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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Concours Fesic mai 2006~\decofourright}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification.\\
 +1 si bonne réponse, $-1$ si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste.

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv.\\
 Soit la fonction $f$ qui, à tout point $M$
d'affixe $z,~ z$ différent de $1$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que
\[z' = \dfrac{2z+1}{z - 1}.\]

\begin{enumerate}
\item  $f$ possède deux points invariants conjugués.
\item  L'ensemble des points $M$ d'affixes $z$ tels que $z' \in \R$ est l'axe des abscisses.
\item  L'ensemble des points $M$ d'affixes $z$ tels que $z' = 2$
 est un cercle.
\item  \`A tout point $M'$ du plan d'affixe $z'$, on peut associer un point $M$ d'affixe $z$ tel que $f(M) = M'$  sauf au
point $M'$ d'affixe $z' = 2$.
\end{enumerate}
\hrulefill

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv.\\
 On considère les complexes $z_{1}$ de
module $2$ et d'argument $\dfrac{\pi}{3},~z_{2} = \overline{z_{1}}$
et $z_{3} = 1+ \text{i}$.
\begin{enumerate}
\item $\left|\dfrac{z_{3}^8 \times z_{1}^9}{z_{2}^{11}}\right| = 4$.
\item $\dfrac{z_{1}^4 \times z_{2}^7}{z_{3}^{6}}$ est un nombre réel.
\item $\left(z_{1} - z_{3} \right)^4 =  28 - 16\sqrt{3}$.
\item  L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telles que arg$(z)$ =  arg$\left(z_{3}\right)$ est la droite d'équation $y = x$.
\end{enumerate}

\bigskip
\hrulefill
 
\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv.\\
  On considère le point A d'affixe
$a = 5 - \text{i}\sqrt{3}$. On appelle :

\begin{itemize}
\item  B le point d'affixe $b$, image de A par la rotation de centre O et d'angle
$\dfrac{\pi}{3}$.
\item  C le point d'affixe $c$, milieu de [OA],
\item  D le point d'affixe $d$ donnée par $d - c = \dfrac{1}{2}(b - a)$,
\item  E le point d'intersection des droites (AD) et (BC).
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Le point B a pour affixe $b = 3\sqrt{3} + \text{i}$.
\item  D est le milieu de [OB].
\item  E est le barycentre de $\{(\text{B},~ 1) ~;~ (\text{C},~ 2)\}$.
\item  La droite (OE) est perpendiculaire à (AB).
\end{enumerate}
\hrulefill

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La courbe représentant la fonction $x \longmapsto \sin (x)$ est la courbe $\mathcal{C}_{2}$.

\psset{xunit=0.006cm}
\hspace*{-1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\begin{pspicture}(-360,-2.5)(540,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=900]{->}(0,0)(-360,-2.5)(500,2.5)
\psplot{-360}{500}{x 2 div  cos}
\end{pspicture}&\begin{pspicture}(-360,-2.5)(540,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=900]{->}(0,0)(-360,-2.5)(500,2.5)
\psplot{-360}{500}{x  sin}
\end{pspicture}\\ \hline
\begin{pspicture}(-360,-2.5)(540,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=900]{->}(0,0)(-360,-2.5)(500,2.5)
\psplot{-360}{500}{x 2 div  cos neg}
\end{pspicture}&\begin{pspicture}(-360,-2.5)(540,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=900]{->}(0,0)(-360,-2.5)(500,2.5)
\psplot{-360}{-295}{x   sin x  cos div}
\psplot{-245}{-115}{x  sin x  cos div} 
\psplot{-65}{65}{x  sin x  cos div}
\psplot{115}{245}{x  sin x  cos div}
\psplot{295}{425}{x  sin x  cos div}
%\psplot{470}{520}{x  sin x  cos div}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}

\item  On considère les trois courbes ci-dessous : la courbe représentant la fonction $x \longmapsto \text{e}^{x+1}$ est $\mathcal{C}_{1}$.

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,6)
\psaxes{->}(0,0)(-3,-1)(3,6)
\psplot{-3}{0.7}{2.71828 x 1 add exp}
\psplot{-3}{1.5}{2.71828 x  exp 1 add}
\psplot{-3}{1.5}{2.71828 x 2 mul  exp 5 div}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\item  On considère la fonction $f$ représentée
par la courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous et la fonction $F$
définie sur [0 ; 4] par \[F(x) = \int_{0}^x  f(t)\:\text{d}t.\]
$F$ est croissante sur [0 ; 4].
\item  On considère les mêmes fonctions $f$ et $F$
qu'au \textbf{c}.\\
La fonction $F$ est deux fois dérivable sur [0 ; 4] et vérifie $F''(0) = 0$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(5,4)
\psaxes{->}(0,0)(-2,-3)(5,4)
\psplot{-1.55}{4.7}{x 3 exp 4 mul 11 div x 2 exp 18 mul 11 div sub 2 add}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}
\hrulefill

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 5}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soient $f,~ g$ et $h$ trois fonctions définies sur $\R$. On suppose que, quel que soit $x \in \R$, on a :
$f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x)$, que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 3$
 et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} h(x) = 5$.\\
Alors $g(x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $+\infty$ et cette limite est comprise entre $3$ et $5$.
\item  Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \text{e}^{- \frac{1}{x}}$ 
pour $x \neq 0$ et $f(0) = 0$. On appelle ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative
dans un repère du plan. ($\mathcal{C}$) possède une asymptote d'équation $x = 0$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x \to + \infty\\x > 0}} f(x) = 0$.
\item  La fonction $F$ définie par $F(x) = \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x}{2}$ est une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x) = x \ln x$
sur $\R^{*}_{+}$.
\item  Soient $f$ la fonction définie par $f(x) = 2 \ln x$ et ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans un repère du plan.\\
($\mathcal{C}$) possède au point d'abscisse $-1$ une tangente d'équation $y = -2x - 2$.
\end{enumerate}

\hrulefill

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 6}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $u$ la suite définie pour tout $n \in \N^*$ par $u_{n} = \displaystyle\int_{1}^n \text{e}^{-t^2}
\:\text{d}t$. On veut prouver que la suite $u$ est
convergente. On considère pour cela le raisonnement suivant :

\og Je choisis $m = 0$ et $M = 1$. Soient $n \in \N^{*}$ et $t \in [1 ~;~ n]$, on a $t^2 \geqslant t$, donc $0 \leqslant  \text{e}^{-t^2} \leqslant \text{e}^{-t}$. . Il s'ensuit que $0 \leqslant u_{n}\leqslant \displaystyle\int_{1}^n \text{e}^{-t}\:\text{d}t$, soit $0 \leqslant u_{n} \leqslant \left[- \text{e}^{-t}\right]_{1}^n$,
 soit enfin $0 \leqslant u_{n}\leqslant  \text{e}^{-1} - \text{e}^{-n} \leqslant 1$. Ceci étant vrai pour tout $n \in \N^{*}$,
la suite apparaît bornée par $m = 0$ et $M = 1$.\\
Soit de plus $n \in \N^{*}$. La fonction
$ t \longmapsto \text{e}^{-t^2}$ est continue et positive sur $[1~ ;~ n]$. $u_{n}$ représente donc l'aire de la
portion de plan comprise entre les droites d'équations $x = 1,~ x = n,~ y = 0$ et la courbe représentant cette fonction. Cette aire augmente quand $n$ augmente, ce qui se traduit par le fait que la suite $u$ est croissante.\\
Conclusion : $u$ est croissante et majorée par $1$ donc la suite $u$ est convergente. \fg

Ce raisonnement est exact.
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $[ 0~ ;~ \ln 2 ]$ par : $f(x) =  (2x -  1)\text{e}^ x$. On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de
$f$ dans un repère du plan. On cherche à calculer l'aire de la portion de plan limitée par les droites d'équation
$x = 0, x = \ln 2, y = 0$ et la courbe $(\mathcal{C})$.\\
On considère pour cela le raisonnement suivant (et le renseignement $\ln 2 \approx 0,7$) :\\
\og La fonction $F$ définie par $F(x) =  (2x -  3)\text{e}^ x$  est une primitive de $f$ sur $[ 0~ ;~ \ln 2 ]$. $F$ est en effet dérivable sur
$[ 0~ ;~ \ln 2 ]$  et $F'(x) =  2\text{e}^ x +  (2x -  3)\text{e}^ x =  (2x -  1)\text{e}^ x$.\\
On a : $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2} f(x) \:\text{d}x = \left[(2x -  3)\text{e}^ x \right]_{0}^{\ln 2} = (2 \ln 2 - 3) \times  2 - (- 3) =  4\ln 2 -  3 \approx  - 0,2$.  Comme le résultat est
négatif, c'est que l'aire cherchée est la valeur absolue de ce résultat, soit 0,2 unité d'aire \fg.

Ce raisonnement est exact.
\item Soit $f$ la fonction définie sur  par $f(x) = (1+ x)^{10}$. On cherche une approximation de $f(0,001)$. On considère pour cela le raisonnement suivant :

« $f$ est définie et dérivable sur $\R$. Pour $x$ réel, $f'(x) = 10(1+ x)^{9}$ et la courbe représentant $f$ possède une tangente au point d'abscisse $0$ d'équation $y = xf'(0)+ f(0)$, soit $y = 10x +1$. On en déduit que $f(0,001) \approx 10 \times 0,001 + 1$, soit $f(0,001) \approx 1,01$. \fg

Ce raisonnement est exact.
\item  Soit D l'ensemble des valeurs réelles $x$ telles que $\sin x \neq 0$. Soit $f$ la fonction définie sur D par : $f(x) = \dfrac{\cos x}{\sin x}$. On veut prouver que $f$ est décroissante sur D. On considère pour cela le raisonnement
suivant :

\og $f$ est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont dérivables sur D et dont le dénominateur ne s'annule pas sur D. On en déduit que $f$ est dérivable sur D.

Pour $x  \in $D , on a $f'(x) = \dfrac{- \sin ^2 x - \cos ^2 x}{\sin ^2 x}$. Pour tout $x \in $ D, on a $f'(x) < 0$. Comme le signe de la
dérivée donne le sens de variation de la fonction, c'est que $f$ est strictement décroissante sur D. \fg

Ce raisonnement est exact.
\end{enumerate}
\hrulefill

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 7}}

\medskip

Soit (E) l'équation différentielle : $y' + 2y = \text{e}^{-x} \sin x$. \\
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = - \dfrac{1}{2}(\cos x -  \sin x)$.
\begin{enumerate}
		\item  $f$ est dérivable sur $\R$ et, pour $x \in \R,~ f'(x) =  \sin x \cos x$.
		\item  Pour $n\in \N,~\displaystyle\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} f'(x) \:\text{d}x =  \dfrac{1}{2}\text{e}^{-n\pi}\left(\text{e}^{-\pi} + 1\right)$.
		\item  $f$ est l'unique solution de l'équation (E) qui s'annule en $0$.
		\item  Si $g$ est une solution de (E), la courbe représentant $g$ possède une tangente au point d'abscisse $0$ dont une équation est donnée par $y = (1- 2x) g(0)$.
	\end{enumerate}
\hrulefill

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 8}}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv.\\
 Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \ln \left(\dfrac{3x + 2}{5x}\right)$. On
appelle $D_{f}$ l'ensemble de définition de $f$.
\begin{enumerate}
\item $D_{f} = \R_{+}^{*}$.
\item  Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur $D_{g} = \R - \left\{0~;~\dfrac{-2}{3}\right\}$ telle que quel que soit $x \in D_{g},~g'(x) = \dfrac{3}{3x + 2} - \dfrac{1}{x}$. $f$ et $g$ sont égales à une constante additive près.
\item $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = - \dfrac{2}{5}$.
\item $\displaystyle\lim_{\stackrel{x \to 0}{x > 0}} x f(x) = 0$.
\end{enumerate}
\hrulefill

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 9}}

\medskip

Soient $\lambda \in \R_{+}^{*}$ et les fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ définies sur $\R$ par $f_{1}(x) = \text{e}^{3x}$,\\$ f_{2}(x) = - \lambda^2 \text{e}^x  + 2\lambda \text{e}^{2x}$. On appelle $\mathcal{C}_{1}$  et
$\mathcal{C}_{2}$ leurs courbes représentatives dans un repère du plan.
\begin{enumerate}
\item  $\mathcal{C}_{1}$  et
$\mathcal{C}_{2}$ se coupent au point A$(\ln \lambda~ ;~ 3\lambda)$.
\item  Quel que soit $\lambda \in \R_{+}^{*}$, $\mathcal{C}_{1}$ est au-dessus de $\mathcal{C}_{2}$.
\item  Il existe un point B en lequel $\mathcal{C}_{1}$  et
$\mathcal{C}_{2}$  possèdent la même tangente.
\item  Lorsque $\lambda$ est supérieur à 1, l'aire de la portion du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{1}$  et
$\mathcal{C}_{2}$  et limitée par
les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln \lambda$ est, en unités d'aire, $\dfrac{(\lambda - 1)^3}{3}$.
\end{enumerate}
\hrulefill

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 10}}

\medskip

On considère une suite $v$ strictement croissante dont tous les termes appartiennent à l'intervalle $[ 0 ~;~\pi]$.

On définit les suites $c$ et $s$  pour $n \in \N$ par $c_{n} = \cos \left(v_{n}\right)$ et $s_{n} = \sin \left(v_{n}\right)$.

\begin{enumerate}
\item  La suite $v$ converge vers $\pi$.
\item  La suite $c$ est croissante.
\item  La suite $s$ est périodique.
\item  Les suites $c$ et $s$ sont adjacentes si et seulement si la suite $v$ converge vers $\dfrac{\pi}{4}$.
\end{enumerate}
\hrulefill

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 11}}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv.\\
On considère la suite $\left(z_{n}\right)$  définie pour
$n \in \N$ par $z_{n} =  \text{e}^{\text{i}\frac{2n\pi}{3}}$ et on appelle $A_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quel que soit $n \in \N,~ A_{n}$ appartient au cercle de centre O et de rayon $1$.
\item  Quel que soit $n \in \N, \left|z_{n+1} - z_{n}\right| = \left|z_{1} - 1\right|$.
\item  La suite $\left(z_{n}\right)$ est périodique de période 5.
\item $\displaystyle\sum_{k=0}^{4} = z_{0} + z_{1} + \cdots + z_{4} = 0.$
\end{enumerate}
\hrulefill

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 12}}\\
On considère la suite $u$ définie pour $n \in \N^{*}$ par : $u_{1} = 1$ et $u_{n+1} = \left(\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}\right)u_{n}$.
\begin{enumerate}
\item  Pour $n \in \N^{*}$, on a $u_{n} = \dfrac{n}{(n - 1)!}$.
\item  La suite $u$ est croissante.
\item  Quelque soit $n \in \N^{*}$, si on a $n \geqslant  2$, alors on aura :
$0 \leqslant u_{n} \leqslant 2 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-2}$.
\item  La suite $u$ est convergente et de limite nulle.
\end{enumerate}
\hrulefill

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 13}}

\medskip

On considère un espace probabilisé fini $(\Omega,~ p)$ dans lequel un évènement A a les trois possibilités A$_{1}$, A$_{2}$,
et A$_{3}$ deux à deux distinctes de se produire et un évènement B a les deux possibilités B$_{1}$ et B$_{2}$ distinctes de se produire. Le tableau suivant donne en pourcentages la probabilité de certains évènements de se produire par rapport à l'univers $\Omega$.\\

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}&A$_{1}$& A$_{2}$& A$_{3}$ &Total / A\\ \hline
B$_{1}$&& 20&&\\ \hline
B$_{2}$& 30&&&\\ \hline
Total / B&&& 10& 100\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On donne aussi les renseignements suivants :  $p\left(\text{A}_{2}\right) = 60\:\%$ et $p_{\text{B}_{1}}\left(\text{A}_{3}\right) = \dfrac{1}{6}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  A$_{1}$ et B$_{1}$ sont incompatibles.
\item  La probabilité d'obtenir B$_{1}$ est 24\:\%.
\item  Si A$_{3}$ est réalisé, la probabilité d'obtenir A$_{3}$ et B$_{1}$ est $4$\:\%.
\item  La probabilité d'obtenir A$_{3}$ et B$_{1}$ est 4\:\%.
\end{enumerate}
\hrulefill

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 14}}

\medskip

Une rampe lumineuse est constituée d'ampoules bleues, rouges ou jaunes provenant de deux usines U$_{1}$ et
U$_{2}$. U$_{1}$ produit $60$\:\%
 de ces ampoules. La durée de vie en années de chacune de ces ampoules suit une loi exponentielle dont les paramètres sont les suivants :\\
 
 \medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Ampoules bleues& Ampoules rouges& Ampoules jaunes\\ \hline
Ampoules de U$_{1}$&$\lambda_{\text{B}_{1}}  = 0,25$& $\lambda_{\text{R}_{1}}  = 0,20$& $\lambda_{\text{J}_{1}}  = 0,15$\\ \hline
Ampoules de U$_{2}$& $\lambda_{\text{B}_{2}}  = 0,20$& $\lambda_{\text{R}_{2}}  = 0,15$& $\lambda_{\text{J}_{2}}  = 0,10$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La probabilité qu'une ampoule rouge dure moins de 5 ans sachant qu'elle vient de U$_{1}$ est $0,6\left(1 - \text{e}^{-1}\right)$.
\item  La probabilité qu'une ampoule rouge dure moins de 5 ans est \\$1 - 0,6\text{e}^{-1,25} - 0,4\text{e}^{-1}$.
\item  La probabilité qu'une ampoule jaune dure entre 5 et 10 ans est \\$0,6\left(\text{e}^{-0,75} - \text{e}^{-1,5}\right) + 0,4\left(\text{e}^{-0,5} - \text{e}^{-1}\right)$.
\item  La demi-vie en années d'une ampoule jaune de U$_{2}$ est $4 \ln 2$.
\end{enumerate}
\hrulefill

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 15}}

\medskip

Le schéma ci-dessous représente une situation de l'espace dans un repère approprié dont le centre est un
point O. On sait que la droite d est orthogonale au plan P. On appelle A le point de coordonnées $(2 ~;~ -1 ~ ;~ - 2)$.
P
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-7)(6,6)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-6,-7)(6,6)
\multido{\n=-1.7+1.7}{3}{\psline[linewidth=2pt](\n,-0.2)(\n,0.2)}
\multido{\n=-3.4+1.7}{4}{\psline[linewidth=2pt](-0.2,\n)(0.2,\n)}
\pspolygon(-4,-5.5)(2.1,-4.6)(0.9,3.5)(-5.2,2.5)
\psframe(-4.1,-4.8)(-2.5,-1.4)
\psframe(-2.9,-4.1)(-1.2,-0.7)
\psline(-5.7,-7)(2.5,4.5)
% \psline[linestyle=dashed](-1.2,-0.7)(1.3,0.7)
%\psline[linestyle=dashed](-1.3,-0.7)(1.5,0.8) \psline(1.5,0.8)(6,3.35)
\psline{<-}(-6,-3.4)(5.4,3)
\psline(-2.5,-4.8)(0,-3.4)
\psline(-4.1,-1.4)(-1.7,0)
\uput[dr](1.5,0){1} \uput[d](-1.5,0){$-1$}
\uput[r](0,1.7){1} \uput[r](0,-3.4){$-2$}
\uput[dr](-1.3,-0.7){1} \uput[dr](-2.7,-1.5){2} \uput[dr](0,0){O}
\rput(-5,2.3){P} \rput(2.1,3.7){d} \uput[d](5.8,0){$y$}
\uput[r](0,5.2){$z$} \rput(-5.6,-3.3){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Le plan P a pour équation cartésienne $x - y - 2z - 1 = 0$.
\item  La droite d a pour équations paramétriques : $\left\{\begin{array}{l cl}
x&=&-2t\\
y&=&1 +2t\\
z&=&2 + 4t\\
\end{array}\right., t \in \R$

\item  La demi-droite [OA) a pour équations paramétriques : 
$\left\{\begin{array}{l cl}
x&=&2 + 2t\\
y&=&-1 - t\\
z&=&- 2 - 2t\\
\end{array}\right.$

\item  La sphère de centre O et de rayon $\dfrac{1}{2}$
est cachée par P. 
\end{enumerate}
\hrulefill

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 16}}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

Pour $\theta \in \R$, on désigne par P et Q les plans d'équations respectives
P : $\left\{\begin{array}{l cl}
y- x&=&\sin ^2 \theta\\
z &\in&\R\\
\end{array}\right.$, 
Q : $\left\{\begin{array}{l cl}
z - y&=&\cos ^2 \theta\\
x &\in&\R\\
\end{array}\right.$.

On appelle $\Delta$ la droite d'intersection de ces deux plans.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour tout $\theta \in \R$, les plans P et Q sont orthogonaux.
\item  Pour tout $\theta \in \R$, la droite $\Delta$ est contenue dans le plan d'équation $\left\{\begin{array}{l cl}
z-x&=&1\\
y&\in&\R\\
\end{array}\right.$
\item  Pour tout $\theta \in \R$, la droite $\Delta$ est orthogonale au plan d'équation $x + y + z = 0$.
\item  Il existe un réel $\theta$ tel que $\Delta$ soit parallèle au plan \Oij.
\end{enumerate}
\end{document}