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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\huge Concours d'entrée FESIC mai 2000}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie par :

\[f(x) = - \dfrac{1}{3}x + 1 + \dfrac{1}{|x| + 1}. \]

$\mathcal{D}$ son ensemble de définition et $\mathcal{C}$
 sa courbe représentative.

Vrai/Faux	On a:  $\mathcal{D} = \R^*$.

Vrai/Faux	La droite $\Delta$  d'équation $y = - \dfrac{1}{3}x + 1$
 est asymptote   $\mathcal{C}$.
 
Vrai/Faux La courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de  $\Delta$.

Vrai/Faux	Pour tout $x > - 1$, on a : $f'(x) = \dfrac{1}{(x + 1)^2} - 
\dfrac{1}{3}$.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)

\item Soit $f$ la fonction dfinie par/: 

\[f(x) = \dfrac{1}{x - 1} - \sqrt{x}. \]

Vrai/Faux	La restriction de $f$ à l'intervalle [0 ; 1[ est une bijection de [0 ; 1[ sur  $]- 1~;~+ \infty[$.

Vrai/Faux	La restriction de $f$ à l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ admet une réciproque définie sur $\R$ et à valeurs dans  $]1~;~+ \infty[$.

Vrai/Faux	L'équation $1 + \dfrac{1}{\sqrt{x}} = x$ admet une unique
 solution.

Vrai/Faux	Pour tout  $a < 0$, l'équation $f(x) = a$ admet deux 
solutions distinctes.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x 
\sin x$ , $\mathcal{C}$ sa courbe représentative et $\Delta$ la droite 
d'équation  $y = x$.

Vrai/Faux	La fonction $f$ vérifie l'équation différentielle $y'' + y = 2\cos x$.

Vrai/Faux	La courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$ ont une infinité de points communs.

Vrai/Faux	La droite $\Delta$ est tangente à $\mathcal{C}$ en chacun de leurs points communs.

Vrai/Faux	La droite $\Delta'$ d'équation $y = - x$ est tangente à  
$\mathcal{C}$. 

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)

\item Soit $f$ la fonction définie par 

\[f(x) = \ln \left(\ln |x|\right), \]

$\mathcal{D}$   son ensemble de définition et $\mathcal{C}$ sa courbe
 repésentative.

Vrai/Faux	On a  $\mathcal{D} = \R^*$.

Vrai/Faux	Pour tout  $x \in \mathcal{D}$, on a : $f'(x) = 
\dfrac{1}{|x|\ln |x|}$.

Vrai/Faux	Une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point
 d'abscisse e est   
 
 $y = \dfrac{x - \text{e}}{\text{e}}$.

Vrai/Faux	Pour tous réels $a$ et $b$ vérifiant  $b > a \geqslant
 \text{e}$, on a : 

\[\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} > \dfrac{1}{\text{e}}.\]

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)

\item Pour $n$ entier naturel, $n \geqslant 1$ , on 
considère la fonction $f_n$ définie sur 

I = $]- 1~;~+ \infty[$ par 

\[f_n(x) = x^n \ln (1 + x). \]
 
et on désigne par $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de  $f_n$.

Vrai/Faux	Pour tout $n \geqslant 1$, la courbe $\mathcal{C}_n$ passe
 par le point  de coordonnées  $(1~;~\ln 2)$.

Vrai/Faux	Pour tout $n \geqslant 1$ et pour tout $x \in [0~;~1]$ , on a  $f_{n+1}(x) \geqslant f_n(x)$.

Vrai/Faux	Pour tout  $n \geqslant 1$, on a  $f'_n(x) = 0$. 

Pour tout  $n \geqslant 1$, on désigne par $a_n$ le coefficient directeur de la tangente  $\mathcal{C}_n$ au point d'abscisse  1.

Vrai/Faux	La suite $\left(a_n\right)_{n \geqslant 1}$ est géométrique.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)

\item Pour tout réel  $m$, on considère l'équation 
$\left(\text{E}_m\right)$ suivante, d'inconnue réelle $x$ : 
 
\[\text{e}^{2x} - 2\text{e}^x - m = 0.\]

Vrai/Faux	L'unique valeur de $m$ pour laquelle $x = 0$ est solution de
 l'équation $\left(\text{E}_m\right)$ est  $m = 0$.

Vrai/Faux	Pour toute valeur de  $m$, l'équation $\left(\text{E}_m\right)$
 admet au moins une solution.

Vrai/Faux	Si  $-1 < m < 0$, l'équation $\left(\text{E}_m\right)$ a deux
 solutions positives.

Vrai/Faux	Si  $m > 0$, l'équation $\left(\text{E}_m\right)$ a une
 unique solution.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)

\item On considère l'équation (E) suivante: 

\[\sin x = \sqrt{3} \cos 2x.\]

Vrai/Faux	L'équation (E) est équivalente à l'équation 

\[\left( \text{E}'\right) \qquad \sqrt{3}\sin ^2 x + \sin x - \sqrt{3} = 0.\]

Vrai/Faux	L'équation (E) admet quatre solutions dans  $\R$.

Vrai/Faux	L'équation (E) admet deux solutions dans l'intervalle  $[- 
\pi~;~\pi]$.

Vrai/Faux	L'équation (E) admet deux solutions dans l'intervalle  $[- 
\pi~;~0]$, dont le produit vaut  $\dfrac{2\pi^2}{9}$.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)

\item Soit $F$ la fonction dfinie sur I = $[0~;~+ \infty[$ par 
$F(x) = \displaystyle\int_0^x \sqrt{t} \text{e}^{-t}\:\text{d}t$.
 
(On ne cherchera pas  calculer directement  $F$.)

Vrai/Faux	La fonction $F$ est positive et strictement croissante sur  I.

Vrai/Faux	Pour tout  $t \geqslant 0$, on a :  $\sqrt{t} \leqslant t + 
\dfrac{1}{4}$.

Vrai/Faux	On a : $\displaystyle\int_0^x \left(t + 
\dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{-t}\:\text{d}t = \dfrac{5}{4} - \left(x + 
\dfrac{5}{4}\right)\text{e}^{-x}$.

Vrai/Faux	Pour tout  $x \in \text{I}$, on a/:  $F(x) \leqslant \dfrac{5}{4}$.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)

\item  Pour, on pose :  $F(x) = \displaystyle\int_1^x 
\dfrac{\ln (2t)}{t^2}\:\text{d}t$.

Vrai/Faux	Pour tout  $x > 0$, on a:  $F'(x) = \dfrac{\ln (2x)}{x^2} - \ln 
2$.

Vrai/Faux	Pour tout  $x \in \left]\dfrac{1}{2}~;~1\right[$, on a  $F(x) < 0$.

Vrai/Faux	Pour tout  $x > 0$, on a :  $F(x) = - \dfrac{\ln (2x)}{x} - 
\dfrac{1}{x} + \ln (2) + 1$.

Vrai/Faux	On a :  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} F(x) = \ln (2) + 1$.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)

\item  On pose : I $= \displaystyle\int_0^1 t \cos ^2 (\pi 
t)\:\text{d}t$ et J $= \displaystyle\int_0^1 t \sin ^2 (\pi 
t)\:\text{d}t$.

Vrai/Faux	On a : I $ > 0$ et  J $> 0$.

Vrai/Faux	On a  I + J = 1.

Vrai/Faux	On a:  $\text{I} - \text{J} = \displaystyle\int_0^1 t \cos 
(2\pi t)\:\text{d}t$.

Vrai/Faux	On a:  $\text{I} = \text{J} = \dfrac{1}{2}$.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)

\item Soit $\left(a_n\right)_{n \in \N}$ et $\left(b_n\right)_{n \in \N}$ deux suites réelles définies par leur premier terme  $a_0 = 2,~b_0 = 4$,  respectivement et les relations, pour tout entier naturel  $n$, 

\[a_{n+1} = \dfrac{1}{4}\left(a_n + 3b_n\right)\quad \text{et}\quad  b_{n+1} =  \dfrac{1}{4}\left(3a_n + b_n\right).\]

On désigne par $A_n$ et $B_n$ les points de l'axe orienté  d'abscisse $a_n$ et $b_n$ respectivement.

Vrai/Faux	La suite $u_n = a_n + b_n$ est constante.

Vrai/Faux	La suite $v_n = a_n - b_n$ est une suite géométrique convergente.

Vrai/Faux	Pour tout  $n \in \N$, les segments $\left[A_nB_n\right]$ ont le même milieu  I, qui est le point de (O$x$) d'abscisse  3.

Vrai/Faux	Pour tout  $n \in \N$, on a : 
$a_n = 3 - \dfrac{1}{2^n}$ et  $b_n = 3 + \dfrac{1}{2^n}$.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)

\item Soit $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ une suite géométrique
 de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme  $u_1 = 2$.
 
Pour tout entier  $n \geqslant 1$, on pose  $v_n = \ln \left(u_n\right)$.

Vrai/Faux	Pour tout  $n \geqslant 1$, on a  $u_n = \dfrac{2}{3^n}$.

Vrai/Faux	La suite  $\left(v_n\right)_{n \in \N}$, est arithmétique, de raison   $- \ln (3)$.

Vrai/Faux	Pour tout  $n \geqslant 1$, on a : 

\[\displaystyle\sum_{k = 1}^{n} u_k = u_1 + u_2 + \cdots + u_n = 3\left(1 - \dfrac{1}{3^{n+1}}\right).\]

Vrai/Faux	Pour tout  $n \geqslant 1$, on a : \[\dfrac{1}{n}\displaystyle
\sum_{k = 1}^{n} v_k = \dfrac{1}{n}\left(v_1 + v_2 + \cdots + v_n\right) = \ln (2) - \dfrac{n}{2}\ln (3).\]

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)

\item Pour tout réel  $\theta \in [0~;~2\pi[$, on pose  
$Z(\theta) = 1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$.
 
On a:

Vrai/Faux	 $Z\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 
\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

Vrai/Faux	pour tout  $\theta \in [0~;~2\pi[$,  $\overline{Z(\theta)} = 
Z(- \theta)$.

Vrai/Faux	pour tout  $\theta \in [0~;~2\pi[$,  $Z(\theta) = 2 \cos \left( 
\dfrac{\theta}{2}\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\theta}{2}}$.

Vrai/Faux	pour tout  $\theta \in [0~;~2\pi[$,  
arg$\left[Z(\theta)\right] = \dfrac{\theta}{2} \quad [2\pi]$.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)

\item  Soit (E) l'équation d'inconnue complexe  $z$ : 

\[z^2 - 4\overline{z} - 5 = 0.\]

Vrai/Faux	Si $z_0$ est solution de  (E), alors $\overline{z_0}$ est aussi solution.

Vrai/Faux	L'équation (E) admet une solution imaginaire pure.

Vrai/Faux	L'équation (E) admet deux solutions réelles.

Vrai/Faux	L'équation (E) admet exactement deux solutions dans  $\C$.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)

\item Soit  $a \in 
\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~\text{e}\right[$ et (E) l'équation d'inconnue complexe  $z$ : 

\[ z^2 - 2z \ln (a) + 1 = 0. \]
 
On désigne par $M$ et $N$  les points du plan dont les affixes sont les racines de  (E).

Vrai/Faux	Les points  $M$ et $N$  sont symétriques par rapport  l'axe réel  (O$x$).

Vrai/Faux	Les points  $M$ et $N$  sont situés sur le cercle de centre O et de rayon  1.

Vrai/Faux	Il n'existe aucune valeur de $a$ telle que  $M$ et $N$  soient symétriques par rapport à l'origine. 

Soit A le point du plan de coordonnées  $(-1~;~0)$.

Vrai/Faux	On a:  A$M < 2$.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)

\item Pour $n$ entier naturel non nul, on note 
$\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ la courbe param\`etre par : 

\[ \left\{ \begin{array}{l cl}
x(t) & = & \sin (t)\\
y(t) & = & \cos (nt)\\
\end{array}\right.,\]

autrement dit, l'ensemble des points $M(t)$ de coordonnées  
$\left(\sin (t),~\cos (nt) \right)$, pour  $t \in \R$.

Vrai/Faux	La courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ est un cercle.

Vrai/Faux	La courbe $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$ est la parabole d'équation  $y = 1 - 2x^2$.

Vrai/Faux	Pour tout  $n \geqslant 1$, l'axe (O$y$) est axe de symétrie pour $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$.

Vrai/Faux	Pour tout  $n \geqslant 1,~\left(\mathcal{C}_{n}\right)$  admet au point M$(0)$ une tangente parallèle  l'axe  (O$y$).

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)

\item  Pour  $m \in \R$, on considère le système linéaire
suivant,  quatre inconnues  $a,~b,~c,~d$ : 

\[S_{m} \left\{ \begin{array}{lr c l}
\phantom{1}a + \phantom{1}b - \phantom{1}c + \phantom{1}2d 		& = & 2\\
2a + 4b - 6c + \phantom{1}2d 	& = &0\\
- a + b - 3c - \phantom{1}9d 	&=	& - 1\\
a - 2b + 5c + 13d 	& = & m + 2\\
\end{array}\right.\]
 
Vrai/Faux Pour  $m \neq - 2$, le système $S_{m}$ admet un unique quadruplet solution.

Vrai/Faux	Pour  $m = - 2$, le système $S_{-2}$ admet une infinité de quadruplets solution, qui sont de la forme : $(7 - k~;~2k - 3~;~k~;~- 1)$ où  $k \in \R$.
 
Vrai/Faux	Dans l'espace, l'ensemble des points de coordonnées:

$\left\{ \begin{array}{l c l}
x & = & - k + 7\\
y & = & 2k - 3\\
z & = & \phantom{2}
k\\
\end{array}\right.$ où  $k$ décrit  $\R$, est un plan.

Vrai/Faux	Dans l'espace, l'ensemble des points de coordonnées 
$(x,~y,~z)$ telles que $x = 7 - z$ est une droite.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)

\item  Dans le plan, on considère un triangle (ABC) et on note : 

G le barycentre du système  \{(A,~3),~(B,~1),~(C,~1)\} ;

Q le barycentre du système  \{(A,~3),~(C,~1)\} ; 

R le barycentre du système  \{(A,~3),~(B,~1)\} ;

P le milieu du segment [BC]  ;

Vrai/Faux	Les droites (CR) et (BQ) sont sécantes en  G.

Vrai/Faux	Le point G appartient  la droite  AP.

Vrai/Faux	Le point G est l'image du point A par l'homothétie de centre P et de rapport  $\dfrac{1}{5}$. 

On suppose que les points B et C sont fixes et que le point $A$ décrit
l'ensemble $\mathcal{E}$ des points  du plan tels que : 
$\left(\overrightarrow{M\text{B}},~\overrightarrow{M\text{C}}\right) = 
\dfrac{\pi}{2}\qquad [2\pi]$.

Vrai/Faux	L'ensemble $\mathcal{E}'$ décrit par $G$ lorsque $A$ décrit $\mathcal{E}$ est une droite parallèle   (BC). 

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)

\item   Un auto-radio est muni d'un code de sécurité constitué
de 4 chiffres : chacun de ces chiffres est compris entre 0 et 9 ; seul le premier ne peut pas être nul. 
Lorsque le poste a été enlevé de son emplacement dans l'automobile il faut,
pour le réinstaller, composer le code de sécurité. Lorsque le premier code
composé est inexact, il faut attendre deux minutes pour pouvoir composer
un nouveau code. Si celui-ci est inexact, il faut  nouveau attendre 
quatre minutes pour composer le code suivant et ainsi de suite, le temps
d'attente tant multiplié par deux  chaque fois.

On admet que l'on peut renouveler l'opération autant de fois que l'on veut et on néglige  chaque fois le temps mis pour composer le code.

Vrai/Faux	En 24 heures, on a le temps de faire au maximum 10 essais. 

On suppose que l'on compose les codes au hasard, sans répétition,
jusqu'à obtention du code correct.

Vrai/Faux	La probabilité pour que le code ne soit exact qu'au quatrième essai est  $\dfrac{1}{\np{8997}}$.

Vrai/Faux	La probabilité pour que le code correct soit trouvé en moins  de 24 heures est  $\dfrac{1}{900}$.

Vrai/Faux	La probabilité pour que le code correct soit trouvé au cours du deuxième jour est  $\dfrac{1}{\np{8990}}$.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)

\item   On lance un dé dont les six faces, numérotées de 
1 à 6 , sont équiprobables.

Si le résultat est un nombre pair, on tire au hasard une boule
d'une urne U contenant deux boules blanches et trois boules noires. Si le résultat est impair, on tire au hasard une boule d'une urne V qui contient trois boules blanches et deux boules noires.

On désigne par : 

B l'évènement \og tirer une boule blanche \fg{} ; 

N l'évènement \og tirer une boule noire \fg{} ; 

U l'évènement \og tirer une boule dans l'urne  \fg. 

On a :

Vrai/Faux	 $p(\text{B} \cap \text{U}) = p\left(\text{N} \cap 
\overline{\text{U}}\right)$.

Vrai/Faux	 $p(\text{B}) = \dfrac{1}{2}$.

Vrai/Faux	 $p(\text{B}) = p(\text{N})$.

Vrai/Faux	 $p(\text{U}/\text{B}) = p\left(\overline{\text{U}}/\text{N}\right)$.

\psline[linecolor=blue](-1,0)(12,0)
\end{enumerate}
\end{document}
