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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Examen de maturité}%tapez un titre
\rhead{\small Suisse}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small  février 2008}
\pagestyle{fancy}
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\begin{center}

\Large

\shadowbox{\textbf{\hspace{0,5cm}Examen de maturité 2008 -- Suisse\hspace{0,5cm}}}

\normalsize

\end{center}

\vspace{0.5cm}

Lycée cantonal Porrentruy

Discipline fondamentale
\begin{itemize}
\item  temps à disposition : 4 heures
\item  note maximale (6) pour 4 problèmes justes
\item  extrait des « Formulaires et Tables » à disposition
\item  machine à calculer (non graphique et non programmable) autorisée
\end{itemize}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème 1 \hfill }

Soient les points A$(4 ~;~-1 ~;~ 3)$, B$(15 ~;~ 9 ~;~ 5)$ et D$(14 ~;~ -11 ~;~ -2)$.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que le triangle ABD est rectangle et isocèle en A.
\item   Calculer les coordonnées du point C tel que ABCD soit un carré.
\item   Établir une équation cartésienne du plan (ABD).
\item   Écrire une représentation paramétrique de la droite $n$ perpendiculaire au plan (ABD) et
passant par le centre du carré ABCD.
\item   Soit S$\left(\frac{33}{2}~;~
-6~;~ \frac{31}{2}\right)$. Calculer la distance de S au plan (ABD).
\item   Calculer le volume de la pyramide SABCD.
\item   Calculer l'angle que font l'arête SA et le plan (ABD).
\item   Calculer l'aire de la face SAB.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème 2 \hfill }

Les diverses parties de ce problème sont indépendantes les unes des autres.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que les courbes représentatives des fonctions
\[f(x) = (1 + x)\text{e}^x \quad  \text{et}\quad  g(x) = 1 + \sin (2x)\]
sont tangentes au point d'abscisse $x = 0$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Pour quelle valeur de $n$ a-t-on $\displaystyle\int_{0}^1 x^{2n}\:\text{d}x = \dfrac{1}{
9}$ ?
		\item  Calculer $\displaystyle\int (1 + x) \ln(x)\:\text{d}x$.
 	\end{enumerate}
\item Vérifier que les courbes d'équations $y = \text{e}^{-x+2}$ et $y = \dfrac{1}{2}x$ se coupent au point d'abscisse
$x = 2$, puis calculer l'aire bornée délimitée par ces deux courbes et l'axe Oy.
\item Soit la parabole d'équation $y = - \dfrac{1}{2}x^2 + 3x$.
	
On appelle $P$ un point quelconque d'ordonnée positive de la parabole et $C$ sa projection
orthogonale sur l'axe O$x$. On considère aussi les points d'intersection A et B de la parabole
avec l'axe des $x$ tels que A est à gauche de B.
	
Quelles sont les coordonnées du point $P$ pour lesquelles l'aire du triangle PAC est maximale ?
(suite au verso)
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème 3 \hfill }

On considère la fonction $f$ définie par 
\[f(x) = \dfrac{2x^4}{x^3 - 1}.\]

\begin{enumerate}
\item  Étudier la fonction $f$. Durant l'étude, vous montrerez que la dérivée seconde est la suivante :
\[f''(x) = \dfrac{12 x^2 \left(x^3 + 2\right)}{\left(x^3
- 1\right)^3}\]

\item  Déterminer la pente de la tangente au point d'inflexion.
\item  Représenter graphiquement la fonction $f$ (unité : 2 carrés ou 1 cm sur feuille millimétrée).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème 4 \hfill }

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{Pour sortir d'une maison hantée, Maria doit passer
par un étrange couloir le long duquel se trouvent
trois portes fermées, notées S$_{1}$, S$_{2}$ et S$_{3}$. On accède à
ce couloir par le portail E. Au moment où on ouvre
ce portail, chacune des trois portes a une chance
sur deux de s'ouvrir par enchantement. L'étroitesse
du couloir oblige Maria à sortir du couloir par la
première porte ouverte qu'elle rencontre ; si les trois
portes sont fermées, elle doit sortir du couloir par
l'issue notée S. Quand Maria a quitté le couloir, le
portail et toutes les portes ouvertes se referment.} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1,0)(11.5,9.2)
\pspolygon*[linestyle=solid,linecolor=lightgray](1,0.45)(11,4)(11,8.7)(1,5.1)
\psline(9.6,4.25)(10,4.4)(10,9.05)(0.1,5.45)(1,5.1)(1,0.45)
\pspolygon*[linestyle=solid,linecolor=gray](0.1,0.8)(0.35,0.4)(0.35,3.2)(0.1,3.5)
\psline(5,3.3)(0.1,3.7) \psline(0.1,5.45)(0.1,0.8)(0.35,0.4)(0.35,3.2)
\pspolygon*[linestyle=solid,linecolor=gray](0.1,5.45)(0.1,3.7)(1,3.35)(1,5.1)
\psline(0.3,0.9)(5.9,2.9) \psline(6.8,3.2)(8.7,3.95) 
\pspolygon(1.9,1.5)(2.9,1.8)(2.9,4.7)(1.9,4.3)%porte S_{1}
\pspolygon(4.9,2.5)(5.9,2.9)(5.9,5.7)(4.9,5.3)%porte S_{2}
\pspolygon(7.8,3.6)(8.7,4)(8.7,6.8)(7.8,6.4)%porte S_{3}
\pspolygon(2.1,1.8)(2.3,1.9)(2.3,3.05)(2.1,2.95)
\pspolygon(2.5,1.95)(2.72,2.05)(2.72,3.2)(2.5,3.1)
\pspolygon(2.1,3.1)(2.3,3.2)(2.3,4.35)(2.1,4.25)
\pspolygon(2.5,3.25)(2.7,3.35)(2.7,4.5)(2.5,4.4)
\pspolygon*[linestyle=solid,linecolor=gray](5.9,2.9)(6.8,2.55)(6.8,5.4)(5.9,5.8)%porte grise 1
\pspolygon*[linestyle=solid,linecolor=gray](8.7,3.9)(9.6,3.55)(9.6,6.4)(8.7,6.8)%porte grise 2
\pspolygon(6,3.15)(6.2,3.1)(6.2,4.1)(6,4.15)%panneaux
\pspolygon(6.4,3)(6.6,2.9)(6.6,3.9)(6.4,4)
\pspolygon(6,4.4)(6.2,4.35)(6.2,5.35)(6,5.4)
\pspolygon(6.4,4.25)(6.6,4.15)(6.6,5.15)(6.4,5.25)
\pspolygon(8.8,4.15)(9,4.1)(9,5.1)(8.8,5.15)
\pspolygon(9.2,4)(9.4,3.9)(9.4,4.9)(9.2,5)
\pspolygon(8.8,5.4)(9,5.35)(9,6.35)(8.8,6.4)
\pspolygon(9.2,5.25)(9.4,5.15)(9.4,6.15)(9.2,6.25)
\pscurve[linewidth=2pt]{->}(0.2,0.1)(0.5,0.4)(1,0.75)(2,1.1)(3,1.4)(4,1.8)(5,2.2)(5.6,2.4)(5.5,2.7)(5.3,3.2)
\rput(0.75,2.5){E} \rput(2.3,5){S$_{1}$}\rput(5.3,6.1){S$_{2}$}\rput(8.2,7.2){S$_{3}$}\rput(10.5,5){S}
\end{pspicture}} 
\medskip
\begin{enumerate}
\item  Maria ouvre le portail.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité que Maria soit confrontée à la configuration :
S$_{1}$ est fermée S$_{2}$ est fermée S$_{3}$ est ouverte
		\item  Calculer la probabilité qu'exactement deux des trois portes soient ouvertes.
		\item  On note $p_{i}$ la probabilité de sortir du couloir par la porte Si. Calculer $p_{1},~ p_{2}$ et $p_{3}$.
		\item  Sachant que S$_{2}$ est ouverte, calculer la probabilité que Maria sorte du couloir par la
porte S$_{3}$.
 	\end{enumerate}
\item Lorsque Maria passe par les portes S$_{1}$ ou S$_{3}$, son chemin la ramène au portail E. En revanche,
si elle passe par S$_{2}$ ou par S, elle sort définitivement de la maison hantée.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la probabilité que Maria sorte de la maison en ne passant qu'une seule fois
dans le couloir ?
		\item  Quelle est la probabilité que Maria passe au plus trois fois dans le couloir avant de
sortir de la maison ?
		\item  Sachant qu'au deuxième passage Maria a franchi la porte S$_{1}$, calculer la probabilité
qu'elle sorte de la maison au quatrième passage.
 	\end{enumerate}
\item  Cette fois, 8 personnes franchissent successivement le portail E.
Quelle est la probabilité qu'exactement 6 de ces personnes passent par S$_{2}$ à leur premier
passage ?
\item  On suppose maintenant que $n$ personnes franchissent une seule fois chacune le portail E.
	
Calculer la plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité qu'au moins une de ces personnes sorte de la maison hantée soit supérieure à 95\:\%?
\end{enumerate}
\end{document}