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%tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\alph{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Concours Fesic --Puissance Alpha}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Terminale S}}
\rfoot{\small{27 avril  2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours Fesic --Puissance Alpha 27 avril 2019 \decofourright\\[6pt]Durée : 2 h}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{Durée de l'épreuve: \\
Présentation et méthodologie de l'épreuve de Mathématiques\\
$\bullet~~$ 2h.\\
$\bullet~~$ 16 exercices proposés ~ 12 exercices à traiter au choix.\\
$\bullet~~$Chaque exercice comporte 4 propositions. Chaque exercice est indépendant des autres exercices proposés.\\
$\bullet~~$ Les exercices proposés se présentent sous la forme de QCM de type Vrai ou Faux.\\[5pt]
\textbf{Présentation}\\
Cette épreuve a pour but d'évaluer votre capacité à analyser un problème donné, et à sélectionner les outils calculatoires et  ou graphiques adéquats pour le résoudre. La connaissance de l'algèbre, de la géométrie et de l'analyse seront donc de mise pour aborder cette épreuve.\\
\textbf{Principe et objectifs de l'épreuve}\\
$\bullet~~$ Cette épreuve a pour but d'évaluer l'étendue de vos connaissances dans le domaine des mathématiques, et votre capacité à mener des études analytiques, algébriques et géométriques.\\
$\bullet~~$ Les 16 exercices proposés couvrent l'ensemble du programme de Terminale S,de façon à ce que chaque élève puisse sélectionner des exercices dont le programme a déjà été abordé au sein de son lycée.\\
\textbf{Évaluation de l'épreuve}\\
$\bullet~~$L'évaluation est basée sur un bonus/malus : une bonne réponse rapporte $1$ point,une mauvaise réponse retire $0,5$ point,et l'absence de réponse équivaut à $0$ point.\\
$\bullet~~$Pour un même exercice, si les $4$ réponses de l'élève sont correctes, alors ilsera attribué automatiquement $1$ point supplémentaire.}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\textbf{Un peu de lecture graphique}

\medskip

Dans le repère \Oij, on donne les points A(2~;~4), B(0~;~1), C(3~;~10), D(0~;~8).

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ représentée par la courbe 
$\mathcal{C}$ et $F$ une primitive de $f$ représentée par la courbe en pointillée $(\Gamma)$.

A est un point de la courbe $\mathcal{C}$, B et C sont deux points de la courbe $(\Gamma)$. La droite (AD) représente la tangente à $\mathcal{C}$ au point A.

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.6}
\begin{pspicture*}(-2,-4.5)(5.2,12.2)
\multido{\n=-2+1}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-4.5)(\n,12.2)}
\multido{\n=-4+2}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](-2,\n)(5.2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-4.5)(5.2,12.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-2}{4.9}{x dup mul 3 mul 1 add x 3 exp 2 mul 3 div sub}\uput[l](-0.35,-1){\red $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{4.9}{x  3  x sub mul 2 mul}\uput[r](4,7){\blue $(\Gamma)$}
\psline[linewidth=1.25pt](-2,12)(5,-2)
\psdots(2,4)(0,8)(3,10)(0,1)
\uput[ur](2,4){A} \uput[ur](0,8){D}\uput[u](3,10){C} \uput[dl](0,1){B}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La fonction $f'$ est positive sur l'intervalle [0~;~3].
\item $f'(2) = - 3$.
\item Le coefficient directeur de la tangente à $(\Gamma)$ au point  d'abscisse $x = 2$ est égal à 4.
\item $\displaystyle\int_0^3 f(x)\:\text{d}x = 9$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\textbf{Quelques questions de logique}

\medskip

Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a<b$ et $f$, $g$, $h$ trois fonctions définies sur un même intervalle $I = [a~;~b]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $I$,\: $f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x)$ et si les fonctions $f$ et $h$ admettent toutes les deux une limite finie lorsque $x$ tend vers $a$, alors la fonction $g$ admet elle aussi une limite
finie lorsque $x$ tend vers $a$.
\item  Si, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $I$,\: $f(x) < g(x)$ et s'il existe deux nombres réels $L$ et $L'$ tels que $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)= L$ et $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = L'$ alors $L \leqslant L'$.
\item  Si la fonction $f$ est continue en $x = a$, alors la fonction $f$ est dérivable en $x = a$.
\item  La réciproque du \textbf{c)} est fausse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\textbf{Un peu de géométrie avec le nombre d'or:}

\medskip

Soit $a$ un nombre réel strictement positif. Dans le repère orthonormé \Oij, on pose B le point de coordonnées $(a~;~ 0)$ , C le point de coordonnées $(a~;~a)$ et I le milieu du segment [OB].

On construit le quatrième sommet D du carré OBCD, M le point de la demi-droite [OB) tel que IM=IC et N le quatrième sommet du rectangle OMND.

On pose $\Phi$ l'abscisse du point M.

On appelle \textbf{nombre d'or} $\varphi$, l'unique solution positive de l'équation du second degré $x^2 - x -1 = 0$.

Un \textbf{rectangle est dit d'or} si le rapport entre la longueur $L$ et la largeur $l$ est égal au nombre d'or c'est-à-dire si  $\dfrac{L}{l} = \varphi$.

\begin{center}
\parbox{0.48\linewidth}{\begin{enumerate}
\item Si $a = 1$, alors $\Phi = \varphi$
\item Si $a = 1$, alors $\Phi = 1 - \dfrac{1}{\Phi}$
\item OMND est un rectangle d'or
\item $\cos \left(\widehat{\text{BIC}} \right) = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{4}$
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(0,-0.25)(3.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(3.5,2.5)
\psframe(3.236,2)
\psline(2,0)(2,2)(1,0)
\psarc[linestyle=dashed](1,0){2.218}{0}{65}
\uput[d](1,0){I} \uput[d](2,0){B}\uput[ur](3.236,0){M}\uput[d](3.236,0){$\Phi$}
\uput[ur](3.236,2){N}\uput[u](2,2){C}\uput[l](0,2){D}
\uput[d](0.5,0){$\frac{a}{2}$}\uput[d](1.5,0){$\frac{a}{2}$}
\uput[l](0,1){$a$}\uput[r](2,1){$a$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\textbf{Un peu de lecture graphique}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 - 2$ de courbe représentative $\left(\mathcal{C}_f\right)$ et $b_0$ le nombre réel 3.

On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_n\right)$ par $v_{n+1}  =\dfrac{v_n^2 + 2}{2v_n}$  et $v_0 = b_0 = 3$.

On pose $B_0$ le point de coordonnées $\left(b_0~;~ 0\right)$ et $A_0$ le point de $\left(\mathcal{C}_f\right)$ d'abscisse $b_0$.

La tangente à $\left(\mathcal{C}_f\right)$ au point $A_0$ coupe l'axe des abscisses au point $B_1$ de coordonnées $\left(b_1~;~ 0\right)$.

$A_1$, est le point de $\left(\mathcal{C}_f\right)$ d'abscisse $b_1$, et $B_2$ le point d'intersection de la tangente à $\left(\mathcal{C}_f\right)$ au point
$A_1$, avec l'axe des abscisses.

On recommence le même raisonnement et on pose, pour tout entier naturel 
$n$,\: $b_n$ l'abscisse du point $B_n$.

\begin{center}
\psset{xunit=2.8cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-3)(3.2,8)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=5,Dx=5]{->}(0,0)(0,-3)(3.2,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=5](0,0)(0,-3)(3.2,8)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.1}{x dup mul 2 sub}
\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,7)
\psplot[plotpoints=2000]{1.8}{3.1}{x 6 mul 11 sub}
\psline[linestyle=dashed](1.8333,0)(1.8333,1.361)
\psplot[plotpoints=2000]{1}{3.1}{x 11 mul 3 div 193 36 div sub }
\uput[d](3,0){$B_0$} \uput[ul](3,7){$A_0$}
\uput[d](0.2,-1.9){\blue $\left(\mathcal{C}_f\right)$}
\uput[ul](1.833,1.4){$A_1$}\uput[d](1.833,0){$B_1$}\uput[d](1.462,0){$B_2$}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $\alpha$, la tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_f\right)$ au point d'abscisse $\alpha$, a pour équation $y = 2\alpha x+\alpha^2  - 2$.
\item $b_1 = \dfrac{11}{6}$.
\item Pour tout entier naturel $n$,\: $b_{n+1} = b_n^2  -2$.
\item Soit $N$ un entier naturel non nul. Les algorithmes suivants permettent de calculer le $N-$ième terme de la suite $\left(v_n\right)$.
%%%%%%
%Fin du Pour Afficher V
%1 V'+l 'v
%K_K+J
%Fin du Tant que Afficher V
%
%d) Soit N un entier naturel non nul. Les deux algorithmes suivants permettent de calculer le l'fm, terme de la suite (v,)
%
%v ___
%%%%%%
\begin{center}
\begin{tabular}{c c}
\begin{tabular}{|l |l|}\hline
Variables &$K$ est un nombre entier\\
&$V$ est un nombre réel\\
&$N$ est un nombre entier\\ \hline
Initialisation& $V \gets 3$\\ \hline
Traitement&Lire N\\
&Pour $K$ variant de $2$ à $N+1$\\
&\hspace{0,3cm}Début du Pour\\
& \hspace{1cm}$\left|V \gets  \dfrac{V^2+2}{2V}\right.$\\
&\hspace{0,3cm}Fin du Pour\\ \hline
Sortie&Afficher $V$\\ \hline
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{|l |l|}\hline
Variables&$K$ est un nombre entier\\
&$V$ est un nombre réel\\
&N est un nombre entier\\ \hline
Initialisation &$V \gets 3$\\
&$K\gets 1$\\ \hline
Traitement&Lire $N$\\
&Tant que $K < N + 1$ faire\\
&\hspace{0,3cm}Début du Tant que\\
& \hspace{1cm}\begin{tabular}{|l}
$V \gets \dfrac{V^2+2}{2V}$\\
$K \gets K + 1$\\
\end{tabular}\\
&\hspace{0,3cm}Fin du Tant que\\ \hline
Sortie&Afficher $V$\\ \hline
\end{tabular}\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 5}}

\textbf{Probabilités conditionnelles}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{À l'exercice de probabilité du concours Puissance Alpha de l'année dernière, 4 affirmations a), b), c) et d) étaient proposées.

La probabilité que l'élève réponde correctement à la première affirmation était de $0,8$.

Si l'élève répondait correctement à une affirmation il avait 9 chances sur 10 de répondre correctement à la suivante. En revanche, si l'élève se trompait sur une affirmation, il avait $7$ chances sur $10$ de continuer de se tromper.

$i$ est un entier naturel compris entre 1 et 4 et $C_i$ est l'évènement \og l'élève répond correctement à l'affirmation \no $i$ \fg.}
\hfill
\parbox{0.54\linewidth}{\footnotesize{}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=1.75cm,treesep=0.5cm,shortput=nab,nrot=:U]{\TR{$\Omega~~~$}}
{\pstree{\TR{$C_1$~~}\ncput*{\ldots}}
	{\pstree{\TR{$C_2$~~}\ncput*{\ldots}}
		{\pstree{\TR{$C_3$~~}\ncput*{\ldots}}		
			{
			\TR{$C_4$} \ncput*{\ldots} 
			\TR{$\overline{C_4}$} \ncput*{\ldots}
			}
		\pstree{\TR{$\overline{C_3}~~$}\ncput*{\ldots}}
			{
			\TR{$C_4$} \ncput*{\ldots} 
			\TR{$\overline{C_4}$} \ncput*{\ldots}
			}	
		}
\pstree{\TR{$\overline{C_2}$~~}\ncput*{\ldots}}
		{\pstree{\TR{$C_3$~~}\ncput*{\ldots}}
			{
			\TR{$C_4$} \ncput*{\ldots}
			\TR{$\overline{C_4}$} \ncput*{\ldots}
			}
		\pstree{\TR{$\overline{C_3}$~~}\ncput*{\ldots}}
			{
			\TR{$C_4$} \ncput*{\ldots} 
			\TR{$\overline{C_4}$} \ncput*{\ldots}
			}	
		}
	}
\pstree{\TR{$\overline{C_1}$~~}\ncput*{\ldots}}
	{\pstree{\TR{$C_2$~~}\ncput*{\ldots}}
		{\pstree{\TR{$C_3$~~}\ncput*{\ldots}}		
			{
			\TR{$C_4$} \ncput*{\ldots} 
			\TR{$\overline{C_4}$} \ncput*{\ldots}
			}
		\pstree{\TR{$\overline{C_3}~~$}\ncput*{\ldots}}
			{
			\TR{$C_4$} \ncput*{\ldots} 
			\TR{$\overline{C_4}$} \ncput*{\ldots}
			}	
		}
\pstree{\TR{$\overline{C_2}$~~}\ncput*{\ldots}}
		{\pstree{\TR{$C_3$~~}\ncput*{\ldots}}
			{
			\TR{$C_4$} \ncput*{\ldots}
			\TR{$\overline{C_4}$} \ncput*{\ldots}
			}
		\pstree{\TR{$\overline{C_3}$~~}\ncput*{\ldots}}
			{
			\TR{$C_4$} \ncput*{\ldots} 
			\TR{$\overline{C_4}$} \ncput*{\ldots}
			}	
		}
	}
}
}

\begin{enumerate}
\item La probabilité de répondre correctement aux 4 affirmations est égale à  $p = 0,8\times 0,9^4$.
\item  La probabilité de répondre correctement à l'affirmation b) est égale à $p' = 0,78$.
\item  La probabilité de répondre correctement à l'affirmation a) sachant qu'on a répondu correctement à l'affirmation b) est égale à $p'' = 0,9$.
\item  La probabilité de répondre correctement aux affirmations b), c) et d) est égale à $0,9^3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 6}}

\textbf{Calculs d'intégrales}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\int_1^{\text{e}}\dfrac{1}{x} \ln (x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}$.
\item $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{3x}{\sqrt{x^2 + 1}} \:\text{d}x = \dfrac{3\sqrt{2}-3}{2}$.
\item $\displaystyle\int_0^4 \dfrac{2}{\sqrt{x}} \text{e}^{\sqrt{x}} = 4\left(\text{e}^2 - 1 \right)$.
\item $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{1}{\cos ^2 (x)}\:\text{d}x = \sqrt{3} - 1$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 7}}

\textbf{Calculs de limites}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \sqrt{2x^2 - x + 1} - x = 0$.
\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x - 3\text{e}^x+ 1}{2x + 5} = \dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}

\smallskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,\; $u_{n+1} = \dfrac{3}{4}u_n$.

 Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $\left(S_n\right)$ par $S_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_n$.
 
\begin{enumerate}[resume]
\item La suite $\left(u_n\right)$ diverge.
\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = + \infty$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 8}}

\textbf{Petite étude de fonction exponentielle}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{\frac{x - 1}{x^2}}$ de courbe représentative $\left(\mathcal{C}_f\right)$ et $\Delta$ la droite d'équation $y = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $\R$,\: $f'(x) = \left(\dfrac{2 - x}{x^3} \right)\text{e}^{\frac{x - 1}{x^2}}$.
\item  $\left(\mathcal{C}_f\right)$ admet la droite $\Delta$ comme asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$. 
\item  $\left(\mathcal{C}_f\right)$ admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale.
\item  L'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions sur $\R$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 9}}

\textbf{Petite étude de fonction ln}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $I= ]1~;~+\infty[$ par $f(x) =\dfrac{ \ln (x + 1)}{\ln (x)}$ de courbe représentative $\left(\mathcal{C}_f\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $I$,\: $f(x) = \ln \left(\dfrac{x+1}{x}\right)$.
\item Pour tout nombre réel $x$, de l'intervalle $I$, on a
$f'(x) = \dfrac{x \ln \left(\frac{x}{x + 1}\right) - \ln (x+1)}{x(x+ 1)(\ln(x))^2}$.
\item La fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.
\item $\left(\mathcal{C}_f\right)$ admet la droite $\Delta$ d'équation $y = 0$ comme asymptote horizontale en $+ \infty$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 10}}

\textbf{Petite étude de suite}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $I = ]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{4} - 2\ln (x)$ et $\Phi$ la fonction définie sur  

$J = \left[\text{e}^{- \frac{1}{8}}~;~+\infty\right[$ par $\Phi(x) = \displaystyle\sqrt{1 + 8 \ln (x)}$.

On pose $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \Phi \left(u_n\right)$.

On rappelle, dans toute la suite de l'exercice, que $\ln (2) \approx 0,7$, \: $\ln (3) \approx 1,1$ et $\ln (4) \approx 1,4$.

\medskip
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)= - \infty$.
\item L'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions dont l'une $x_0$ appartient à l'intervalle [3~;~4].
\item $x_0 = \Phi \left(x_0\right)$.
\item  Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \geqslant 3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 11}}

\textbf{Notions de base sur les nombres complexes}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\left(-\sqrt{3} + \text{i}\right)^3 = 8\text{i}$.
\item  La forme exponentielle de $-\sqrt{3} - \text{i}$ est $- 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
\end{enumerate}

\medskip

Soit $f$ la transformation complexe du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z \ne 3\text{i}$ associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{\overline{z} + \text{i}}{\overline{z} + 3\text{i}}$.

\begin{enumerate}[resume]
\item L'équation $\left|z'\right| = 1$ admet une unique solution dans $\C$.
\item  L'équation $z' = 2$ admet une unique solution dans $\C$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 12}}

\textbf{Utilisation des nombres complexes en géométrie}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv.

A, B, C et D sont les points du plan complexe d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \text{i}\sqrt{3}$, \:$z_{\text{B}} = -\text{i}\sqrt{3}$, \:$z_{\text{C}} = 3 + 2\text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}$.

Le point E, d'affixe $z_{\text{E}}$ est le symétrique du point D par rapport au point O.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $z_{\text{E}}= -3 - 2\text{i}\sqrt{3}$.
\item  L'ensemble des points $M$ du plan complexe tels que $|z|= z$ est une droite. 
\item  Les points A, B, C et D sont sur un même cercle de centre $\Omega$ d'affixe $3$.
\item $\left(\vect{\text{BC}},~ \vect{\text{BE}}\right) = \dfrac{\pi}{3}\quad (\text{mod}\: 2\pi)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 13}}

\textbf{Section dans un cube}

\medskip

ABCDIJKL est un cube de côté 1 et $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}}, \vect{\text{AD}}, \vect{\text{AI}}\right)$ est un repère orthonormé de l'espace.

On pose G le centre de gravité du triangle BIK.
 
\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{ 
\begin{enumerate}
\item Le point G a pour coordonnées $\left(-\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{2}{3}\right)$.
\item Les points J, G et D sont alignés.
\item La droite (JD) et le plan (BIK) sont perpendiculaires. 
\item Le volume du tétraèdre IKBJ est égal a $\dfrac{1}{6}$.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(7,7.5)
\pspolygon(0,0.5)(5,0)(5,5)(0,5.5)%ABJI
\pspolygon(5,0)(0,5.5)(7,7)%BIK
\psline(5,0)(7,2)(7,7)(5,5)%BCKJ
\psline(7,7)(2,7.5)(0,5.5)%KLI
\psline[linestyle=dashed](0,0.5)(2,2.5)(7,2)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2,2.5)(2,7.5)%DL
\uput[l](0,0.5){A} \uput[d](5,0){B}\uput[r](7,2){C}
\uput[ul](2,2.5){D} \uput[l](0,5.5){I}\uput[r](5,5){J}
\uput[ur](7,7){K} \uput[ul](2,7.5){L}\uput[l](3.9,3.9){G}
\psline[linestyle=dashed](0,5.5)(6,3.5)%IG
\psline[linestyle=dashed](5,0)(3.5,6.25)%BG
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 14}}

\textbf{Petit tour d'horizon sur les probabilités continues}

\medskip

Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif. On pose:

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels tels que $0 < \alpha \leqslant  \beta < 1$
\item[$\bullet~~$] $U$ la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [0~;1]
\item[$\bullet~~$] $X$ la variable aléatoire définie par la relation $X = -\dfrac{1}{\lambda}\ln (1- U)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $a \in ]0~;~1[$,\: $P(U = a) > 0$.
\item Pour tout nombre réel $a$ strictement positif, $p(X <a) = p\left(U \leqslant 1 - \text{e}^{- \lambda a}\right)$.
\item  $P(U \leqslant \beta)= \beta$.
\item  $P(\alpha\leqslant X\leqslant \beta)= \text{e}^{- \lambda \beta} - \text{e}^{- \lambda \alpha}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 15}}

\textbf{Petite suite de points}

\medskip

\parbox{0.32\linewidth}{Soit $n$ un entier naturel non nul et $\left(M_n\right)$
la suite de points de coordonnées $(n~;~0)$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $\mathcal{A}_n$, l'aire de la partie du plan comprise entre les demi-cercles de diamètres $\left[\text{O}M_n\right]$ et $\left[\text{O}M_{n+1}\right]$ et l'axe des abscisses (cf. figure ci-contre).}
\hfill
\parbox{0.67\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(9,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(9,4.5)
\pswedge[fillstyle=vlines](4,0){4}{0}{180}
\pswedge[fillcolor=white,fillstyle=hlines*](3.5,0){3.5}{0}{180}
\pswedge[fillcolor=white,fillstyle=vlines*](3,0){3}{0}{180}
\pswedge[fillcolor=white,fillstyle=hlines*](2.5,0){2.5}{0}{180}
\pswedge[fillcolor=white,fillstyle=vlines*](2,0){2}{0}{180}
\pswedge[fillcolor=white,fillstyle=hlines*](1.5,0){1.5}{0}{180}
\pswedge[fillcolor=white,fillstyle=vlines*](1,0){1}{0}{180}
\pswedge[fillcolor=white,fillstyle=solid](0.5,0){0.5}{0}{180}
\multido{\n=1+1}{8}{\rput(\n,-1){$M_{\n}$}}
\end{pspicture}}

\begin{enumerate}
\item $A_1 = 3\pi$ et $A_2 = 5\pi$.
\item $A_n = 2\times \pi\times  n + \pi$.
\item La suite $\left(A_n\right)_{n\geqslant 1}$ est une suite arithmétique de raison
$r = 2\pi$.
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, $S_n= A_1 + A_2 + \ldots + A_n = \dfrac{\pi}{8}\times n\times (n+2)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 16}}

\textbf{Travail autour d'un cuboctaèdre}

\medskip

ABCDEFGH est un cube de côté 1 et $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$ est un repère orthonormé de l'espace.

\parbox{0.3\linewidth}{\textbf{Définition}

On appelle \textbf{cuboctaèdre} le solide ayant pour sommets les milieux des arêtes d'un cube.}
\hfill
\parbox{0.69\linewidth}{
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0.5,0)(11,10)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](8.9,1.25)(10.8,5)(8.9,7.25)(7,3.5)%ONMJ
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](8.9,7.25)(7.8,8.5)(2.9,8.25)(4,7)%MRPK
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](4,1)(7,3.5)(4,7)(1,4.5)%IJKL
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](4,1)(7,3.5)(8.9,1.25)%IJO
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](7,3.5)(4,7)(8.9,7.25)%JKM
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](4,7)(1,4.5)(2.9,8.25)%KLP
\pspolygon(1,1.5)(7,0.5)(7,6.5)(1,7.5)%ABFE
\uput[dl](1,1.5){A} \uput[d](7,0.5){B} \uput[r](10.8,2){C}
 \uput[ul](1,7.5){E} \uput[u](7,6.5){F} \uput[ur](10.8,8){G}
\uput[u](4.8,9){H} 
\psline(7,0.5)(10.8,2)(10.8,8)(7,6.5)%BCGF
%\uput[dl](4.8,3){D} 
\psline(10.8,8)(4.8,9)(1,7.5)%GHE
 \uput[l](2.9,2.25){Q}\uput[d](4,1){I}\uput[r](7,3.5){J}
\uput[dr](8.9,1.25){O}
\uput[ul](2.9,8.25){P}\uput[u](7.8,8.5){R}\uput[u](8.9,7.25){M}\uput[r](10.8,5){N}
\uput[l](1,4.5){L}\uput[u](4,7){K}
\psline(2.9,8.25)(1,4.5)(4,1)(8.9,1.25)%PLIO
\psline[linestyle=dashed](1,1.5)(2.9,2.25)%AQ
\end{pspicture}
\end{center}}

Dans le cube ABCDEFGH, on définit I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S et T les milieux respectifs des arêtes [AB], [BF], [EF], [AE], [FG], (CG], (BC], (EH], [AD], [HG], [BD] ct [CD].

On appelle $(\Gamma)$ le cubocatèdre ainsi obtenu (cf. figure ci-dessus).

$\Delta$ est la droite dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0,5\\
y&=&0,25- 0,13t\\
z &=&1,25-0,13t
\end{array}\right.$ avec $t \in \R$.

\begin{enumerate}
\item Le cuboctaèdre $(\Gamma)$ se compose de 6 faces carrées, huit faces triangulaires et a un volume $V = \dfrac{5}{6}$.
\item Les plans (SQT) et (KMJ) sont sécants.
\item Les plans (JKM) et (LKP) sont sécants suivant une droite parallèle à la droite (IR). 
\item Les plans (JKM) et (LKP) sont sécants suivant la droite $\Delta$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large CORRIGÉS}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
EXERCICE 1&a)~~ FAUX&b)~~ FAUX&c)~~ VRAI&d)~~ VRAI\\ \hline
EXERCICE 2&a)~~ FAUX&b)~~ VRAI&c)~~ FAUX&d)~~ FAUX\\ \hline
EXERCICE 3&a)~~ VRAI&b)~~ FAUX&c)~~ VRAI&d)~~ FAUX\\ \hline
EXERCICE 4&a)~~ FAUX&b)~~ VRAI&c)~~ FAUX&d)~~ VRAI\\ \hline
EXERCICE 5&a)~~ FAUX&b)~~ VRAI&c)~~ FAUX&d)~~ FAUX\\ \hline
EXERCICE 6&a)~~ VRAI&b)~~ FAUX&c)~~ VRAI&d)~~  VRAI\\ \hline
EXERCICE 7&a)~~ FAUX&b)~~ FAUX&c)~~ FAUX&d)~~ FAUX\\ \hline
EXERCICE 8&a)~~ VRAI&b)~~ VRAI&c)~~ FAUX&d)~~ FAUX\\ \hline
EXERCICE 9&a)~~ FAUX&b)~~ VRAI&c)~~ FAUX&d)~~ FAUX\\ \hline
EXERCICE 10&a)~~ FAUX&b)~~ VRAI&c)~~ VRAI&d)~~ VRAI\\ \hline
EXERCICE 11&a)~~ VRAI&b)~~ FAUX&c)~~ FAUX&d)~~ VRAI\\ \hline
EXERCICE 12&a)~~ FAUX&b)~~ FAUX&c)~~ VRAI&d)~~ VRAI\\ \hline
EXERCICE 13&a)~~ FAUX&b)~~ VRAI&c)~~ VRAI&d)~~ VRAI\\ \hline
EXERCICE 14&a)~~ FAUX&b)~~ VRAI&c)~~ VRAI&d)~~ FAUX\\ \hline
EXERCICE 15&a)~~ FAUX&b)~~ FAUX&c)~~ FAUX&d)~~ VRAI\\ \hline
EXERCICE 16&a)~~ VRAI&b)~~ FAUX&c)~~ VRAI&d)~~ VRAI\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}