (x + 1)$ sont: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} \textbf{A.~~} $]2~;~+ \infty[$& \textbf{B.~~} $]- \infty~;~5$ [ &\textbf{C.~~} $]- 1~;~5[$& \textbf{D.~~}]2~;~5[ \end{tabularx} \medskip \textbf{QCM 4} \medskip $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2 - 1}$ est égale à \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} \textbf{A.~~} $+\infty$ &\textbf{B.~~} 1 &\textbf{C.~~} 0& \textbf{D.~~} 2 \end{tabularx} \medskip \textbf{QCM 5} \medskip On choisit un réel au hasard entre 0 et 5 et l'on note $Y$ la variable aléatoire égale au réel choisi. Alors : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} \textbf{A.~~} $P(Y =2,5) = 0,5$ &\textbf{B.~~} $P(Y \leqslant 2) = 0,5$ &\textbf{C.~~} $P_{Y\geqslant 2}(Y \leqslant 3) = \dfrac{1}{3}$&\textbf{D.~~} $P_{Y\geqslant 2}(Y \leqslant 3) = \dfrac{1}{5}$ \end{tabularx} \medskip \textbf{QCM 6} \medskip Pour tout nombre réel $x$ non nul, $2 - \dfrac{\text{e}^{-x} - 2}{\text{e}^{-x} - 1}$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} \textbf{A.~~} $\dfrac{3\text{e}^{-x} - 4}{\text{e}^{-x} - 1}$& \textbf{B.~~} $\dfrac{1}{1 - \text{e}^{x}}$& \textbf{C.~~} $\dfrac{\text{e}^{-x} - 4}{\text{e}^{-x} - 1}$& \textbf{D.~~} $\dfrac{3\text{e}^{-x}}{\text{e}^{-x} - 1}$ \end{tabularx} \medskip \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 2 \hfill 6 points} \medskip \emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations \emph{A}, \emph{B}, \emph{C} ou \emph{D} est exacte. On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte en \textbf{cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.\\ Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.} \medskip \textbf{QCM 7} \medskip Dans un laboratoire, il ya $50$ tubes avec du sang contaminé et $75$ tubes avec du sang non contaminé. Un préparateur tire un tube au hasard, regarde si le sang contenu est contaminé et il replace le tube. Il recommence 5 fois l'expérience. On note $X$ le nombre de tubes avec du sang contaminé (sur les 5 tirés). \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X} \textbf{A.~~} $P(X = 5) = \left(\dfrac{3}{5}\right)^5$ &\textbf{B.~~} $E(X) = \dfrac{2}{5}$\\ \textbf{C.~~} $P(X = 0) = \left(\dfrac{3}{5}\right)^5$ &\textbf{D.~~} $P(X = 0) > P(X = 2)$ \end{tabularx} \newpage \textbf{QCM 8} \medskip Le domaine de définition de la fonction $f$ définie par $f(x) = \ln \left(\text{e}^{-x} - 2\right)$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} \textbf{A.~~}$]0~;~+\infty[$ &\textbf{B.~~} $]\ln (2)~;~+\infty[$ &\textbf{C.~~} $]-\infty~;~-\ln(2)[$ &\textbf{D.~~}]0~;~2[ \end{tabularx} \medskip \textbf{QCM 9} \medskip Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = (3 - 2x)\text{e}^{-x}$. Une primitive de la fonction $g$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} \textbf{A.~~} $G(x)= \left(3x - x^2\right)\text{e}^{-x}$ & \textbf{B.~~} $G(x)= \left(- 3x + x^2\right)\text{e}^{-x}$\\ \textbf{C.~~} $G(x) = (2x - 1)\text{e}^{-x}$& \textbf{D.~~} $G(x) = (5 - 2x)\text{e}^{-x}$ \end{tabularx} \medskip \textbf{QCM 10} \medskip L'ensemble des solutions de l'inéquation $(3 - x)\ln (x) \geqslant 0$ est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} \textbf{A.~~}[1~;~3] &\textbf{B.~~}]0~;~3] &\textbf{C.~~}$]-\infty~;~3]$ &\textbf{D.~~}$[1~;~+ \infty[$ \end{tabularx} \medskip \textbf{QCM 11} \medskip L'intégrale $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}\:\text{d}x$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} \textbf{A.~~} 1&\textbf{B.~~}$\dfrac{1}{2}$&\textbf{C.~~}$\dfrac{\text{e}}{2\left (1 + \text{e}\right )}$&\textbf{D.~~}$\ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2} \right)$ \end{tabularx} \medskip \textbf{QCM 12} \medskip Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left(30,~\sigma^2\right)$ avec $P(X > 35) = 0,4$ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X} \textbf{A.~~} $P(X < 30) = 0,4$&\textbf{B.~~}$P(30 < X < 35) = 0,1$\\ \textbf{C.~~} $P(25 < X < 35) = 0,3$&\textbf{D.~~}$P(X > 40) = 0,5$. \end{tabularx} \medskip \textbf{EXERCICE 3 \hfill 8 points} \medskip On veut dépister une maladie $m$ dont la fréquence (ou prévalence) dans la population P est notée $p$ avec $0 < p < 1$. On met en place un test diagnostique qui est indépendant de la valeur de $p$. On prélève au hasard dans la population P un individu ayant été soumis au test diagnostique. On définit les évènements suivants: $T$ : \og le test est positif\fg{} et $M$ : \og l'individu est malade \fg. Pour ce test diagnostique, le fabricant a indiqué: \setlength\parindent{10mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] la probabilité $P_M(T)$ qu'un individu ait un test positif sachant qu'il est malade, est appelée sensibilité du test et est notée $S_e$. \item[$\bullet~~$] La probabilité $P_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right)$ qu'un individu ait un test négatif sachant qu'il n'est pas malade, est appelée spécificité du test et est notée $S_p$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Illustrer la situation par un arbre pondéré en complétant toutes les branches à l'aide de $p$, $S_e$, $S_p$. \item \begin{enumerate} \item Exprimer $P(M \cap T)$, $P\left(M \cap \overline{T}\right)$, $P\left(\overline{M} \cap T\right)$, $P\left(\overline{M} \cap \overline{T}\right)$ à l'aide de $p$, $S_e$ et $S_p$. \item Montrer que la probabilité que le test délivre une juste conclusion est: $p\left(S_e - S_p\right) + S_p$ \end{enumerate} \item On appelle : \setlength\parindent{10mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]Valeur prédictive positive du test (VPP), la probabilité $P_T(M)$ d'être malade, sachant que le test est positif. \item[$\bullet~~$]Valeur prédictive négative du test (VPN), la probabilité $P_{\overline{T}}\left(\overline{M}\right)$ d'être non malade, sachant que le test est négatif. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Calculer $P(T)$ à l'aide de $p$, $S_e$ et $S_p$ \item Exprimer VPP et VPN en fonction de $p$, $S_e$ et $S_p$. \item Le test est considéré comme intéressant si VPP$ > p$. Montrer alors que : $S_e + S_p > 1$. \end{enumerate} \item La prévalence $p$ du paludisme est de 90\,\% en Tanzanie et de 0,001 en France. Le test biologique utilisé a pour sensibilité $S_e = 0,9$ et pour spécificité $S_p = 0,8$. Cela est valable pour toute la question 4. \begin{enumerate} \item Calculer la VPP en Tanzanie arrondie à $10^{-2}$ près. On admet que VPP$_{\text{France}} = 0$; VPN$_{\text{Tanzanie}} = 0,47$; VPN$_{\text{France}} = 1$. \item En déduire ce que l'on peut dire en terme de probabilité à un patient de Tanzanie et à un patient français selon que le test est positif ou négatif. \item On considère la fonction $v$ définie par $v(p) = P_T(M)$. \begin{enumerate} \item Donner l'expression de $v(p)$ en fonction de $p$. \item Donner le sens de variation de la fonction $v$. \item Lorsque $p$ est supérieur à $0,8$, en quoi la positivité du test est-elle un élément important du diagnostic ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}