\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES} \lfoot{\small{Centres étrangers 1}} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft ~ Baccalauréat ES Centres étrangers I juin 2002 \decofourright}}\end{center} \begin{center}\textbf{Calculatrice autorisée}\end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les détails des calculs effectués à la calculatrice ne sont pas demandés.\\ Sauf indication contraire, les valeurs obtenues seront données sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$ près}. \medskip Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la population d'une petite ville proche d'une métropole en pleine expansion. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l | *{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1965 &1970 &1975 &1980 &1985 &1990 &1995&2000\\ \hline Rang de l'année $(x_i)$&0& 5 &10 &15 &20 &25 &30 &35\\ \hline Population $(y_i)$ &\np{5400} &\np{5600} &\np{7000} &\np{8000} &\np{8750} &\np{11200}&\np{13900}& \np{15000}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Le plan est rapporté à un repère orthogonal : $\bullet~$ Sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 2~cm pour 5 années ; $\bullet~$ Sur l'axe des ordonnées, on placera \np{5000} à l'origine et on choisira 1~cm pour \np{1000} habitants. \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_i\right)$. \item Déterminer les coordonnées du point moyen G de la série statistique $\left(xi~;~y_i\right)$ et placer ce point sur le graphique. \item Déterminer l'équation de la droite $\mathcal{D}$ d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Tracer $\mathcal{D}$ sur le graphique précédent. \item En supposant que ce modèle reste pertinent jusqu'en 2020, quelle serait la population de cette ville, à une unité près, en 2020 ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l |*{8}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline Rang de l'année $(x_i)$ &0 &5 &10 &15 &20 &25 &30 &35\\ \hline $z_i = \ln (y_i)$ & & & & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $\left(x_i~;~z_i\right)$. \item Déterminer l'équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. \item En supposant que ce second modèle reste pertinent jusqu'en 2020, donner une nouvelle prévision, à une unité près, de la population de cette ville en 2020. \end{enumerate} \item Les crédits alloués par l'État aux municipalités étant proportionnels au nombre d'habitants, quel modèle permet la prévision la plus favorable aux finances de la ville en 2020 ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.} \vspace{0,5cm} Un jeu consiste à lancer de la main gauche, une balle dans un seau. Parmi l'ensemble des joueurs, $\dfrac{5}{6}$ sont droitiers et $\dfrac{1}{6}$ sont gauchers. Pour un joueur droitier, la probabilité de mettre la balle dans le seau est $\dfrac{1}{4}$. Pour un joueur gaucher, cette probabilité est $\dfrac{1}{2}$. \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un individu dans cette population. On note : G l'évènement \og l'individu choisi est gaucher \fg{}, S l'évènement \og l'individu met la balle dans le seau \fg{}. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité de l'évènement G ~$\cap$~ S. \item Calculer la probabilité de l'évènement S. \item Calculer la probabilité que la personne choisie soit droitière, sachant qu'elle a mis la balle dans le seau. \end{enumerate} \item Dans cette question on a sélectionné Paul qui est un joueur droitier. Il lance deux balles l'une après l'autre ; on suppose les deux lancers indépendants. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de balles dans le seau après les deux lancers. \begin{enumerate} \item Déterminer les valeurs prises par $X$ \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique E($X$). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère une suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par : \[ \left\{ \begin{array}{r c r} u_0 & = & 6\\ u_{n+1} & = & \dfrac{1}{3}u_n + 2 \end{array}\right.\] On pose $v_n = u_n - 3$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme $v_0$ et la raison. \item Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$. \item Déduire, en utilisant la question précédente, ~$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n$. \end{enumerate} \item On constate que, pour tout $n$ appartenant à $\N,~v_n$ est strictement positif et on pose $w_n = \ln v_n$. Démontrer que ($w_n$) est une suite arithmétique dont on déterminera le premier terme et la raison. \item \begin{enumerate} \item Exprimer $w_n$ en fonction de $n$. \item Pour quelle valeur de $n$ a-t-on : $w_n = - \ln \left( 27^3\right) - \ln 9$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[ f(x) = (ax + b) \text{e}^{cx},~ \text{où}~ a,~ b~ \text{et}~ c ~\text{sont des nombres réels.}\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $a,~ b$ et $c$ pour que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A $\left(- \dfrac{1}{2}~;~0\right)$, par le point B(0 ; 1) et qu'elle admette en B une tangente ayant un coefficient directeur égal au nombre 1. \item On supposera désormais que $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = (2x+ 1)\text{e}^{-x}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $-~\infty$ et en $+~\infty$. En déduire l'existence d'une asymptote pour $\mathcal{C}$. \item Étudier les variations de $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item Résoudre, sur $\R$, l'équation $f(x) = 0$ et en déduire le signe de $f$ sur $\R$. \item Montrer que, sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~2 \right]$, l'équation $f(x) = 1$ a une solution unique $\alpha$. Donner la valeur décimale arrondie à $10^{-1}$ de $\alpha$. \item Écrire une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}$ au point B. \item Tracer $\mathcal{C}$ et $\mathcal{T}$ dans le repère \Oij{} (unité graphique 2~cm). \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{Partie B} \end{center} On donne la fonction $F$ définie sur $\R$ par \[F(x) = (- 2x - 3 ) \text{e}^{-x} + 3.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est la primitive sur $\R$ de $f$ qui s'annule pour $x = 0$. \item Calculer, en cm$^2$, la valeur exacte de l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - \dfrac{1}{2}$ et $x= 1$. Donner une valeur approchée de cette aire à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \end{document}