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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Examen de maturité}%tapez un titre
\rhead{\small Suisse}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small  f\évrier 2008}
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\begin{center}

\Large

\shadowbox{\textbf{\hspace{0,5cm}Examen de maturité 2007 -- Suisse\hspace{0,5cm}}}

\normalsize

\textit{L'utilisation de la calculatrice est autorisée.}

\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill }

Soit le nombre complexe $z = \alpha + \dfrac{1}{2}\text{i},~\alpha \in  \R_{+}$.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer en fonction de $\alpha$ le module et l'argument de $z$ ainsi que de $z^n,~n \geqslant 1$.
\item  Pour quelle(s) valeur(s) de $\alpha$ la suite des nombres complexes $z,~ z^2,~ z^3,~ . . . ,\\ z^n,~ . . . $,
représentés dans le plan de Gauss, se rapproche-elle de l'origine ? s'éloigne-t-elle de l'origine ? reste-t-elle à distance constante de l'origine ?
\item  Déterminer la plus petite valeur de $\alpha$ strictement positive pour laquelle le nombre $z^6 \in \R$.

\medskip

\emph{Pour la suite de cette première partie, on pose} $\alpha = \dfrac{1}{2}$.

\item  Déterminer $n_{0} \in N^*$ tel que pour tout $n > n_{0},~ z^n$ est situé à l'intérieur du disque
centré à l'origine et de rayon $r = \dfrac{1}{100}$.
\item  Calculer en fonction de $n$ le module de $z^{n+1} - z^n = z^n(z - 1)$. Que représente géométriquement ce module ?
\item  Démontrer que la suite des longueurs des segments $\left[z^n z^{n+1}\right]$ est une suite géométrique  puis calculer la longueur de la ligne polygonale $\left[z z^2 z^3... z^n \right]$ lorsque $n$ tend vers infini.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2 \hfill }

Les fonctions $f(x)$ et $g(x)$ possèdent les propriétés suivantes :
\begin{enumerate}
\item  La fonction $f(x)$ est solution de l'équation différentielle $2xy' - 3y = 0$.
\item  La fonction $g(x)$ est solution de l'équation différentielle $y'' = 2$.
\item  Les courbes représentatives des fonctions $f(x)$ et $g(x)$ se coupent au point I(4 ; 8).
\item  La pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$(x) au point I est égale à 10.

Déterminer les fonctions $f(x)$ et $g(x)$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill }

On donne les quatre points A(-6 ~;~ 1 ~;~ 2), B(-3 ~;~ 5 ~;~  5), C(-2 ~;~ -2 ~;~ 1) et \\D(8~;~-1~;~ 1) ainsi que la
droite $a : \left\{\begin{array}{l c l}
x &=	& 5 + 2t\\
y &=	& -1 + 2t\\
z &=	& 4 - t\\
\end{array}\right.$

On note $\pi$ le plan (ABC), $K$ le cylindre d'axe $a$ et de rayon 3, et
enfin $\alpha$ désigne le plan d'équation : $-x + 2y + 2z + 8 = 0$.
\begin{enumerate}
\item  Écrire l'équation cartésienne du plan $\pi$.
\item  Calculer l'angle formé par la droite $a$ et le plan $\pi$.
\item  Montrer que le point D appartient au cylindre $K$.
\item  Déterminer l'équation de la sphère $\Sigma$ tangente intérieurement au cylindre $K$ en un cercle passant par le point D.
\item  Montrer que le plan $\alpha$ contient le point D et qu'il est tangent au cylindre $K$.
\item  Calculer les coordonnées du point I qui est l'intersection de la génératrice du cylindre $K$ passant par D et du plan $\pi$.
\item  Écrire une représentation paramétrique de la droite $t$ contenue dans le plan $\pi$ et tangente au cylindre $K$ au point I.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill }

Une urne contient $10$ boules noires et $n$ boules rouges. L'expérience $\mathcal{E}$ consiste à tirer simultanément 2 boules de l'urne. On note $p_{1}$ la probabilité d'obtenir deux boules de couleur
différente, $p_{2}$ la probabilité d'obtenir deux boules noires et $p_{3}$ la probabilité d'obtenir deux boules rouges.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la probabilité $p_{1}$ peut être exprimée par $p_{1} = \dfrac{20n}{n^2+19n+90}$.
\item  Pour une mise de $5$~francs, un joueur peut réaliser l'expérience E. Le joueur gagne $10$~francs s'il obtient deux boules de couleur différente et ne gagne rien dans les autres cas.

 Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles le jeu est favorable au joueur.
 
 
\emph{Pour la suite du problème, on pose} $n = 5$.
\item  Calculer les probabilités $p_{1},~ p_{2}$ et $p_{3}$.
\item  L'expérience $\mathcal{E}$ est réalisée 4 fois (on remet dans l'urne les deux boules tirées après chaque expérience). Calculer la probabilité des évènements suivants.

A :  \og Obtenir exactement 3 fois deux boules noires. \fg

B :  \og Obtenir exactement 2 fois deux boules noires et 1 fois deux boules rouges. \fg

C : \og Exactement 3 boules rouges ont été sorties de l'urne au cours des quatre expériences. \fg

D : \og Obtenir exactement une fois deux boules rouges sachant qu'exactement deux expériences ont donné deux boules de couleur différente. \fg

\item  Combien de fois faut-il réaliser l'expérience $\mathcal{E}$ pour que la probabilité d'obtenir au moins une fois deux boules de couleur différente soit supérieure à $0,99$ ?
\item $\varphi$ L'expérience $\mathcal{E}$ est réalisée $150$ fois. 

Calculer une valeur approximative de la probabilité
d'obtenir entre $70$ et $80$ fois deux boules de couleur différente (bornes comprises) en justifiant votre méthode de calcul.
\end{enumerate}
\end{document}