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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G.--I.G.}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
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\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G.--I.G.~\decofourright\\Centres étrangers juin 1999}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Un établissement scolaire compte $240$~élèves en terminale STT, parmi lesquels il y a $130$~internes.
 
Ces élèves sont répartis entre 3 spécialités : ACC, ACA, CG.

Il y a 66 élèves en ACA.
 
30\,\% des élèves sont en ACC, dont 40 internes. 25\,\% des élèves sont des internes de CG.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}&ACA &ACC &CG &Total\\ \hline 
Internes	&	&	&	& 130\\ \hline 
Externes	&	&	&	&\\ \hline 
Total		&66	&	&	&240\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\item Dans cette question, les réponses seront données à $10^{- 3}$ près. 
	\begin{enumerate}
		\item Un élève est choisi au hasard parmi les $240$ élèves de STT. Quelle est la probabilité de chacun des évènements suivants :
		 
$E_{1}$ : \og L'élève suit la spécialité ACA \fg.

$E_{2}$ : \og L'élève est externe \fg. 
 
$E_{3}$ : \og L'élève est externe et suit la spécialité ACA \fg.

$E_{4}$ : \og L'élève ne suit pas la spécialité CG \fg. 
		\item Calculer $p\left(E_{1} \cap E_{2}\right)$. 
	\end{enumerate}
\item Au baccalauréat, parmi ces $240$ élèves, 80\,\% des internes et 70\,\% des externes ont été reçus. 

Quel est le pourcentage de réussite pour l'ensemble des $240$~élèves ? (On donnera le résultat à $0,1$\,\% près.) 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip
 
\textbf{Introduction :}
 
Le tableau suivant donne la distance de freinage nécessaire à une automobile circulant sur une route humide pour s'arrêter.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Vitesse de l'automobile $x_{i}$, en km/h& 30 &40 &50 &60 &70 &80 &90 &100 &110 &120\\ \hline 
Distance de freinage $d_{i}$ en mètres&	&18 &26 &40 &58 &76 &98 &120 &148 &180 212\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
Cette série statistique est représentée ci-dessous par un nuage de points, que l'on a ajusté graphiquement par une droite.

\begin{center}
\psset{xunit=0.07cm,yunit=0.028cm}
\begin{pspicture}(-5,-25)(160,260)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=50](0,0)(160,250)
\multido{\n=0+4}{41}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,250)}
\multido{\n=0+20}{9}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,250)}
\multido{\n=0+10}{26}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(160,\n)}
\multido{\n=0+50}{6}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(160,\n)}
\psdots[dotscale=1.3](30,18)(40,26)(50,40)(60,58)(70,76)(80,98)(90,120)(100,148)(110,180)(120,212)
\uput[d](125,-15){Vitesse de l'automobile (km/h)}
\uput[u](30,250){Distance de freinage (m)}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](28,0)(136,230)
\end{pspicture}
\end{center} 
 
On se propose d'améliorer cet ajustement.
 
Pour cela, on considère le tableau statistique suivant, où $x_{i}$ désigne la vitesse de l'automobile et $y_{i}$ la racine carrée de la distance de freinage :

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.6}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&30&40&50&60&70&80&90&100&110&120\\ \hline
$y_{i} = \sqrt{d_{i}}$&4,24&5,10&6,32&7,62&8,72&9,90&10,95&12,17&13,42&14,56\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal, avec pour unités graphiques :
 
en abscisse 1~cm pour 10~km/h ; 

en ordonnée 1 cm pour une unité. 

\item On appelle $G_{1}$ le point moyen des 5 premiers points de ce nuage et $G_{2}$ le point moyen des 5 derniers points. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées de $G_{1}$ et de $G_{2}$. 
		\item Démontrer qu'une équation de la droite $\left(G _{1}G_{2}\right)$, est $y = 0,116x + 0,6$.  
		\item Tracer cette droite sur le graphique précédent.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant l'équation de la droite $\left(G _{1}G_{2}\right)$, déterminer une estimation de $y$ si la vitesse de l'automobile était de $140$~km/h.
		
En déduire la distance de freinage, à $1$~m près, correspondant à cette vitesse. 
		\item À l'aide de la droite d'ajustement de la figure de l'introduction, estimer graphiquement la distance de freinage à $140$~km/h.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip
 
On considère la fonction $f$, définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = \dfrac{1 + \ln x}{x}.\]
  
On appelle $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij, d'unité graphique 2~cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. Interpréter graphiquement ce résultat. 
\item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$. Interpréter graphiquement ce résultat. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$, on a $f'(x) = - \dfrac{\ln x}{x^2}$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$.
		 
En déduire le tableau de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
	\end{enumerate} 
\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection A de $(\mathcal{C})$ avec l'axe des  abscisses. 
\item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$. 
\item Soit $F$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 
 
\[F(x) = \ln x + \dfrac{1}{2} (\ln x)^2.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$. 
		\item Calculer $I = \displaystyle\int_{1}^4 f(x)\:\text{d}x$ (on donnera la valeur exacte de $I$ en fonction de $\ln 2$).
		 
En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~4].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}