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%Tapuscrit : Denis Vergès Denis.Verges@wanadoo.fr
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.} 
\lhead{\small BaccalaurŽéat ES }%tapez un titre
\lfoot{\small{ France}}
\rfoot{\small 19 juin 2009}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~BaccalaurŽéat ES France 19 juin 2009~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun ˆ tous les candidats}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de l'indice des prix de vente des appartements anciens à Paris au quatrième trimestre des années 2000 à 2007. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.8cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 \\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7  \\ \hline
Indice : $y_{i}$&100 &108,5 &120,7 &134,9 &154,8 &176,4 &193,5 &213 ,6 \\ \hline
\multicolumn{9}{l}{\small  Source : INSEE}\\
\end{tabularx} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le pourcentage d'augmentation de cet indice de l'année 2000 à l' année 2007. 
\item  Construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~ ;~ y_{i}\right)$ dans le plan $(P)$ muni d'un repère orthogonal défini de la manière suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, on placera $0$ à l'origine et on choisira 2~cm pour représenter une année. 
 \item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées, on placera 100 à l'origine et on choisira 
1~cm pour représenter 10~unités.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item  Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. Placer le point G dans le plan $(P)$.
\item L'allure de ce nuage permet de penser qu'un ajustement affine est adapté. 
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $(d)$ d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième. 
	\item  Tracer la droite $(d)$ dans  le plan $(P)$. 
	\end{enumerate}
\item En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les deux années suivantes, estimer l'indice du prix de vente des appartements anciens de Paris au quatrième trimestre 2009. Justifier la réponse. 
\end{enumerate}


\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[- 2~;~ 5]$, décroissante sur chacun des intervalles $[-2~;~0]$ et [2~;~ 5] et croissante sur l'intervalle [0~;~2]. 

On note $f'$ sa fonction dérivée sur l'intervalle $[- 2~;~ 5]$. 

La courbe $(\Gamma)$ représentative de la fonction $f$ est tracée en annexe 1 dans le plan muni d'un repère orthogonal.  Elle passe par les points A$(- 2~;~ 9)$, B(0~;~ 4), C(1~;~4,5), D(2~;~5) et E(4~;~ 0). 

En chacun des points B et D. la tangente à la courbe $(\Gamma)$ est parallèle à l'axe des abscisses.
 
On note F le point de coordonnées (3~;~6).
 
La droite (CF) est la tangente à la courbe $(\Gamma)$ au point C.

\begin{enumerate}
\item  À l'aide des informations précédentes et de l'annexe 1, préciser sans justifier :
	\begin{enumerate}
		\item  les valeurs de $f(0),~f'(1)$ et $f'(2)$. 
		\item le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$ de l'intervalle $[- 2~;~ 5]$. 
		\item le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$ de l'intervalle $[- 2~;~ 5]$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie par $g(x) = \ln (f(x))$  où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $[- 2~;~ 4[$. 
		\item Calculer $g(-2),~ g(0)$ et $g(2)$.
		\item Préciser, en le justifiant, le sens  de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[- 2~;~ 4[$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $g$ lorsque $x$ tend vers $4$. 
	
Interpréter ce résultat pour la représentation graphique de la fonction $g$. 
	\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le graphe ci-dessous représente le plan d'une ville.
 
Le sommet A désigne l'emplacement des services techniques.
 
Les sommets B, C, D, E, F et G désignent les emplacements de jardins publics. Une arête représente l'avenue reliant deux emplacements et est pondérée par le nombre de feux tricolores situés sur le trajet.

\medskip

\begin{center}
\begin{psmatrix}[mnode=circle,rowsep=1.5cm,colsep=1.5cm]
 	& B	&	&D	\\
	A 	&  		&C		&  		&G\\
	 	&		&E 	&F		\\
\end{psmatrix}
\psset{arrows=-,shortput=nab}
\ncline{2,1}{1,2}\ncput*{2}
\ncline{2,1}{2,3}\ncput*{1}
\ncline{1,2}{2,3}\ncput*{2}
\ncline{1,2}{1,4}\ncput*{1}
\ncline{1,2}{3,3}\ncput*{3}
\ncline{2,3}{1,4}\ncput*{4}
\ncline{2,3}{3,3}\ncput*{3}
\ncline{2,3}{3,4}\ncput*{5}
\ncline{1,4}{3,3}\ncput*{3}
\ncline{1,4}{3,4}\ncput*{6}
\ncline{1,4}{2,5}\ncput*{5}
\ncline{3,4}{2,5}\ncput*{2}
\ncline{3,3}{3,4}\ncput*{1}
\end{center} 

\textbf{Les parties I et II sont indépendantes.}

\medskip

 \textbf{Partie I}
 
 \medskip
 
On s'intéresse au graphe non pondéré. 

\begin{enumerate}
\item Répondre sans justification aux quatre questions suivantes :

	\begin{enumerate}
		\item Ce graphe est-il connexe ? 
	\item Ce graphe est-il complet ? 
	\item Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? 
	\item Ce graphe admet-il un cycle eulérien ? 
	\end{enumerate}
\item  Déterminer, en justifiant, le nombre chromatique de ce graphe. 
\end{enumerate}

\medskip

 \textbf{Partie II}
 
 \medskip
 
 On s'intéresse au graphe pondéré.

Proposer un trajet comportant un minimum de feux tricolores reliant A à G.

 La réponse sera justifiée par un algorithme. 

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun ˆ tous les candidats}

\medskip

Une salle de jeu comporte deux consoles identiques proposant le même jeu.

Un jour l'une des deux est déréglée.
 
Les joueurs ne peuvent pas savoir laquelle des deux est déréglée. 

\begin{enumerate}
\item  Ce jour-là, un joueur choisit au hasard l'une des deux consoles et il joue une partie sur cette console.
 
On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $D$ l'évènement \og le joueur choisit la console déréglée\fg{} et $\overline{D}$ l'évènement contraire ; 
\item[] $G$ l'évènement \og le joueur gagne la partie \fg{} et $\overline{G}$  l'évènement contraire. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Cette situation aléatoire est modélisée par l'arbre incomplet suivant, dans lequel figure certaines probabilités. 

\medskip

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{0,5}}
	  { 
		  \TR{$G$}\taput{0,7}
		  \TR{$\overline{G}$}\tbput{}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{D}$}}
	  {
		  \TR{$G$}\taput{0,2}
		  \TR{$\overline{G}$}\tbput{}	  
	  }
	
}
\end{center}


Ainsi, $0,7$ est la probabilité que le joueur gagne sachant qu'il a choisi une console déréglée. 

	\begin{enumerate}
		\item Reproduire cet arbre sur la copie et le compléter. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement \og  le joueur choisit la console déréglée et il gagne \fg. 
		\item  Calculer la probabilité de l'évènement \og le joueur choisit la console non déréglée et il gagne \fg. 
		\item  Montrer que la probabilité que le joueur gagne est égale à $0,45$. 
	\item Calculer la probabilité que le joueur ait choisit la console déréglée sachant qu'il a gagné. 
	\end{enumerate}
\item  Trois fois successivement et de façon indépendante, un joueur choisit au hasard l'une des deux consoles et joue une partie. 

Calculer la probabilité de l'évènement \og le joueur gagne exactement deux fois \fg. Le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au millième. 

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun ˆ tous les candidats}

\medskip
 
 \textbf{Partie A : \'Etude d'une fonction}
 
 \medskip
  
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~ 8] par 
\[f(x) = 20(x - 1)\text{e}^{-0,5x}.\]

 On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~ 8] 
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~ 8]
\[f'(x) = 10(- x + 3)\text{e}^{-0,5x}\]
	\item Étudier le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle [0,5~;~ 8] et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Construire la courbe représentative $(\mathcal{C})$ de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij.

On prendra pour unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm, sur l'axe des ordonnées. 

\item Justifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle  [0,5~;~ 8] par 
$F(x) =\dfrac{-40(x + 1)}{\text{e}^{0,5x}}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~ 8]. 
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale I $  = \displaystyle\int_{1,5}^5  f(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
 \textbf{Partie B : Application économique}
  
Une entreprise produit sur commande des bicyclettes pour des municipalités.
 
La production mensuelle peut varier de 50 à  800 bicyclettes. 

Le bénéfice mensuel réalisé par cette production peut être modélisé par la fonction $f$ de la partie A de la façon suivante : 

si, un mois donné, on produit $x$ centaines de bicyclettes, alors $f(x)$ modélise le bénéfice, exprimé en milliers d' euros, réalisé par l'entreprise ce même mois.

 Dans la suite de l'exercice, on utilise ce modèle. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que si l'entreprise produit 220~bicyclettes un mois donné, alors elle réalise ce mois-là un bénéfice de \nombre{7989}~euros.
		\item Déterminer le bénéfice réalisé par une production de 408~bicyclettes un mois donné.
	\end{enumerate}
\item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte}

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la \textbf{partie A} et le modèle précédent.

Justifier chaque réponse.
	\begin{enumerate}
		\item  Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire au minimum de bicyclettes pour ne pas travailler à perte ? 
	\item  Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire de bicyclettes pour réaliser un bénéfice maximum. Préciser alors ce bénéfice à l'euro près. 
	\item  Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire de bicyclettes pour réaliser un bénéfice supérieur à \nombre{8000}~euros ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Annexe 1}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-3,-9)(6,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-9)(6,10)
\multido{\n=-3+0.25}{37}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-9)(\n,9)}
\multido{\n=-9+0.5}{37}{\psline[linewidth=0.2pt](-3,\n)(6,\n)}
\psdots(-2,9)(0,4)(1,4.5)(2,5)(4,0)(5,-8.5)(3,6)
\psplot{-3}{6}{3 4 div  x mul 15 4 div add}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.5pt]{-2}{5}{0.75 x 2 exp  mul 0.25 x 3 exp mul sub 4 add}
\uput[ur](-2,9){A} \uput[ur](0,4){B} \uput[u](1,4.5){C} 
\uput[d](2,5){D} \uput[ur](4,0){E} \uput[ul](3,6){F} \uput[dl](0,0){O}
\uput[u](6,0){$x$} \uput[l](0,10){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}