\documentclass[12pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{pifont} \usepackage{multicol} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{ulem} \usepackage{graphicx} \usepackage{pst-plot,pst-grad} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{myheadings} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge Concours d'entréŽe FESIC mai 2003}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ et représentée par la courbe ci-dessous : \begin{center}\begin{pspicture}(-6,-1)(6,6) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](-6,-1)(6,6) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,-1)(6,6) \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-6,4.2)(-5,3.75)(-4,3.2)(-3,2.3)(-2,1) \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2,1)(-1.5,1.9)(-1,2.7)(-0.5,3.3)(0,3.7)(0.5,3.94)(1,4) \rput(1.05,4){[} \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](1,4)(1.5,3.75)(2,3.5) \rput(2.05,3.5){[} \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](2,4)(2.5,3.85)(3,3.7) \rput(3.05,3.7){[} \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](3,4)(3.5,3.9)(4,3.8) \rput(4.05,3.8){[} \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](4,4)(4.5,3.95)(5,3.9) \rput(5.05,3.9){[} \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](5,4)(5.5,3.975)(6,3.95) \rput(6.05,3.95){[} %\psplot[linecolor=red]{-6}{-2}{ 0.3 x 2 exp mul neg 2.9 x mul sub 3.6 sub} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \textbf{a)} $f$ est dérivable au point d'abscisse $x = -2$. \textbf{b)} $f$ est continue au point d'abscisse $x = 1$. \textbf{c)} $\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x) = 4$. \textbf{d)} Sur l'intervalle $]-2~;~ 1[$, la fonction $f'$, dérivée de $f$ sur cet intervalle, est croissante. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 2} \medskip On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = \ln\left(\dfrac{\text{e}^x - 1}{\text{e}^x + 1} \right) = 1$. On d?signe par $\mathcal{D}$ l'ensemble de définition de $f$. \textbf{a)} On a $\mathcal{D} = ]0~; + \infty[$. \textbf{b)} $f$ est dérivable sur $\mathcal{D}$ et, pour tout $x \in \mathcal{D},~ f'(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^{2x} - 1}$. \textbf{c)} Pour tout $x \in \mathcal{D},~ f(x) < 0$. \textbf{d)} L'équation $f(x) = - 1$ possède l'unique solution $x = \ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{\text{e} - 1} \right)$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 3} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~ \overrightarrow{\jmath}\right)$. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = - (1 + x)\text{e}^{-x}.\] On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère cité. \textbf{a)} $f$ réalise une bijection de $\R$ dans $\R$. \textbf{b)} La fonction $F$, définie sur $\R$ par : $F(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}$ , est une primitive de $f$ sur $\R$. \textbf{c)} Soit $t \in \R_{+}$. L'aire du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 0,~ x = t$ et $y = 0$ se calcule, en unités d'aires, par : $\displaystyle\int_{0}^t f(x)\:\text{d}x$. \textbf{d)} L'aire définie à la question \textbf{c)} est finie quand $t$ tend vers $+\infty$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 4} \medskip Pour tout $n \in \N$, on pose $I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{t^n}{1 + t^2} \:\text{d}t$. \textbf{a)} I$_{1} = \ln 2$. \textbf{b)} Pour tout $n \in \N^*$, on a : $I_{n}\geqslant 0$. \textbf{c)} Pour tout $n \in \N^*$, on a : $\dfrac{1}{2(n+1)} \leqslant I_{n} \leqslant \dfrac{1}{n+1}$. \textbf{d)} La suite $(I_{n})_{n \in \N^*}$ est croissante. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 5} \medskip Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose : $I_{n} = \displaystyle\int_{n-1}^{n} \dfrac{2\ln t}{t}\:\text{d}t$. \textbf{a)} Pour $n \in \N^*,~ I_{n} = 2n - 1$. \textbf{b)} La suite $\left(I_{n}\right)_{n \in \N^*}$ est bornée. \textbf{c)} La suite $\left(\dfrac{I_{n}}{n} \right)_{n \in \N^*}$ est convergente. \textbf{d)} Pour $n \in \N^*$, on a : I$_{1} + \text{I}_{2} + \cdots + I_{n} = n^2$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 6} \medskip \textbf{a)} $17 + 20 + 23 + \cdots + 62 = 632$. \textbf{b)} $\left(\dfrac{1}{2} \right)^4 + \left(\dfrac{1}{2} \right)^5 + \left(\dfrac{1}{2} \right)^6 + \cdots + \left(\dfrac{1}{2} \right)^{10} = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{127}{128}$. \textbf{c)} Soit $n \in \N^*$. On considère la fonction $f$ définie sur $]1~;~ +\infty[$ par : $f(x) = \dfrac{1 - x^{n+1}}{1 - x}$. $f$ est dérivable sur $]1~;~ +\infty[$ et pour tout $x > 1$, on a : $f'(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots + nx^{n-1}$. \textbf{d)} Si une suite n'est pas arithmétique, alors elle est géométrique. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 7} \medskip On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies sur $\N$ par : \[ u_{n} = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{n!} , \qquad v_{n} = u_{n} - 1 + \dfrac{1}{n!}.\] \textbf{a)} Pour $n \in \N,~ u_{n}$ est la somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison $\dfrac{1}{n+1}$. \textbf{b)} La suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. \textbf{c)} La suite $\left(v_{n}\right)$ est croissante. \textbf{d)} Les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 8} \medskip Dans le plan complexe, on considère les points $M$ et $M'$ d'affixes respectives $z$ et $z'$ telles que : \[z' = z\overline{z} + (1 + \text{i})z + 3\overline{z} - 2.\] On pose $z = x + \text{i}y$ et $z' = x' + \text{i}y'$, avec $x,~ y,~ x'$ et $y'$ réels. \textbf{a)} $x' = x^2 + y^2 + 4x - y - 2$ et $y' = x - 2y$. \textbf{b)} L'ensemble E$_{1}$ des points $M$ tels que $z'$ soit réel est une droite. \textbf{c)} L'ensemble E$_{2}$ des points $M$ tels que $z'$ soit imaginaire est un cercle. \textbf{d)} E$_{1}$ et E$_{2}$ ne sont pas sécants. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 9} \medskip Dans le plan complexe, on considère le point $\Omega$ d'affixe 1, puis le cercle $\Gamma$ de centre $\Omega$ et de rayon 2, et enfin les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{\text{A}},~ z_{\text{B}},~ z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$, o\`u : \[z_{\text{A}} = 1 + 2\text{i},~ z_{\text{B}} = 1 + \sqrt{3} + \text{i},~ z_{\text{C}} = \overline{z_{\text{B}}} ,~ z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{A}}}.\] \textbf{a)} $\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}} = \sqrt{3}$. \textbf{b)} D est l'image de A par la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. \textbf{c)} Les points A, B, C et D appartiennent au m\^eme cercle $\Gamma$. \textbf{d)} Soit $\theta \in \R$. On considère l'équation : $z^2 - 2(1 + 2\cos \theta)z + 5 + 4\cos \theta = 0$. Les solutions de cette équation sont les affixes de deux points qui appartiennent tous les deux au cercle $\Gamma$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 10} \medskip Le plan complexe a pour origine O. Soit $M$ le point dont l'affixe a pour module 1 et pour argument $\dfrac{5\pi}{6}$. On appelle $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et on appelle $h$ l'homothétie de centre O et de rapport $- 3$. \textbf{a)} On a : $\left(\cos \dfrac{5\pi}{6} + \text{i}\sin \dfrac{5\pi}{6}\right)^6 = - 1$. \textbf{b)} L'image de $M$ par la rotation $r$ est le point $M_{1}$ de coordonnées $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}~; ~ \dfrac{1}{2} \right)$. \textbf{c)} L'image de $M$ par l'homothétie $h$ est le point $M_{2}$ dont l'affixe a pour module $- 3$ et pour argument $\dfrac{5\pi}{6}$. \textbf{d)} $r^3(M) = r \circ r \circ r(M)$ est le point $M_{3}$, symétrique de $M$ par rapport à O. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 11} \medskip Soit $x \in \R$. On considère la suite géométrique $\left(u_{n}(x)\right)_{n}$ de premier terme $u_{0}(x) = 1$ et de raison $q = 1 - 2\text{e}^{- x}$. \textbf{a)} Dans le développement de $u_{6}(x) = (1 - 2\text{e}^{- x})^6$ , le terme correspondant à $\text{e}^{- 4x}$ est $240\text{e}^{- 4x}$. \textbf{b)} Pour $x$ fixé supérieur à 1, on a : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n}(x) =0$. \textbf{c)} Pour un entier naturel $n$ fixé, on a : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u_{n}(x) =0$. \textbf{d)} Un lanceur s'exerce à tirer sur une cible située à la distance $x$ ($x$ en m\`etres, $x \geqslant 1$). La probabilité qu'il atteigne sa cible est $p = 2\text{e}^{- x}$. Le lanceur tire $n$ fois vers la cible de façons supposées indépendantes. La probabilité que ce lanceur atteigne $k$ fois exactement la cible ($k$ étant un entier compris entre $0$ et $n$) est ${n \choose k} \times u_{1}^{n-k}(x) \times \left(1 - u_{1}(x)\right)^k.$ \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 12} \medskip On note $x(t)$ le nombre d'atomes de radium d'une substance radioactive présents à l'instant $t$ (exprimé en années) dans cette substance, et on admet que la vitesse d'élimination $x'(t)$ est proportionnelle à $x(t)$ : il existe donc une constante réelle $k$, telle que $x'(t) = kx(t)$. On appelle $x_{0}$ le nombre d'atomes présents à l'instant $t = 0$. \textbf{a)} Le nombre d'atomes diminue quand $t$ augmente, donc $k$ est négatif. \textbf{b)} ¿ chaque instant $t$, on a : $x(t) = x_{0}\text{e}^{kt}$. \textbf{c)} On note T la période (ou \og demi-vie \fg), c'est-à-dire le nombre d'années pour lequel le nombre d'atomes a diminué de moitié par rapport à l'instant initial $t = 0$. On a T $= \dfrac{- \ln 2}{k}$. \textbf{d)} A l'instant $t = 3T$, il reste le sixième des atomes dans la substance. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 13} \medskip La durée en années du bon fonctionnement d'un composant électronique est modélisée par une variable aléatoire de loi exponentielle. Des tests garantissent une durée moyenne de 10 ans. \textbf{a)} Le paramètre de la loi exponentielle est 10. \textbf{b)} La probabilité pour que l'un de ces composants fonctionne correctement moins de 10 ans est $1 - \dfrac{1}{\text{e}}$. \textbf{c)} La probabilité pour que l'un de ces composants fonctionne pendant au moins 10 années est $\text{e}^{-2}$. \textbf{d)} La probabilité pour que l'un de ces composants fonctionne entre 10 et 15 années est $\dfrac{\text{e}^{-1} - \text{e}^{-1,5}}{1 - \text{e}^{-1}}$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 14} \medskip $60\:\%$ des candidats au concours de la FESIC sont des filles. Parmi elles, $30\:\%$ ont suivi l'enseignement de spécialité de mathématiques en terminale. Par ailleurs, $20\:\%$ des candidats sont des garçons qui ont suivi l'enseignement de spécialité de mathématiques en terminale. \textbf{a)} On interroge un candidat au hasard. La probabilité que ce soit une fille qui ait suivi l'enseignement de spécialité de mathématiques en terminale est de $30\:\%$. \textbf{b)} On interroge un garçon qui est candidat. La probabilité qu'il ait suivi l'enseignement de spécialité de mathématiques en terminale est de $20\:\%$. \textbf{c)} $38~\%$ des candidats ont suivi l'enseignement de spécialité de mathématiques en terminale. \textbf{d)} On interroge un candidat qui a suivi l'enseignement de spécialité de mathématiques en terminale. La probabilité qu'il s'agisse d'une fille est $\dfrac{9}{19}$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 15} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal $\left(\text{O}, ~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)$. On considère les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ données par les équations paramétrées suivantes : \[\mathcal{D}\left\{\begin{array}{l c l} x & = &2t - 1\\ y&= &-3t + 2,~t \in \R\\ z& = & t\\ \end{array}\right. \qquad \qquad \mathcal{D}'\left\{\begin{array}{l c l} x& = & 3t\\ y& = & t + 2,~t \in \R\\ z&=& 3t - 2\\ \end{array}\right.\] \textbf{a)} $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont orthogonales. \textbf{b)} On trouvera les points d'intersection éventuels entre $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ en résolvant le système : \[\left\{\begin{array}{l c l} 2t - 1& = & 3t\\ -3t + 2& =& t + 2\\ t& = & 3t + 2\\ \end{array}\right.\] \textbf{c)} Le plan normal à $\mathcal{D}$ passant par O a pour équation : $2x - 3y + z = 0$. \textbf{d)} $\mathcal{D}'$ est parallèle à tout plan normal à $\mathcal{D}$. \psline[linecolor=blue](-1,0)(14,0) \textbf{Exercice 16} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal $\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)$. On considère les points A$(0~;~ 4~;~ -1)$,~ B$(-2~;~ 4~;~ -5)$,~ C$(1~;~ 1~;~ -5)$, D$(1~;~ 0~; -4)$ et E$(2~;~ 2~;~ -1)$. \textbf{a)} Une équation du plan (ABC) est : $2x + 2y - z - 9 = 0$. \textbf{b)} Le point E est le projeté orthogonal de D sur (ABC). \textbf{c)} Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales. \textbf{d)} Le point $\Omega(- 1~;~ 2~;~ -3)$ est le centre d'une sphère passant par A, B, C et D. \end{document}