\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{accents} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{lscape} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{braket} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %\newcommand{\P}{\mathbb{P}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Roman{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\arabic{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\alph{enumiii}}} \renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{$k$}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\,\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {CAPES 2021}, pdftitle = {Épreuve 1 30 mars 2021 }, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Épreuve 1} \lfoot{\small{CAPES externe 30 mars 2021 }} \rfoot{\small{}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt]30 mars 2021 Épreuve 1}} \end{center} \vspace{0,5cm} {\large \textbf{Notations.} \medskip $\N$ désigne l'ensemble des entiers naturels, $\N^*$ l'ensemble des entiers naturels non nuls et $\R$ l'ensemble des nombres réels. Pour $i$ et $j$ deux entiers naturels tels que $i \leqslant j,\, \llbracket i~;~j\rrbracket$ désigne l'ensemble des entiers $k$ tels que $i \leqslant k \leqslant j$. \bigskip \begin{center}\textbf{\Large Partie A : étude des nombres harmoniques}\end{center} Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1, on définit le $n$-ième nombre harmonique par \[H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à 2, \[\displaystyle\int_k^{k+1} \dfrac{1}{x}\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{k} \leqslant \displaystyle\int_{k-1}^{k} \dfrac{1}{x}\:\text{d}x.\] \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, \[\ln(n + 1) \leqslant H_n \leqslant 1 + \ln (n).\] \item À l'aide de la relation précédente: \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(H_n\right)_{n \geqslant 1}$ diverge vers $+\infty$. \item Démontrer que \[H_n \, \underset{+\infty}{\Huge \sim} \ln (n).\] \end{enumerate} \item On considère désormais les suites $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ et $\left(v_n\right)_{n \geqslant 1}$ définies par \[u_n = H_n - \ln (n),\qquad v_n = H_n - \ln (n +1).\] \begin{enumerate} \item Démontrer que ces deux suites sont adjacentes. \item En déduire que ces deux suites convergent vers une même limite positive. Cette limite est notée $\gamma$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, \[0 \leqslant H_n - \ln (n) - \gamma \leqslant \ln \left(1 + \dfrac{1}{n} \right).\] \item Écrire en langage Python une fonction prenant comme argument un nombre réel $\epsilon$ strictement positif et renvoyant une valeur approchée de $\gamma$ à $\epsilon$ près. On suppose que l'on dispose de la fonction \texttt{math.log()} pour le logarithme népérien. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip %%%%%%%%% 2 \begin{center}\textbf{\Large Partie B : le problème de Bâle}\end{center} \medskip Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1, on définit la suite $\left(B_n\right)_{n \geqslant 1}$ par \[B_n= \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}.\] Le problème de Bâle consiste en la détermination de la limite de la suite $\left(B_n\right)_{n \geqslant 1}$. Ce problème a été résolu en 1741, par Léonhard Euler, qui a démontré que \[\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi^2}{6}.\] \begin{enumerate}[resume] \item Démontrer que pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à 2, \[\dfrac{1}{k^2} \leqslant \dfrac{1}{k - 1} - \dfrac{1}{k}.\] \item Utiliser l'inégalité précédente pour démontrer que la suite $\left(B_n\right)_{n \geqslant 1}$ est convergente. On explicitera le théorème de convergence utilisé. \item Pour tout entier naturel $n$ non nul et tout réel $t \in [0~;~\pi]$, on pose \[D_n(t) = 1 + 2 \displaystyle\sum_{k=1}^n \cos(kt).\] \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul et tout réel $t \in [0~;~\pi]$, \[\displaystyle\sum_{k=-n}^n \e^{\text{i}kt} = D_n(t).\] \item En déduire que, si $t \in ]0~;~\pi]$, \[D_n(t) = \dfrac{\sin \left(\frac{2n + 1}{2}t \right)}{\sin \left(\dfrac{t}{2} \right)}.\] \item Calculer la valeur de $D_n(0)$. \end{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par \[f : \, t \longmapsto \left\{\begin{array}{l c l} \dfrac{t}{\sin (t)}\, &\text{si}\,&t > 0 \\ 1 &\text{si}\,&t= 0. \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que $f$ est continue sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$. \item Démontrer que $f$ est dérivable en $0$. \item Démontrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$. \end{enumerate} %%%%%%%%%% 3 \item \begin{enumerate} \item Démontrer, à l'aide d'une double intégration par parties, que pour tout entier naturel $k$ non nul, \[\displaystyle\int_0^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t \right)\cos (kt)\:\text{d}t = \dfrac{1}{k^2}.\] \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[B_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t \right)\dfrac{D_n(t) - 1}{2}\:\text{d}t.\] \item Déterminer la valeur de \[\displaystyle\int_0^{\pi} \left(t - \dfrac{t^2}{2\pi} \right)\:\text{d}t.\] \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[\dfrac{\pi^2}{6} - B_n = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{\pi} \left(t - \dfrac{t^2}{2\pi} \right)D_n(t) \:\text{d}t.\] \item En déduire que, pour tout entier naturel non nul, \[\dfrac{\pi^2}{6} - B_n = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(t) \sin [(2n + 1)t]\:\text{d}t.\] \end{enumerate} \item Déterminer une fonction $g$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$telle que \[\dfrac{\pi^2}{6} - B_n = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(t) \sin [(2n + 1)t]\:\text{d}t.\] \item Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que \[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(t) \sin[(2n + 1)t] \:\text{d}t = 0.\] \item En déduire la limite de la suite $\left(B_n\right)_{n\geqslant 1}$. \begin{center}\textbf{\Large Partie C : les lois géométriques}\end{center} \medskip \item Démontrer que, pour tout $x \in ]-1~;~1[$,la série de terme général $x^k$ converge et que \[\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \dfrac{1}{1 - x}.\] \item Justifier, pour tout $x \in ]-1~;~1[$, les égalités suivantes: \[\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} kx^{k-1} = \dfrac{1}{(1 - x)^2}, \qquad \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} k(k - 1)x^{k-2} = \dfrac{2}{(1 - x)^3}.\] On citera précisément les théorèmes utilisés. %%%%%%% 4 \item Soit $p$ un réel appartenant à l'intervalle ]0~;~1[. Démontrer qu'on définit une loi de probabilité sur l'univers $\N^*$ en posant, pour tout $k \in \N^*$, \[p_k = p(1- p)^{k-1}.\] On rappelle qu'une variable aléatoire définie sur un univers $\Omega$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ si $X(\Omega) = \N^*$ et, pour tout entier $k \geqslant 1$, \[ P(X= k)= p_k.\] On note alors $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$. \item Soit $X$ une variable aléatoire telle que $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$. Démontrer que $X$ admet une espérance, notée $\mathbb{E}(X)$, et une variance, notée $\mathbb{V}(X)$, vérifiant: \[\mathbb{E}(X) = \dfrac{1}{p}, \qquad \mathbb{V}(X) = \dfrac{1 - p}{p^2}.\] \item Soient $X_1, \ldots ,X_n$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que, pour tout $i \in [1~;~n]$,\, $X_i \hookrightarrow \mathcal{G}(p_i)$, où $p_i \in ]0~;~1[$. \begin{enumerate} \item Donner l'espérance de la variable aléatoire $\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i = 1$ en fonction des $p_i$. \item Démontrer que, pour tout entier $n\geqslant 1$, \[\mathbb{V}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i\right) = \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{p_i^2} - \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{p_i}.\] \end{enumerate} \begin{center}\textbf{\Large Partie D : inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev}\end{center} \medskip \item Inégalité de Mar$k$ov Soit $Y$ une variable aléatoire positive définie sur un univers $\Omega$, possédant une espérance notée $\mathbb{E}(Y)$. Démontrer que, pour tout nombre réel $a$ strictement positif, \[P(Y \geqslant a) \leqslant \dfrac{\mathbb{E}(Y)}{a}.\] On pourra décomposer $Y(\Omega)$ sous la forme $Y(\Omega) = Y_1 \cup Y_2$, avec \[Y_1= \{y \in Y(\Omega), \, y \geqslant a\},\qquad Y_2= \{y \in Y(\Omega), \, y < a\}.\] \item Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un univers $\Omega$ possédant une espérance notée $\mathbb{E}(X)$et une variance notée $\mathbb{V}(X)$. Démontrer que, pour tout nombre réel $a$ strictement positif, \[P(|X - \mathbb{E}(X)|) \leqslant \dfrac{\mathbb{V}(X)}{a^2}.\] %%%%%%%%%%%% 5 \begin{center}\textbf{\Large Partie E : le problème du collectionneur}\end{center} \medskip Dans cette partie, $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3. \medskip Un fabricant de tablettes de chocolat propose à ses acheteurs de collectionner des vignettes. Chaque tablette contient une vignette qui représente un animal que l'on découvre à l'ouverture de la tablette. Le nombre d'animaux différents représentés sur les vignettes est égal à $n$ et on suppose que ces animaux sont répartis de façon équiprobable entre les tablettes. \medskip Un collectionneur achète des tablettes jusqu'à obtenir l'ensemble de la collection, c'est-à-dire pour chacun des $n$ animaux au moins une vignette le représentant. Soit $k \in [1~;~n]$. On note $T_k$ la variable aléatoire égale au nombre d'achats effectués par le collectionneur au moment où sa collection comporte pour la première fois $k$ animaux différents, éventuellement avec des doublons. On note $Z_k$ le nombre d'achats effectués par le collectionneur entre le moment où sa collection comporte pour la première fois $k - 1$ animaux différents et le moment où sa collection comporte pour la première fois $k$ animaux différents. \item En utilisant les notations précédentes, désigner la variable aléatoire qui modélise le nombre d'achats nécessaires pour obtenir l'ensemble de la collection. \item Déterminer la loi de $T_1$. \item \begin{enumerate} \item On suppose que $q$ est un entier supérieur ou égal à 2. Calculer la probabilité qu'un collectionneur obtienne toujours le même animal au cours de ses $q$ premiers achats. \item En déduire, pour tout $q \geqslant 1$, \[\mathbb{P}\left(T_2 > q \right) = \dfrac{1}{n^{q-1}}.\] \item En déduire la loi de $T_2$. \item On suppose que la collection contient $100$ animaux. Calculer le nombre minimal d'achats que le collectionneur doit effectuer pour que la probabilité d'obtenir deux animaux différents soit supérieure ou égale à $0,99$. \item Pour tout entier $k \in \llbracket 1~;~n\rrbracket$, justifier que \[Z_k = \left\{\begin{array}{l c l} T_1 &\text{si}&k= 1,\\ T_k - T_{k-1} &\text{si}&k \geqslant 2. \end{array}\right.\] \item En déduire, pour $k \geqslant 2$,une expression de $T_k$ en fonction des $Z_i$. \item Démontrer que $Z_k$ suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre. En déduire l'espérance et la variance de $Z_k$. \item En déduire que \[\mathbb{E}\left(T_n\right) = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{n}{k} = nH_n.\] \item Donner un équivalent de $\mathbb{E}\left(T_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} %%%%%%%%%% 6 \item On admet que les variables aléatoires $Z_k$,\, $1 \leqslant k \leqslant n$, sont mutuellement indépendantes. \begin{enumerate} \item Exprimer $\mathbb{V}\left(T_n\right)$ en fonction de $n,\, B_n$ et $H_n$. \item En déduire que $\mathbb{V}\left(T_n\right) \leqslant \dfrac{n^2\pi^2}{6}$. \end{enumerate} \item Démontrer que, pour tout nombre réel $\lambda > 0$, \[\mathbb{P}\left[\left|T_n - \mathbb{E}\left(T_n\right)\right| \geqslant \lambda n \ln n\right] \leqslant \dfrac{\pi^2}{6\lambda^2(\ln n)^2}.\] \item Déterminer un entier $n_0$ tel que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $n_0$, \[\mathbb{P}\left(T_n \geqslant nH_n + n \ln n\right) \leqslant 0,01.\] \end{enumerate} \end{document}